检测03 直线和圆的方程（基础卷）- 2025-2026学年高二上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

检测03 直线和圆的方程（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（25-26高三上·河南·开学考试）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 2．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程易得直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是. 故选：B. 3．（2025·广东佛山·二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】D 【分析】曲线C：去绝对值得四条线段，然后根据距离公式分别求出四条线段的长度，即可得解. 【详解】曲线C：等价于或或或. 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 所以曲线C：的周长为. 故选：D 4．（23-24高二上·安徽六安·期末）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设圆心再根据点在圆上求得，再应用圆的标准方程写出圆的方程即可. 【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为， 则圆的方程为，又点在圆上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为． 故选：A 5．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 6．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】直线l：， 令，解得，所以直线l恒过定点， 圆C：的圆心为，半径为， 且，即P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为． 故选：A． 7．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【详解】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 8．（23-24高二下·全国·课后作业）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解. 【详解】由于点满足关系式，且， 可知在线段上移动，且 设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是， 故选：A.    二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 【答案】BD 【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D. 【详解】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l的两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对. 故选：BD 10．（2023·辽宁葫芦岛·二模）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】可以把点代入圆的方程，验证点是否在圆上，再判断各选项. 【详解】对于A，点在圆上，故A正确； 对于B，点在圆上，故B正确； 对于C，点都不在圆上，故C错误； 对于D，点都不在圆上，故D错误； 故选：AB. 11．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 【答案】AC 【分析】根据直线的定点、圆的相乘、向量数量积运算、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，直线，即， 由解得，所以定点坐标为，A正确， 对于B，圆的圆心为，半径为， 点与圆心的距离为， 所以的最小值为，此时直线垂直于轴，故此时无最小值， 故B错误， 对于C，设，则， 当，即直线方程为时， 取得最小值为，所以C正确， 对于D，若圆上到直线的距离为的点恰好有三个， 则圆心到直线的距离为， 所以， 整理得，所以D错误. 故选：AC 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二上·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据，即表示直线上的点到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即可得结果. 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 13．（2025·天津·二模）已知点P，Q在直线l：上运动，点H在圆C：上，且有，则的面积的最大值为 . 【答案】3 【分析】利用圆的性质求出点到直线距离的最大值，进而求出面积的最大值. 【详解】圆C：的圆心，半径， 则点到直线的距离， 因此圆上的点到直线距离的最大值为，又， 所以的面积的最大值为. 故答案为：3 14．（2024·浙江·二模）如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为 .（参考数据：） 【答案】 【分析】设弧的中点为，根据圆与圆相离，确定两圆的外公切线与内公切线，确定圆的位置，分析可得弧上的点与圆上的点的最短距离. 【详解】如图， 设弧的中点为，弧所对的圆心角为， 圆的半径，在弧上取两点，则， 分别过点作圆的切线，并交直线于点， 当过点的切线刚好是圆与圆的外公切线时，劣弧上一定还存在点，使过点的切线为两圆的内公切线， 则圆的圆心只能在线段上，且不包括端点， 过点，分别向作垂线，垂足为，则即为圆的半径， 设线段交圆于点，则弧上的点与圆上的点的最短距离即为线段的长度. 在中，， 则， 即弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：本题考查了根据两圆位置关系求距离的范围的问题.可按如下结论求解： 相离的两个圆（圆心分别为和 ,半径分别为和）上的两个动点之间的距离的最小值是两圆心之间的距离减去两圆的半径，最大值是两圆心之间的距离加上两圆的半径，即. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （25-26高二上·全国·单元测试）已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合两点求斜率，解不等式即可得出答案； （2）根据方向向量得，解方程即可得出答案. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，因为倾斜角为锐角， 所以直线的斜率， 又， 即，解得， 即的取值范围为． （2）直线的一个方向向量为， 所以， 解得． 16. (15分) （24-25高二下·北京·期中）设直线 (1)求与直线的距离为的直线的方程； (2)求圆关于直线的对称圆的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）依题意该直线与直线平行，由平行直线间的距离公式列方程即可求解； （2）利用“垂直”，“平分”即可求出圆心关于直线的对称点，进而可求对称圆方程. 【详解】（1）由题意可知该直线与直线平行， 所以设该直线方程为， 依题意，解得或， 故该直线方程为或. （2）圆的圆心为， 设圆心关于直线的对称点为， 则且的中点在直线上． ，解得， ， 圆关于直线的对称圆半径不变， 该对称圆方程为：． 17. (15分) （24-25高二上·天津·期中）已知圆C的方程为 (1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出圆的标准方程，则圆心坐标可求，再由点斜式方程求解即可得答案； （2）利用点到直线的距离公式结合勾股定理知识可求解. 【详解】（1）由题意得圆C的标准方程为：， 所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； （2）圆心到直线的距离为， 所以弦AB的长为. 18. (17分) （24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知的三个顶点分别为. (1)求边所在直线的方程； (2)若的中点为，求边的垂直平分线的方程； (3)求的外接圆的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两直线垂直的斜率关系可求边所在直线的方程； （2）求得的中点坐标与直线的斜率，可求边的垂直平分线的方程； （3）设的外接圆的方程为，代入点的坐标，解方程组可求的外接圆的方程. 【详解】（1）由，由两点式可得边所在直线的方程为， 即边所在直线的方程； （2）由，可得的中点为， 又，所以边的垂直平分线的斜率为， 所以由点斜式可得边的垂直平分线的方程为，即. （3）设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 19. (17分) （25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，两点，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知圆，求圆心在上，且过圆与曲线交点的圆的方程； (3)过点作直线交曲线于两点，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）设，根据已知列方程化简可得； （2）法一：根据已知圆，利用圆系方程设出所求，根据圆心在已知圆上即可得解；法二：求出公共弦所在直线方程，然后求出交点坐标即可得解； （3）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，结合基本不等式求解可得. 【详解】（1）设，由可得， 化简可得， 所以点的轨迹的方程为． （2）曲线的方程为，即． 方法一：设经过两圆交点的圆系方程为， 即，所以圆心的坐标为． 又圆心在直线上，所以，解得， 所以所求圆的方程为，即． 方法二：圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，，所以两圆相交. 由，两式相减得两圆的公共弦所在直线为． 由，解得 ，，所以两圆的交点为． 线段的垂直平分线所在直线的方程为， 由，得 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为． （3）如图，设直线的方程为， 联立，消去并整理可得， 则，得．    设，则， 由弦长公式可得 ． 又到直线的距离， 所以． 令，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 检测03 直线和圆的方程（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（25-26高三上·河南·开学考试）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东佛山·二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 4．（23-24高二上·安徽六安·期末）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 8．（23-24高二下·全国·课后作业）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 10．（2023·辽宁葫芦岛·二模）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二上·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 13．（2025·天津·二模）已知点P，Q在直线l：上运动，点H在圆C：上，且有，则的面积的最大值为 . 14．（2024·浙江·二模）如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为 .（参考数据：） 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （25-26高二上·全国·单元测试）已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 16. (15分) （24-25高二下·北京·期中）设直线 (1)求与直线的距离为的直线的方程； (2)求圆关于直线的对称圆的方程. 17. (15分) （24-25高二上·天津·期中）已知圆C的方程为 (1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 18. (17分) （24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知的三个顶点分别为. (1)求边所在直线的方程； (2)若的中点为，求边的垂直平分线的方程； (3)求的外接圆的方程. 19. (17分) （25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，两点，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知圆，求圆心在上，且过圆与曲线交点的圆的方程； (3)过点作直线交曲线于两点，，求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $