精品解析：吉林省辽源市跨世纪学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

辽源市跨世纪学校2025-2026学年上学期期中测试 九年级数学试题 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 下列剪纸中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 据此即可求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的顶点式解析式，如果，那么函数图象的顶点坐标为，需要熟记并灵活运用． 根据二次函数的顶点式即可得出顶点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数为 ， ∴ 顶点坐标为 ． 故选：A． 3. 用公式法解方程，其中根的判别式的值是（ ） A. B. C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式的确定．代入根的判别式进行计算即可，注意首先确定一元二次方程的各项系数及常数项． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：B． 4. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得出，，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：，， ∴． 故选：B． 5. 高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面宽，净高，则此圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆的综合运用，熟练掌握垂径定理是解题的关键，先设此圆的半径为，则，，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设此圆的半径为，则，， ∵， ∴米， 在中， ∴， 即， 解得米， 故选：A． 6. 如图，矩形草坪（阴影部分）的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加 ，扩建后的矩形草坪面积为．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找等量关系是解题的关键．由题意将该草坪的长和宽各增加，扩建后草坪的面积为，由此可得方程． 【详解】解：根据题意得，， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标规律，可得点关于原点对称的点的坐标为． 8. 如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________ 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 若方程是关于x的一元二次方程，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要是注意一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0，根据一元二次方程的定义得到且，求得m的值即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，得且， 解得. 故答案为：2 10. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 11. 如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是_____m． 【答案】10 【解析】 【分析】由图可知，要求OA的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将y=0代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可． 【详解】将y=0代入； 整理得： （x-10）（x+2）=0 解得：x=10或x=-2（舍去） ∴铅球推出的水平距离OA的长是10m． 故答案为：10 【点睛】本题主要考查了二次函数得实际应用，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴， 解得，． 13. 已知二次函数（）经过点． （1）求二次函数解析式； （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求把解析式化为顶点式得到开口方向，对称轴和顶点坐标，则可推出离对称轴越远函数值越大，进而可确定函数在时有最小值，在时，函数有最大值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（）经过点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越大， 在中，当时，， ∵，， ∴当时，函数在时有最小值，在时，函数有最大值， ∴当时，y的取值范围为． 14. 已知：如图，点E是正方形的边上一点，，，逆时针旋转后能够与重合． （1）旋转中心是______，旋转角为______度； （2）请你判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）点， （2） 解：为等腰直角三角形，理由如下： 四边形为正方形， ， 逆时针旋转后能够与重合， ， ，， ， 是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转，涉及旋转中心、旋转角的确定以及等腰直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的定义，确定旋转中心；结合正方形的内角性质，确定旋转角的度数； （2）根据旋转的性质得到边和角的关系，进而判断三角形的形状． 【小问1详解】 从图形和已知可知：旋转中心是点，旋转角的度数等于的度数，即， 故答案为：点，． 【小问2详解】 略 15. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B、C、D的坐标分别为． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； 【答案】（1） （2）40 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）根据四边形的面积等于2倍的，进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，则：． 16. 已知关于x的方程． （1）若该方程的一个根为，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 【答案】（1） （2） 证明：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴不论m取何实数，该方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入得出关于m的方程，再解关于m的方程即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【小问1详解】 解：将代入原方程可得： ， 解得：； 【小问2详解】 略 17. 3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）设，把点A的坐标代入求解即可； （2）把代入（1）中所求表达式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 设， 代入，得， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴， 答：两条彩带之间的水平距离为米． 18. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形； 证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 19. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交手点C． （1）求的面积． （2）当时，求x的取值范围 ． （3）点P为抛物线上一点（不与C重合），若，求点P的坐标． 【答案】（1）6 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与几何的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）分别求出A、B、C的坐标，然后问题可求解； （2）由图象可直接进行求解； （3）设，则根据题意可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：令时，则；令时，则，解得：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由图象可得：当时，x的取值范围； 故答案为； 【小问3详解】 解：设，则有：， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴或或． 20. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：__________， ； （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长BE，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）拓展应用：在和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时的度数． 【答案】（1），30 （2） ，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）设交于点G，由可得，而、，即可根据“”证明，所以，，则即可解答； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明可得，然后再根据等腰三角形的性质即可解答； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明可得，再分两种情况说明或即可． 【小问1详解】 解：如图1，设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：，30． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴； 当F点在线段上时， 同法可证得：， ， ， ， ； 综上，或． 21. 如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿折线向终点运动；同时点从点出发，以相同的速度沿折线向终点运动，连接，过点作的平行线，并截取，且点在点的右侧，以、为邻边作，设与菱形重叠部分图形的面积为，点的运动时间为． （1）当点N与点B重合时，x的值为______； （2）求的长（用含x的代数式表示）； （3）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当点与点重合时，可知，可证是等边三角形，则，即可得出答案； （2）当，由（1）知，当时，可知是等边三角形，分别求的长； （3）当时，可知等于四边形的面积；当时，设与的交点为，，当时，由图2可知，分别代入计算即可． 【小问1详解】 解：当点与点重合时，可知， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 当，由（1）知， 当时，可知是等边三角形， ， ； 【小问3详解】 当时，可知等于四边形的面积， ， 当时，设与的交点为， 由题意知：，为等边三角形， ， 当时，由图2可知， 综上， 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的面积计算等知识，根据点的位置运用分类讨论思想是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，． （1）求此抛物线的解析式． （2）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值． （3）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差． （4）设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）点与点的纵坐标的差为或 （4）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点的横坐标为，即可求解； （3）分轴时，轴时分别根据抛物线的对称性求得的横坐标与的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解； （4）分四种情况讨论，①如图所示，当都在对称轴的左侧时，当在对称轴两侧时，当点在的右侧时，当的纵坐标小于时，分别求得，根据建立方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点． ∴ ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵， 顶点坐标为， ∵点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为 ∴， 解得：； 【小问3详解】 ①轴时，点关于对称轴对称， ， ∴，则，， ∴， ∴点与点的纵坐标的差为； ②当轴时，则关于直线对称， ∴， 则 ∴，； ∴点与点的纵坐标的差为； 综上所述，点与点的纵坐标的差为或； 【小问4详解】 ①如图所示，当都在对称轴的左侧时， 则 ∴ ∵，即 ∴； ∵ ∴ 解得：或（舍去）； ②当在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时， 则，即， 则， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）； ③当点在的右侧且在直线上方时，即， ， ∴ 解得：或（舍去）； ④当在直线上或下方时，即， ， ， ， 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽源市跨世纪学校2025-2026学年上学期期中测试 九年级数学试题 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 下列剪纸中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 用公式法解方程，其中根的判别式的值是（ ） A. B. C. 12 D. 8 4. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面宽，净高，则此圆的半径为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形草坪（阴影部分）的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加 ，扩建后的矩形草坪面积为．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是______． 8. 如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________ 9. 若方程是关于x的一元二次方程，则________． 10. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 11. 如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是_____m． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 13. 已知二次函数（）经过点． （1）求二次函数解析式； （2）当时，求y的取值范围． 14. 已知：如图，点E是正方形的边上一点，，，逆时针旋转后能够与重合． （1）旋转中心是______，旋转角为______度； （2）请你判断的形状，并说明理由． 15. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B、C、D的坐标分别为． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； 16. 已知关于x的方程． （1）若该方程的一个根为，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 17. 3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 18. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 19. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交手点C． （1）求的面积． （2）当时，求x的取值范围 ． （3）点P为抛物线上一点（不与C重合），若，求点P的坐标． 20. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：__________， ； （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长BE，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）拓展应用：在和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时的度数． 21. 如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿折线向终点运动；同时点从点出发，以相同的速度沿折线向终点运动，连接，过点作的平行线，并截取，且点在点的右侧，以、为邻边作，设与菱形重叠部分图形的面积为，点的运动时间为． （1）当点N与点B重合时，x的值为______； （2）求的长（用含x的代数式表示）； （3）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，． （1）求此抛物线的解析式． （2）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值． （3）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差． （4）设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $