精品解析：甘肃省白银市某校2025届高三上学期期中考试数学试卷

2025届高三期中考试 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号、考场、座位号、班级填写在试题卷和答题卡上，用2B铅笔把答题卡上对应考号的数字标号涂黑. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题的作答，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 若(为虚数单位)，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数虚部的定义进行求解即可. 【详解】，因此复数的虚部为， 故选：B 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 4. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，及函数的增长的快慢来确定函数图像. 【详解】，所以，为奇函数，故A错误； D错误； ，故当时，， 所以函数在上单调递增，且当时，， 即越大，函数值会无限增大，不会停止增长. 选项C：当时，函数图象缓慢增长，趋近一条水平直线， 函数值最终几乎不再增长，趋近某个常数，函数图象与不符，故C舍去； 选项B：当时，函数图象持续增长，且增长速度越来越快， 函数值随增大无限变大，函数图象与一致，故B正确. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 5. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面几何知识求解 【详解】如图，可知 =，选B. 【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用， 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角平方关系结合角的范围求得，再根据，结合和角余弦公式即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以， 所以 . 故选：C 7. 设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】构造新函数,，当时. 所以在上单减，又，即. 所以可得,此时， 又为奇函数，所以在上的解集为：. 故选A. 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数. 8. 已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为2 B. 函数关于直线对称 C. 函数关于点中心对称 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据为偶函数推导出，根据为奇函数，得到，得到函数的图象关于点对称，故B错误，C正确； 由由及推导出，故周期为4，A错误； 根据函数的周期性求出，D错误. 【详解】∵为偶函数， ∴， ∴， 故 即， ∴函数的图象关于直线对称. ∵为奇函数， ∴， ∴，所以函数的图象关于点对称，故B错误，C正确； 由及知，， ∴， ∴，即， ∴，故 ∴函数的周期为4，A错误， ，故D错误. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有 A. 在水平地面上任意寻找两点，，分别测量旗杆顶端的仰角，，再测量，两点间距离 B. 在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和 C. 在地面上任意寻找一点，测量旗杆顶端的仰角，再测量到旗杆底部的距离 D. 在旗杆的正前方处测得旗杆顶端的仰角，正对旗杆前行5m到达处，再次测量旗杆顶端的仰角 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据各选项的描述，结合正余定理的边角关系判断所测数据是否可以确定旗杆高度即可. 【详解】对于A：如果，两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确． 对于B：如下图， 中由正弦定理求，则旗杆的高，故B正确； 对于C：在直角三角形直接利用锐角三角函数求出旗杆的高，故C正确； 对于D：如下图，中由正弦定理求，则旗杆的高，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】 ， 即， 对于A，，易知为偶函数，所以A正确； 对于B，对称轴为，故B错误； 对于C，，单调递减，则 单调递增，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误； 故选：AC 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是 B. 当且时， C. 若满足，则 D. 若存在极值点，且，其中，则 【答案】AD 【解析】 【分析】求函数的导函数，判断函数的单调性，求其极值点，由有三个零点列不等式求的取值范围，判断A，证明，结合单调性比较的大小，判断B，由条件可得关于点成中心对称，结合对称性性质判断C，由极值点的性质可得，，令，化简又，可证明判断D. 【详解】对于选项A，当时，，， 由，得到或，由，得到， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 故在处取到极大值，在处取到极小值， 若有三个零点，则解得，故选项A正确； 对于选项B，当时，，， 又，即， 由选项A知，在区间上单调递减， 所以，故选项B错误； 对于选项C，因为，即， 所以关于点成中心对称，又的定义域为， 所以，整理得到，所以选项C错误； 对于选项D，因为，所以， 由题有，即， 由，得， 令，则，又， 所以， 得到， 整理得到， 又，代入化简得到， 又，， 所以，得到， 即，所以选项D正确. 故选：AD. 三、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分. 12. 平面向量与的夹角为60°，，，则等于______. 【答案】 【解析】 【分析】先求向量，再根据向量模的运算求. 【详解】因为，所以， 又因为与的夹角为，， 所以 ； 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，若，，且，则的最小值是______ 【答案】8 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，又，所以函数单调递增， 又，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数，则________． 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析： ． 考点：对数的运算，函数的奇偶性． 【名师点晴】函数值计算问题，基本方法是直接代入计算，有些表面复杂的问题如果采取这种方法可能会起到事半功倍的效果，另外挖掘f（x）的隐含条件构造新函数和应用函数的奇偶性也是解决问题的关键，本题可以设，则是奇函数，那么，从而有，即． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求m的取值范围. ①在有恰有两个极值点； ②在单调递减； ③在恰好有两个零点. 【答案】（1） （2） 选择①，；若选择②，不符合题意；选择③，. 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换公式对函数化简变形，然后利用周期公式直接求解即可； （2）先由，得，若选①，则，从而可求出m的取值范围，若选②，则当时，函数递增，所以不合题意，若选③，则，从而可求出m的取值范围. 【小问1详解】 因为 . 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 因为，所以. 选择①，因为在有恰有两个极值点. 所以. 所以. 若选择②，因为当时，函数递增， 所以在不可能单调递减，所以②不符合题意； 选择③，因为在恰好有两个零点. 所以. 所以. 16. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）借助导数可讨论单调性，即可得极值. 【小问1详解】 ，则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 由，故， 则，， 故当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故有极大值， 有极小值. 17. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知， 所以 ， 即. （3） 【解析】 【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可； （2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证； （3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合二次函数的图象即可求得的值域. 【小问1详解】 因为的“完美坐标”为，则， 又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为， 所以,， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由（2）得. 令，则， 因为，所以，即， 令， 因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为. 【点睛】思路点睛：本题在求解与之相关的函数问题时，应按照新定义，准确写出函数解析式，对于较复杂的三角式，常常运用整体换元思想，将其转化成熟悉的函数，如二次函数、双勾函数等，利用这些函数的图象性质特征求解即可. 18. 在中，角的对边分别为. （1）求； （2）已知为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式展开化简可得； （2）利用面积公式和余弦定理列方程组求解出，可知为等腰三角形，然后结合已知即可得解. 【小问1详解】 ，， ， ， ，，， 又，. 【小问2详解】 因为BD为的平分线，，所以， 又，， 所以， 即，① 由余弦定理，得，即，② 由①②可得（舍去负值），， 所以a，c是关于的方程的两个实根，解得. 又因为BD为的平分线，所以， 又，， 所以，， 所以的周长为. 19. 定义：对于函数，若，则称“”为三角形函数. （1）已知函数，若为二次函数，且，写出一个，使得“”为三角形函数； （2）已知函数，若“”为三角形函数，求实数的取值范围； （3）若函数，证明：“”为三角形函数.（参考数据：） 【答案】（1）由，， 得，令，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以. 因为为二次函数，且，所以的对称轴为， 设， 要使“”为三角形函数，只要， 取，则， ，满足， 则，即成立. 故若，取，可使得“”为三角形函数. （答案不唯一，参考函数，写出任意一个满足题意的都可以） （2） （3）证明:，. 由（1）知，， 则任意，； 下面证明. 由，， 则， 令， 则，所以在上单调递减. 又，由参考数据可知，， 则存在唯一的实数，使，即(). 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 故， 由()式可知， 则， 令， 则， 所以在单调递增， 故. 即. 所以成立，即. 故“”为三角形函数，命题得证. 【解析】 【分析】（1）由定义中的任意性，将条件不等式转化为.求，构造二次函数，使即可； （2）按与的大小分类讨论，求解函数的值域，再结合定义建立关于的不等式求解可得； （3）利用（1）结论得，转化命题证明，构造函数，设出隐零点探求零点范围，证明即，将零点满足关系式代回化简换元，再构造新函数，证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ①当时，， 则任意，故“”为三角形函数. ②当时，由， 则，； 要使“”为三角形函数， 由，解得， 则有， 所以； ③当时，则， 要使“”为三角形函数，由，解得， 则有， 所以； 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三期中考试 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号、考场、座位号、班级填写在试题卷和答题卡上，用2B铅笔把答题卡上对应考号的数字标号涂黑. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题的作答，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若(为虚数单位)，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 5. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则 A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为2 B. 函数关于直线对称 C. 函数关于点中心对称 D. 二、多项选择题：本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有 A. 在水平地面上任意寻找两点，，分别测量旗杆顶端的仰角，，再测量，两点间距离 B. 在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和 C. 在地面上任意寻找一点，测量旗杆顶端的仰角，再测量到旗杆底部的距离 D. 在旗杆的正前方处测得旗杆顶端的仰角，正对旗杆前行5m到达处，再次测量旗杆顶端的仰角 10. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是 B. 当且时， C. 若满足，则 D. 若存在极值点，且，其中，则 三、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分. 12. 平面向量与的夹角为60°，，，则等于______. 13. 已知函数，若，，且，则的最小值是______ 14. 已知函数，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求m的取值范围. ①在有恰有两个极值点； ②在单调递减； ③在恰好有两个零点. 16. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 17. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 18. 在中，角的对边分别为. （1）求； （2）已知为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长. 19. 定义：对于函数，若，则称“”为三角形函数. （1）已知函数，若为二次函数，且，写出一个，使得“”为三角形函数； （2）已知函数，若“”为三角形函数，求实数的取值范围； （3）若函数，证明：“”为三角形函数.（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $