培优微专题1、2 公切线 导数中函数的构造问题-【创新教程】2026年高考数学大二轮培优微专题

[培优微专题1]公切线 近几年高考中为了体现题目的新颖性，出现了公切线问题，主要在客观题中出现，考查 学生对“化归与转化”的思想和“函数”的思想的理解，题目的综合性较强，难度较大 研析考点层级突破 春点一 求两曲线的公切线 跟踪训练 典题例析 2.若曲线C:y=x2与曲线C2:y=g(a>0)存在 [例1](2025·邵阳模拟)已知直线l是曲线y= ln(x一2)+2与y=ln(x-1)的公切线，则直线l 公切线，则实数a的取值范围是 ( 与x轴的交点坐标为 A.(0,1) [听课记录] B(1,] g…规律方法》 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和 c.[2] D[+∞） 曲线过某点的切线，曲线y=f(x)在点P(xo, 吉点三】 判断公切线条数 f(xo)处的切线方程是y一f(xo)=f(xo)·(x 典题例析 一x0);求过某点的切线方程，需先设出切点坐标， 再依据已知点在切线上求解. [例3]曲线C1:y=x2与曲线C2:y=lnx公切线 的条数是 ( ) 跟踪训练 1.已知直线l是曲线y=e一1与y=lnx十1的公 A.0 B.1 C.2 D.3 切线，则直线1的方程为 [听课记录] 专点二与公切线有关的求值或范围问题 规律方法》… 典题例析 运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线 [例2]若函数f(x)=alnx(a>0)和g(x)=x2 的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定 有且仅有一条公切线，则实数a的值为( 理判断函数零点个数，即方程解的情况. A.e B.√e C.2e D.2√e [听课记录] 跟踪训练 ·规律方法》 3.已知函数f(x)=x2一4x十4，g(x)=x-1,则 利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利 f(x)和g(x)的公切线的条数为 ( 用切点既在曲线上又在切线上构造方程 A.3 B.2 C.1 D.0 课时冲关>高效提能 1.已知直线l为曲线y=x十1十lnx在A(1,2)处 5.[多选]若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在 的切线，若l与曲线y=ax2+(a十2)x+1也相 公切线，则正实数a的取值可能是 ) 切，则a等于 ( ) A.1.2B.4 C.5.6D.2e A.0B.-4 C.4 D.0或4 6.[多选](2025·青岛模拟)已知f(x)=e,g(x) 2.函数f(x)=2十lnx与函数g(x)=e2公切线的 =lnx,则 () 斜率为 () A.设M是f(x)图象上的任意一点，N是g(x) A.1 B.士e C.1或eD.1或e2 图象上任一点，则MN|≥√2 3.若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则 B.f(x)-g(x)>2.1 C.f(x)与g(x)的图象有且仅有两条公切线 A.e<a B.ea<b D.f(x)一g(x)是增函数 C.0<a<e D.0<<e4 7.(2025·沧州模拟)已知直线l:y=kx是曲线 4.(2025·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=ln(x十 f(x)=ex+1和g(x)=lnx十a的公切线，则实数 1),g(x)=ln(e2x),若直线y=k.x十b为f(x)和 a- g(x)的公切线，则b等于 () 8.(2025·昆明三模)过点(1，m)可以向曲线f(x) =xex作n条切线，写出满足条件的一组有序实 A.2 B.1-In 2 C.2-In 2 D.-In 2 数对(m,n)= ·73· 1数学 [培优微专题2]导数中函数的构造问题 构造法是高中数学学习中一种极其重要的思维方法与学科方法，通过对数学问题的已知条件和结论 进行深入分析，抓住问题的本质特征，恰当地构造辅助元素或数学模型，转化原问题的结构，重组条件和结 论之间的关系，产生一种新的结构，通常这种新结构的构思精巧，联想丰富、思维灵活，通过构造所得新问 题的解决出奇制胜地解决了原问题. 研析考点>层级突破 点一】 构造函数解抽象函数不等式 典题例析 [例1][多选](2025·酒泉诊断三)已知函数f(x) D.r2)<f 为定义在（一∞，0）U(0,+∞)上的奇函数，若当 专点二 构造真体函数比较实数的天小 x<0时，xf(x)-f(x)<0,且f(1)=0,则( ) 典题例析 A.2f(e)>ef(2) [例2](1)(2025·温州适应性考试二)已知a= B.当m<2时，f(m)>mf(1) sin0.5,b=3.5,c=logo.30.5,则a,b,c的大小 C.3f(-π)+πf(3)<0 关系是 () D.不等式f(x)>0解集为(-1,0)U(1,+∞) A.a<b<c B.a<c<6 [听课记录] C.c<a<6 D.c<b<a …规律方法》… (2)(2025·衡水二模)已知正数a,b,c满足ea= 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等 1.13,5b2+10b-3=0,e=1.3,则 式，要设法将隐性化归为显性的不等式来求解，方 A.a<c<b B.b<a<c 法是： C.c<a<b D.c<b<a (1)把不等式转化为f[g(x)]>f[h(x)]; [听课记录] (1) (2) (2)判断函数f(x)的单调性，再根据函数的单调 规律方法》 性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的 要注意实数的形式，二要分析实数间的关系才 不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 能恰当构造函数，利用其单调性比较大小， 跟踪训练 跟踪训练 1.（2025·嘉兴二模)已知定义在(0，+∞)上的函 2.(2025·郑州三模)设x1,x2∈(0，十∞)，且ei 数f(x)满足xf(x)=(1一x)f(x),且f(1)> +lnx2=1,则 0,则 ( A者=则∈（传》 A.f<f<f() B.若x1x2=1,则x1存在且不唯一 B.r<< C.x1+x2>1 D.21+In x2>0 课时冲关高效提能 1.已知函数f(x)是定义在R上的函数，且满足 f(x)+f(x)>0,其中f(x)为f(x)的导数，设 2C2025·霸乡三模)设a-2,6=h0c a=f(0),b=3f(ln3),c=ef(1),则a,b,c的大 4一ln4,其中e是自然对数的底数，则 小关系是 ) e2 A.c>b>a B.a>b>c A.b<a<c B.a<c<6 C.c>a>b D.b>c>a C.b<c<a D.c<b<a ·74· 培优微专题 3.已知定义域为R的函数f(x),其导函数为f(x),且 6.[多选](2025·湖北宜荆荆随恩二模)已知x>y> 满足f(x)一2f(x)<0,f0)=1,则 ( 0,则下列不等式正确的有 () A.e2f(-1)<1 B.f(1)>e2 c.r(1)<e D.f(1)>ef A.et-ex>x-y B.In x-In y>x-y 0,b=ln1.21,c= 1 C.lnx>≥1- D.eey 4.(2025·威海二模)设a= x y x 10sin00则 7.已知a=sin0.9,b=0.9,c=cos0.9,则a,b,c的 ( 大小关系是 A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a 8.设函数f(x)在R上存在导数f(x),对任意的x 5.(2025·鹰潭一模)在满足2≤x<y:,x:=y ∈R,有f(x)-f(-x)=2sinx,且在[0，+∞) 的实数对(xiy:)(i=1,2,3,…,n)中，使得y1+ y2十…十ym-1≤20ym成立的正整数n的最大 上，f(x)>osx.若f(- f(t)>cos t- 值为 () A.22 B.23 C.30 D.31 sint,则实数t的取值范围为 [培优微专题3]同构函数 同构法在近几年的高考中频繁出现，首先将题目中的等式或不等式经过适当的整理变形，表示成两侧 具有相同结构，然后利用这个结构式构造相对应的函数，再利用函数单调性解题. 研析考点层级突破 春点一 地位同等同构型 跟踪训练 典题例析 1.若对于0<x1<x2<a,都有x2lnx1一x1lnx2≤ [例1] 若实数a,b满足4+log3a=8+3log27b,则 x1-x2成立，则a的最大值为 ( A B.1 C.e D.2e Aa<曾 R6≥曾 专点二 指对跨阶同构型 C.ab3 D.a<63 典题例析 [听课记录] [例2](2025·安庆三模)已知函数f(x)=e2 …规律方法》 aln(ax-a)十a(a>0),若对于任意的x>1使得 含有二元变量x1,x2的函数，常见的同构类型有 不等式f(x)≥0成立，则实数a的取值范围 以下几种： ( (1)g(x1)-g(x2)>λ[f(x2)-f(x1)]台g(x1)+ A.(0,e2] B.(0,e] 入f(x1)>g(x2)+入f(x2),构造函数p(x)= C.[e2,+o∞) D.[ee,+∞) g(x)+f(x); [听课记录] (2)f)-f）k(<2)9f(1)-f(x2) 规律方法》… x1-x2 指对跨阶同构的基本模式有： <kx1一kx2台f(x1)一kx1<f(x2）一kx2,构 (I)积型：aea≤blnb,一般有三种同构方式： 造函数p(x)=f(x)一kx; ①同左：aea≤blnb台aea≤(lnb)enb,构造函 (3)f)-f）<(m<2)9f(x) 数f(x)=xe2; x1-x2 x1x2 2)>）=点k台f)+ ②同右：aea≤blnb台ealn ea≤blnb,构造函数 X1X2 x2 Z1 f(x)=xln x; f(x2)+,构造函数p(x)=f(x)+飞 ③两边同取自然对数：aea≤blnb台a十lna≤ lnb十ln(Inb),构造函数为f(x)=x十lnx. 75·答案精析 培优微专题·答案精析 培优微专题1 当4x(1-2lnx)>0时，0<.x<√e,所以h(x)在(0，e)上单调 研析考点层级突破 递增； 考点一 例1[解析]利用导数求得函数的切线方程，由题意，建立 当4x(1一2lnx)<0时，x>√e,所以h(x)在(We,+o∞)上单调 递减。 方程组，可得答案。 设直线l与曲线y=ln(x-2)十2和y=ln(x-1)分别相切 所以h(x)在x=√E处取得最大值h(√E)y 于A(x1,y),B(x2y2)两点， =4e-4ex2-2e 2e 分别求导，得y=1工。 1 x-2y= 1: 当x>0时，h(x)→0，h(e)=4e2-4e21ne=0, 函数h(x)图象如图所示， 散：y-[n(西-2)+2]=12（x=),整理可得y了 因为a>0,a=4x2-4x21nx有唯一实 -2+lh(3-2)+2-x 1 根，所以只有a=2e. 一2 「答案]C (x一x),整理可得y= 1 跟踪训练 同理得1：y-ln(x2-1)= 2.D 2-+In(2a-1)- 1 考点三 x2一1· 例3[解析]设公切线1与y=x2的切，点为(x1,x), 因为直线（为两曲线的公切线， 与y=lnx的切点为(x2,lnx2), 1 1 y=的导数为y=2x,y=nx的导教为)y=子 所以 x1-2x2-1 a-2)+2--2=h(a-1D- 委 则在切点(x1,x)处的切线方程为y一x=2x,(x-x1),即 x2-1 y=2xx-xi, 3 则在切点(x2,lnx2)处的切线方程为 x2= 2 y-Inz=(-) x1=2 所以直线l的方程为y=2x-3-ln2,令y=0,则x 即yx十lnx2一1 =3+ln2 1 2 .2 则直线L与x轴的交点坐标为 /3+ln2,0 =1-In a, 2 整理得到x号-nx1=1十ln2, [答案] (3+)n2,0 令f(x)=x2-lnx,x∈(0，+∞)， 2 跟踪训练 则f(x)=2x-1=2x-1 x 1.解析：设直线l与曲线y=e-1相切于点P(a,e-l),与曲线y =lnx十1相切于点Q(b,lnb十1)， f(x)>0→x≥2：f(x)<0→0<z<2, 2, 则e=方-血。十。 y b-a 整理得(a一1)(e一1)=0， )在区同(0，罗)上率调递点， yf(x) 解得a=1或a=0, (,+∞上单调增， 在区间② y=1+In 2 当a=1时，l的方程为y=ex一1； 当a=0时，l的方程为y=x, 答案：y=ex一1或y=x f()min=f 2 )=2+h2<1o 2 考点二 +ln2, 例2[解析]设直线与g(x)=x2的切点为(x,x),然后根 即函数f(x)与y=1十ln2的图象如图所示， 据导数的几何意义可推得切线方程为y=2x1x一x,同样可 由图可知，函数f(x)的图象与直线y=1十ln2有两个交点， 推f(x=alnx的切线方程为y=x十a(lnx2-l).两条 则方程x2-lnx=1+ln2有两个不相等的正根，即曲线C1: y=x2与曲线C2:y=lnx公切线的条数是2. 切线重合，即可得出a=4x一4xlnx2有唯一实根.构造h [答案]C (x)=4x2一4x21nx(x>0),根据导函数得出函数的性质，作 跟踪训练 出函数的图象，结合图象，即可得出答案. 3.A 设直线与g(x)=x2的切点为(x1,x), 课时冲关高效提能 因为g(x)=2x,根据导数的几何意义可知该直线的斜率为 1.C[因为y=x+1+lnx, 2x1,即该直线的方程为y一x=2x1(x一x), 即y=2x1x一xi. 所以y=1十】，所以y1=1=2, 设直线与f(x)=alnx的切，点为(x2,alnx2), 所以曲线y=x十1十lnx在A(1,2)处的切线方程为y-2= 因为∫(x)=￠，根据导数的几何意义可知该直线的斛率为 2x-2,即y=2x. 由于切线与曲线y=ax2十(a十2)x十1相切， 号，即孩直线的方程为y一al血西一号(x-, 由y=gx2+(a+2)x+1, y=2x, 即y-么x十a(lnx2-1).因为函数f(x)=alnx(a>0)和 得ax2十ax十1=0， 当a=0时，1=0，不成立； g(x)=x2有且只有一条公切线， 又a≠0，两线相切有1个切点， 所以有2-号 所以△=a2-4a=0,解得a=4或a=0(舍去).] (a(lnz3-1)=-x 2.C[先设切点分别为(x1,f(x),(x2g(x2)并通过点斜 式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得 即a=4x-4xlnx2有唯一实根， h(x)=4x2-4xIn x(x>0), (1=e2 ,最后计算x1值即可. h(x)=8x-8xln x-4x=4x(1-21n x). 1+lnx1=(1-x2)e 解h'(x)=0,可得x=√E. 设切点分别为(1，f(),(x2,g(x2),x>0,x2>0, ·127· 1数学 且导数为f)=士g)=心， 6.ABC[由导数的几何意义可判断A,由f(x)一g(x)的单调 所以切线方程既为y一(2+山x)=（红一)” 性可判断B、D,由方程lnk=名十1有两个解可荆断C 在同一坐标系上作出 y=x+b 也为y-e2=e2(x-x2), f(x)=e,g(x)=lnx的图 象如图所示： /Y=x 1=e 所以x1 易知f(x)=e和g(x)= 1 (1+lnx1=(1-x2)e2 lnx的图象关于直线y= f几x)=e g(x)=In x 显h(）h-血4-4： x对称， 作与直线y=x平行且与 -20234x 所以1+nx=1+hG)X2→1+in)(-1D=0, f(x)=e相切的直线y =x十b, 1 设切点M(x,eo),f(x) -2 所以x1=1或工=。， =e, 所以公切线的斜率为无三1或。门 所以有e。=1 3.D[根据y=e图象特征，y=e是下凸函数，又过点(a,b) 了e二x+6解得{=0， 1b=1’ 即切点为M(0,1), 可以作曲线y=e”的两条切线， 则点(a,b)在曲线y=e的下方且在x轴的上方，得0<b M0,l1)到直线y=x的距离d==2, <e.] 22 4.B[分别设直线y=kx十b为f(x)和g(x)的公切线，切点 即曲线f(x)=e上的动点到直线y=x的距离的最小值 为A(工1，y1),B(x2y2),分别利用函数导数求出切点坐标代 入直线y=bx十b中，建立关于k,b的方程组解出即可， 为盟， 设直线l:y=kx十b与f(x)=ln(x十1)相切于点A(x1,y1), 由对称性可知：lMN|≥2d=√2，A正确； 与g(x)=ln(e2x)相切于点B(x2,y2), h(z)=f(x)-g(x)=e*-In z, 由f)=ln(x+1D,得了x)= Wa)=e-子g)=e-士9)=e+>0, 十76今3=1-， 由f(x1)=1 k 所以Mx)=心-子在(0，十∞)上单词适增， 则%=h+1D=la('层+1）=h名=-h, (2）=E-2<0,A1)=e-1>0, 即点A(,-h代入直线I中有： 所以存在∈（合，1）使得()=0-是=0， -h及=&后+6=友-a皮-1,0 所以h(x)=e-lnx在(0，x)上单调递减，在(x,十∞)上单调 g(x)=In (ex)=In e2+In x=2+In x, 递增，hmn=h(xo）. 所以g)=是， 2++1 设p(x)= (x>0),所以9(x)= -<0,即 由g）=名炉“ e 1 有p(x)<p(0)=1, 1 为=gx)=2+lhx,=2+l血友=2-nk, 亦即e>x+x十1，易知x-1≥1nx,当且仅当x=1时 1 即点B(2-血）代入直线1中有： 取等号，所以f)-g(x)>是2+z+1-lnz=号+2 2-ln质=A:吉+b6=1-hk,② +(x-1-lnx)>2x+2, 联立①②解得：k=2, 所以b=1一1n2.] 所以a)m=a,)八合云+2>2+子×（合）月 =2.125 5.ABD[设切点分别为A(x1,y1),B(x2y2),由导数的几何 >2.1, 意义分别写出切线方程，由题意切线方程相同，从而可得出 即f(x)-g(x)>2.1,B正确，D错误. a=-4z(lnx2-1),设g(x)=4z2-4x21nx由导数求出其 设f(x)与g(x)的图象公切线为y=kx十b,切点分别为P 值域即可， (x1,e1),Q(x2,lnx2) 由y=x2-1,则y=2x,由y=alnx-1, =e的=1 则y=a,设切线与曲线y=x2-1相切于点A(x1,y),则 f)=,g)=,则有 kx+b=e" 斜率为2x,所以切线方程为y-(x一1)=2x(x一)，即y (kxz+b=In xa =2x1x-1-x,①设切线与曲线y=alnx一1相切于点 化德得：件合中即h=名十1>0， B(),则斜率为：号，则切线方程为y一(aln-1) 画曲y=血长与y=名+1 y 3 22 (x-x2), +1 T2 的图象可知： 2 Fk-1 即y=ax+alnx2-a-l,② =h表与y=马十1的图 1 y=Ink 根据题意方程①，②表示同一条直线，则 象有两个交点，所以方程ln广0大23456k 2 24-号 =兰十1有两个解， -1 YA -2 (aln xa-a= 即f(x)与g(x)的图象有且 -3 所以a=-4(lnx2-1),令g(x)=4x2-4.x21nx(x>0), 仅有两条公切线，C正确.」 7.解析：先设在y=f(x)上的切点，然后求出切点和切线，然后 则g(x)=4x(1-2lnx),所以g(x)在(0，WE)上单调递增， 再设在y=g(x)上的切点，即可求出a的值. 在(We,十o)上单调递减，g(x)mx=g(We)=2e,由题意a∈ 设直线l与曲线y=∫(x)相切于点(xo,yo), (0,2e].] ·128· 答案精析 由f(x)=e+1,得=f(x)=eo+1,因为l与曲线f(x)= e+1相切， 即>f,垫理可得3-0+f(3)<0,C正确： 所以='消去+得e=e01,解得=1 当<0时，由f(x)>0可得g()=f四<0=g(-1),解 %=e6+1, 设1与曲线y=g(x)相切于点(x1,y1), 得-1<x<0,当x>0时，由f(x)>0可得g(x)=f>0 由g)=子得=-脚=1 =g(1),解得x>1.综上所述，不等式f(x)>0解集为(-1， 因为(z1,y)是l与曲线g(x)=lnx十a的公共，点， 0)U(1,十o∞)，D正确. 「答案]ACD 所以二十a尚去%得五=a十a,肉1= 1 跟踪训练 1.D 十a,解得a=3. 考点二 答案：3 例2(1)[解析]构造函数y=sinx一x,利用导数法求最值 8.解析：设切点坐标为（xo,xoeo),利用导数表示出切线方程， 得sinx<x,从而有a<0.5,再利用函数y=log.gx单调递 代入点(1，m),通过构造函数，研究新函数的单调性和极值， 减得0.5<c<1,利用函数y=3严单调递增得b>1,即可比 对m的取值范围进行讨论，得到x。解的个数，可得对应的 较大小. 切线条数. f(x)=xe*,f(x)=e*+xe*=(x+1)e", 对z∈(0，受）》因为y=mx-2,则=c0sx-1<0,即函 设所求切线的切点坐标为(x,x。eo),则切线斜率为=(x。 +1)eo, 数y=sinx-x在(0，受)单调递减， 得切线方程为y-xe0=(x十1)eo(x一x), 且x=0时，y=0,则sinx一x<0,即sinx<x,所以a= 由切线过点(1，m),有m-xe面=（十1）eo(1-x), sin0.5<0.5, 化简得m=(1十x。-x)eo, 因为21ogo.30.5=loga.30.25>log.30.3=1且1og.30.5< 设g(x)=(1十x一x2)e, logo.30.3=1,所以0.5<c=log0.30.5<1, 则g(x)=(2-x-x2)e, 又b=3°.5>3°=1，所以a<c<b. g(x)<0,解得x<-2或x>1;g(x)>0,解得-2<x<1, [答案]B g(x)在（一∞，一2）和(1，十∞)上单调递减， (2)[解析]分别构造通数f)=x-号2-n(x+1D,(x> 在（一2,1）上单调递增， 极大值g1)=e,极小值g(-2)=-5, e2 -1D,g0=x-号x+号2-1nx+1D,>-1,利用号 1 且<15或>1h5时g<0,15<<1h5时，g) 2 2 2 数研究芙单润性，得到x一合<1血x+ID<x-名产十 2 >0， 3,(x>0),再将a看成3n1+0.D,c看成1n1十0.3) g(x)的函数图象如图所示， yA 利用上述的不等式比较大小即可， 则当m>e时，x无解，n=0;当m 3 =e或m<-是时，有一个解，n 2 由56+106-3=0解得6=-1+22， √5 =1； =43-2-1米 0123x 构造函数)=x-x-ln(x+1D>-1D,显然了） 当m=- 是或0≤m<e时，x有 一x2 -2 两个解，n=2:当-点<m<0时， 2+7<0, 故f(x)是减函数，结合f(0)=0,故x>0时， x。有三个解，n=3.（答案不唯一) f(x)<0, 答案：(e,1)(答案不唯一) 故1n(x+1D>x-合r(>0, 培优微专题2 研析考点层级突破 再令g)=-合r+3r-nz+1D,(x>-1D,g() 考点一 例1[解析]构造函数g(x)=卫，结合子数求出单调性， 1千x,当x>0时，g'(x)>0, x 再结合奇偶性，分别判断各个选项即可 故g(x)在(0，十∞)上单调递增，结合g(0)=0, 构造函数g()=fC四，其中≠0， 故1ax+1D<x-7x+号，x>0), x 因为函数f(x)为定义在（一∞，0）U(0,十∞)上的奇函数， 则c=1h1.3=1h1+0.3)<0.3-号×0.09+号×0.027- 则f(-x)=一f(x), 0.264, 所以g(-x)=f二D=fm=gx), 一工 x a=3n1.1>3×(0.1-号×0.01）=0.285， 故函数g(x)为偶函数， 当x<0时，g(x)=f)fD<0, 所以a+102>1+0.285)=1.65125,6+D2=号=1. 6,(c+1)2=(1+0.264)2=1.597696, 所以函数g(x)在（一∞，0）上单调递减， 故(a+1)2>(b+1)2>(c+1)2, 在(0，+∞)上单调递增， 由a,b,c都是正数，故a>b>c. 因为f1)=0,则g1)=f=0, [答案]D 跟踪训练 则g(-1)=g(1)=0. 2.C 因为e>2,所以g(e>g(2),即fe>f2), 课时冲关高效提能 2 2f(e)>ef(2),故A正确； 1.D[令g(x)=ef(x), 不妨取m=1,则f(1)=0,mf(1)=0,B错误； 则g(x)=ef(x)+ef'(x) 因为偶函数g(x)在(0，十∞)上单调递增， =e[f(x)+f(x)], 则g(-x)=g(π)>g(3), 因为f(x)十f(x)>0,而e>0恒成立， 所以g(x)>0, ·129· I数学 所以g(x)在定义域上是增函数， 又0<1=In e<In3, 设f(x)=n(x≥2)，则f(x)=1-n工 所以g(0)<g(1)<g(ln3), 令f(x)>0,则2<x<e,令f(x)<0,则x>e 因为a=f(0)=e°f0)=g(0), 所以f(x)在(2，e)上单调递增，在(e,十o∞)上单调递减， b=3f(ln3)=e3f(1n3)=g(ln3), c=ef(1)=g(1), 因为f2)=f4)-2,2≤x<, 所以b>c>a.] f(x)=f(y:), 2.B[根据给定数据，构造函数f(x)=山工，利用导数探讨单 所以2≤x,<e<y:4, x 所以y十y2十…+yn-1>e(n-1),又yn≤4， 调性并比较大小即得」 20y≤80， 令函数f(x)=n工，x>e,求导得f(x)=1-n工<0，即函 要使得y十y2十…十ya-1≤20yn成立， 23 数f(x)在(e,十o∞)上单调递减， 只需e(m-1)<80,即n<1+80≈30.4， e 所以正整数n的最大值为30.] 而a=2-6==2_h三】 6.ACD[对于A,构造函数f(x)=e-x,利用导数判断函数 2 4 e2 e2 单调性，即可比较；对于B,举反例判断即可；对于C,构造函 2 数h(x)=lnx-1十工(x>0),利用导数研究函数最值即可 又3<号<4，因此f3)>f(号)>f, 2 判断；对于D,构造函数g(x)=x·e(x>0),利用导数判断 所以a<c<b.] 函数单调性，即可比较 3.C[设g(x)=fe2, 设f(x)=e-x(x>0),则f(x)=e-1>0,f(x)在(0， 十∞)上单调递增， 则g(x)=f(e2-2f(x)e 所以f(x)>fy),即e-x>e-y,即e一e>x-y,A正确； (e2z)2 令x=e,y=1,则lnx-lny=1,而x-y=e-l,所以lnx =f(x)-2fx) lny<x-y,B不正确； 因为f(x)-2f(x)<0在R上恒成立， 设(x)=lnx-1+(x>0),则(x)=1-马=， 所以g(x)<0在R上恒成立， 故g(x)是减函数， 当0<1时，-学0， 所以g(一1)>g(0), f二D=cf(-1)>f0)=1,故A不正确； 函教h(x)单调递减；当x>1时，K(x)=>0,函教h e-2 (x)单调递增； g(1)<g(0),即f1)<f0) 则h(z=1n工-1+1在工=1时取得最小值h(1)=1n1-1 即f(1)<ef(0)=e,故B不正确； +片=0，即1h之1-，C正确， (40,即合P@= 设g(x)=xe(x>0),则g'(x)=(x十1)e>0,所以g(x)= e e xe在(0，十o∞)上单调递增， 即f(合)<e,故C正确， 所以由>y>0得xe>e,即号>号D正确] (）.*侵 7.解析：令函数f(x)=x一sinx,x>0, 则f(x)=1一cosx≥0恒成立，故函数f(x)在定义域(0，十 e e2, ∞)上是增函数， 即fI)<cf(合）故D不正确.] 所以当x>0时，f(x)>f(0)=0, 则f(0.9)=0.9-sin0.9>0, 4.B[令g(x)=x一sinx,求导可证明x>sinx,进而可得 于是0.9>sin0.9,即b>a; ,1 1 10sin100<10X10=10,可判断a>c,令f(r）=x-ln(1+ 当（受，）时， x)2=x-2ln(1+x),求导可证x<2ln(1+x)=ln(1+x)2, 令x=0,可得a<b. x-∈(o,) 令g(x)=x-sinx,可得g'(x)=1-cosx≥0，所以g(x)= 则y=sinx-cosz=2sin(x-牙)>0， x一sinx在R上单调递增， 当x>0时，g(x)>g(0),所以x>sinx, 所以sinx>cosx,而平<0.9<受， 所以10sn00<10X0=0所以a>e 1 于是sin0.9>cos0.9,即a>c. 综上，b>a>c. 令f(x)=x-ln(1十x)2=x-2ln(1十x),求导可得f(x)= 答案：b>a>c 1-2=x-1 8.解析：因为f(x)-f(-x)=2sinx, x十1x+1' 所以f(x)一sinx=f(一x)-sin(一x), 当0<x<1,f(x)<0,所以f(x)单调递减， 设g(x)=f(x)一sinx,x∈R, 所以f(x)<f(0), 可得g(x)=g(一x),所以g(x)为偶函数， 即x-21n(1+x)<0-21n1=0, 在[0，十o)上有f(x)>cosx, 所以x<2ln(1十x)=ln(1+x)2, 所以g'(x)=f(x)一cosx>0,x∈[0，+∞)， 令x=0可得0<n1+0.1D2=h1.21, 1 故g(x)在[0，十○)上单调递增，根据偶函数的对称性可知， g(x)在(-∞，0)上单调递减， 即a<b, 所以c<a<b.] 由f(受-）厂f)>cos一n,得 5.C[由=项得n西=业，构造函教)=血(x≥ y f-"sin<f(受-t）-cost 2),利用导数求得f(x)的单调性，求得y的取值范围，结合 不等式的知识即可得解. -f(受-）s(登-）小： 因为2≤<，=项，所以n工=n业， xi yi 即go<8(受-小 ·130· 答案精析 所以<罗一- 设h(a)=ae,则h'(a)=(a十l)e, 当a∈(-o∞，-1)时，h'(a)<0,h(a)单调递减， 即<（-），日 ->0,解得K平 当a∈(-1，+∞)时，h'(a)>0,h(a)单调递增， 答案：(0，) 所以h(a)m=(-1)=-上.] e 考点三 培优微专题3 研析考点层级突破 例3[解]由xe=f()-号x2+ax-1(x>0, 考点一 例1[解析]由题意知a>0,b>0, 即xe-a=xlnx十ax, ,4“=22a,8=2b,3log27b=log3b, 即ea=lnx十a, ∴.22a+log3a=2+logb, 即ea+x-a=x十lnx, ..224+logsa+logs 2=23+log36+logs 2, .In(e"-)+e-a=In z+z, Ep 22+log 2a=23+log3 20, 令h(x)=lnx+x(x>0), :y=log3x在(0，十∞)上单调递增， 则h(e-a)=h(x), ∴.log32b<1og33b, ..22+logs 2a<2+log;36. h(x)=1+1>0, 设f(x)=2+log3x,则f(2a)<f(3b), ∴.h(x)在(0，十o∞)上单调递增， ”y=2与y=logx在(0，十∞)上单调递增， .e4=x, ,∴.f(x)在(0，十∞)上单调递增， -a=In z,a=x-In x(x>0), 2a<3b,即a<2 因为关于x的方程xe=f(x)-号x+ax-1有两个不 [答案]A 同的实数解， 跟踪训练 1.B ['z2In x1-x In z2-2, 则方程a=x一lnx(x>0)有两个不同的实数解. .ln-ln4≤1-1， 令p(x)=x-lnx, 则g(x)=1-1=-1 即ln+1nx+1 当0<x<1时，o'(x)<0, 又0<x1<x2<a, 当x>1时，9(x)>0, 令p(x)=lnx+1 所以函数p(x)=x一lnx在(0,1)上单调递减，在(1，十o∞) 上单调递增， ∴p(x)在(0，a)上单调递增，p(x=二lh, 所以p(x)mn=p(1)=1, 当x→0时，(x)→十∞， 当x∈(0,1)时，0(x)>0, 当x→十∞时，p(x)→十∞， 当x∈(1，+∞)时，9(x)<0, 所以a>1, p(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减，故a≤ 综上，a的取值范围为(1，十∞). 1,.a的最大值为1.] 跟踪训练 考点二 3.解析：令x2e2+lnx-2=0, 例2[解析]将不等式变形为elha十x-lna<x-l十ln(x 可得xe-2=2-lnx, 一1)，构造函数g(x)=x十lnx,分析可知该函数为增函数， 可得出lna>x-ln(x-l),求出函数h(x)=x-ln(x-l)的 即g=2-lnx, e2 最小值，可得出关于实数a的不等式，即可得出实数a的取 值范围. 'e=2e-e'In zze=20-6In, 因为a>0,由ax一a>0可得x>1,即函数f(x)的定义域为 xx (1,+∞)， e2 f)=e-alna-aln(z-l)+a≥0可得g-ln≥ln(z- x a 两边同取自然对数， 1)-1, 即e-a+x-lna≥x-1十ln(x-l), a +In() 构造函教g)=2+n,共中>0，则g()=1+>0, 所以lng=x,即2-lnr=x, 故函数g(x)在(0，十∞)上单调递增， 所以g(e)≥g(x-1),可得e-aa≥x-1, 即lnx=2-x, 则x-lna≥ln(x-1), .e2-*=x,.e2-0 +In zo=zo+In zo=2. 即lna≤x-ln(x-1),其中x>1,令h(x)=x-ln(x-l), 答案：2 其中x>1, 课时冲关高效提能 则)1点一导当1长a<2时，)0，此时 1.C[构造函数f(x)=x一cosx, 则f(x)=1十sinx≥0在定义域R上恒成立， 函数h(x)单调递减， 所以函数f(x)=x一cosx为增函数， 当x>2时，h'(x)>0,此时函数h(x)单调递增， 又因为a十B>0,所以a>一B, 所以，lnah(x)min=h(2)=2,解得a≤e. 所以f(a)>f(-), 综上，0<a≤e2. 即a-cosa>一3-cos(一)， [答案]A 即a-cosa>-B-cosB, 跟踪训练 所以a十>cosa一cosB, 2.CL设g(x)=lnx十x,由f(a)=g(e“)=g(B),又g(x)= 即“a十B>0”能推出“a十B>cosa-cosB”; lnx十x在定义域上单调递增，则B=e°，于是aB=ae,再利 根据a十B>cosa一cosB, 用导数求函数的最小值即可. 可得a-cosa>一B-cosB, 因为f(x)=e+x=e+lne,g(x)=lnx+x, 即a-cosa>-B-cos(-B), 所以f(a)=e+lne,g(e)=e+lne,而f(a)-g()=0, 所以f(a)>f(-),所以a>-B,即a十B>0, 故f(a)=g(e)=g(,又g(x)=lnx十x在定义域上单调 所以“a十>cosa-cosB”能推出“a十B>0”, 递增，则B=e,于是8=ae°. 所以“a十B>0”是“a十B>cosa-cosB”的充要条件.] ·131·