精品解析： 四川省泸州市龙马潭区龙马高中初中部2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年四川省泸州市龙马潭区龙马高中初中部八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 平行四边形中，、、、的度数之比有可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 5. 下列函数中是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，D，E，F分别是AC，BC，AB的中点，连接DE，CF．若，则DE的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 7. 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 9. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ) A. B. C. D. 10. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，∠AOD＝60°，则AB的长为（　　） A. 3 B. 2 C. 3 D. 6 11. 如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线1上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，b的面积分别为1和9，则c的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 12. 在正方形外取一点E，连接、、，作交于P，，，下列结论正确的是（ ） ①；②；  ③；④ ． A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 计算的结果是___． 14. 在菱形中，对角线，，则菱形的周长为____________． 15. 已知函数的图象经过点，点，则______（填“>”“<”或“=”） 16. 如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一个动点，则的最小值是________． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 19. 先化简，再求值：，其中 20. 已知正比例函数． （1）若点在它的图象上，求正比例函数的表达式； （2）若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围． 21. 劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长（）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． （1）求蔬菜区边的长； （2）求劳动基地（四边形）的面积． 22. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了亿（含预售及海外票房），商家推出了两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件种娃娃和购进5件种娃娃的费用相同，购进6件种娃娃和4件种娃娃一共需要元．且种娃娃售价为元/个，种娃娃售价为元/个． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进、两种娃娃共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 23. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 24. 阅读材料：教材第16页“阅读与思考”中指出：如果一个三角形的三边长分别为、、，，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．完成下列问题： （1）一个三角形边长依次为、、，利用这个公式，可以求出这个三角形的面积是_____． （2）学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，＝，＝，＝，求 的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． ①作于，设＝，用含的代数式表示，则＝____； ②请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值； ③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）用t的代数式表示：AE=　 　；DF=　 　； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省泸州市龙马潭区龙马高中初中部八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方式为非负数列出不等式求解即可. 【详解】解：由题意得：x+1≥0， 解得：x≥-1. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方式非负. 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么这个根式叫做最简二次根式． 【详解】解：A、原式，故A符合题意． B、原式，故B不符合题意． C、原式，故C不符合题意． D、原式，故D不符合题意． 故选：A 3. 平行四边形中，、、、的度数之比有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题是考查平行四边形的性质，由于四边形是平行四边形，由平行四边形的性质两组对角分别相等可知选项C有可能． 【详解】解：由平行四边形的两组对角分别相等得到在平行四边形中，，，那么，的度数之比有可能是． 故选：C． 4. 若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质，根据绝对值非负性，平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 5. 下列函数中是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数．根据正比例函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不是正比例函数，故本选项不符合题意； B、不是正比例函数，故本选项不符合题意； C、是正比例函数，故本选项符合题意； D、不是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：C 6. 如图，在中，，D，E，F分别是AC，BC，AB的中点，连接DE，CF．若，则DE的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得的长，根据三角形中位线定理可得的长． 【详解】依题意，，D，E，F分别是AC，BC，AB的中点，， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，掌握以上定理是解题的关键． 7. 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及两点间距离公式，熟记勾股定理的公式是解题的关键． 根据勾股定理的公式算出正方形的对角线长，即可得到答案． 【详解】解：数轴上正方形的边长为1， 则正方形的对角线长为：， 则点A表示的数为 故选：C． 8. 如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9-x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9-x， ∵D是BC的中点， ∴BD=3， 在Rt△NBD中，x2+32=（9-x）2， 解得x=4． 即BN=4． 故选A． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强． 9. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊点和三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意可知，P点在AD段时面积为零，在DC段时面积y由0逐渐增大到8，在CB段因为底和高不变所以面积y不变，在BA段时面积y逐渐减小为0， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象识别，根据动点P的位置正确得出三角形的面积变化情况是解答的关键． 10. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，∠AOD＝60°，则AB的长为（　　） A. 3 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形ABCD是矩形，∠AOD＝60°，可得△AOD是等边三角形，再根据勾股定理即可求出AB的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°，OA＝OD＝OB， ∵∠AOD＝60°， ∴△AOD是等边三角形， ∴OA＝OD＝AD＝3， ∴BD＝2OD＝6， ∴AB＝＝3． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质及等边三角形、勾股定理．熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 11. 如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线1上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，b的面积分别为1和9，则c的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质．证，推出，，求出，，求出b的面积为，代入求出即可． 【详解】解：根据正方形的性质得出，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵a，b的面积分别为1和9， ∴，， ∴c的面积为：， 故选：C． 12. 在正方形外取一点E，连接、、，作交于P，，，下列结论正确的是（ ） ①；②；  ③；④ ． A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形性质与判定，勾股定理，三角形面积，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据正方形的性质结合，可判定①正确；利用全等三角形性质和正方形性质即可得到②正确；根据可知，根据勾股定理可求得的长，再根据勾股定理即可求得的长，得到③正确；根据将转化为即可判定④错误；从而解题． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ，故①正确； ， ，故②正确； ， ， ，， ， ，， ，故③正确； ， ， 由图可知：， ，故④错误； 综上，正确的有①②③， 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 计算的结果是___． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式的加减法实质上是合并同类项是解答此题的关键． 14. 在菱形中，对角线，，则菱形的周长为____________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，利用菱形的性质结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图：在菱形中，对角线，，令对角线、相交于点， ， 则，，， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为：． 15. 已知函数的图象经过点，点，则______（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象性质，把点坐标代入函数解析式中，计算即可判断． 【详解】解：把点，点的坐标分别代入中， 则， ∴． 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一个动点，则的最小值是________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】当时，有最小值，由正方形的性质可得，进而求出此时，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为8， ∴，， ∵， ∴， 当时，有最小值，即有最小值， 此时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的最小值是． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，计算零指数幂、绝对值、负整数指数幂、算术平方根，再进行加减运算即可． 【详解】解： 18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D， 又∵BE=DF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF. （其他证法也可） 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值． 先根据分式混合运算法则算到最简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 20. 已知正比例函数． （1）若点在它的图象上，求正比例函数的表达式； （2）若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，解正比例函数图象的性质，熟练掌握正比例函数的图象性质是解题的关键； （1）把点的坐标代入即可计算． （2）根据正比例函数图象的性质，得，解不等式即可求得k的取值范围； 【小问1详解】 解： 点在的图象上， ， 解得， 正比例函数的表达式为． 【小问2详解】 （2）的图象经过第二、四象限， ， ． 21. 劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长（）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． （1）求蔬菜区边的长； （2）求劳动基地（四边形）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）先通过勾股定理的逆定理证明，再根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， 故蔬菜区边的长为． 【小问2详解】 解：∵， ，， 则，， 即， ∴， ∴劳动基地的面积为：， 故劳动基地（四边形）的面积为． 22. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了亿（含预售及海外票房），商家推出了两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件种娃娃和购进5件种娃娃的费用相同，购进6件种娃娃和4件种娃娃一共需要元．且种娃娃售价为元/个，种娃娃售价为元/个． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进、两种娃娃共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）每个A种娃娃的进价是元，每个B种娃娃的进价是8元； （2）当购进个A种娃娃，个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答． （1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元； （2）根据题意，可以得到利润与购进A种娃娃数量的函数关系，然后根据该商家计划用不超过元的资金购进A、B两种娃娃共个，可以求得购进A种娃娃数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少 【小问1详解】 解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 根据题意得： 解得：． 答：每个A种娃娃的进价是元，每个B种娃娃的进价是8元； 【小问2详解】 解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：． 设这个娃娃全部售完获得的总利润为w元，则， 即． ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进个A种娃娃，个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是元． 23. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵的中点为E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形； （2）由菱形的性质得，由矩形的性质得，则6，，所以，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴6， ∴， ∴， ∴菱形的面积为96． 24. 阅读材料：教材第16页“阅读与思考”中指出：如果一个三角形的三边长分别为、、，，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．完成下列问题： （1）一个三角形边长依次为、、，利用这个公式，可以求出这个三角形的面积是_____． （2）学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，＝，＝，＝，求 的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． ①作于，设＝，用含的代数式表示，则＝____； ②请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值； ③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 【答案】（1） （2）①；②x=9；③△ABC 的面积为84 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的应用； （1）先求出 ，再由海伦公式，即可求解； （2）①设，根据，即可求解； ②根据勾股定理，可得，从而得到，即可得到方程，解出即可； ③由②以及勾股定理可得，再由三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵三角形边长依次是、、， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 ①，， ； ②，，， ， ， 解得：； ③由②得 ： ， ． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）用t的代数式表示：AE=　 　；DF=　 　； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）2t，2t；（2）当t=10时，▱AEFD是菱形；（3）当t=s或12s时，△DEF是直角三角形． 【解析】 【详解】试题分析： （1）由已知易得∠C=30°，∠DFC=90°，这样结合已知条件即可得到：DF=CD=2t，AE=2t； （2）由（1）可知，AE=DF，结合AE∥DF可得四边形AEFD是平行四边形，由此可得当AD=AE，即60-4t=2t时，四边形AEFD是菱形，解此关于t的方程即可求得对应的t的值； （3）如图1和图2，根据题意分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况结合已知条件分析、计算即可得到对应的t的值. 试题解析： （1）∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°． ∵CD=4t，AE=2t， 又∵在直角△CDF中，∠C=30°， ∴DF=CD=2t， 故答案为2t，2t； （2）∵DF⊥BC ∴∠CFD=90° ∵∠B=90° ∴∠B=∠CFD ∴DF∥AB， 由（1）得：DF=AE=2t， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当AD=AE时，四边形AEFD是菱形， 即60﹣4t=2t， 解得：t=10， 即当t=10时，▱AEFD是菱形； （3）分两种情况： ①当∠EDF=90°时，如图1，DE∥BC． ∴∠ADE=∠C=30° ∴AD=2AE ∵CD=4t， ∴DF=2t=AE， ∴AD=4t， ∴4t=60﹣4t， ∴t= ②当∠DEF=90°时，如图2，DE⊥EF， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴AD∥EF， ∴DE⊥AD， ∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°， ∵∠A=60°， ∴∠DEA=30°， ∴AD=AE， ∴60﹣4t=t， 解得t=12． 综上所述，当t=s或12s时，△DEF是直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $