21.4一元二次方程的根与系数的关系 （2）学案2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根与系数关系的应用，通过课前预习回顾韦达定理基础公式，课堂学习以例题驱动，从求两根对称式到结合判别式综合分析，构建从基础应用到综合探究的学习支架。 资料设计分层练习体系，“挑战自己”“课内课外练习”涵盖变式题型，注重培养运算能力与推理意识，通过根的关系求系数等问题训练符号意识，结合直角三角形等实际情境提升应用意识，契合新课标数学思维与数学语言核心素养。

一元二次方程根与系数关系（2） 一、学习目标 1.熟练掌握元二次方程的根与系数的关系； 2.会利用一元二次方程的根与系数的关系求两根的对称式； 2.能根据一元二次方程两根的关系求未知系数的值. 二、课前预习 阅读课本P85-87完成下列问题： 1.一元二次方程 ()的两个根为x1,x2 则（1）=______ , =_______. （2） x12+x22 =______ , =_______. 2.设、是一元二次方程的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 3、 课堂学习 1.利用根与系数的关系求两根的对称式 例1已知方程2x²+6x-3=0有两个实数根x1、x2,利用韦达定理求下列各式的值： (1) (2) x12+x22 (3)(x₁-x2)². 2.根的关系求未知系数的值 例2已知关于x的方程x²-(m-3)x+m+8=0的两个实数根的平方和等于13,求m的值及此方程的两根. 3. 结合判别式综合分析问题 例3　 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． ⑴求k的取值范围； ⑵k为何值时，与互为倒数. 分析：（1）k△>0 (2)x1x2==1,同时还要注意（1）问中的条件k△>0. 挑战自己 1.已知方程2x²+4x—3=0有两个实数根x₁、x2,利用韦达定理求下列各式的值： (1)x1x22+x12x2; (2)(x₁-2)(x2-2); (3)x1²+x1x₂+x22 2.已知关于x的方程x²+(k-5)x-(k+4)=0有两个实数根x₁、x2,且(x₁+1)(x2+1)=-8.求k的值及此方程的两根. 3.已知关于x的一元二次方程有两个实数根,并且两个根的平方和比两根的积大21.求m的值. 4、 课内练习 1. 设x₁、x2是方程2x²-2x-1=0的两个实数根，利用韦达定理求下列各式的值： (1) ； (2) x12+x22 ； (3)x1x22+x12x2; (4) (x₁-2)(x2-2); (5)(x₁-x2)²； (6) x1²+x1x₂+x22 2.已知x₁、x2是关于x的方程x²+2(m—1)x+2m²—23=0的两个实数根，且x1²+x22=26.求m的值及此方程的两根. 3.已知关于x的一元二次方程 （1）试判断此一元二次方程根的存在情况； （2）若方程有两个实数根，且满足，求k的值． 5、 课外练习 1.若一元二次方程有两个不相等的实数根x1、x2，且满足，则m的值是（ ） A． B． C． D．2 2. 已知x1、x2是方程x2－3x＋1＝0的两个实数根，则的值是( ) A.3 B.－3 C. D.1 3.已知α、β是方程的两根, 求α2+αβ-3α的值. 4. 已知实数a、b分别是方程两根, (1) 求（a-b）2 的值 （2）求a²-3a的值. 5. 已知ab且满足a2+3a-8=0，b2+3b-8=0,求的值. 6.已知: △ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根, 第三边BC的长为5. 试问: k取何值时, △ABC是以BC为斜边的直角三角形? 学科网（北京）股份有限公司 $