培优微专题4 切割线放缩-【创新教程】2026年高考数学大二轮培优微专题

答案精析 当x∈(1，e)时，o'(x)>0,o(x)为单调递增， 当x∈(e,十o∞)时，p(x)<0,p(x)为单调递减， 即e+(2-e)x-1≥lnx十1.所以，e+(2-e)x-1≥xlnx 所以p(x)=g(e)=,从而m>是 十x, e 即e十(1-e)x-xlnx-1≥0成立，当x=1时等号成立. 将em-Dx+1f(x)≥x2一x两边同时取以e为底的对数可得 故：当x>0时，g(x)≤f(x), (m-1)x+1+In(mx-In x)>In z+In(x-1), 方法二：要证xlnx-x2+(e-1)x十1≤e-x2,等价于 整理可得(mx-lnx)+ln(mx-lnx)≥(x-1)十ln(x-1). xlnx十(e-l)x+1-e≤0，又x>0,可转化为证明lnx+ 令g(t)=t+lnt,则g(mx-lnx)≥g(x-1), 且g(t)在(0，十∞)上单调递增， e-1+1-e≤0 x 因为mx-lnx>0且x-1>0, 所以mx-1nx≥x-1在(1，十o)上恒成立， 令F(x)=lnx+e-l+⊥-e 所以m≥+lnx-1=1+hx-1恒成立， F()=1-1-e(z-1)=(x-101-e) 令h(x)=血工二上，则(x)=2-n工， x x>0,因此当x∈(0,1)时，F(x)>0,F(x)单调递增；当 当x∈(1，e)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， x∈(1，十o∞)时，F(x)<0,F(x)单调递减； .F(x)有最大值F(1)=0,即F(x)≤0恒成立，即当x>0 当x∈(e,十o)时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 时，g(x)f(x). 所以h(x)x=h(e)=1 , 跟踪训练 1.解：(1)先表示出导数公式f(x)=4e-1+2ax,结合导数的 所以m十是， 几何意义建立斜率的等量关系，再结合曲线过切点，即可求 解；(2)由(1)的结论可将所求问题转化为当x>0且x≠1 又国为。<1+日，所以m≥1+2 时，4e-1-x2>2x十1，构造函数g(x)=4e2-1-x2-2x-1, e 则g(x)=4e1-2x-2,无法判断正负，考虑再次求导： 培优微专题4 g"(x)=4e1一2，结合零点存在定理可判断g”(x)单调递 研析考点层级突破 增，必定存在x。∈(0,1)，使得g(x)=0,倒推出g(x)在 考点一 (0,x)上单调递减，在(x,十∞)上单调递增，又结合端点值 例1[解](1)求出f(x)的导数，计算f(1),f(1),求出a,b 的值即可；(2)求出f(x)的导数，得到导函数的单调性，得到 g'(0)=4-2<0,g(1)=0,可得g(x)在(0,1）上单调递减，在 f(x)在[0,1]上单调递增，从而求出f(x)的最大值；(3)只需 (1,十o∞)上单调递增，∴g(x)in=g(1)=0,进而得证；(3)将 证明x>0时，e+(1-e)x-xlnx-1≥0，因为f(0)=1,且 曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(e一2)x十1，故 所证不等式同除x得4e1-2-3-21n≥0，由(2)的结 可猜测：当x>0且x≠1时，f(x)的图象恒在切线y=(e一 2)x十1的上方. 论进行放缩，可得2z十1≥3+2血工，即证x2-工一1nx≥0， (1)由题设得f(x)=e-2ax, ./f(1)=e-2a=b 再次构造函数p(x)=x2一x一lnx,结合导数求出函数最 值，即可求证； f(1)=e-a=b+1' 解得，a=1,b=e-2. (1)f(x)=4e-1+2ax,由曲线y=f(x)在x=1处的切线 方程为y=bx十1知： (2)由(1)知，f(x)=e-x2, 令函数h(x)=e一x一1，.h'(x)=e一1， jf=4十2ab,解得a=-1,b=2. f(1)=4+a=b+1, 当x<0时，h'(x)<0,h(x)单调递减： (2)由题意只需证：当x>0且x≠1时，4e1-x2>2x+1； 当x>0时，h'(x)>0,h(x)单调递增； 设g(x)=4e-1-x2-2x-1,则g'(x)=4e1-2x-2, ∴.h(x)≥h(0)=0,即e≥x十1 g”(x)=4e-1-2,易知g"(x)在(0，十o∞)上单调递增；且 .当x∈[0,1]时，f(x)=e-2x≥x十1-2x=1-x≥0，且 仅当x=1时f(x)=0, g”(1)=2>0,g(0)=4-2<0,∴必定存在，∈(0,1)，使 故f(x)在[0,1]上单调递增， 得g”(x)=0,则g(x)在(0，xo)上单调递减，在(x,十∞) .f(x)min=f(0)=1; (3)由题要证：当x>0时，g(x)≤f(x), 上单调递增，其中g(0)=4-2<0, 即证：e十(1-e)x-xlnx一1≥0， g(1)=0,即g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调 因为f(0)=1,且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y= 递增，∴g(x)min=g(1)=0,即当x>0且x≠1时， (e-2)x+1, g(x)>0成立： 故可猜测：当x>0且x≠1时，f(x)的图象恒在切线y=(e 所以当x>0且x≠1时，曲线y=f(x)的图象在切线y=bx -2)x+1的上方. +1的上方. 下面证明：当x>0时，f(x)≥(e-2)x十1， (3)要证：4xe-1-x3-3x-2lnx≥0， 方法一：证明：设p(x)=f(x)-(e-2)x一1，x>0, 则p(x)=e-2x-(e-2),令F(x)=p(x), 只需证4e-1-x2-3-21n>≥0. F(x)=e-2, 由(2)知x>0时，4e-1-x2≥2x+1. 当x∈(0，ln2)时，F(x)<0,p(x)单调递减； 当x∈(In2,+o∞)时，F(x)>0,9'(x)单调递增， 故只需证2z十1≥3+21n工，即证x2-x-1nx≥0， 又p(0)=3-e>0,p(1)=0,0<ln2<1, p(ln2)<0 设p()=x2-x-l1nc,则9'(x)=2z-1-1=2x2-x-1 所以，存在x。∈(0,1)，使得(x)=0, 当x∈(0，x)U(1,十∞)时，o(x)>0;当x∈(x,1),o(x)<0, =2z+1)(x一1)，易知p(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十 故o(x)在(0，xn)上单调递增，在(x。,1)上单调递减，在(1， ∞)上单调递增， 十∞)上单调递增. .p(x)≥p(1)=0; 又g(0)=p(1)=0,∴.p(x)=e-x2-(e-2)x-1≥0，当且 即不等式：4xe-1-x3-3x-2lnx≥0成立， 仅当x=1时取等号， 考点二 故+(2-e)x-1≥，x>0. 例2[解](1)利用导函数求得f(x)的最大值，再得到 f(x)在(0，十∞)上的递减性；(2)x∈(0,1)时函数值恒为负 由(2)知，e≥x十1，故x≥ln(x十1)，.x-1≥lnx,当且仅 数，所以研究x∈(1，十∞)的最大值，借助导函数得到在区 当x=1时取等号， 间(1，十∞)上小于0，所以函数单调递减，从而得到函数值 所以，e+(2-e)x-1≥x≥1nx+1. 一定小于0，得证；(3)利用导函数求单调区间，由此得出x2 的所在区间，利用导数的几何意义推出工一工<b十1→x2 ·133· I数学 x1>be十1→得证，再由线段长短得出相应结论. (1)当a=1时，f(x)=xlnx-x3-1,x∈(0，+o∞)， 又由了0)=-名，1)=0，所以南线y=f)在=1处 则f(x)=lnx+1-3x2, 的切线方程为y=一2（红一1）. 1一6x, 令h()=f(x),则(x)= e 令h(x)=1-6x>0,:x>0, (2)由(1)知f()=2-2x-1 e 令f(0)=0,即2-2x1=0,解得r=1士2， 0K<得. 当x∈(-∞，1-√2)U(1+2,十o∞)时，f(x)>0; ·f(x)在区间(0，治 6 上单调递减增，在区间 当x∈(1-√2,1+√2)时，f(x)<0. 所以f(x)的单调递增区间为（一∞，1一√2）， (侣+)上两递该， (1十√2，十∞)，单调递减区间为(1一√2,1十√2)， 由(1)知，当x<一1或x>1时，f(x)<0: rr(得)=+号 当-1<x<1时，f(x)>0. 下面证明：当x∈(-1,1)时，2e(x十1)>f(x). =2(合+1)<0， 当x∈(-1,1)时，由2e(x+1)>f(x), ,.f(x)的单调递减区间是(0，十o),无增区间. 即2e(x+1D+1>0,可得e1+2>0, 2 (2)x∈(0，+∞)， 当x∈(0,1]时，f(x)<0显然成立， 令g)=e1+号，可得g()=e1+号>0，所以g) 当x∈(1，+∞)时，f(x)=a(nx+1)-3x2, 在x∈（一1,1)上单调递增， 令g(x)=f'(x), 所以g(x)>g(一1)=0对任意x∈(-1,1)恒成立， ÷g(=a-62<0, 当x∈(-1,1)时，2e(x+1)>f(x). f(x)在区间(1，十∞)上单调递减，∴.f(x)<f(1)=a- 由{x+1D,可得x=器-1，记=器-1， y=m 3≤0， .f(x)在区间(1，十∞)上单调递减，.f(x)<f(1) 不妨设x1<x2,则-1<x1<1-√2<x2<1, =一2<0， 所以|1一x2|<x1′-x2|=x2-x1'= 综上所述，当0≤a≤3时，f(x)<0. (3)h(x)=xIn x, 五-(%-小 '(x)=lnx+1,令'(x)<0,则0<< e 要运-<2-m(+0)只斋证五（器-1）2 “(x)在区间(0，)上单词递减，在区间（日十∞）上单 m(1+元)即证4<1-m, 调递增， 又因为m= 1型，只需证，≤1-1一丝 (日) e2 即(x2-1)·[e2-(x2十1)]≤0， 不设<,则∈(0，）∈（日，） 因为x2∈(1-√2,1)，所以x2-1<0,所以只需证e2一(x2 +1)≥0， 先证：x2一x1<b+1, 令(x)=e-(x十1)，则(x)=e-1. 易知h(x)在x=1处的切线方程为y=x一1，该切线与直线 y=b的交点的横坐标为x3=b十1， 当x∈(1一√2,0)时，(x)<0,函数(x)单调递减； 令g(x)=h(x)-(x-l)=xlnx-x+1,则g'(x)=lnx, 当x∈(0,1)时，p(x)>0,函数p(x)单调递增， 当x∈(0,1)时，g(x)<0,此时g(x)>g(1)=0, 所以p(x)≥p(0)=0,所以e2-(x2+1)≥0， .当x∈(0,1)时，y=x-1图象在h(x)下方. 所以-<2-m1+2是) .x3>t2一x1, …x2-x1<x3<b+1, 课时冲关高效提能 再证->e+1,设A(合，日）B10, 1.解：(1)由题设得f(x)=e-2x, sf)=e-2x1=e-2, 1f(1)=e-1, 易知直线OA方程为y=一x,直线AB方程为y= G-D. 所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为 则直线OA,AB与直线y=b交点的横坐标为x4=一b,x5= y-f(1)=f(1)(x-1), (e-1)b+1, 即y=(e-2)x+1. ..xs-x=be+1, x4=-b=一xlnx>x1,同理可证：x4<x2, (2)证明：要证当>0时，e+(2-e江->≥hx+1, 1<x4<x2,类似的可以证明x<x<x2, 即证e+(1-e)x-xlnx-l≥0， xs一x4<x2-x1,即be+1<x2-1, 因为f(0)=1,且曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=(e .be+1<x1-x2|<b+1. -2)x+1. 跟踪训练 故可猜测：当x>0且x≠1时，f(x)的图象恒在切线y=(e 2.解：(1)由f(x)=0,求得x=士1，得到函数的零点x0=士1， -2)x十1的上方， 求得函数的导数，结合导数的几何意义，即可求得曲线y= 下面证明：当x>0时，f(x)≥(e-2)x十1， f(x)在x=xo处的切线方程；(2)利用导数求得函数的单调 设p(x)=f(x)-(e-2)x-1(x>0), 性，根据(1)得到当x∈（一1,1）时，2e(x十1)>f(x),结合分 则p'(x)=e-2x-(e-2), 析法，即可作出证明. 令F(x)=p(x),F(x)=e-2, (1)由题意，函数f(x)=1一王 e,令f(x)=1x =0,得x= 当x∈(0，ln2)时，F(x)<0,9(x)单调递减； e 当x∈(1n2,+∞)时，F(x)>0,p'(x)单调递增， ±1， 又p'(0)=3-e>0,p(ln2)<0,0<ln2<1, 所以函数f(x)的零点x=士1， 0(1)=0, 又由f()=-2x-1,可得f(-1D=2, 所以存在x。∈(0,1)，使得p(x)=0, e 所以当x∈(0，x)U(1,+∞)时，9(x)>0; f(-1)=0, 当x∈(x0,1),9(x)<0, 所以曲线y=f(x)在x=一1处的切线方程为y=2e(x十1). 故(x)在(0，x0),(1,十∞)上单调递增， ·134· 答案精析 在(x。,1)上单调递减， 培优微专题5 又o(0)=p(1)=0, 研析考点层级突破 所以g(x)=e2-x2-(e-2)x-1≥0（当且仅当x=1时取等 考点一 号)， 例1[解](1)求出f(x),根据导数的符号判断函数的单调 故+(2-e)x-1>z(x>0). 性；(2)由1+n-1,得l+ln=a,设g()=1+ln工，画出 ax x x 设(x)=x-lnx-1(x>0),d(x=1-1 g()的图象可得0<a<1;由1+1血西=1+ln,设h(x) 当x∈(0,1)时，t(x)<0,t(x)单调递减， 当x∈(1，+∞)时，t(x)>0,t(x)单调递增， =8)-g(),对()求导可得g)<g(）又 所以t(x)n=t(1)=0, g(x1)=g(x2),再由g(x)在(1，十∞)上单调递减，可得 从而有t(x)=x-lnx一1≥0即x≥lnx十1（当且仅当x=1 时取等号). >1,即可证明x1>1 所以e+(2-e)x=1≥x≥nx十1， x 1)由题意可得>0，>0，所以。>0， 即+(2二e)x->nx十1（当且仅当x=1时等号成立）. f(x)=(1+ln)e品=1+n的定义域为(0，十o, ax 2.解：(1)当n=1时，f(x)=(x-1)lnx, f(x)=lnx+1-1, 2ax-1+lnx)…a 1 In x x 又f(x)= (ax)2 ax?, 当0<x<1时，lnx<0,1-1<0,故f(x)<0,f(x)单调 由f(x)=0,得x=1, x 当0<x<1时，(x)>0,则f(x)在(0,1)上单调递增， 递减， 当x>1时，f(x)<0,则f(x)在(1，十o∞)上单调递减， 当x>1时，lnx>0,1-1>0,故f()>0,f(x)单调 x （2)由1士inz=1,得1+lnx=a,设g(x)=1+n兰，g(x) ax x 递增， 1 综上，函数y=f(x)的单调增区间为(1，十∞)，单调减区间 =T 为(0,1). ·x-（1+ln）--lh之，由g(x)=0,得x=1, 一= (2)证明：当n>1时，可知函数存在零点1和n量， 当0<x<1时，g(x)>0,则g(x)在(0,1)上单调递增， 且n>1元=1，因此，Q点坐标为(n,0): 当x>1时，g(x)<0,则g(x)在(1，+∞)上单调递减， /1 ①f(x)=nx-lnx+x-1-L x 又8()=0，g(1)=1,且当x趋近于正无穷，g(x)趋近 所以了(n)=n是lnn, 于0， g(x)=1+l血工的图象如图， y 则f(x)在点Q(n,0)处的切线方程为l1: g(x)=nlnn·(x-n元)， 所以当0<a<1时，方程 令p(x)=f(x)一g(x), 1+lnx=a有两个根， 则g(x)=f(x)-g(x)=nx-1lnx十x1-”-n号 01 x 证明：不妨设x1<x2,则0< e In n, x1<1<x2, 1+In z 当1<c<n时，0<1nc<1lnn,0<x-<n÷, =1+ln2 ∴.nx-llnx<n只lnn,nx-1lnx-n号lnn<0, 一1 设Ax)=g)-8(日)= x x-1-”<n号一n=0, 1+ln z-z(1-In z), x p(x)<0,p(x)单调递减， '()=ln+lnx=nx≥0，所以h()在(0，+c 同理，当x>n时，(x)单调递增， 上单调递增， .p(x)≥p(na)=lnn-lnn-nlnn十lnn=0, 所以当x>1时，f(x)≥g(x). 又1)=0，所以M)=8)-8()0, ②f(1)=1-n,则f(x)在，点P(1,f(1)处的切线方程为 l2:m(x)=(1-n)(x-1), 即ga,8(宁) 令k(x)=f(x)一m(x), 则k(x)=nx-1nx+x-1--(1-n） 又8z)=g,所以gKa() _2-1+(n-1(z-1+nz- 又>1，>1，g)在1，+0)上单阴道减，所以> 元 当x∈(0,1)时，x<1,x<1,lnx<0, 1,故1x>1 故k(x)<0, 跟踪训练 当x∈(1，+o∞)时，x">1,x>1,lnx>0, 1.解：分析：(1)直接用导数判断函数的单调区间； 故k(x)>0, (2)先将g(x)的两个零点转化为直线y=a与函数y=h(x) 于是k(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十○)上单调递增， 的图象有两个不同的交点，得出0<a<1,<<1<, 所以k(x)≥k(1)=0,则f(x)≥m(x), 如图，不妨设0<a<1<b,直线y=t与 v=f(x) 进而再证明x2>2-x1,只需证明h(x2)<h(2-x1)即可. 直线l2,函数f(x)的图象和直线L1分 小=g(x) (1)函数f(x)的定义域为（0，十∞)，且f(x) 别交于a',a,b,b, _y=l =-1+nx 则有a'<a<b<b, x 于是|a-b|<|a'-b|=b'-a'=na 因为函数y=x2-1十lnx在(0，十∞)上单调递增，且f(1) On'a1 =0， 一t 所以当0<x<1时，x2-1+lnx<0,f(x)<0,f(x)单调 In n y=m() 递减； 当x>1时，x2-1+lnx>0,f(x)>0,f(x)单调递增. ·135·培优微专题丨 5.[多选]e是自然对数的底数，m∈R,n>0,已知 [听课记录] mem+lnn>nlnn十m,则下列结论一定正确 的是 ) A.若m>0,则m-n>0 B.若m>0,n>1,则em-n>0 C.若m<0,则m+lnn<0 D.若m<0,则em+n>2 6.已知函数f(x)=e-2lnx(x>0),若f(x)≥x2 入x恒成立，则实数入的取值范围为 7.(2025·烟台二模)已知函数f(x)=mx一lnx,x ∈(1，十∞). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若em-1)x+1f(x)≥x2-x恒成立，求实数m 的取值范围. [培优微专题4幻 切割线放缩 研析考点层级突破 核心知识 3.关于lnx的放缩 1.常见的放缩 ①)切线放缩及其变形：1一士<n心：-1： (1)对数形式：x≥1+lnx(x>0),当且仅当x=1 时，等号成立 (2当1时，2≤n≤(e (2)指数形式：ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0 当01时，(en<2, 时，等号成立 进一步可得到一组不等式链：ex>x十1>x>1 (3)当x≥1时，lnx≥ 当01t +lnx(x>0且x≠1). lnx≤3(ax2-1) 2.泰勒展开式 x2+4x+19 e-1+x+ 千n1+o(x”): (4对数平均不等式：Va励<na二nb<a(a,b> a-b 2 0,且a≠b). 1+)=+号-…+(-10 x2x3 n+1 4.三角函数的放缩 +o(x"+1); 1)sinx的放缩：当x≥0时，z-号≤sin≤， 截取片段：er≥x十1(x∈R) 1n(1十x)≤x(x>-1),当且仅当x=0时，等号 当0区u≤时，sinz≤x≤tanx 成立； (2)cosE的放缩：当x≥0时，1一号≤cosx≤ 进而：lnx≤x一1(x>0)当且仅当x=1时，等号 x2,x4 成立 1-2+24 ·77· 1数学 专点一 切线放缩 跟踪训练 典题例析 1.已知函数f(x)=4e2-1十ax2,曲线y=f(x)在x=1 [例1](2025·温州模拟)已知函数f(x)=ex一 处的切线方程为y=bx十1. ax2,g(x)=xlnx-x2+(e-1)x+1,且曲线y (1)求实数a、b的值； =f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+1. (2)x>0且x≠1时，证明：曲线y=f(x)的图象 (1)求a,b的值； 恒在切线y=bx+1的上方； (2)求函数f(x)在[0,1]上的最小值； (3)证明：不等式：4xex-1-x3-3x-2lnx≥0. (3)证明：当x>0时，g(x)≤f(x) [听课记录] …规律方法》 该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相 反的问题（拆成两个函数），两函数有斜率相同的 切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分 别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递 性即可，难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等 的切线隔板. ·78 培优微专题丨 专点 割线放缩 规律方法》… 典题例析 1.割线放缩关键是根据不等式的特点和需要，找 [例2](2025·杭州一模)已知函数f(x)= 准相关的函数及其割线，才能恰当地割线放缩， axln x-x3-1. 2.割线夹本质与切线夹类似。 (1)若a=1,求f(x)的单调区间； 跟踪训练 (2)若0≤a≤3，求证：f(x)<0; 2.已知函数f)=1二t(e为自然对数的底数). （3》若=f)++1,3≠使得h) (1)求函数f(x)的零点xo,以及曲线y=f(x)在 h(x2)=b,求证：be+1<|1-x2<b+1. x=xo处的切线方程； [听课记录] (2)设方程f(x)=m(m>0)有两个实数根x1, x2,求证：lx1一x2<2 m1+8 ·79· 1数学 课时冲关~高效提能 1.已知函数f(x)=ex一x2 2.已知函数f(x)=x"lnx-nlnx(n∈N*). (1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程； (1)当n=1时，求函数y=f(x)的单调区间； (2)求证：当r>0时，+2)x-1≥1nx (2)当n>1时，函数y=f(x)的图象与x轴交于 P,Q两点，且点Q在右侧. +1. ①若函数y=f(x)在点Q处的切线为y=g(x), 求证：当x>1时，f(x)≥g(x); ②若方程f(x)=t(0<t<n-1)有两根a,b,求 0.b.....................m 证：la-61< t+n. In n ·80·