13.1.1 第1课时 直角三角形三边的关系 课件 2025-2026学年 华东师大版（2024）八年级数学上册

第1课时　直角三角形三边的关系 第13章　13.1.1　直角三角形三边的关系 1.掌握勾股定理及其简单应用,理解定理的一般探究方法.(重点) 2.通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理,经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程,发展数形结合的数学思想.(难点) 学习目标 情境引入 我们可以看出如图所示图形由四个直角三角形和一个正方形组成,你知道该图形蕴含了怎样博大精深的知识吗? 勾股定理 问题1　如图，观察正方形瓷砖铺成的地面. (1)正方形P的面积是　　平方厘米；   提示　正方形P的面积是1平方厘米. (2)正方形Q的面积是　　平方厘米；   提示　正方形Q的面积是1平方厘米. (3)正方形R的面积是　　平方厘米.  提示　正方形R的面积是2平方厘米. (4)上面三个正方形的面积之间有什么关系? 提示　SP＋SQ＝SR. 问题2　根据问题1回答:等腰直角三角形的三边有什么关系?说明了什么? 提示　SP＝AC2，SQ＝BC2，SR＝AB2，AC2＋BC2＝AB2. 这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方. 问题3　观察图形完成表格(每个小正方形的面积为单位1).   A的面积 B的面积 C的面积 左图 4 9   右图 16 9   13 25 问题4　分析问题3表中数据，你能发现图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ 提示　以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. 问题5　如图，分别以5 cm，12 cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立？ 提示　测量出斜边的长度为13 cm，52＋122＝132，成立. 知识梳理 勾股定理：直角三角形两直角边的_______等于斜边的_____. 注意点：(1)勾股定理适用的前提条件是在直角三角形中；(2)运用勾股定理时，一定要先弄清哪个是直角，再分别确定已知边和所求边是直角边还是斜边；(3)若没有明确哪个角是直角，则需要分情况进行讨论，以免遗漏. 平方和 平方 问题6　证明勾股定理，完成下列填空. 方法一　如图是弦图的示意图，它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形. 大正方形的面积＝　　.  四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和＝　　　　　　　　　　，即　　　　　　.  c2 4·ab＋(b－a)2＝a2＋b2 a2＋b2＝c2 方法二　用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形. 大正方形的面积＝　　　　.  四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和＝　　　　　＝　　　　.  由题可知　　　　　　　　， 化简可得　　　　　.  (a＋b)2 4·ab＋c2 2ab＋c2 (a＋b)2＝2ab＋c2 a2＋b2＝c2 (课本P122例1)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8.求AC的长. 例 解　根据勾股定理，可得AB2＋BC2＝AC2. 所以AC＝＝10. 反思感悟 在直角三角形中，已知两边，可求第三边，也可用勾股定理建立方程. 如图，在Rt△ABC中， ∠C ＝ 90°， a＝3，c＝5， 求b的值. 跟踪训练 解　由勾股定理得a2＋b2＝c2， ∴b＝＝4. 课堂小结 1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，且已知a＝5，c＝13，则b为 A.8 B.10 C.12 D.18 √ 随堂演练 2.在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2＋BC2＋AC2的值是 A.4 B.6 C.8 D.12 √ 解析　在Rt△ABC中，斜边AB＝2， 由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2＝4， ∴AB2＋BC2＋AC2＝2AB2＝8. 随堂演练 3.我国汉代数学家赵爽利用“赵爽弦图”证明了勾股定理，它由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，其中直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c.下列各组数中，满足a，b，c关系的是 A.4，5，6 B.5，7，8 C.3，4，5 D.5，10，13 √ 随堂演练 解析　∵a2＋b2＝c2， ∴A中，42＋52≠62，故不符合题意； B中，52＋72≠82，故不符合题意； C中，32＋42＝52，故符合题意； D中，52＋102≠132，故不符合题意. 随堂演练 4.已知a，b表示一个直角三角形的两直角边的长，若a＋b＝6，ab＝4，则这个直角三角形的斜边长为　　　　.  解析　∵a＋b＝6，ab＝4， ∴斜边＝＝2. 2 随堂演练 5.如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为4，6，2，4，则最大的正方形E的面积是　　　　.  16 随堂演练 解析　如图， ∵所有的三角形都是直角三角形，正方形A，B，C，D的面积分别为4，6，2，4， ∴SA＋SB＝SF，SC＋SD＝SG，SF＋SG＝SE， ∴SE＝SA＋SB＋SC＋SD＝4＋6＋2＋4＝16， ∴正方形E的面积为16. 随堂演练 本课结束 $