培优微专题9 奔驰定理与四心问题-【创新教程】2026年高考数学大二轮培优微专题

答案精析丨 课时冲关高效提能 当M在N点所在的位置时，2x+y最大， 1.C[依题意，O为MN的中点，由向量极化恒等式知，PM, 则k=WB/ PN=P0-OM=9-4=5.] =2,所以2x十y取得最大值2. PB 2.D[由题意作图如图. “在△ABC中，DE-D+B驼=号A店 答案：2 D 培优微专题9 +号配-号AB+是(C-)= 研析考点层级突破 考点一 君A店+号AC=以A店+，AC, 例1(1)[解析]由奔驰定理得 S△gg·OA+SAe:OB+SAAOB·OC=0, A=-日=号 2 文OA+2OB+mOC=0, 故十九=分] .S△0C:S△A0c:S△AoB=1:2:m. .S△AoB= 3.B[由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对 金c1+2+m=7,解得m=4. 4 角线长为2√3.当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径. [答案]C 设内切球的球心为O, (2)[解析]记点O到AB,BC,CA的距离分别为h1,h2, 则PM.PN=PO-ON=PG-1. h,Sa=2a…h,Sa0c=2bh, 由于P为正方体表面上的动，点，故OP∈[1，W3], 1 所以PM·PN∈[0,2].] SaaB=2c·h1, 4.C[由极化恒等式(a-c)·(b-c) 因为SAOBC·OA+SAONC·OB+SAOAB·OC=0, -子[a+b-2o2-(a-b)], 则合a:h0A+2bA0i+合c…h,0C-0,即a… (a-c)·(b-c)=0, .(a十b-2c)2=(a-b)2, h2·OA+b:h·OB+c·h:0C=0, 故c2=(a十b)·c, 又因为a·OA十b·OB+c·OC=0,所以h1=h2=h3,所以 又因为a=|b|=1,a⊥b, 点P是△ABC的内心. .la+b|=2, [答案]B 于是|cl≤|a+bl|cl=√2lcl, 跟踪训练 .lc≤2.] 1,D[:O为△ABC内一点，且满足OA+2OB+3OC 5.ABC[令x十y=k,如图，在所 有与直线AB平行的直线中，切 3AB+2 BC+CA, 线离圆心最远，即此时飞取得最 B ..0A+2 0B+3 OC=3(0B-0A)+2(OC-OB)+(OA- 大值，又∠A0B=经，则& OC)→3OA+OB+2OC=0, 0D1=2. :S△c:OA+S△c·OB+S△AoB·OC=0, 0 S△oc:SAA0c:S△AoB=3:1:2, IOE SAN0B S△AOB 当，点C在A(或B)处时，x十y最 S△AB 小为1. 考点 Saw十8C+SaJ 故x十y的取值范围是，2 6.ABC,[如图，MA·MB=MO-Ad 例2(1)[解析]取BC的中点D,由OP=OA+A(AB+AC) (λ≥0)，得AP=2λAD,从而可得AP与AD共线，得直线AP =MQ-16, 与直线AD重合，进而得结论。 A :IOG≤IOM≤1OCl, 取BC的中点D,则AB+AC-2AD, ∴w7≤|OM≤4， 因为OP=OA+A(AB+AC)(A≥0)， .MA·MB的取值范围是[一9,0]. 所以AP=2入AD, 故选A、B、C.] 7.解析：设BD=DC=m,AE=EF=FD=n, 所以AP与AD共线，即直线AP与直 则AD=3n. 线AD重合， 根据向量的极化恒等式， 所以直线AP一定过△ABC的重心.B D C [答案]D 得AB·AC=AD-DB=9n2-m2=4,① (2)[解析]利用向量的数量积的定义式结合三角函数诱导 FB·FC=FD-DB=n-m2=-1.② 公式化简已知等式，再由向量的数量积为零推出向量垂直 联立①@，解得示=各m=是 即可. 8 如图所示，过，点A作AD⊥BC,垂足 因光成，C-E市-D成=4i-m=尽 2 为D点 AB 即BE.CE= 则BC· 8 IAB|cOS∠ABC 答案：？ IBCI ABIcos(ABC)-BCl, 8.解析：如图，D,E,N分别为BC, AB,AC的中，点，P为DE与BN |AB|cOS∠ABC 的交点， B=xBA+yB丽=2x·合A 同理BC· AC -=|BC, P |ACI|cos∠ACD +yBD=2x BE+yBD, 设2x十y=k,作出定值k为1的 :动点P满足OP=OA十 B 等和线DE,AC是过圆上的，点最 AB AC 远的等和线， ,λ∈R |AB|coS∠ABC |AC|cos,∠BCA ·143· 1数学 AB AC 4.A[O是△ABC的垂心，延长CO,BO, :.AP-A ,λ∈R. AO分别交边AB,AC,BC于点P,M, |AB|cos∠ABC IAC|cos∠ACD N,如图， 则CP⊥AB,BM⊥AC,AN⊥BC, .AP·BC= ∠BOP=∠BAC,∠AOP=∠ABC, BC·AB BC.AC 入 lABIcos∠ABC |ACl cos∠ACD =A(-|BC|+ 因此，S△c2OC·BP BP S△A0C 0c·AP AP IBCL)=0, OPtan.∠BOP tan∠BAC .AP⊥BC, OP tan∠AOP tan∠ABC' 因此P的轨迹一定通过△ABC的垂心 [答案]D 同理△e=tan 跟踪训练 tan∠ACB' 于是得tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=S△c:S△Aoc 2.B[在AB,AC上分别取点D,E,使得AD=AB,A正-AC :S今AOB' 又OA+2OB+3OC=0, 以AD,AE为邻边作平行四边形ADFE,即可得知四边形 ADFE是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理 由“奔驰定理”有SAc·OA十SAAc·OB+SAADB·OC 得知A,O,F三点共线，即可得知O在∠BAC的平分线上， =0, 同理说明O在其他两角的平分线上，即可判断. 即S△oc:S△aoc:S△AoB=1·2:3,所以tan∠BAC: 在AB,AC上分别取点D,E,使 tan∠ABC:tan∠ACB=1:2:3.] 得市-正，正-C,则1 5.ABC[对于A,化简等式成BD=号BC,即可判断；对于B. c 将等式两边与BC作点乘，化简得出结果为0即可判断；对于 =|AE1=1. C,利用平面向量基本定理推出三点共线，结合图形和共线 以AD,AE为邻边作平行四边形 向量即得结论；对于D,化简向量等式，利用单位向量作出 ADFE,如图， 则四边形ADFE是菱形， □AB。DC即得菱形，推得AP=入AD,即得结论. 且AF-AD+AE-AB+A ,.AF为∠BAC的平分线. 对于A,由AD=号AB+号AC可得，AD-A正 AB+1AC :aOA十bOB+cOC=0 3 gad=号ac-A. ∴a·OA+b·(OA+AB)+c·(OA十AC)=0, 即得BD=子BC,故点D是BC边上靠近B的三等分点，故 Ep(a+6+c)OA+6AB+cAC=0, A正确； 8i+6-花么（西） Aò=6 AB AC 对于B,因AD=入 lACI cos C ,则AD· bc 1ABlcos B a+bFcAF. AB AC A,O,F三点共线，即O在∠BAC的平分线上. BC= ·BC 同理可得O在其他两角的平分线上， IABI cos B IACI cos C .O是△ABC的内心.] 课时冲关高效提能 AB·BC+AC·BC =入 3 1D〔询题意于得，B可-号×号(+心-号成+ IABI cos B IACIcos C 吉配，播北确定的值，长后求解一2的值即可。 -AB·BClcos B+AC·IBClcos C =λ 由魂意可得：时=号×(A+B0)=号成+号成 ABl cos B IACIcos C 3 =λ(-|BC+|BCI)=0,即AD⊥BC,故直线AD经过 △ABC的垂心，即B正确； 3 31 ==日-=-号2x号=青] 1 对于C,因AD=xAB+yAC,x+y 2.A[根据奔驰定理， Z,则2AD=2xAB+2yAC, 得3OA+2OB+4OC=0, 设AM=2AD,则AM=2xAB+2y B 即3OA十2(OA+AB)+4(OA+AC)=0, AC,因2x+2y=1,故M,B,C三点 M 基理得A0=号A店+号AC, 共线， 图1 故=2 知图1所示，DM=号AM,故△DBC 号a=台J 的BC边上的高是△ABC的BC边上的高的一半， 3.B[:0成-专， 故△BCD是△ABC面积的一半，即C正确； 对于D,由OP=OA十 .以PQ为底的△PQR与△PQB的高之比为1：3， 欲为P款公歌筋影比为1：a, AB +AC λ IACI 可得，AP= ∴.S△BCR=3 SAPBR=6S△POR, ,SAPBC=2S△PBR=4S△POR, (AB +AC 同理可得S△ACp=S△AB0=6S△POR; :AAc_SAR十SAEE十SAAe十SAr IABI IACI 图2 S△PBC S△PBC -早 如图2，取AB。=AB ,AC= IABI ·144· 答案精析 若n为偶数，则n十1，n十3为奇数，n十2，n十4为偶数，则 -,则有|AB。|=|AC|=1,以AB。,AC。为两邻边 1 .2 IACI a+:=2a+1=h,a+=a2 作□AB。DC, =a. 易知□ABDC。是菱形，故AD平分∠BAC,且AD=AB。十 所以数列{an}是以4为周期的周期数列. 故S10=a1+a2十ag+…+a1o=2(a1+a2+ag+a4)+ag+ AC。,故得，AP=入AD, 故动点P的轨迹为∠BAC的平分线，即动点P的轨迹一定 ao=2(1+2+号+1)+1+2=12，B正确： 通过△ABC的内心，故D错误.] 又由an>0,故{Sn}为递增数列，C正确； 6.BCD[对于A,2OA+3OB+4OC=0, 则S△0c:S△oc:S△MoB=2:3：4,故A错误； 由上迷讨论可知，{a-}的项为1，之1,2，故是周期数 对于B.Sau=号×2X2Xsin是 列，D正确 [答案]BCD 又2OA+3OB+4OC=0, 跟踪训练 故S△B0c:S△A0c:SAA0B=2:3:4, 1.A[分奇数项和偶数项求递推关系，然后记b,=a2m十 所以SAc=名S6s 95,故B正确； -1,n≥1，利用构造法求得bn=6X2”-1-3,然后分组求和 4 可得. 对于C,0A·OB=OB.0C,即(0A-0C.OB=CA.OB 因为a=1,a+1=十1n为奇数。 2a,n为偶数 =0,故CA⊥OB, 所以a2k+2=a2k+1+1=2a2十1，a2k+1=2a2k 同理可得CB⊥OA,AB⊥OC,所以O为△ABC的垂心，故C =2a2t-1+2,k∈N,且a2=2, 正确； 所以a2+2十a2+1=2(a2u十a2-1)十3， 对于D,5OA+12OB+13OC=0,故S△：S△c·SA0B 记bn=a2m十a2m-1,n≥1，则b+1=2b,十3， =5：12：13,设内切圆半径为r, 所以b+1十3=2(bn十3)， SAx=7·BC,SAC=7·AC,Sm=7r·AB,即 1 1 所以{bn十3}是以b1十3=a1十a2十3=6为首项，2为公比的 等比数列， BC:AC:AB=5:12:13, 所以bn十3=6X2-1,bn=6X2-1-3, 即AB=AC+BC,∠ACB=,故D正角.] 记{b.}的前n项和为Tn,则S1=To=(6×2°+6×2+6×22 +…+6×249)-3×50=3×21-156.] 7.解析：依题意，可得56a=40b=35c, 考点二 所以6=号a6=号a, 例2(1)汇解析]由已知可得S+1十n十2=2(Sn十n十1)，可 得{S.十n十1}是等比数列，可求得Sn,进而利用a1o=S0一 S可求值. 所以cosB= 2 由S+1-2S=n,得Sn+1+n+2=2(Sn十n+1), 因为a1=2,所以S1十1十1=4，所以Sn十n十1≠0， 所以{S,十n十1}是首项为4，公比为2的等比数列， 因为0<B<,所以B=5 所以S,+n十1=4×2-1，所以S。=2+1-n-1, 所以ao=S0一Sg=1023. 答案：5 [答案]B (2)[解析]分析：由题意以及等比数列的定义，可得数列 8.解析：：3OA十4OB=-50C {an+1一2an}的通项，根据等差数列的定义，可得{an}的通 且|OA=|OB|=1OC=1, 项，利用错位相减法，可得答案. ∴910A12+161OB2+24OA·OB=2510C2, 因为4an十a+2=4a+1,即a+2-2a+1=2(a+1-2an), .OA·OB=0,.OA⊥OB, 所以数列{ar+1-2an}是以a2一2a1=3为首项，2为公比的 等比数列， S%a=号X1X1=号 由奔驰定理知，S△0c:S△00：S△40B=3:4:5, 所以a1-2a.-3X2r1,所以有2岩一会-星 5 六SaoB=3+4+5·SaAc, 所以数列{会}是以号为首项，是为公差的等差数列， 12" 答案：号 22,Sn=2×21+5×2°+8×2+…+(3m-4)·2-3+(3m-1) ·2-2,2S=2X2°+5×2+8×22+…+(3n-4)·2”-2+(3m 培优微专题10 1)·2-1,则-Sn=2×21+3X(2°+2+…+2m-3+2m-2) 研析考点层级突破 考点一 (3n-1)·2-1=1+3·(2-1-1)-(3n-1)·2-1=(4 例1[解析]根据题意，分别求得a1a2,ag,得到数列 3n)·2-1-2,所以Sn=(3n-4)·2-1+2. {an}构成以4为周期的周期数列，逐项判定，即可求解. [答案](3n-4)·2-1+2 由题意，数列{an}满足a1=1, 跟踪训练 12am,n为奇数 2.C[根据给定的递推公式，构造等比数列求出S,,再求解不 a+1=1 an ,n为偶数’ 等式即得. 数列{an}中，3Sn=2an十1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1,则3S 当n=时，a,=2a=2,当m=2时a=-名A错误； =2Sn-2S.-1+1, a2 当n=3时，a4=2a3=1； 基理得5.=-251+1，即S-专=-2(S1-专)而 若n为奇数，则n十1，n十3为偶数，n十2，n十4为奇数， 3S1=2a1+1=2S1+1,即S1=1, 则a=2aaa==2a=2an=a 1 因北班列5一司}是以3-甘号为有项，公比为-2的 1-ani 1 ae十 等比数列8-号号（一2） ·145·1数学 课时冲关>高效提能 1.如图，AB为⊙O的直径，P是 5.[多选]给定两个长度为1的 B AB上任一点，M,N是直径AB 平面向量OA和OB,它们的夹 上关于点O对称的两点，且AB 0 N B 角为，如图所示，点C在以 =6,MN=4,则PM·PN等于 ( ) A.13 B.7 C.5 D.3 O为圆心的AB上运动，若OC=xOA+yOB(x, 2.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点，AD y∈R),则x十y的取值可以是 () -AB,BE-号BC,若DE-XAB+ACa, A.1 R C.2 D号 入2为实数)，则入1十入2的值为 ( 6.[多选]已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦 A号 c号 0.2 CD上一动点，AB=8,CD=6,则MA·MB的取 值可以是 3.如图所示，正方体ABCD- D M A.-9 B.-2 C.0 D.4 A1B1C1D1的棱长为2，MNA B 7.如图，在△ABC中，D是BC的中 是它的内切球的一条弦（我们 点，E,F是AD上的两个三等分 把球面上任意两点之间的线 D 点.BA·CA=4,BF·CF=-1, 段称为球的弦)，P为正方体表 则BE·CE的值为 面上的动点，当弦MN的长度最大时，PM·PN 8.如图，圆O是边长为2√3的 的取值范围是 () 等边△ABC的内切圆，其与 A.[0,1]B.[0,2] C.[1,3] D.[0,4] BC边相切于点D,点M为 4.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若c 圆上任意一点，BM=xBA .0 满足(a一c)·(b-c)=0,则|cl的最大值是( ) +yBD(x,y∈R),则2x十y A.1 B.2 C.√2 n号 的最大值为 [培优微专题9] 奔驰定理与四心问题 在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在 新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质 等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力. 研析考点层级突破 专点一 奔驰定理 证明：设∠APB=a,∠APC=B,|PA=x, 核心知识 IPBI=y,IPCI=z. 1.如图，已知P为△ABC内一点，则有S1·PA+ 根据三角形正弦定理面积公式得 S2·PB+S3·PC=0(其中S1,S2,S3分别为 spA+sPB+s,Pd-7sinl2x-(a+®]·PA △PBC,△PAC,△PAB的面积). +号i店+ysin=-sina+m P成t}血p哦+meP元.0 把①式两边与向量PA作数量积得 ·88· 培优微专题 (SPA+s,P店+s,PO·PA=-2 yzsin(a 专点】 三角形的四心 ! 核心知识 ysin osysin acos 三角形四心的向量表示及结论（利用奔驰定理自行 -号y[-sina+0十s如Aasa叶in-0 完成证明) (1)点O是△P1P2P3的重心台OP1+OP2十OP3 同理：①式两边与向量PB,PC作数量积都得0， =09S△P,0P,=SAP,0P=S△P,OP, 但是S1PA十S2PB+S3PC不可能同时与PA, PB,PC三个向量垂直，而PA,PB,PC也不可能 -号S6PIP2g 都为0，所以S1PA十S2PB+S3PC=0. (2)点O是△P1P2P3的垂心台OP1·OP2=OP2 该例对应的图形特别像奔驰汽车的标志，所以我 ·OP3=OP3·OP1tanP1·OP1+tanP2· 们把上述结论称为奔驰定理，该定理对于推导出 三角形的四心的向量结论有直接的作用. OP2+tanP3·OP3=0HS△P,oP,:S△P,oP, 典题例析 S△pop,=tanP1:tanP2:tanP3(△PPzP3 不是直角三角形)； [例1](1)已知O是△ABC内部一点，满足OA十 20B+m0-0,且-号，则实数m等于 (3)点0是△P1P2P3的内心台aOP1十bOP2十 LS△ABC cOP3=0台S△P,OP,:SAP,oP,:S△PoP,=a: b:c(其中a,b,c是△P1P2P3的三边，分别对 A.2 B.3 C.4 D.5 应角P1,P2,P3); (2)△ABC内一点O满足关系式S△OBC·OA+ (4)点O是△P1P2P3的外心台|OP1|=OP2|= S△aAc·OB+S△OAB·OC=0,即称为经典的 OPa OP sin 2P1+OP2sin 2P2+ “奔驰定理”，若△ABC的三边为a,b,c,现有a· OA+b·OB+c·OC=0,则O为△ABC的 OP3sin2Pg=0台S△P,oP,：S△P,oP, ( SAP,OP,=sin 2P1 sin 2P2 sin 2P3. A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 典题例析 [听课记录](1) (2) [例2](1)已知点O为△ABC所在平面内一点， …规律方法》… 若动点P满足OP=OA十A(AB十AC)(A≥0)， 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定 则点P一定经过△ABC的 () 理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点； A外心 B.内心 定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三 C.垂心 D.重心 角形的面积之比. (2)O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线 跟踪训练 的三个点，动点P满足OP=OA十 1.如图，设O为△ABC内一点，且 AB AC 满足OA+2OB+3OC=3AB ∈R, |ABI cos∠ABC |ACl cos∠BCA 十2BC+CA,则A0B等于 S△ABC 则P的轨迹一定通过△ABC的 ( A.外心 B.内心 2 B C.重心 D.垂心 A.5 3 [听课记录] (1) (2) ·89· I数学 …规律方法》… 跟踪训练 求解内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂 2.已知点O是△ABC所在平面上的一点，△ABC 心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点 的三边为a,b,c,若aOA十bOB十cOC=0,则点 都在三角形内部，涉及三角形的四心问题时，要注 O是△ABC的 ( 意观察题目有无这一条件： A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 课时冲关>高效提能 1.在△ABC中，O为△ABC的重心.若BO=λAB C.若AD=xAB十yAC,且x,y∈R,x+y=2, 1 十μAC,则λ-2μ= 则△BCD是△ABC面积的一半 A-司 B.-1 D.若平面内一动点P满足OP=OA+ c号 D.- AB AC (入∈R且λ≠0)，则动点 2.点0为△ABC内一点，若S△AOB·S△OC· AB AC S△A0C=4:3:2,设A0=入AB十uAC,则实数 P的轨迹一定通过△ABC的外心 入和4的值分别为 () 6.[多选]已知O是△ABC内一点， A台合 42 B.99 △BOC,△AOC,△AOB的面积分 别为S△BOC,S△AOC,S△AOB,则 c号 n号哈 SABOC·OA+S△A0C·OB+SAAOB·OC=0, 3.已知点A,B,C,P在同一 ∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个 平面肉内，PQ-PA,0R 内角，以下命题正确的有 () Q店，R-专R心，则 B A.若2OA+30B+4OC=0,则S△0c:S△A0C :S△A0B=4:3:2 S△ABC:S△PBC= A.14:3 B.19:4 B,若1OA=O成1=2，∠A0B=5,且2OA+ C.24:5 D.29:6 4.如图，已知O是△ABC的垂心， 30B+40C=0,则SAAc=9,y3 4 且OA+2OB+3OC=0,则 c.若0A.0B=0B.0元=0元.OA,则0为 tan∠BAC：tan∠ABC:tan △ABC的垂心 ∠ACB等于 ()B A.1:2:3 B.1:2:4 D.若O为△ABC的内心，且5OA+12OB+ C.2:3:4 D.2:3:6 5.[多选]设点D是△ABC所在平面内一点，O是 13OC-0,则∠ACB=受 平面上一个定点，则下列说法正确的有() 7.已知在△ABC中，G是重心，内角A,B,C的对 A若Ad=号A店+3A亡，则D是BC边上靠远 边分别为a,b,c,且56aGA+40bGB+35cGC- 3 B的三等分点 0,则角B= 8.若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆， (AB AC B.若AD=A ABIcos B IACIcos C ,(λ∈R 且3OA+4OB+5OC=0.则△ABC的面积为 且λ≠0)，则直线AD经过△ABC的垂心 ·90·