21.5.1一元二次方程的应用 导学案 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦二次三项式在实数范围内的因式分解，通过课前预习解方程与因式分解题回顾旧知，课堂以因式分解法解一元二次方程为导入，衔接利用方程根与系数关系推导因式分解公式，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于以问题链引导推理，结合韦达定理推导公式培养运算能力与推理意识，例题和练习涵盖基础、综合及拓展题，助力学生抽象数学关系并应用于实际问题，发展创新意识与应用意识。

二次三项式的因式分解 一、学习目标 1.理解在实数范围内因式分解的含义； 2.能利用一元二次方程根与系数的关系将二次三项式在实数范围内因式分解. 二、课前预习 阅读课本P88-89完成下列问题： 1. 解下列方程 （1）x2-3x+2=0; （2）x2-5x+6=0; （3）x2-x-12=0 （4）2x²—10x+12=0 2. 因式分解 （1）x2-3x+2 （2）x2-5x+6 （3）x2-x-12 （4）2x²—10x+12 3.如果一元二方程x2+px+q=0的两个根为x1=15,x2=10, 那么因式分解x2+px+q=___________________ 4. 如果一元二方程x2+px+q=0的两个根为x1，x2， 那么因式分解x2+px+q=___________________ 5. 如果一元二方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2， 那么因式分解ax2+bx+c=___________________ 3、 课堂学习 1.用因式分解法解一元二次方程 （1）x2-3x+2=0; （2）2x²—10x+12=0 2.利用一元二次方程的根帮助因式分解 如果一元二方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2， 那么x1+x2=,x1x2= (韦达定理) 所以ax2+bx+c=a(______________)=a[x2-(_____)x+____]=a(______)(_______) 总结：利用因式分解法可以帮助解一元二次方程，反之利用一元二次方程的根也能帮助因式分解。 例1 因式分解 （1）x2-x-12 （2）2x²—10x+12 3.在实数范围内因式分解 例2在实数范围内因式分解 （1）x4-9 （2） x4-3x2+2 （3）3x2-10x+7 （4）2x2+4x-3 （5）2x2y2-4xy+2 4.在实数范围内不可因式分解 例3 二次三项式2x2-x+2m-1在实数范围内不可因式分解,求m的取值范围. 挑战自己： 1.在实数范围内因式分解： (1)x²-8 (2)4x²-7 (3) x²+3x-28 (4)3x²-11x+10 2.在实数范围内因式分解： (1)2x²+2x+1; (2)x²-2ax-a². 4、 课堂练习 1.把下列各式分解因式. (1)x²-5=_____________(2)4x²-7y²=____________ (3)x⁴-49=___________(4)x²-4x+1=____________ (5)2x²-5x+1=_________(6)2x²-4x+2=___________ 2.选择： (1)下列多项式中，能在实数范围内分解因式的是( ). A.x²+4 B.x²-2 C.x²-x+1 D.x²+x+1 (2)把多项式4x²+4x-1因式分解，下列结果中正确的是( ). A.(x-)(x-) B.4(x+)(x+) C.(2x+1+)(2x+1-) D.(4x+2-2)(4x+2+2) 3.把下列各式因式分解. (1)x²-4x+2. (2)3x²+3x-3. (3)x²-x+1. (4)2x²-2x-. (5)2x²-12x+18. (6)x4+x²-12. 4. 把下列各式因式分解. (1)x²+6xy+3y² (2)x²y²-4xy+2. (3)2x²-10zy+10y². (4)2xz²y²+4xy-3. 5. 已知二次三项式2x²+bx+c,当x=3或-2时，它的值是0,请将这个二次三项式因式分解。 6. 二次三项式3kx²+(6k-1)x+3k+1在实数范围内可以分解因式，求k的取值范围. 五、课后练习 1.若方程2²+x-3=0的两个根是x1=1,x₂=-3,则二次三项式2x²+x-3可以分解为_____________________. 2.若方程2x²-3x-1=0的两个根是：x1=,x₂=,则二次三项式2x²-3x-1可以分解为_______________________. 3.如果x²+px+q=(x+2)(x-)成立，那么p=___q=____. 4.在实数范围内分解因式-2x²-3x+6=___________________ 5.如果多项式x²+kx+5(k-5)是完全个平方式，那么k的值为______ 6.若二次三项式2x²-3x+m+1可以在实数范围内分解因式，那么m的取值范围是___________ 7.多项式3kx²+(6k-1)x+3k+1(k≠0)在实数范围内可以分解因式时，实数k的取值范围是______________. 8.在实数范围内因式分解 (1)x²-5x+6; (2)4x4-16; (3)4x²+8x-1; (4)3x²y²-5xy-1; (5)(x²+x)²-2x(x+1)-3; (6)-y2x-4x²y+2x³; 9. 已知a、b分别是等腰三角形的一腰和底边的长.求证：关于x的二次三项式x2-4ax+b²一定能在实数范围内分解因式. 10.已知关于x的二次三项式4x²-kx+1可以分解因式得到(2x-+1)(tx+m),求实数k、m、t的值 学科网（北京）股份有限公司 $