5.2 专题：小船渡河与关联速度问题 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

目录 第03课时　小船渡河与关联速度及图像问题 1 考点一　小船渡河 1 考点二　关联速度 4 考点三　运动的合成和分解图像问题 7 巩固训练·提升能力 9 第03课时　小船渡河与关联速度及图像问题 考点一　小船渡河 必备知识·回顾梳理 1.模型概念： （1）将船实际的运动看成船在静水中的运动和船随水流的运动的合运动。 （2）分清三个速度①分速度v水：水流的速度；②分速度v船：船在静水中的速度；③合速度v：表示船实际航行的速度。 2.处理方法 (1)小船渡河时实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(船在静水中的运动，运动方向为船头朝向的方向)，船的实际运动是合运动。 (2)由于河的宽度是确定的，所以首先应确定渡河的速度，然后计算渡河的时间，再根据等时性分别研究两个分运动或合运动。 关键能力·规律方法 小船渡河问题的三种常见情况 情况 图示 说明 渡河时间最短 若要使小船渡河时间最短， 只要使小船在垂直于河岸方向上的分速度最大，即船头垂直于河岸，最短时间为tmin＝，此时渡河位移x＝ 渡河位移最短 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，合速度垂直于河岸，小船渡河位移最短，xmin＝d，此时渡河时间t＝ 当v水>v船时，如果船头方向(v船方向)与合速度方向垂直，小船渡河位移最短。由图知sin θ＝，最短渡河位移为xmin＝＝ 例题分析·考点题型 【例题1】（多选） 如图所示，小船视为质点从岸边点开始渡河，河两岸平行，河的宽度为，水流速度大小为，船在静水中的速度大小为，则(    ) A. 船不可能到达正对岸点 B. 船的最短过河时间为 C. 船要以最短路程过河，船头必须指向正对岸 D. 船以最短路程过河时的速率为 【变式训练1】（单选）前不久河北石家庄京津冀第五届澽沱河公开水域游泳挑战赛在叶子广场周边水域进行，比赛前某运动员练习时要匀速横渡一段宽的澽沱河，运动员在静水中的速度为，水流速度为，则(    ) A. 该运动员可能垂直河岸到达正对岸 B. 该运动员渡河的时间可能小于 C. 该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为 D. 该运动员以最短位移渡河时，位移大小为 【变式训练2】（单选）一艘汽艇在静水中速率为，一平直河流河宽为，水流自左向右流动，速率为。现在该汽艇分别按照甲、乙两种方式渡河，两种方式与河岸的夹角都是角，船头朝向如图所示，且甲种方式刚好可以垂直渡河到达河对岸的点。下列说法正确的是(    ) A. 两种方式渡河时间 B. 如果改变船头与河岸的夹角，汽艇的最短渡河时间等于 C. 如果河水流速增大，甲种方式不需要调整角度也可以到达点 D. 乙种方式到达河对岸时将偏离渡河垂直点距离为 题后反思·方法与技巧 (1)求解小船渡河问题，首先要明确水流速度、船在静水中的速度、合速度，根据题意可以用合成法作平行四边形，再根据运动的等时性求解问题。 (2)当船速不变时，求解渡河时间问题：①可以应用正交分解法，垂直河岸的分速度不变，河宽不变，渡河时间不变；②水速变化时，根据运动的独立性和等时性，河宽不变，渡河时间不变。　　　　 考点二　关联速度 必备知识·回顾梳理 1、“关联物体”问题 当绳（或杆）斜拉着物体或物体斜拉着绳（或杆）运动时，绳（或杆）两端连接的物体的速度不相同，但二者的速度有一定的关系，此类问题即为“关联物体”问题，如图所示。 2、“关联物体”的速度关系 因为绳（或杆）不可伸长，所以绳（或杆）两端所连物体的速度沿着绳（或杆）方向的分速度大小相同。 3、“关联物体”问题的处理方法——速度分解 （1）分解依据：物体的实际运动就是合运动。 （2）分解方法：把物体的实际速度分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或杆）的两个分量，根据沿绳（或杆）方向的分速度大小相同列方程求解。 4、常见的速度分解模型 情景图示 定量结论 v＝v∥＝v物cos θ vB＝v∥＝vAcos θ v∥＝v∥′ 即vAcos θ＝vBsin θ v∥＝v∥′即vBcos α＝vAcos β 5、三步法求解绳(杆)连接体的速度问题 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）如图所示，用一沿水平面运动的小车通过轻绳提升一滑块，滑块沿竖直杆上升，某一时刻，小车的速度大小，拴在小车上的绳子与水平方向的夹角，拴在滑块上的绳子与竖直方向的夹角。则此时滑块竖直上升的速度大小为(    ) A. B. C. D. 【变式训练1】（多选）曲轴连杆机构是燃油汽车发动机上的主要部件，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的圆周运动，从而驱动汽车车轮转动。其结构示意图如图所示，、和活塞运动在轨道在同一平面内，、、三处均为铰链式连接，活塞在水平方向往复运动通过连杆带动曲轴转动。若绕点做匀速圆周运动，则(    ) A. 曲轴和活塞运动周期相等 B. 活塞运动速度大小不变 C. 点和点的速度大小始终相等 D. 当与共线时，点的速度为零 【变式训练2】（单选）如图所示，绳子通过固定在天花板上的定滑轮，两端分别与同一水平面上的两物体连接，当两物体到达如图所示位置时，绳与水平面的夹角分别为、，两物体的速度大小分别为，已知、，则与之比为(    ) A. B. C. D. 考点三　运动的合成和分解图像问题 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示。若要以最短时间渡河，则(    ) A. 船渡河的最短时间是 B. 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C. 船在河水中航行的轨迹是一条直线 D. 船在河水中的最大速度是 【变式训练1】（单选）在一次高楼救援中，待援人员登上吊臂后，吊车操控员熟练操控吊篮在离开建筑的同时逐渐下降，已知吊篮在水平方向的图像和竖直方向的图像分别如图、图所示，则下列说法正确的是(    ) A. 吊篮在下降过程中做匀变速曲线运动 B. 吊篮在下降过程中竖直方向做匀变速直线运动 C. 吊篮内的人员在内处于超重状态 D. 时刻后吊篮内的人员受到静摩擦力作用 【变式训练2】（单选）.如图所示是杂技演员正在表演情景的简化图，杂技演员在水平方向的位移与时间关系如图所示，在竖直方向上的速度与时间关系如图所示，则 A. 杂技演员在做变加速运动 B. 杂技演员相对于地面的运动轨迹为直线 C. 内杂技演员的位移大小为 D. 末杂技演员的速度大小为 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.每当汛期临近，多地都会举行抗洪抢险应急演练。某次演练中，抢险志愿者驾驶冲锋舟到对岸救人，若冲锋舟到达正对岸的时间为，河宽为，冲锋舟在静水中的航行速度大小为，则河中的水流速度大小为(    ) A. B. C. D. 2.一小船要渡过一条两岸平行，宽为的河流，当船头朝向斜向上游与上游河岸的夹角为时，小船恰从点沿直线到达正对岸的点，如图所示。已知小船在静水中的速度为，河内各处水速相同且保持不变。，，小船的过河时间为(    ) A. B. C. D. 3.如图所示，一块橡皮用细线悬挂于点，用铅笔靠着线的左侧水平向右以速度匀速移动，运动中悬线始终竖直，则橡皮的速度大小为(    ) A. B. C. D. 4.影视作品中的武林高手展示轻功时都是吊威亚钢丝的。如图所示，轨道车通过细钢丝跨过滑轮拉着特技演员上升，便可呈现出演员飞檐走壁的效果。若不计滑轮摩擦和细钢丝质量。轨道车以速率匀速向右运动，当钢丝与水平面夹角为时，下列说法正确的是(    ) A. 特技演员上升的速度大小为 B. 特技演员上升的速度大小为 C. 特技演员处于失重状态 D. 钢丝拉力等于特技演员的重力 5.某款曲柄连杆结构的示意图如图所示。曲轴可绕固定的点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的点和活塞上的点，活塞沿水平方向运动。若某时刻，曲轴上的点的线速度大小为，曲轴和连杆垂直且连杆与水平方向的夹角为，则此时活塞的速度大小为(    ) A. B. C. D. 6.如图所示，一小球在光滑的水平面上以向右运动，运动中要穿过一段有水平向北的风带，经过风带时风会给小球一个向北的水平恒力，其余区域无风力，则小球过风带及过后的轨迹正确的是(    ) A. B. C. D. 7.某压缩机的工作原理如图所示，圆盘上的点与活塞上的点用长为的轻杆连接、处均通过铰链连接在轻杆两端，点与圆盘中心之间的距离为，当圆盘以角速度匀速转动时，轻杆带动活塞在汽缸内做往复运动来压缩和输送气体。下列说法正确的是(    ) A. 点做匀变速曲线运动 B. 点做匀变速直线运动 C. 当、、三点共线时，点的速率为 D. 当时，点的速率为 8.质量为的物体置于倾角为的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着与小车，与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率水平向右做匀速直线运动，当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角时如图所示，下列判断正确的是(    ) A. 绳的拉力等于 B. 绳的拉力小于 C. 的速率为 D. 的速率为 9.如图所示，物块套在倾斜杆上，并用轻绳绕过定滑轮与物块相连定滑轮体积大小可忽略，物块沿杆匀速依次经过、、三点，其中水平，垂直于杆，运动中连接、的轻绳始终保持绷紧状态，在下滑过程中，下列说法正确的是(    ) A. 物块的速率先变大后变小 B. 物块的速率先变小后变大 C. 物块始终处于失重状态 D. 物块先处于失重状态，后处于超重状态 10.一小船以相对于静水不变的速度向对岸驶去，船头始终垂直河岸．河水向右流动，并且距离河岸越远水流速度越大，下列描绘小船过河轨迹可能正确的是(    ) A. B. C. D.   11.如图甲是河水中的漩涡，漩涡边沿水的流速相对中心处的流速较慢，压强较大，从而形成压力差，导致周边物体易被“吸入”漩涡。如图乙所示的河道水流速度大小恒为，处的下游处有一个半径为的漩涡危险圆区，其与河岸相切于点，两点距离为。若一小船可视为质点从河岸的处沿直线到对岸，为了能避开危险区小船相对静水的最小速度为(    ) A. B. C. D. 二、计算题。 12.年月日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立周年，同时也纪念中国大运河申遗成功周年。已知小船在静水中的速度为，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为，水流速度为，方向与河岸平行，求： 欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？ 欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？ 若河水因涨水导致水流速度变为，小船在静水中的速度为不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？ 13.如图所示，一条小船位于宽的河正中点处，从这里向下游处有一危险区，当时水流速度为，   若小船在静水中速度为，小船到岸的最短时间是多少？ 若小船在静水中速度为，小船以最短的位移到岸，小船船头与河岸夹角及所用时间？ 为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是？ 14.如图所示，质量都为的两个物体、，用轻绳跨过定滑轮相连接，在水平力作用下，物体沿水平地面向右运动，物体恰以速度匀速上升，已知物体与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为。当物体运动到使斜绳与水平方向成时。已知，求： 物体所受摩擦力的大小； 物体的速度大小。 15.在平面直角坐标系中，质点在平面内从点开始运动，在方向的位移时间图像与方向的速度时间图像分别如图甲、乙所示。求： 求时，质点的速度大小； 质点的轨迹方程。 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 第03课时　小船渡河与关联速度及图像问题 1 考点一　小船渡河 1 考点二　关联速度 4 考点三　运动的合成和分解图像问题 7 巩固训练·提升能力 9 第03课时　小船渡河与关联速度及图像问题 考点一　小船渡河 例题分析·考点题型 【例题1】（多选） 如图所示，小船视为质点从岸边点开始渡河，河两岸平行，河的宽度为，水流速度大小为，船在静水中的速度大小为，则(    ) A. 船不可能到达正对岸点 B. 船的最短过河时间为 C. 船要以最短路程过河，船头必须指向正对岸 D. 船以最短路程过河时的速率为 【变式训练1】（单选）前不久河北石家庄京津冀第五届澽沱河公开水域游泳挑战赛在叶子广场周边水域进行，比赛前某运动员练习时要匀速横渡一段宽的澽沱河，运动员在静水中的速度为，水流速度为，则(    ) A. 该运动员可能垂直河岸到达正对岸 B. 该运动员渡河的时间可能小于 C. 该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为 D. 该运动员以最短位移渡河时，位移大小为 【变式训练2】（单选）一艘汽艇在静水中速率为，一平直河流河宽为，水流自左向右流动，速率为。现在该汽艇分别按照甲、乙两种方式渡河，两种方式与河岸的夹角都是角，船头朝向如图所示，且甲种方式刚好可以垂直渡河到达河对岸的点。下列说法正确的是(    ) A. 两种方式渡河时间 B. 如果改变船头与河岸的夹角，汽艇的最短渡河时间等于 C. 如果河水流速增大，甲种方式不需要调整角度也可以到达点 D. 乙种方式到达河对岸时将偏离渡河垂直点距离为 考点二　关联速度 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）如图所示，用一沿水平面运动的小车通过轻绳提升一滑块，滑块沿竖直杆上升，某一时刻，小车的速度大小，拴在小车上的绳子与水平方向的夹角，拴在滑块上的绳子与竖直方向的夹角。则此时滑块竖直上升的速度大小为(    ) A. B. C. D. 【变式训练1】（多选）曲轴连杆机构是燃油汽车发动机上的主要部件，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的圆周运动，从而驱动汽车车轮转动。其结构示意图如图所示，、和活塞运动在轨道在同一平面内，、、三处均为铰链式连接，活塞在水平方向往复运动通过连杆带动曲轴转动。若绕点做匀速圆周运动，则(    ) A. 曲轴和活塞运动周期相等 B. 活塞运动速度大小不变 C. 点和点的速度大小始终相等 D. 当与共线时，点的速度为零 【变式训练2】（单选）如图所示，绳子通过固定在天花板上的定滑轮，两端分别与同一水平面上的两物体连接，当两物体到达如图所示位置时，绳与水平面的夹角分别为、，两物体的速度大小分别为，已知、，则与之比为(    ) A. B. C. D. 考点三　运动的合成和分解图像问题 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示。若要以最短时间渡河，则(    ) A. 船渡河的最短时间是 B. 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C. 船在河水中航行的轨迹是一条直线 D. 船在河水中的最大速度是 【变式训练1】（单选）在一次高楼救援中，待援人员登上吊臂后，吊车操控员熟练操控吊篮在离开建筑的同时逐渐下降，已知吊篮在水平方向的图像和竖直方向的图像分别如图、图所示，则下列说法正确的是(    ) A. 吊篮在下降过程中做匀变速曲线运动 B. 吊篮在下降过程中竖直方向做匀变速直线运动 C. 吊篮内的人员在内处于超重状态 D. 时刻后吊篮内的人员受到静摩擦力作用 【变式训练2】（单选）.如图所示是杂技演员正在表演情景的简化图，杂技演员在水平方向的位移与时间关系如图所示，在竖直方向上的速度与时间关系如图所示，则 A. 杂技演员在做变加速运动 B. 杂技演员相对于地面的运动轨迹为直线 C. 内杂技演员的位移大小为 D. 末杂技演员的速度大小为 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.每当汛期临近，多地都会举行抗洪抢险应急演练。某次演练中，抢险志愿者驾驶冲锋舟到对岸救人，若冲锋舟到达正对岸的时间为，河宽为，冲锋舟在静水中的航行速度大小为，则河中的水流速度大小为(    ) A. B. C. D. 2.一小船要渡过一条两岸平行，宽为的河流，当船头朝向斜向上游与上游河岸的夹角为时，小船恰从点沿直线到达正对岸的点，如图所示。已知小船在静水中的速度为，河内各处水速相同且保持不变。，，小船的过河时间为(    ) A. B. C. D. 3.如图所示，一块橡皮用细线悬挂于点，用铅笔靠着线的左侧水平向右以速度匀速移动，运动中悬线始终竖直，则橡皮的速度大小为(    ) A. B. C. D. 4.影视作品中的武林高手展示轻功时都是吊威亚钢丝的。如图所示，轨道车通过细钢丝跨过滑轮拉着特技演员上升，便可呈现出演员飞檐走壁的效果。若不计滑轮摩擦和细钢丝质量。轨道车以速率匀速向右运动，当钢丝与水平面夹角为时，下列说法正确的是(    ) A. 特技演员上升的速度大小为 B. 特技演员上升的速度大小为 C. 特技演员处于失重状态 D. 钢丝拉力等于特技演员的重力 5.某款曲柄连杆结构的示意图如图所示。曲轴可绕固定的点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的点和活塞上的点，活塞沿水平方向运动。若某时刻，曲轴上的点的线速度大小为，曲轴和连杆垂直且连杆与水平方向的夹角为，则此时活塞的速度大小为(    ) A. B. C. D. 6.如图所示，一小球在光滑的水平面上以向右运动，运动中要穿过一段有水平向北的风带，经过风带时风会给小球一个向北的水平恒力，其余区域无风力，则小球过风带及过后的轨迹正确的是(    ) A. B. C. D. 7.某压缩机的工作原理如图所示，圆盘上的点与活塞上的点用长为的轻杆连接、处均通过铰链连接在轻杆两端，点与圆盘中心之间的距离为，当圆盘以角速度匀速转动时，轻杆带动活塞在汽缸内做往复运动来压缩和输送气体。下列说法正确的是(    ) A. 点做匀变速曲线运动 B. 点做匀变速直线运动 C. 当、、三点共线时，点的速率为 D. 当时，点的速率为 8.质量为的物体置于倾角为的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着与小车，与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率水平向右做匀速直线运动，当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角时如图所示，下列判断正确的是(    ) A. 绳的拉力等于 B. 绳的拉力小于 C. 的速率为 D. 的速率为 9.如图所示，物块套在倾斜杆上，并用轻绳绕过定滑轮与物块相连定滑轮体积大小可忽略，物块沿杆匀速依次经过、、三点，其中水平，垂直于杆，运动中连接、的轻绳始终保持绷紧状态，在下滑过程中，下列说法正确的是(    ) A. 物块的速率先变大后变小 B. 物块的速率先变小后变大 C. 物块始终处于失重状态 D. 物块先处于失重状态，后处于超重状态 10.一小船以相对于静水不变的速度向对岸驶去，船头始终垂直河岸．河水向右流动，并且距离河岸越远水流速度越大，下列描绘小船过河轨迹可能正确的是(    ) A. B. C. D.   11.如图甲是河水中的漩涡，漩涡边沿水的流速相对中心处的流速较慢，压强较大，从而形成压力差，导致周边物体易被“吸入”漩涡。如图乙所示的河道水流速度大小恒为，处的下游处有一个半径为的漩涡危险圆区，其与河岸相切于点，两点距离为。若一小船可视为质点从河岸的处沿直线到对岸，为了能避开危险区小船相对静水的最小速度为(    ) A. B. C. D. 二、计算题。 12.年月日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立周年，同时也纪念中国大运河申遗成功周年。已知小船在静水中的速度为，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为，水流速度为，方向与河岸平行，求： 欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？ 欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？ 若河水因涨水导致水流速度变为，小船在静水中的速度为不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？ 13.如图所示，一条小船位于宽的河正中点处，从这里向下游处有一危险区，当时水流速度为，   若小船在静水中速度为，小船到岸的最短时间是多少？ 若小船在静水中速度为，小船以最短的位移到岸，小船船头与河岸夹角及所用时间？ 为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是？ 14.如图所示，质量都为的两个物体、，用轻绳跨过定滑轮相连接，在水平力作用下，物体沿水平地面向右运动，物体恰以速度匀速上升，已知物体与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为。当物体运动到使斜绳与水平方向成时。已知，求： 物体所受摩擦力的大小； 物体的速度大小。 15.在平面直角坐标系中，质点在平面内从点开始运动，在方向的位移时间图像与方向的速度时间图像分别如图甲、乙所示。求： 求时，质点的速度大小； 质点的轨迹方程。 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 第03课时　小船渡河与关联速度及图像问题 1 考点一　小船渡河 1 考点二　关联速度 4 考点三　运动的合成和分解图像问题 7 巩固训练·提升能力 9 第03课时　小船渡河与关联速度及图像问题 考点一　小船渡河 必备知识·回顾梳理 1.模型概念： （1）将船实际的运动看成船在静水中的运动和船随水流的运动的合运动。 （2）分清三个速度①分速度v水：水流的速度；②分速度v船：船在静水中的速度；③合速度v：表示船实际航行的速度。 2.处理方法 (1)小船渡河时实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(船在静水中的运动，运动方向为船头朝向的方向)，船的实际运动是合运动。 (2)由于河的宽度是确定的，所以首先应确定渡河的速度，然后计算渡河的时间，再根据等时性分别研究两个分运动或合运动。 关键能力·规律方法 小船渡河问题的三种常见情况 情况 图示 说明 渡河时间最短 若要使小船渡河时间最短， 只要使小船在垂直于河岸方向上的分速度最大，即船头垂直于河岸，最短时间为tmin＝，此时渡河位移x＝ 渡河位移最短 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，合速度垂直于河岸，小船渡河位移最短，xmin＝d，此时渡河时间t＝ 当v水>v船时，如果船头方向(v船方向)与合速度方向垂直，小船渡河位移最短。由图知sin θ＝，最短渡河位移为xmin＝＝ 例题分析·考点题型 【例题1】（多选） 如图所示，小船视为质点从岸边点开始渡河，河两岸平行，河的宽度为，水流速度大小为，船在静水中的速度大小为，则(    ) A. 船不可能到达正对岸点 B. 船的最短过河时间为 C. 船要以最短路程过河，船头必须指向正对岸 D. 船以最短路程过河时的速率为 【答案】BD  【解析】由于船在静水中的速度大于水流的速度，当速度满足如图所示关系时，船垂直河岸过河，此时为最短路程过河，过河时的速率为，故A、C错误，D正确 船头垂直河岸过河时，时间最短，则有，故B正确。 【变式训练1】（单选）前不久河北石家庄京津冀第五届澽沱河公开水域游泳挑战赛在叶子广场周边水域进行，比赛前某运动员练习时要匀速横渡一段宽的澽沱河，运动员在静水中的速度为，水流速度为，则(    ) A. 该运动员可能垂直河岸到达正对岸 B. 该运动员渡河的时间可能小于 C. 该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为 D. 该运动员以最短位移渡河时，位移大小为 【答案】D  【解析】A.因为运动员在静水中的速度小于水流速度，合速度方向不可能垂直河岸，该运动员不可能垂直河岸到达正对岸，故A错误； B.运动员在静水中的速度始终垂直河岸时渡河时间最短，最短渡河时间，即该运动员渡河的时间不可能小于，故B错误； C.该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小，故C错误； D.如图所示： ， 由三角形的相似得最短位移大小为，故D正确。 【变式训练2】（单选）一艘汽艇在静水中速率为，一平直河流河宽为，水流自左向右流动，速率为。现在该汽艇分别按照甲、乙两种方式渡河，两种方式与河岸的夹角都是角，船头朝向如图所示，且甲种方式刚好可以垂直渡河到达河对岸的点。下列说法正确的是(    ) A. 两种方式渡河时间 B. 如果改变船头与河岸的夹角，汽艇的最短渡河时间等于 C. 如果河水流速增大，甲种方式不需要调整角度也可以到达点 D. 乙种方式到达河对岸时将偏离渡河垂直点距离为 【答案】D  【解析】A.将汽艇的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，根据分运动和合运动具有等时性，可知甲、乙两船到达对岸的时间均为，故两种方式渡河时间相同，，故A错误 B.如果改变船头与河岸的夹角，当船头垂直河岸渡河时，汽艇的渡河时间最短，等于，故B错误； C.水流速率为，且甲种方式恰好垂直渡河到达小河正对岸的点，则，故如果河水流速增大，要使汽艇按着甲种方式到达点，则船头与河岸夹角应减小，故 C错误； D.乙种方式到达河对岸时将偏离渡河垂直点距离，故D正确。 故选D。 题后反思·方法与技巧 (1)求解小船渡河问题，首先要明确水流速度、船在静水中的速度、合速度，根据题意可以用合成法作平行四边形，再根据运动的等时性求解问题。 (2)当船速不变时，求解渡河时间问题：①可以应用正交分解法，垂直河岸的分速度不变，河宽不变，渡河时间不变；②水速变化时，根据运动的独立性和等时性，河宽不变，渡河时间不变。　　　　 考点二　关联速度 必备知识·回顾梳理 1、“关联物体”问题 当绳（或杆）斜拉着物体或物体斜拉着绳（或杆）运动时，绳（或杆）两端连接的物体的速度不相同，但二者的速度有一定的关系，此类问题即为“关联物体”问题，如图所示。 2、“关联物体”的速度关系 因为绳（或杆）不可伸长，所以绳（或杆）两端所连物体的速度沿着绳（或杆）方向的分速度大小相同。 3、“关联物体”问题的处理方法——速度分解 （1）分解依据：物体的实际运动就是合运动。 （2）分解方法：把物体的实际速度分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或杆）的两个分量，根据沿绳（或杆）方向的分速度大小相同列方程求解。 4、常见的速度分解模型 情景图示 定量结论 v＝v∥＝v物cos θ vB＝v∥＝vAcos θ v∥＝v∥′ 即vAcos θ＝vBsin θ v∥＝v∥′即vBcos α＝vAcos β 5、三步法求解绳(杆)连接体的速度问题 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）如图所示，用一沿水平面运动的小车通过轻绳提升一滑块，滑块沿竖直杆上升，某一时刻，小车的速度大小，拴在小车上的绳子与水平方向的夹角，拴在滑块上的绳子与竖直方向的夹角。则此时滑块竖直上升的速度大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】将两个物体的速度分解，如图所示： ， 设此时滑块竖直上升的速度大小为， 由速度的分解知识可知：，解得：，故C正确，ABD错误。 【变式训练1】（多选）曲轴连杆机构是燃油汽车发动机上的主要部件，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的圆周运动，从而驱动汽车车轮转动。其结构示意图如图所示，、和活塞运动在轨道在同一平面内，、、三处均为铰链式连接，活塞在水平方向往复运动通过连杆带动曲轴转动。若绕点做匀速圆周运动，则(    ) A. 曲轴和活塞运动周期相等 B. 活塞运动速度大小不变 C. 点和点的速度大小始终相等 D. 当与共线时，点的速度为零 【答案】AD  【解析】A.根据图示可知，曲轴运动一周时，活塞恰好完成一次往返过程，即曲轴和活塞运动周期相等，故A正确； B.点线速度沿圆周切线方向，令其方向与杆之间夹角为，点速度等于活塞的速度，方向沿水平，令其方向与杆之间夹角为，则有， 解得， 转动过程，与并不是始终相等，可知活塞运动速度大小发生变化，故 B错误； C.根据上述可知，只有当点运动至圆周的最高点与最低点位置与才相等，此时点和点的速度大小始终相等，点在其它位置时，与不相等，点和点的速度大小不相等，即点和点的速度大小并不是始终相等，故C错误； D.当与共线时，有，， 根据上述有， 即当与共线时，点的速度为零，故D正确。 故选AD。 【变式训练2】（单选）如图所示，绳子通过固定在天花板上的定滑轮，两端分别与同一水平面上的两物体连接，当两物体到达如图所示位置时，绳与水平面的夹角分别为、，两物体的速度大小分别为，已知、，则与之比为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】将、的速度分别沿绳的方向和垂直绳的方向分解，可得，，物体、沿绳方向的分速度大小相等，解得，故A正确，BCD错误。 考点三　运动的合成和分解图像问题 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示。若要以最短时间渡河，则(    ) A. 船渡河的最短时间是 B. 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C. 船在河水中航行的轨迹是一条直线 D. 船在河水中的最大速度是 【答案】B  【解答】A.当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，由图可知河宽为，，故A错误； B.船的合运动时间等于各个分运动的时间，沿船头方向分运动时间为，当最小时，最小，当船头与河岸垂直时，有最小值，等于河宽，故要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直，故B正确； C.由于随水流方向的分速度不断变化，故合速度的大小和方向也不断变化，船做曲线运动，故C错误； D.当水流速最大时，船的速度最大，，故D错误。 故选B。 【变式训练1】（单选）在一次高楼救援中，待援人员登上吊臂后，吊车操控员熟练操控吊篮在离开建筑的同时逐渐下降，已知吊篮在水平方向的图像和竖直方向的图像分别如图、图所示，则下列说法正确的是(    ) A. 吊篮在下降过程中做匀变速曲线运动 B. 吊篮在下降过程中竖直方向做匀变速直线运动 C. 吊篮内的人员在内处于超重状态 D. 时刻后吊篮内的人员受到静摩擦力作用 【答案】C  【解析】吊篮在下降过程中，水平方向上做匀速直线运动，竖直方向先做匀加速运动后做匀减速运动，因加速度发生了变化，则合运动不是做匀变速曲线运动，选项AB错误； C.吊篮内的人员在  内加速度竖直向上，处于超重状态，选项C正确； D.  时刻后吊篮内的人员因水平方向做匀速运动，可知不受静摩擦力作用，选项D错误。 故选C。 【变式训练2】（单选）.如图所示是杂技演员正在表演情景的简化图，杂技演员在水平方向的位移与时间关系如图所示，在竖直方向上的速度与时间关系如图所示，则 A. 杂技演员在做变加速运动 B. 杂技演员相对于地面的运动轨迹为直线 C. 内杂技演员的位移大小为 D. 末杂技演员的速度大小为 【答案】D  【解答】由题目可知杂技演员在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做初速度为的匀加速直线运动，根据运动的合成规律可知，运动轨迹为抛物线，只有竖直方向有加速度，且加速度不变，、选项错误 C.内杂技演员水平方向位移为，竖直方向位移也是，所以内杂技演员合位移为，选项错误 D.末杂技演员的水平速度为，竖直方向上速度为，根据速度合成规律，合速度为，选项正确。 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.每当汛期临近，多地都会举行抗洪抢险应急演练。某次演练中，抢险志愿者驾驶冲锋舟到对岸救人，若冲锋舟到达正对岸的时间为，河宽为，冲锋舟在静水中的航行速度大小为，则河中的水流速度大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】冲锋舟在水中的合速度为， 则水流的速度，故选C项。 2.一小船要渡过一条两岸平行，宽为的河流，当船头朝向斜向上游与上游河岸的夹角为时，小船恰从点沿直线到达正对岸的点，如图所示。已知小船在静水中的速度为，河内各处水速相同且保持不变。，，小船的过河时间为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】船头与河岸的夹角为时，小船渡河的时间：，故B正确，ACD错误； 故选：。 3.如图所示，一块橡皮用细线悬挂于点，用铅笔靠着线的左侧水平向右以速度匀速移动，运动中悬线始终竖直，则橡皮的速度大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据题意可知，橡皮的运动同时参与两个分运动：水平向右速度大小为的匀速运动和竖直向上速度大小为的匀速运动，根据平行四边形定则可知，橡皮的合速度大小为。故B正确。 4.影视作品中的武林高手展示轻功时都是吊威亚钢丝的。如图所示，轨道车通过细钢丝跨过滑轮拉着特技演员上升，便可呈现出演员飞檐走壁的效果。若不计滑轮摩擦和细钢丝质量。轨道车以速率匀速向右运动，当钢丝与水平面夹角为时，下列说法正确的是(    ) A. 特技演员上升的速度大小为 B. 特技演员上升的速度大小为 C. 特技演员处于失重状态 D. 钢丝拉力等于特技演员的重力 【答案】A  【解析】钢丝与水平方向夹角为，当轨道车匀速运动时，特技演员的速度为，则减小，速度在增加；加速度向上，所以特技演员处于超重状态，细钢丝拉力大于特技演员重力，故A正确，BCD错误。 故选A。 5.某款曲柄连杆结构的示意图如图所示。曲轴可绕固定的点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的点和活塞上的点，活塞沿水平方向运动。若某时刻，曲轴上的点的线速度大小为，曲轴和连杆垂直且连杆与水平方向的夹角为，则此时活塞的速度大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】与垂直时，点的速度沿杆方向，，解得，故A正确，BCD错误。 6.如图所示，一小球在光滑的水平面上以向右运动，运动中要穿过一段有水平向北的风带，经过风带时风会给小球一个向北的水平恒力，其余区域无风力，则小球过风带及过后的轨迹正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解答】小球在光滑的水平面上以向右运动，给小球一个向北的水平恒力，运动轨迹与初速度方向相切，偏向加速度的方向，小球过风带后不受力，小球沿轨迹切线方向运动，故D正确，ABC错误。 故选：。 7.某压缩机的工作原理如图所示，圆盘上的点与活塞上的点用长为的轻杆连接、处均通过铰链连接在轻杆两端，点与圆盘中心之间的距离为，当圆盘以角速度匀速转动时，轻杆带动活塞在汽缸内做往复运动来压缩和输送气体。下列说法正确的是(    ) A. 点做匀变速曲线运动 B. 点做匀变速直线运动 C. 当、、三点共线时，点的速率为 D. 当时，点的速率为 【答案】D  【解析】点加速度的方向时刻在变，点做非匀变速曲线运动，选项A错误 点加速度的大小和方向均会变，点做非匀变速直线运动，选项B错误 当、、三点共线时，点的速率为零，选项C错误 如图所示， 由正弦定理得，所以。又，由关联速度关系得，解得，选项D正确。 8.质量为的物体置于倾角为的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着与小车，与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率水平向右做匀速直线运动，当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角时如图所示，下列判断正确的是(    ) A. 绳的拉力等于 B. 绳的拉力小于 C. 的速率为 D. 的速率为 【答案】C  【解析】将小车的速度分解为沿绳子方向的速度和垂直绳子方向的速度，如图所示。小车沿绳方向的速度等于的速度，即 ，小车向右做匀速直线运动，不变，减小， 增大，则增大，则做加速运动，对物体根据牛顿第二定律可知 ，可知绳的拉力大于 。故选C。 9.如图所示，物块套在倾斜杆上，并用轻绳绕过定滑轮与物块相连定滑轮体积大小可忽略，物块沿杆匀速依次经过、、三点，其中水平，垂直于杆，运动中连接、的轻绳始终保持绷紧状态，在下滑过程中，下列说法正确的是(    ) A. 物块的速率先变大后变小 B. 物块的速率先变小后变大 C. 物块始终处于失重状态 D. 物块先处于失重状态，后处于超重状态 【答案】B  【解析】将的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图。    根据平行四边形定则，沿绳子方向的速度为，可知在增大到的过程中，的速度方向向下，且逐渐减小；由图可知，当到达点时，与滑轮之间的距离最短，，的速度等于，随后向上运动，且速度增大，所以在沿杆由点匀速下滑到点的过程中，的速度先向下减小，然后向上增大，故A错误，B正确；  物体向下做减速运动和向上做加速运动的过程中，加速度的方向都向上，所以始终处于超重状态，故CD错误。  故选B。 10.一小船以相对于静水不变的速度向对岸驶去，船头始终垂直河岸．河水向右流动，并且距离河岸越远水流速度越大，下列描绘小船过河轨迹可能正确的是(    ) A. B. C. D.   【答案】C  【解答】船在垂直河岸的方向上是匀速直线运动，即在相同的时间间隔内，在垂直河岸方向上的位移是相同的； 距离河岸越远水流速度越大，则在沿河岸的方向上，在相等的时间间隔内参照船在垂直河岸方向上的时间，开始时位移较小，后逐渐增大再逐渐减小，所以合速度先向沿河岸方向偏转再向垂直河岸方向偏转。 故C正确，ABD错误。 故选：。 11.如图甲是河水中的漩涡，漩涡边沿水的流速相对中心处的流速较慢，压强较大，从而形成压力差，导致周边物体易被“吸入”漩涡。如图乙所示的河道水流速度大小恒为，处的下游处有一个半径为的漩涡危险圆区，其与河岸相切于点，两点距离为。若一小船可视为质点从河岸的处沿直线到对岸，为了能避开危险区小船相对静水的最小速度为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】小船速度最小且避开危险区沿直线运动到对岸时，合速度方向恰好与危险区相切，如图所示 由于水流速不变，合速度与危险区相切，小船相对静水的速度为船速矢量末端到合速度上任一点的连线，可知当小船相对静水的速度与合速度垂直时速度最小，根据题意得 解得 小船相对静水的速度最小值为 解得。 故选B。 二、计算题。 12.年月日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立周年，同时也纪念中国大运河申遗成功周年。已知小船在静水中的速度为，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为，水流速度为，方向与河岸平行，求： 欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？ 欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？ 若河水因涨水导致水流速度变为，小船在静水中的速度为不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？ 【答案】解：当船以静水中的速度垂直河岸过河时，渡河时间最短，如下图所示 最短时间为 这时小船的合速度为 此种情况下小船过河的位移为 船在静水的速度大于水流速度，那么最短位移为河宽，如图所示这种情况下， 小船的合速度为 当过河位移最短时过河的时间为 若水流速度为，则，此种情况下过河如图所示当船头方向即方向与合速度方向垂直时，渡河位移最短，大小为 这种情况下，小船的合速度为 过河时间为。   13.如图所示，一条小船位于宽的河正中点处，从这里向下游处有一危险区，当时水流速度为，   若小船在静水中速度为，小船到岸的最短时间是多少？ 若小船在静水中速度为，小船以最短的位移到岸，小船船头与河岸夹角及所用时间？ 为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是？ 【答案】解：当船头方向垂直河岸时，则渡河时间最短，则最短时间为： ； 当船的合速度垂直河岸时，船过河的位移最小，当小船以最短的位移到岸时，则有： ， 解得： 而， 解得： 小船避开危险区沿直线到达对岸，合速度与水流速度的夹角为， 即有 小船在河水中运动时，运动速度合成如下图所示， 当小船在静水中的速度与合速度垂直时，小船在静水中的速度最小，最小速度为：   14.如图所示，质量都为的两个物体、，用轻绳跨过定滑轮相连接，在水平力作用下，物体沿水平地面向右运动，物体恰以速度匀速上升，已知物体与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为。当物体运动到使斜绳与水平方向成时。已知，求： 物体所受摩擦力的大小； 物体的速度大小。 【答案】物体匀速运动可得 当斜绳与水平方向成角时， 解得； 如图根据平行四边形定则，将物体的速度沿绳子方向和垂直绳子方向进行分别有 解得物体的速度大小。 15.在平面直角坐标系中，质点在平面内从点开始运动，在方向的位移时间图像与方向的速度时间图像分别如图甲、乙所示。求： 求时，质点的速度大小； 质点的轨迹方程。 【答案】根据图甲可知，质点方向做匀速直线运动，速度为 根据图乙可知，质点方向做匀加速直线运动，加速度为 根据速度公式有 则时，质点的速度 解得 结合上述有 ，  解得轨迹方程为 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $