精品解析：广东省东莞松山湖未来学校2025-2026学年高二上学期第一次段考数学试题

东莞松山湖未来学校2025－2026学年第一学期第一次段考 高二数学 命题人：叶静 审题人；张秀坤 满分150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题将答案写在答题卡上相应位置，写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若方程表示圆，则实数的值可以为（ ） A. 29 B. 25 C. 16 D. 41 2. 已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A. B. C. D. 3. 在正方体中，是棱的中点，是的中点，是上的一点且，则异面直线与所成的角为 A. B. C. D. 4. 已知直线l：，圆C：，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 4 5. 直线 和无公共点，则a的值为（ ） A. －1或2 B. 0或3 C. －1或0 D. －1或3 6. 如图，在正三棱柱中，若，则在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 7. 已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知动点与两个定点，的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，已知、为圆上两动点，点，且，为中点，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆内 B. C. 点的轨迹方程为 D. 的最大值为 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若直线倾斜角，则直线的斜率不存在或斜率的取值范围是 B. 直线恒过定点 C. 若直线与互相垂直，则 D. 若直线与平行，则与的距离为 11. 如图，在正四棱柱中，，P是正四棱柱内一点（含表面），且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则点在平面内 B. 若，，则平面 C. 若，则平面 D. 若，则点P到平面的距离为定值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 圆与圆的公共弦长为________. 13. 已知，，，则点到直线的距离为_____. 14. 在棱长为1的正方体中，点P是对角线的动点（点P与不重合），则下列结论正确的有___________. ①存在点P，使得平面平面； ②存在点P，使得平面； ③分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意的点P都有； ④对任意的点P，的面积都不等于. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线的方程为，若在x轴上的截距为，且． （1）求直线与的交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求的方程． 16. 已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动. （1）求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程. 17. 已知直三棱柱如图所示，其中，，点D在线段上（不含端点位置）. （1）若，求点到平面的距离； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知圆，圆心C在直线上，且被直线截得弦长为. （1）求圆的方程； （2）若，点，过A作两条直线，，且满足，直线交圆C于M，N两点，直线交圆C于P，Q两点，求四边形面积的最大值. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，为中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞松山湖未来学校2025－2026学年第一学期第一次段考 高二数学 命题人：叶静 审题人；张秀坤 满分150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题将答案写在答题卡上相应位置，写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若方程表示圆，则实数的值可以为（ ） A. 29 B. 25 C. 16 D. 41 【答案】C 【解析】 【分析】将方程转化为，由求解. 【详解】方程，即， 若方程表示圆，则，解得， 检验四个选项，只有C选项满足. 故选：C. 2. 已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的基底性质——基底向量由三个不共面的非零向量构成，即不共线，以此作为判断依据. 【详解】对于A. ,故A错误； 对于B. 不共面，故B正确； 对于C. ,故C错误 对于D. ,故D错误 故选:B 3. 在正方体中，是棱的中点，是的中点，是上的一点且，则异面直线与所成的角为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】以为轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为，则,,异面直线与所成的角为，故选D. 4. 已知直线l：，圆C：，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由数形结合结合点线距离即可求 【详解】由题意得，，则点C到直线l的距离为， 圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，则如图所示，直线l交圆于A、B垂直半径于，. 故，故. 故选：B 5. 直线 和无公共点，则a的值为（ ） A. －1或2 B. 0或3 C. －1或0 D. －1或3 【答案】C 【解析】 【分析】两直线无公共点，由两直线平行求解. 【详解】当时，这两条直线分别为和，无公共点. 当时，， 解得. 综上，或. 故选：C 6. 如图，在正三棱柱中，若，则在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正三棱柱特点，选择基向量，分别表示出和，根据数量积得到投影向量. 【详解】在正三棱柱中，向量不共面， ，， 令，则，而，， 于是， 因此，在上的投影向量为， 故选：B. 7. 已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可求出. 【详解】因，，，则斜率，， 如图所示， 直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，所以此时； 从转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A. 8. 已知动点与两个定点，的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直接法求点的轨迹，过点作圆的切线，连接，利用对称即可得出直线的斜率范围 【详解】设动点，则，化简得， 所以点的轨迹为圆， 如图，过点作圆的切线，连接，则，， 所以，同理，则直线的斜率范围为 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，已知、为圆上两动点，点，且，为中点，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆内 B. C. 点的轨迹方程为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A由得到；B由垂径定理知；C先得到，令，则，即可得；D确定轨迹是以为圆心，为半径的圆，故，所以. 【详解】A．由，则点在圆内，正确. B．因为为弦的中点，由垂径定理知，正确. C．由得且， 令，则，整理得，错误. D．点的轨迹方程化为，即轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故，又，即在圆内， 故，而，所以，正确. 故选：ABD 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若直线倾斜角，则直线的斜率不存在或斜率的取值范围是 B. 直线恒过定点 C. 若直线与互相垂直，则 D. 若直线与平行，则与的距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A由即可求解，对于B将直线整理为即可求解，对于C由得即可求解，对于D先求，再利用两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】对于A：当时，直线的斜率不存在， 当时，由斜率，，故A正确； 对于B：由直线得， 令有解得，即定点为，故B错误； 对于C：直线与互相垂直， 则解得或，故C错误； 对于D：由有，所以与的距离为，故D正确； 故选：AD. 11. 如图，在正四棱柱中，，P是正四棱柱内一点（含表面），且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则点在平面内 B. 若，，则平面 C. 若，则平面 D. 若，则点P到平面的距离为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系，对于A，确定点坐标，即可判断，对于B，确定点坐标，由，可判断，对于C，确定点坐标，求得平面法向量，由可判断，对于D，由点到面的距离公式可判断. 【详解】 如图建立空间直角坐标系， ， 由可得：， 对于A，，即为的中点，所以点P在平面内，正确， 对于B，，则，， 由， 可知：，又为平面两条相交直线， 所以平面，正确， 对于C，， 设为平面的法向量， 则， 令，则， 即 又， 所以与不垂直， 所以平面不成立，错误； 对于D，，平面的法向量为， 所以点P到平面的距离为， 因为，所以，定值，正确， 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 圆与圆的公共弦长为________. 【答案】 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合勾股定理求出弦长. 【详解】法1，两圆与圆均过点，，弦长为. 法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程， 圆的圆心到直线的距离， 故公共弦长为. 故答案为：. 13. 已知，，，则点到直线的距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求向量，的坐标，再求在的投影，再由勾股定理即可求解. 【详解】解：,, 在的投影为， 点到直线的距离为, 故答案为：. 14. 在棱长为1的正方体中，点P是对角线的动点（点P与不重合），则下列结论正确的有___________. ①存在点P，使得平面平面； ②存在点P，使得平面； ③分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意的点P都有； ④对任意的点P，的面积都不等于. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】当为直线与平面的交点时，根据面面平行的判定定理即可判断①正确；当为直线与平面的交点时，根据线面垂直的判定定理即可判断②；计算出的条件即可判断③；求出△的面积的最小值即可判断④. 【详解】对于①，如图，因为， 所以平面平面， 当直线交平面于点时，有平面平面，故①正确； 对于②，如图，设正方体的棱长为2，则，， 则， 有，，所以，， 又平面，所以平面， 当直线交平面于点时，有平面，故②正确； 对于③，因为设（其中）， 则△在平面的正投影面积为， 又△在平面上的正投影图形的面积与在平面的正投影图形面积相等， 所以， 若，则，解得或， 因为，所以，故存在点，使得；故③错误； 对于④，由于固定不变，只要找上的点到的距离最短即可， 取中点，连接， 由②的分析可证得平面，由平面得； 又平面，平面，所以， 所以为直线与的公垂线，此时△的面积最小； 因为在正方体中，易知， 又，所以， 因此，； 所以对任意点，△的面积都不等于,故④正确. 故答案为：①②④ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线的方程为，若在x轴上的截距为，且． （1）求直线与的交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件求出的方程，与联立解方程组； （2）讨论过原点与不过原点，设直线方程将点代入求解. 【小问1详解】 因为，直线的方程为， 设的方程为，因为在x轴上的截距为， 所以，，即：． 联立得 所以直线与的交点坐标为． 【小问2详解】 因为在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍， 故当过原点时，的方程为． 当不过原点时，设的方程为， 又直线经过与的交点，所以，得， 所以的方程为． 综上，的方程为或． 16. 已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动. （1）求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程. 【答案】（1），的轨迹是以为圆心，半径为1的圆. （2）. 【解析】 【分析】（1）设中点为，且，根据中点公式，求得，将其代入圆的方程，即可求解； （2）当直线斜率不存在时，得到直线方程，结合圆的弦长公式，不满足题意；当直线斜率存在时，设方程为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由圆，可得圆心为，半径长为2， 设线段中点为，且， 因为点的坐标是，且是线段的中点， 可得，解得， 因为点在圆上上运动，即， 所以，所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆. 【小问2详解】 解：当直线的斜率不存在时，过点的直线方程为， 则圆心到的距离为，所以弦长为，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即 因为过点的直线被曲线截得的弦长为， 设圆心到直线的距离为，可得，解得， 则，解得，所以直线的方程为. 17. 已知直三棱柱如图所示，其中，，点D在线段上（不含端点位置）. （1）若，求点到平面的距离； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等体积法，借助求解即可； （2）先建系设动点的坐标，然后求出平面与平面的法向量，利用已知二面角确定点的坐标，最后利用与平面的法向量求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理， 得，则， 而，故，， 在中，由余弦定理知， 由知，在中，， 故，则， 故. 因为，所以，解得. 【小问2详解】 以点C为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，故，，，， 设，则，则，， 设为平面的法向量，则，则， 令，则，故为平面的一个法向量， 而为平面的一个法向量， 故，解得，解得（舍去）， 故，， 故直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知圆，圆心C在直线上，且被直线截得弦长为. （1）求圆的方程； （2）若，点，过A作两条直线，，且满足，直线交圆C于M，N两点，直线交圆C于P，Q两点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1）或；（2）7. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，利用圆的弦长公式可求解； （2）分类讨论直线斜率是否存在，利用圆的弦长公式求得，，再利用基本不等式求得四边形面积的最大值. 【详解】（1）由圆，圆心C在直线上， 故圆，圆心，半径 设圆心到直线的距离为，则 即，解得：或 所以圆的方程为或； （2）由，可知圆的方程为 当直线斜率不存在时，此时， 此时 当直线斜率存在，设为k，则直线方程为，圆心到直线的距离设为， 则，则 同理可得 则 当且仅当，即时等号成立 综上可知四边形面积的最大值为7. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，为中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴，即 又∵，且，且两直线在平面内， ∴平面. （2） （3）存在，理由：线段上存在点，使得平面， 设，则 由（2）可知，平面的法向量， 则， 解得 ∴当是中点时，则平面. 【解析】 【分析】（1） 通过 ，从而证明，结合已知，从而得到面； （2）构建空间直角坐标系，通过法向量的夹角求解； （3） 设 ，求解出平面的法向量，通过求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面平面，平面平面 ，平面， ∴平面,又因为面， ∴. 由（1）已证，且已知，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， ∴，，， ∵E为PD的中点，∴ 又∵，∴ 设平面FAE的法向量为，则， 令，则，，∴ 由（1）可知，平面， ∴平面的法向量为, ∴ ∴平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $