检测02 空间向量与立体几何（能力卷）- 2025-2026学年高二年级上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

检测02 空间向量与立体几何（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【答案】D 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 2．（23-24高二上·天津南开·期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 【答案】C 【分析】根据题意得到存在使得，从而得到方程组，得到答案. 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以共面， 故存在使得， 即， 故，解得. 故选：C 3．（25-26高二上·全国·单元测试）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】D 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；结合空间向量的模长公式可判断B选项；分析可得且不共线，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于选项A:若，则，解得,故选项A错误； 对于选项B:若，则，解得，故选项B错误； 对于选项C:若为钝角，则且，解得且，故选项C错误； 对于选项D:在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确． 故选：D. 4．（23-24高二上·山西·阶段练习）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可. 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 5．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面平行得出，从而即可求解 【详解】若，则，从而， 即，解之得：. 故选：A 6．（2024·山东菏泽·二模）如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，逐项判定计算即可． 【详解】因为为正方体，设正方体边长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理解得平面的法向量， ，故A不正确； ，故B不正确； ， ，所以， 又，所以平面，C正确； 平面的一个法向量为， ，故D不正确； 故选：C 7．（23-24高二上·全国·课后作业）在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．解法二：根据三棱锥等体积转换求解点到平面的距离. 【详解】解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ． 设平面的法向量为， 则即， 令，则， ，∴点到平面的距离为． 故选：A. 解法二  底面， ，又，且平面， 平面， 平面 ， ， ， ， 在中，， 令点到平面的距离为， ， ， ． 故选：A. 8．（2023·北京朝阳·二模）如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得平面 C．三棱锥的体积是定值 D．存在点Q，使得PQ与AD所成的角为 【答案】B 【分析】A由、即可判断；B若为中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C只需求证与面是否平行；D利用空间向量求直线夹角的范围即可判断. 【详解】A：正方体中，而P为线段的中点，即为的中点， 所以，故不可能平行，错； B：若为中点，则，而，故， 又面，面，则，故， ，面，则面， 所以存在Q使得平面，对； C：由正方体性质知：，而面，故与面不平行， 所以Q在线段上运动时，到面的距离不一定相等， 故三棱锥的体积不是定值，错； D：构建如下图示空间直角坐标系，则，，且， 所以，，若它们夹角为， 则， 令，则， 当，则，； 当则； 当，则，； 所以不在上述范围内，错. 故选：B 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（25-26高二上·全国·课后作业）下列四个命题中为真命题的是（    ） A．已知是空间中任意五点，则 B．若向量，满足，则 C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量 D．若，则四点共面 【答案】CD 【分析】根据空间向量的运算，即可判断A项；根据已知可推得，即可判断B项；根据空间向量可以平移，即可判断C项；只有“，不共线”，四点才共面，可判断D. 【详解】对于A，，注意前者是零向量，后者是实数0，故A错误； 对于B，注意向量相等时，向量所在直线互相平行或重合， 因此当时，，四点可能在一条直线上，故B错误； 对于C，空间中的任意两个非零向量都可以平移到同一起点， 则这两个向量可以是共面向量,故C正确； 对于D，若“，不共线”，有四点共面， 若“，共线”，则四点在同一直线上，则有四点共面， 故D正确． 故选：CD. 10．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（    ） A．是平面的一个法向量 B．四点共面 C． D． 【答案】AD 【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A，根据共面定理即可求解B，根据向量共线即可求解C，由模长公式即可求解D. 【详解】， 所以平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确； 设，则，无解，所以四点不共面，故B错误； ，所以与不平行，故C错误； ，故D正确； 故选：AD. 11．（23-24高二下·甘肃·期末）如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ） A．直线和所成的角为 B．四面体的体积是 C．点到平面的距离为 D．平面与平面所成二面角的正弦值为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算A、C、D，利用割补法求出四面体的体积，即可判断B. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则，，， 对于A，，故， 故，即直线和所成的角为，故A错误； 对于B，易得四面体为正四面体， 则，故B正确； 对于C，， 设平面的法向量为，则有， 令，则，故点到平面的距离，故C正确； 对于D，设平面的法向量为，则有， 令，则，所以， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为，故D正确． 故选：BCD 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 【答案】 【分析】由是的中点，可得，再由向量的线性运算可得,即可得答案. 【详解】解：连接，如图所示： 因为是的中点，分别是，的中点， 所以 , 又因为， 所以， 所以. 故答案为： 13．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中、，求出平面的一个法向量，，由因为平面，则，可得，利用二次函数的基本性质结合空间向量的模长公式可求得线段长度的最小值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，设点，其中、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ，因为平面，则， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，的长度取最小值. 故答案为：. 14．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长. 【详解】由条件知， 又二面角的平面角为，则，所以 ， 所以． 故答案为：. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （25-26高二上·山东德州·开学考试）已知． (1)求向量的坐标； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由空间向量的坐标运算直接求解； （2）分别求出，的坐标，由平行可得，再由向量相等的条件求解即可. 【详解】（1）由，得． （2）由（1）知， 所以，， 又，则， 即， 所以， 则． 16. (15分) （24-25高二上·云南曲靖·期末）如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线的方向向量，即可得证； （2）求出平面的法向量，再由空间向量法计算可得； （3）首先证明平面，则直线到平面的距离即为点到平面的距离，再由空间向量法计算可得. 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，， 又为线段的中点，所以， 所以，又平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面. （2）由（1）可得，所以，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为，平面，平面， 所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 又， 所以点到平面的距离， 即直线到平面的距离为. 17. (15分) （23-24高二上·宁夏吴忠·期中）在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．    (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，此时 【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理可证明平面，再由线面垂直的性质即可得； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得结果. 【详解】（1）因为，且， 可得，， 又因为，可得， 所以，则， 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）因为平面，且平面，所以， 如图所示，以点为原点，建立空间直角坐标系，    可得，，，， 所以，． 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 假设存在点，使得与平面所成角为， 设，（其中），则，， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角为，此时． 18. (17分) （22-23高二下·江苏南京·期末）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；是上靠近的三等分点 【分析】（1）过点作于点，由面面垂直性质定理可得平面，由此证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件列方程确定点的位置； 【详解】（1）过点作于点， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面．    （2）假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为， 以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 即取，，， 所以为平面的一个法向量， 因为在线段上（不含端点），所以可设，， 所以， 设平面的一个法向量为， 即， 取，，， 所以为平面的一个法向量， ，又， 由已知可得 解得或（舍去）， 所以，存在点，使得二面角的余弦值为， 此时是上靠近的三等分点．    19. (17分) （2024·江苏·一模）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．    (1)若，证明：平面； (2)若二面角的正弦值为，求BQ的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)1． 【分析】（1）取的中点M，先证明四边形BMPQ是平行四边形得到线线平行，再由线面平行性质定理可得； （2）法一：应用面面垂直性质定理得到线面垂直，建立空间直角坐标系，再利用共线条件设 ，利用向量加减法几何意义表示所需向量的坐标，再由法向量方法表示面面角，建立方程求解可得；法二：同法一建立空间直角坐标系后，直接设点坐标，进而表示所需向量坐标求解两平面的法向量及夹角，建立方程求解；法三：一作二证三求，设，利用面面垂直性质定理，作辅助线作角，先证明所作角即为二面角的平面角，再利用已知条件解三角形建立方程求解可得. 【详解】（1）证明：取的中点M，连接MP，MB． 在四棱台中，四边形是梯形，，， 又点M，P分别是棱，的中点，所以，且． 在正方形ABCD中，，，又，所以． 从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面； （2）在平面中，作于O． 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面． 在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则． 以为正交基底，建立空间直角坐标系． 因为四边形是等腰梯形，，，所以，又，所以． 易得，，，，，所以，，．    法1：设，所以． 设平面PDQ的法向量为，由，得，取， 另取平面DCQ的一个法向量为． 设二面角的平面角为θ，由题意得． 又，所以， 解得（舍负），因此，． 所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1． 法2：设，所以． 设平面PDQ的法向量为，由，得，取， 另取平面DCQ的一个法向量为． 设二面角的平面角为θ，由题意得． 又，所以， 解得或6（舍），因此． 所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．    法3：在平面中，作，垂足为H． 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，所以． 在平面ABCD中，作，垂足为G，连接PG． 因为，，，PH，平面， 所以平面，又平面，所以． 因为，，所以是二面角的平面角． 在四棱台中，四边形是梯形， ，，，点P是棱的中点， 所以，． 设，则，， 在中，，从而． 因为二面角的平面角与二面角的平面角互补， 且二面角的正弦值为，所以，从而． 所以在中，，解得或（舍）． 所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1． 学科网（北京）股份有限公司 $ 检测02 空间向量与立体几何（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 2．（23-24高二上·天津南开·期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 4．（23-24高二上·山西·阶段练习）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东菏泽·二模）如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 7．（23-24高二上·全国·课后作业）在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·北京朝阳·二模）如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得平面 C．三棱锥的体积是定值 D．存在点Q，使得PQ与AD所成的角为 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（25-26高二上·全国·课后作业）下列四个命题中为真命题的是（    ） A．已知是空间中任意五点，则 B．若向量，满足，则 C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量 D．若，则四点共面 10．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（    ） A．是平面的一个法向量 B．四点共面 C． D． 11．（23-24高二下·甘肃·期末）如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ） A．直线和所成的角为 B．四面体的体积是 C．点到平面的距离为 D．平面与平面所成二面角的正弦值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 13．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是 ． 14．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （25-26高二上·山东德州·开学考试）已知． (1)求向量的坐标； (2)若，求的值． 16. (15分) （24-25高二上·云南曲靖·期末）如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)求直线到平面的距离. 17. (15分) （23-24高二上·宁夏吴忠·期中）在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．    (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. (17分) （22-23高二下·江苏南京·期末）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 19. (17分) （2024·江苏·一模）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．    (1)若，证明：平面； (2)若二面角的正弦值为，求BQ的长． 学科网（北京）股份有限公司 $