21.4一元二次方程的根与系数的关系 （1）学案2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根与系数关系（韦达定理），通过课前预习引导学生用公式法推导两根之和与积，搭建从具体计算到抽象定理的学习支架，衔接已学求根公式知识，帮助学生自主发现规律，为课堂学习奠定基础。 导学案以“预习推导-定理探究-例题应用-分层练习”为主线，培养学生抽象能力（从具体方程到一般定理）、推理意识（逻辑推导与解题论证）和应用意识（不同方程形式灵活应用）。习题涵盖基础计算、参数求解及综合应用，层次分明，助力学生逐步掌握知识，提升数学思维与解决问题的能力。

一元二次方程根与系数关系（1） 一、学习目标 1.理解一元二次方程的根与系数的关系； 2.利用一元二次方程的根与系数的关系求两根之和、两根之积； 2.利用根与系数关系已知一根求另一根. 二、课前预习 阅读课本P83-85完成下列问题： 1.利用公式法求出一元二次方程 ()的两个根 = ， = ； 计算：=______ , =_______. 2.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积 （1） x2-3x+2=0; （2）x2-5x+6=0; （3） x2-x-12=0 （4）x2+4x+3=0 3.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积 （1）； （2） （3）； （4） 3、 课堂学习 1.一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的根与系数关系的定理又名________定理 如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么 x₁+x₂=____________,x1·x=_____________ 2.不解方程求两根之和与两根之积 例1已知下列方程均有两个实数根，求两根的和与积： (1) x²-4x+=0; (2)2x²-x-3=0; (3)-x²+2x=0; (4)-x²=x—4. 总结：二次项系数为1时，x1+x2=-b ,x1x2=c 3.已知方程一根,求另一根及未知系数的值. 例2 已知方程2x2-5x+p=0(a≠0)一根为,求方程的另一根及p的值. 4.结合方程解的定义解题 例3 已知方程ax2-7x-6=0(a≠0)一根为2,求方程的另一根及a的值. 例4 两个不相等的实数m，n满足m2-6m=4，n2-6n=4，则mn的值为( D) A．6 B．-6 C．4 　 D．-4 分析；m,n是同一个方程x2-6x-4=0的两个不同的根。 挑战自己： 1.已知方程的一个根是，求它的另一个根和的值. 2.若一元二次方程的一根为零，求的值. 3.若方程的两根之比为3:2,求m的值. 四、课内练习 1.已知方程x2-2(m+1)x+m2-2=0,m=___时,方程两根互为相反数;m=_____时,方程两根互为负倒数. 2.已知下列方程均有两个实数根，求两根的和与积： (1)x²-2x-2=0; (2)12x²+8x=0; (3)2x²-3x+=0; (4)2x²-7=0; (5)x²+2=2x; (6)x²-x=6. 3. (1)已知方程2x²-5x-3=0的一个根是3,不解方程，求此方程的另一个根； (2) 已知方程2x²—2x-1=0的一个根是1+/3不解方程，求此方程的另一个根. 4. (1)已知关于x的方程2x²+kx+3=0的一个根是2,求此方程的另一个根及k的值； (2)已知关于x的方程3x²+15x+m=0的一个根为1,求此方程的另一个根及m的值. 5. 若方程的一个根是另一个根的2倍,则p、q之间的关系是_______? 五、课外练习 1.已知方程的两根为和，则= ____ ，=_____ 2.已知方程的一个根是1,则m的值是______，另一根为 . 3.若方程的两根互为相反数，则= . 4.两个不相等的实数m，n满足m2-6m=4，n2-6n=4，则mn的值为( D) A．6 B．-6 C．4 　 D．-4 5．已知方程ax2－7x－6=0(a≠0)一根为2，则方程的另一根为 ，a= ． 5．已知方程的一个根是，则它的另一个根为 ，= ． 6．已知3－是方程x2＋mx＋7=0的一个根，则m= ，另一根为 ． 7．关于x的一元二次方程kx2+3x－1=0有实数根，则k的取值范围是 ． 8.若一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)有一个根为1，则a＋b＋c= ； 若有一个根为－1，则b与a、c之间的关系为 ；若有一个根为零，则c= ． 9． 关于x的一元二次方程的两个根同号，求a的取值范围。 10． 若方程的两根互为相反数，求. 11． 关于x的方程x2＋2(k＋2)x＋k2=0的两个实数根之和大于－4，求k的取值范围． 12． 如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2－2m=1，n2－2n=1，求m+n+mn的值. 13.设a、b、c是△ABC的三条边，关于x的方程x2＋2x＋2c－a=0有两个相等的实数根，方程3cx＋2b=2a的根为0． （1）求证：△ABC为等边三角形； （2）若a，b为方程x2＋mx－3m=0的两根，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $