精品解析：天津市河北区第八中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

天津市第八中学2025-2026学年第一学期高二年级数学学科 第一次大单元练习 时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于坐标平面Ozx对称的点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，直线+的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 如图，平行六面体中，E为BC的中点，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. ，，若则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 若直线ax+2y+1=0与直线x+2y–2=0互相垂直，则实数a的值是（ ） A. 1 B. –1 C. 4 D. –4 9. 在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 直线l经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______． 12. 已知向量，，，则____. 13. 已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为__． 14. 若空间中有三点，，，则A到直线BC的距离为_______． 15. 如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，，若，则______． 16. 如图，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱上，且，若，，则点到平面BDE的距离为__________. 三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知棱长为的正方体中，是的中点，为的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 18. 如图，在正四棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 20. 如图，四棱锥中，平面，，，，. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为， ①求线段的长； ②求平面与平面所成角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第八中学2025-2026学年第一学期高二年级数学学科 第一次大单元练习 时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的减法及线性关系计算即可. 【详解】因为分别是的中点， 所以， 则. 故选：B. 2. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于坐标平面Ozx对称的点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中点的坐标特征求解. 【详解】由题意得对称点的横坐标和竖坐标与点P的相同，纵坐标与点P的互为相反数， 所以点关于坐标平面Ozx对称的点的坐标为， 故选：C 3. 在平面直角坐标系中，直线+的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由直线方程得斜率，从而得倾斜角． 【详解】由直线方程知直角斜率为，在上正切值为1的角为，即为倾斜角． 故选：B． 4. 已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，根据空间向量的坐标表示建立方程，解之即可求解. 【详解】由直线平面，可得， 所以，得. 故选：D. 5. 如图，平行六面体中，E为BC的中点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算求解即得. 【详解】在平行六面体中，E为BC的中点， 所以. 故选：B 6. ，，若则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的平行性质，列出方程组，解出的值，即可得答案. 【详解】因为，，，所以存在,，所以 故选：C. 7. 已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先利用已知条件求得，再利用均值定理即可求得的最大值. 【详解】由及A，B，C，D四点共面得：， 即，又，， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：B 8. 若直线ax+2y+1=0与直线x+2y–2=0互相垂直，则实数a的值是（ ） A. 1 B. –1 C. 4 D. –4 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程一般式垂直的条件计算． 【详解】由题意，． 故选D． 【点睛】本题考查两直线垂直条件，两直线方程分别为和，则它们垂直的充要条件是． 9. 在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为基底，表示出，利用空间向量的数量积求模. 【详解】如图： 以为基底，则，， 所以. 因为. 所以 . 所以. 故选：D 10. 设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据为单位向量得到，再利用与的夹角等于，得．联立方程求解出与的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可． 【详解】因为空间两个单位向量与向量的夹角都等于， ， 易知， 又， 又为单位向量，所以， 联立，得或， 又， ． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 直线l经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】截距互为相反数，分截距为零和不为零两种情况讨论求解即可. 【详解】当直线在两坐标轴上的截距均为0时，直线的方程为，即； 当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线的方程为， 则，解得，所以直线方程为，即． 所以直线的方程为或． 故答案为：或. 12. 已知向量，，，则____. 【答案】 【解析】 【分析】由，求出的值，利用向量数量积的坐标运算求解. 【详解】向量，由，解得， 则有，又，则. 故答案为：. 13. 已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为__． 【答案】 【解析】 【分析】依题意且与不共线（反向），结合数量积的坐标表示得到不等式，解得即可. 【详解】因为，且的夹角为钝角， 所以且与不共线（反向）， 由，则，解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 14. 若空间中有三点，，，则A到直线BC的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的夹角去求到直线的距离. 【详解】由可得 则， 又，则 则到直线的距离为 故答案为：. 15. 如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算用基底向量表示后可求系数和. 【详解】，． 故答案为：. 16. 如图，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱上，且，若，，则点到平面BDE的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出，其中是平面的法向量，结合公式即可运算求解. 【详解】如图，取的中点，因为平面，平面， 所以， 因为三角形是等边三角形，点是中点，所以， 所以两两互相垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为，，，D为AC的中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 所以可取， 点到平面BDE的距离为. 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知棱长为的正方体中，是的中点，为的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】 （1）证明：以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以，所以． （2） 【解析】 【详解】（1）略 （2），则， 又， ， 所以异面直线与所成角的余弦值是． 考点：空间向量的坐标运算，垂直的证明，异面直线所成角． 18. 如图，在正四棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：在正四棱柱中，，，两两垂直，且，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，. 因为，分别为，的中点，所以，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，则有，，即， 因为，所以， 又平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线方向向量与平面法向量，通过向量垂直，即可求证； （2）由空间角的向量表示即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量方法即可求解； （3）根据点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， ，平面，所以平面， 又底面为正方形，及， 所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 20. 如图，四棱锥中，平面，，，，. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为， ①求线段的长； ②求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为，，所以， 又，所以，， 所以， 所以，则，即， 因为平面，平面， 所以，又，、平面， 所以平面； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先由题设依次求出、，再由线面垂直判定定理即可得证； （2）①取中点，连接、，求证平面得到为直线与平面所成角，接着由正弦函数定义求出即可求解； ②建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量即可由空间角的向量法公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①取中点，连接、，则由（1）得，且， 因为平面，平面， 所以，又，、平面， 所以平面，所以为直线与平面所成角， 所以， ②由题意可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 显然是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $