4.2：指数函数【十大题型】讲义-2025-2026学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版）

4.2：指数函数 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点二：指数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 知识点三：解指数方程、不等式 简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． 知识点四：指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 【例题详解】 题型一、指数函数的概念与求参数问题 【例1】．（24-25高一上）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【变式1】．（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【变式2】．（23-24高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 题型二、求指数函数的解析式、函数值 【例2】．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【变式1】．（22-23高一下·新疆伊犁·期中）函数，且的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．9 【变式2】．（24-25高一上·上海·课后作业）若指数函数（且）的图象经过点，当时， ． 题型三、判断指数性函数的图象 【例3】．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象大致为（） A．  B．  C．   D．   【变式1】．（22-23高一上·江苏无锡·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 题型四、指数型函数的定义域和值域 10．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 11．（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型五、指数型函数的单调性（复合型） 13．（24-25高一上·海南·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·重庆江北·期末）函数的减区间为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 题型六、比较指数幂大小 16．（25-26高一上·河南）设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高三上·广东·阶段练习）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型七、指数型函数的参数问题 19．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·云南·期末）已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 21．（23-24高一上·江西宜春·期末）设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 题型八、指数函数与不等式问题 22．（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）若对任意的，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 23．（2022·福建龙岩·一模）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是 ． 24．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，且在上恒成立，则实数的取值范围为 . 题型九、指数函数定点问题 25．（24-25高一上·福建龙岩·期末）若幂函数在区间上单调递增，则函数的过定点（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数图象恒过定点，且点在函数图象上，则的最小值为（   ） A．4 B．1 C．2 D． 27．（24-25高一上·甘肃·期末）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 题型十、指数函数综合问题 28．（25-26高一上·安徽·期中）已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 29．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）设常数，函数，. (1)当时，求函数的值域. (2)若函数的最小值为0，求的值. 30．（25-26高二上·上海·阶段练习）已知函数是定义域为上的偶函数. (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·吉林·阶段练习）下列函数中，在定义域上单调递增且值域为的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”:设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，）的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·山西·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．   D．   6．（24-25高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·陕西·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义域为R的函数满足，当时，，则满足 的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·山西忻州·开学考试）已知函数，则正确的是（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．函数是偶函数 10．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于y轴对称 D．若，且（a，b均不为0），则 11．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 12．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为R的是奇函数，则（   ） A． B．在R上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 三、填空题 13．（25-26高一上·四川成都·阶段练习）函数的定义域为 ． 14．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知函数，若，则的最大值为 . 15．（24-25高一上·安徽宣城·期末）函数，在上单调递减，则a的取值范围是 ． 16．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 17．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则该值域对应的一个定义域为 ． 四、解答题 18．（25-26高一上·全国·单元测试）设函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若，求的值域． 19．（25-26高三上·江苏徐州·开学考试）已知定义在上的函数是奇函数. (1)求，的值，并判断函数的单调性； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 20．（24-25高一上·云南·期末）已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)若成立，求实数的取值范围. 21．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 22．（25-26高一上·新疆·期中）已知函数，且是上的奇函数. (1)求实数的值； (2)①判断函数的单调性并用定义证明； ②求不等式的解集； (3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2：指数函数 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点二：指数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 知识点三：解指数方程、不等式 简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． 知识点四：指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 【例题详解】 题型一、指数函数的概念与求参数问题 【例1】．（24-25高一上）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【分析】由指数函数定义可判断选项正误. 【详解】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D 【变式1】．（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解. 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 【变式2】．（23-24高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【详解】解：因为函数是指数函数， 且，，由解得或，，故选：D. 题型二、求指数函数的解析式、函数值 【例2】．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】由指数函数的图象经过点，可得，解得，所以， 故选：A. 【变式1】．（22-23高一下·新疆伊犁·期中）函数，且的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【详解】由题意可知，，，且，得，所以，.故选：D 【变式2】．（24-25高一上·上海·课后作业）若指数函数（且）的图象经过点，当时， ． 【答案】/0.015625 【分析】先根据已知求出参数的值，然后将代入函数表达式即可求解. 【详解】由题意，注意到且，所以解得， 所以指数函数解析式为， 当时，. 故答案为：. 题型三、判断指数性函数的图象 【例3】．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象大致为（） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】先求出时函数的单调性和值域，再求出时函数的单调性和值域，从而采用排除法即可得到答案． 【详解】设，当时，， ∴时，单调递增，由，得， ，∴选项C，D错误．当时，， ∴时，单调递增，由，得，即，∴函数图象在轴下方，排除B选项，则选项A符合要求． 故选：A． 【变式1】．（22-23高一上·江苏无锡·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】的定义域为， ，所以是奇函数， 图象关于原点对称，所以B选项错误. ，所以C选项错误. 的增长速度比的增长速度慢， 所以时，，所以D选项错误. 故选：A 【变式2】．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，排除BC选项， 又因为，故函数为偶函数，排除A选项， 故选：D. 题型四、指数型函数的定义域和值域 10．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 11．（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 12．（24-25高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，所以，结合指数函数的单调性即可求出答案. 【详解】令，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 故选：D. 题型五、指数型函数的单调性（复合型） 题型五、指数型函数的单调性（复合型） 13．（24-25高一上·海南·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求得答案. 【详解】设，令，则或， 即函数的定义域为， 结合题意知的定义域为； 易知函数在定义域上的单调递增， 故要求函数的单调递增区间， 即求在上的单调递增区间， 而在区间上单调递增，在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故函数的单调递增区间是. 故选：B 14．（24-25高一上·重庆江北·期末）函数的减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可确定选项. 【详解】令，，则， ∵在上为增函数，在上为减函数， ∴的减区间为. 故选：B. 15．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 【答案】B 【分析】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可. 【详解】令， 则视为由和构成的复合函数， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 而，故，故B正确. 故选：B 题型六、比较指数幂大小 16．（25-26高一上·河南）设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和幂函数单调性进行判断即可. 【详解】，，，，； 在上单调递增，，； 综上所述：. 故选：D. 17．（25-26高三上·广东·阶段练习）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数、的单调性即可. 【详解】因函数为上的递增函数，则，即，则； 因函数为上的递增函数，则，即，则， 则. 故选： 18．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【详解】依题意，，，， 所以. 故选：A. 题型七、指数型函数的参数问题 19．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 20．（23-24高一上·云南·期末）已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得，然后对进行分类讨论，结合函数的单调性列方程来求得的值. 【详解】由奇函数的性质可知，，∴，∴，经检验，符合题意， ∴，当时，在上单调递增， ∴，解得或（舍去）； 当时，在上单调递减， ∴，解得或（舍去）. 综上所述，或. 故选：A 21．（23-24高一上·江西宜春·期末）设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 【答案】C 【详解】设，则函数等价于， 因为函数函数在区间上的最小值为－8，所以能取到，当时，， 所以，可得， 当时，， 所以，可得， 故选：C 题型八、指数函数与不等式问题 22．（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）若对任意的，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意化为对任意恒成立，求出不等式右边的最小值后，代入不等式可得结果. 【详解】由，得， 令，因为，所以， 所以对任意恒成立， 因为在上单调递增， 所以当时，取得最小值，当时，取得最大值， 所以，所以. 故答案为： 23．（2022·福建龙岩·一模）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解. 【详解】由题意得：有解 令 有解，即有解，显然无意义 ,当且仅当，即时取等， 故答案为：. 24．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，且在上恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由函数的奇偶性求出，不等式变为在上恒成立问题，求出的最大值即可. 【详解】因为，① 得，又和分别为偶函数和奇函数， 所以，② 由①②相加得， 又在上恒成立即在上恒成立， 设，则只需， 易知在上为增函数， ， 所以， 故答案为：. 题型九、指数函数定点问题 25．（24-25高一上·福建龙岩·期末）若幂函数在区间上单调递增，则函数的过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质得到方程，求出，从而，由指数函数性质得到所过定点坐标. 【详解】为幂函数，且在区间上单调递增， 由题意得且，解得， 故， 令得，则， 所以的过定点. 故选：B 26．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数图象恒过定点，且点在函数图象上，则的最小值为（   ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由得，又，所以定点为，从而， ， 当且仅当时等号成立. 故选：C. 27．（24-25高一上·甘肃·期末）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用幂函数的定义和性质，求得，得到，再结合指数型函数的图象性质求解即可. 【详解】因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得， 所以，则， 即函数的图象过定点. 故选：A. 题型十、指数函数综合问题 28．（25-26高一上·安徽·期中）已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的定义及函数图像所过点求解； （2）根据函数单调性转化为恒成立，通过分类讨论结合分离参数得解. 【详解】（1）设（，且）， 由，得， 所以. （2）由题意得，所以是偶函数. 由（1）得, 任取则， ， ，所以在上单调递增， 由，得， 易得，， 所以由，得. 当时，恒成立； 当时，. 因为， 所以， 得， 即t的取值范围为. 29．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）设常数，函数，. (1)当时，求函数的值域. (2)若函数的最小值为0，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出的值域； （2）通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出的最小值，求出的值即可． 【详解】（1）若，则， 因为，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，且，， 可得，所以函数的值域为. （2）因为函数，， 且，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 当时，在内单调递增， 则的最小值是，解得，符合题意； 当时，在内单调递减，在内单调递增， 则的最小值是，解得，不合题意； 当时，在内单调递减， 则的最小值是，解得，不合题意； 综上所述：． 30．（25-26高二上·上海·阶段练习）已知函数是定义域为上的偶函数. (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数定义列式求得的值，进而计算得解； （2）先根据定义法判断的单调性，结合偶函数性质，即可求解不等式的解集； （3）由，令，得，分别讨论和，即可求得的值. 【详解】（1）因为是定义域为上的偶函数， 则，即， 所以，即， ， . （2）由（1）可知，设， 则 ， ， ，即， 函数在上单调递增， 则不等式化为：， 可得， 且， . （3）， ， 令，由，则， ， 当时，当时，，解得； 当时，当时，，解得，不符合题意，舍去； 综上，可知. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·吉林·阶段练习）下列函数中，在定义域上单调递增且值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项分析函数的单调性和值域，可得正确答案. 【详解】对于A：函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于B：函数在上单调递增，且函数值域为，故B正确； 对于C：函数在上单调递增，函数值域为，故C错误； 对于D：函数，当时，，其在上单调递增， 当时，，其在上单调递减， 函数的值域为，故D错误. 故选：B 2．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”:设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知,由此即可得出的取值范围，再由高斯函数的定义选出答案. 【详解】由题意知， 因为， 所以函数的值域为. 故选：D. 3．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，）的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点代入函数表达式得出的值，从而得出函数解析式，依次代入各选项坐标计算求解. 【详解】已知函数（，）的图象经过点， ，解得， ∴， 依次代入各选项坐标： 当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：C. 5．（25-26高三上·山西·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】判断函数的奇偶性，再结合函数值以及特殊值即可判断出答案. 【详解】由题意知的定义域为， 且，故为奇函数，图象关于原点对称，A错误； 当时，，则，D错误； 当时，，结合图象可知C错误，只有B中图象符合题意， 故选：B 6．（24-25高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，求解即得. 【详解】由题意，函数是上的增函数， 则，解得. 故选：B. 7．（25-26高三上·陕西·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数奇偶性的定义得为奇函数，利用函数单调性的性质得函数在上单调递增，进而结合奇函数性质利用单调性求解不等式即得. 【详解】的定义域为，因为，所以是奇函数． ，则在上单调递增， 由0，可得，即． 因为在上单调递增，所以，解得， 故不等式的解集为． 故选：D. 8．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义域为R的函数满足，当时，，则满足 的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据偶函数概念得是定义域为的偶函数，再根据指数函数的单调性及偶函数性质将不等式转化为，即可求解. 【详解】因为函数满足，所以是定义域为的偶函数， 当时，，此时在上单调递减， 则在上单调递增， 所以，即，解得. 故选：D 二、多选题 9．（25-26高一上·山西忻州·开学考试）已知函数，则正确的是（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．函数是偶函数 【答案】AC 【分析】A项，根据的性质易求出函数的值域；B项，写出的表达式，根据的单调性，即可求出的解集；C项，求出的表达式，得出与的表达式相同，即可得出结论；D项，设，利用函数的奇偶性定义即可判断. 【详解】对于A，因，则，即值域为，A正确； 对于B，因，由得，即， ∵函数为减函数，∴，解得，故的解集为，B错误； 对于C，由， 可得，    由图知，的图象与的图象关于轴对称，C正确； 对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数，故D错误. 故选：AC. 10．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于y轴对称 D．若，且（a，b均不为0），则 【答案】AC 【分析】利用指数函数的性质可得 【详解】对A：因为的值域为，所以的值域为．故A正确； 对B：．所以不等式的解集为，故B错误； 对C：与的图象关于y轴对称的图象对应函数的解析式为，所以的图象与的图象关于y轴对称(（且）与的图象关于y轴对称）．故C正确； 对D：作出函数，的图象如图所示，由图可知，当，时，；当，时，． 故D错误. 故选：AC 11．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 【答案】ABD 【分析】根据指数函数的性质，结合函数关于轴对称定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为增函数， 则为减函数，则在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 12．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为R的是奇函数，则（   ） A． B．在R上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【详解】因为是定义域为R的奇函数，所以，即，解得，此时，，是奇函数，故，故A正确．因为，所以在R上单调递减，故B错误．因为，所以，所以，故C正确．因为在R上单调递减，所以，即，解得或，所以的解集为，故D正确．故选ACD． 三、填空题 13．（25-26高一上·四川成都·阶段练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】求出的解集后可得到函数的定义域 【详解】由题可得，所以， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 14．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知函数，若，则的最大值为 . 【答案】1 【分析】首先求出，然后由的单调性即可得出答案. 【详解】若，即，则，所以，当时，；当时，， 所以的最大值为1.故答案为：1 15．（24-25高一上·安徽宣城·期末）函数，在上单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数单调递减的特点，列出相应的不等式组，求解即可得到a的取值范围. 【详解】由题意可知，，所以. 所以. 故a的取值范围是. 16．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由奇偶性求得函数解析式，然后分类讨论解不等式可得. 【详解】是定义在上的奇函数，且当时，， 所以， 时，， 时，，解得， 时，，解得， 故答案为：. 17．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则该值域对应的一个定义域为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据分段函数的解析式画出函数图象，结合值域即可求得答案. 【详解】如图，当时，令，解得， 令，解得或（舍）. 当时，易知，所以令，解得， 故该值域对应的一个定义域为. 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题 18．（25-26高一上·全国·单元测试）设函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若，求的值域． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）依题意令分母不等于0，换元，化简得对于恒成立，再根据对勾函数性质和基本不等式计算得到结果； （2）当时，．两次换元法令，，化简得．分类讨论①当时，②当时，计算函数值域； 【详解】（1）的定义域为，即对于恒成立， 令，则，即对于恒成立， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，当且仅当时等号成立， 所以，即的取值范围为． （2）当时，． 令，则， 令，则． ①当时，； ②当时，， 因为， 所以由对勾函数的性质可得， 所以， 即， 所以． 综上，的值域为． 19．（25-26高三上·江苏徐州·开学考试）已知定义在上的函数是奇函数. (1)求，的值，并判断函数的单调性； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，在上是减函数 (2) 【分析】（1）由奇函数的性质和定义求，由单调性定义判断单调性； （2）由函数单调性及奇偶性将不等式转化为变量关系，分离参数并根据二次函数性质求范围. 【详解】（1）是定义在上的奇函数，，解得； ，， ，即对一切实数都成立，，故. ，，在上是减函数. 证明：任取，且，则， ，，，，， 即，在上是减函数； （2）不等式，，， 是上的减函数，恒成立， 由对恒成立，. 即实数的取值范围为. 20．（24-25高一上·云南·期末）已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)若成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入点的坐标可得解析式； （2）判断奇偶性和单调性，利用性质可解不等式； （3）利用单调性转化为，结合基本不等式可求答案. 【详解】（1）因为函数的图象经过点，所以，解得. （2），定义域为，，即为奇函数； 因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 等价于，即， 所以，解得或，故解集为. （3）由（2）可知函数为增函数，，所以； 等价于，即在恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以在上的最小值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 21．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称， 且有， 故函数为奇函数. （2）证明：， 设，再由， 可得， 故函数在上是减函数. （3）对任意的，不等式恒成立，为奇函数， 恒成立， 由函数在上是减函数， 可得 恒成立， 即恒成立， ，解得：， 故的取值范围为. 22．（25-26高一上·新疆·期中）已知函数，且是上的奇函数. (1)求实数的值； (2)①判断函数的单调性并用定义证明； ②求不等式的解集； (3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)0(2)①单调递增，证明见解析；②(3) 【详解】（1）因为是上的奇函数，所以， 所以，所以， 即，化简得， 即，所以，解得； （2）①由（1）得，所以，所以函数在上单调递增，证明如下：由于的定义域为R，任取， 则， 因为，所以，，，所以， 所以，所以函数在上单调递增； ②因为是上的奇函数，所以不等式等价于，即， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为； （3）因为，所以，即， 因为，不等式恒成立， 所以当时，恒成立，则； 当时，恒成立，令，， 则，该函数在为减函数，所以，所以， 所以实数的取值范围为 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $