精品解析：河北省邯郸市涉县 涉县索堡中学、西戌中学联考2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题

九年级数学期中试卷 测试范围：人教版21.1-24.1.2 考试时间：120分钟满分：120分 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 1. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，依次分析每个选项的图形绕某点旋转后是否与自身重合，进而确定答案． 【详解】解：A项：图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； B项：图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形无法重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； C项：图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形无法重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； D项：图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形无法重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线． 根据顶点式的对称轴为直线求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线． 故选A． 3. 用配方法将方程变形为，则m的值是（ ）． A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握配方法解一元二次方程步骤是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∴， ∴， 故选：B． 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 5. 如图，将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上，若，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形旋转的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键． 6. 某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】这种商品的售价上涨元时，销售量就减少个，根据利润=每个的利润×销售量即可列出方程． 【详解】解：设这种商品的售价上涨元时，销售量就减少个， 根据题意可得：； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题关键． 7. 平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），将线段OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA'，则点的坐标是( ) A. （，3） B. （，4） C. （3，） D. （4，） 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转中心为点O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，作出点A的对应点A'，可得所求点的坐标． 【详解】作AB⊥x轴于B点，A′B′⊥y轴于B′点．如图所示． ∵A（4，3），∴OB=4，AB=3． ∴OB′=4，A′B′=3． ∵A′在第四象限， ∴A′（3，－4）． 故选C． 【点睛】考查由图形旋转得到相应坐标；根据旋转中心，旋转方向及角度得到相应图形是解决本题的关键． 8. 如图，在中，是直径，连接，若于点，则的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理求出，根据勾股定理列式求出，根据三角形中位线定理求出结果即可． 【详解】解：，为的半径，， ， 在中，， ，即， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 9. 已知抛物线，当时，函数的最大值为2，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值问题．由抛物线解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，分两种情况：当时，当时，根据二次函数的性质，分别求解即可．熟练掌握二次函数的增减性是解此题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，在上随着的增大而减小， 当时，最大，，不符合题意； 当时，在上随着的增大而减小，在上随着的增大而增大， 当时，，当时，， 当时，函数的最大值为2， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：作轴于点M，轴于N， 设， ∵， 则，， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 当时，有最小值为5， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分．) 11. 抛物线的顶点坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了把二次函数的解析式转化为顶点式，根据顶点式写出抛物线的顶点坐标即可． 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 12. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，建立平面直角坐标系求出函数式子是解题的关键． 建立平面直角坐标系求出函数式子，再代入数据运算求解即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过水面，纵轴通过中点且通过点， 如图所示： 则通过画图可得知为原点，则抛物线以轴为对称轴，且经过，两点,可知， ∴，， 由图可得：抛物线顶点坐标为， ∴设二次函数的顶点式为：， 把代入可得：， 解得：， ∴， 把代入可得：， 解得：， ∴此时水面宽度为， ∴比原先的宽度增加了， 故答案为：． 13. 关于x的方程的一根为1，则另一根为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设这个一元二次方程的另一根为，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，进而可求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 【详解】解：设这个一元二次方程的另一根为， ∵关于的方程的一根为1， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在Rt△ABC中，，，将△ABC绕点A顺时针旋转得到，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握图形旋转不变性的性质是解题的关键． 先根据直角三角形的性质求出的长，再由旋转的性质得出，，根据勾股定理即可得出结论。 【详解】在Rt△ABC中，，， ， 将△ABC绕点A顺时针旋转得到， ，， 故答案为： 15. 如图，某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径，地面宽，则高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，在中，，半径， ∴，，， ∴， 故答案是：． 16. 如图1，中，是边上的动点．设两点之间的距离为两点之间的距离为，表示与的函数关系的图像如图2所示，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息的能力，等腰三角形的性质，勾股定理； 根据函数图象判断出，时，，作于E，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：由函数图象得：当时，，即时，， 当时，，即时，点D，C重合，， 当时，如图，作于E，，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题(本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17. 解下列一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是明确解一元二次方程的方法． （）利用因式分解法解方程即可； （）先移项，再提取公因式转化为两个一次因式的乘积形式，依据因式乘积为的性质求解． 【小问1详解】 解： ， 则或， 解得：，． 【小问2详解】 移项得：， 提取公因式：， 即， 则或， 解得：，． 18. 利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图． （1）画出，使它与是关于原点O的中心对称： （2）将绕点A逆时针旋转得到． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，中心对称变换， （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 19. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数，图象经过、两点． （1）求二次函数的解析式及它的对称轴； （2）设点是抛物线上的一个动点，横坐标为， ①当，则点的纵坐标的取值范围是___________； ②过点做轴，交直线于，当线段时，请求出的值． 【答案】（1），称轴为直线 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，解一元二次方程．解题的关键是数形结合． （1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）①当时，，当时包含顶点，即可求解； ②求出，再分类求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 其对称轴为直线； 【小问2详解】 解：①∵， ∴当时有最大值，即； 又∵离对称轴最远， ∴当时，， ∴当，则点的纵坐标的取值范围是， 故答案为：； ②设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 设点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， 当时方程无解； 当时， 解得：． 20. 已知平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）当为何值时，四边形是菱形? （2）若，求的值． 【答案】（1）当时，四边形是菱形 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得出当时，平行四边形为菱形，从而得到，求出的值即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，将化简为，代入可得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：四边形为平行四边形， 当时，平行四边形为菱形， 的长是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 整理得：， 解得：， 当时，四边形是菱形； 【小问2详解】 解：的长是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ， ，即， 整理得：， 解得：或， ， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、菱形的性质、解一元二次方程等知识点．一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 21. 如图，的半径为，是的直径，弦，垂足为，连接，过点作于，，． （1）求证：； （2）求半径的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，垂径定理及勾股定理，解题的关键是应用两次勾股定理求半径． （1）根据中位线定理即可得证； （2）根据垂径定理得到，在中根据勾股定理求出，在中根据勾股定理求出半径即可得到答案． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， ， ，F为的中点， ， 又∵O为的中点， 则是的中位线， ； 【小问2详解】 解：，，， ， 在中，， 如下图所示，连接， 在中，， 即， 解得：． 22. 如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上， （1）求证：平分； （2）若，求旋转角的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得：，，然后利用等边对等角可得，从而可得，即可解答； （2）设与交于点，根据旋转的性质可得：，，，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 证明：如图： 由旋转得：，， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：如图，设与交于点， 由旋转得：，，， ， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ， 解得：， 旋转角的度数为． 23. 校艺术节上，甲同学用腰长为的等腰直角三角形卡纸裁剪出如图所示的矩形纸片，且矩形的四个顶点都在的边上． （1）若甲裁剪出来的矩形纸片周长是纸片周长的一半，那么这个矩形纸片的宽是___________cm； （2）设的长度为，矩形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②求矩形的面积的最大值． 【答案】（1） （2）① ②矩形的面积最大值为 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出长，然后利用等腰直角三角形的性质得到然后根据矩形纸片周长是纸片周长的一半列方程求解即可； （2）①根据计算即可；②通过配方法得到顶点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵矩形纸片周长是纸片周长的一半， ∴， 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 ①； ②， ∵ ∴当时，最大，最大为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，矩形的性质，方程，二次函数的图像和性质，利用配方法计算是解题的关键． 24. 如图，在等边三角形中，为边上一点，满足，连接，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在射线上． （1）求证：． （2）如图，若点关于直线的对称点为，直线交于点，连接． 求证：． 若，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）见解析；． 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得：，，根据是等边三角形，可得，，所以可证，根据可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立； ①首先设，把和分别用含的代数式表示出来，可得，根据同旁内角互补两直线平行可证中结论成立； ②由可知，根据可得，可以得到角之间的关系，根据角之间的关系列方程，解方程求出的度数． 【小问1详解】 证明：根据旋转的性质可得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 点与点关于直线对称， ，， ， ， 设， 则， ， ， ， ， ； 如下图所示，连接 点与点关于直线对称， ， ， 由知， ，， 由可知， ， ， ， 由知， ， ， 解得：， 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，解决本题的关键运用代数方法表示各角的度数． 25. 已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，点为轴上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点（与不重合）． （1）求点的纵坐标（用含的式子表示）； （2）当时，若，求抛物线的纵坐标在时的取值范围； （3）对于的每一个确定的值，有最小值，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）a的取值范围为 或 ． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质、勾股定理： （1）依题意，当时，即可作答． （2）先求，对称轴，根据勾股定理列式计算得，结合，得，根据开口方向和离对称轴距离远近，比较函数值，即可作答． （3）分和两种情况，表示出MN的值，通过列出不等式，从而得到a的取值范围． 【小问1详解】 解：依题意，当时， 则 ∴； 【小问2详解】 解：∵抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点， ∴ 对称轴 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴，在时，有最大值， 把代入 则 即在时，有最大值，且为3； 则 ∵求物线的纵坐标在时的取值范围 则抛物线， 即 把代入，得； 把代入，得； ∴的纵坐标在时的取值范围为； 【小问3详解】 由抛物线可知顶点坐标为，设点M的坐标为，点N的坐标为， 若，由图可得当时，取得最小值m， 把代入， 整理得， 得，， ∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴，解得， ∵过点P作y轴的垂线交抛物线G于点M、N（M与N不重合）， ∴，解得， 得； 若，由图可得当时，取得最小值m， 把代入，整理得， 得，， ∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴ ，解得， ∵过点P作y轴的垂线交抛物线G于点M、N（M与N不重合）， ∴，解得， 得； 综上所述，a的取值范围为 或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期中试卷 测试范围：人教版21.1-24.1.2 考试时间：120分钟满分：120分 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 1. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 用配方法将方程变形为，则m的值是（ ）． A. B. 4 C. D. 8 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根 5. 如图，将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上，若，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），将线段OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA'，则点的坐标是( ) A. （，3） B. （，4） C. （3，） D. （4，） 8. 如图，在中，是直径，连接，若于点，则的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 已知抛物线，当时，函数的最大值为2，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 10. 如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分．) 11. 抛物线的顶点坐标是____． 12. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 13. 关于x的方程的一根为1，则另一根为_________． 14. 如图，在Rt△ABC中，，，将△ABC绕点A顺时针旋转得到，则________． 15. 如图，某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径，地面宽，则高度为________． 16. 如图1，中，是边上的动点．设两点之间的距离为两点之间的距离为，表示与的函数关系的图像如图2所示，则线段的长为________． 三、解答题(本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17. 解下列一元二次方程 （1） （2） 18. 利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图． （1）画出，使它与是关于原点O的中心对称： （2）将绕点A逆时针旋转得到． 19. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数，图象经过、两点． （1）求二次函数的解析式及它的对称轴； （2）设点是抛物线上的一个动点，横坐标为， ①当，则点的纵坐标的取值范围是___________； ②过点做轴，交直线于，当线段时，请求出的值． 20. 已知平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）当为何值时，四边形是菱形? （2）若，求的值． 21. 如图，的半径为，是的直径，弦，垂足为，连接，过点作于，，． （1）求证：； （2）求半径的长． 22. 如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上， （1）求证：平分； （2）若，求旋转角的度数． 23. 校艺术节上，甲同学用腰长为的等腰直角三角形卡纸裁剪出如图所示的矩形纸片，且矩形的四个顶点都在的边上． （1）若甲裁剪出来的矩形纸片周长是纸片周长的一半，那么这个矩形纸片的宽是___________cm； （2）设的长度为，矩形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②求矩形的面积的最大值． 24. 如图，在等边三角形中，为边上一点，满足，连接，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在射线上． （1）求证：． （2）如图，若点关于直线的对称点为，直线交于点，连接． 求证：． 若，求的度数． 25. 已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，点为轴上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点（与不重合）． （1）求点的纵坐标（用含的式子表示）； （2）当时，若，求抛物线的纵坐标在时的取值范围； （3）对于的每一个确定的值，有最小值，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $