专题精准强化14、15 直线与圆 圆锥曲线的方程与性质-【创新教程】2026年高考数学大二轮专题增分方案课时作业

I数学 ∴D1F= 故结合曲线对称性，作出曲 线C如图： 的一个法向量， 而d=a+b-3表示曲线C ID.F.ocI √2 1 .'sin= 上的点(a,b)到直线l: DF1·IOC √停+3x-4 x十y-3=0的距离， -2 可知d= :这f0=（3A-4+号，0<2<1， la+b-31取最小 √2 值和最大值时，(a,b)位于曲 则ra[3,号) 线在第一、三象限内的圆孤上， 当x≥0，y≥0时，曲线的方程为x2十y2一x一y=0,即 < 26 专题精准强化14 1.B2.D3.C 此时d的最小值为 229 4.C[由题意可作图如下，圆C:(x 当x<0,y<0时，曲线的方程为x2十y十x十y=0,即 -√3)2+y2=1的圆心C(5,0), (+)+(+)广= 半径r=1,若直线1与圆C有公 共点，则C的斜率一定存在，则圆 战时d的最大值为广2一2-3 +2_52 心C到直线l的距离d= √2 2 21 3k-1型，令d=1,解得k=5或 √+1 故d3到的装小位与最大维之和为号+5号- √2 2 √2，所以|a十b-3|的最小值与最大值之和为3√2×√② k=0,故当k=√3时，直线1的倾斜角取得最大值， =6.] 为] 9.ABC[求出L1∥L2的充要条件即可判断A;根据两直线 垂直得充要条件即可判断B;求出直线2经过的定点即 5.A[根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可 可判断C;判断何种情况下点P(1,3)到直线11的距离最 求解 大，并求出最大值，可判断D. 对于A,若11∥12， 圆心C(2,0)到直线L:x十y=0的距离1==√2，则 则a(a-l)-6=0,解得a=3或a=-2, |AB|=2X√4-2=2√2.] 经检验，符合题意，所以a=3或a=一2， 所以l1∥L2的充要条件是a=3或a=一2，故A正确； 6.C[因为a,b,c成等差数列，所以a-2b十c=0,直线ax +by+c=0恒过P(1,-2),当PC⊥AB时，lAB|取得 对于B,当a=号时，3a+2a-1)=号-号=0，所以4 最小值，此时|PC=1,AB|=2√5-PC平=4.] ⊥L2,故B正确； 7.D[因为⊙C的标准方程为(x y本 对于C,由l2:3x+(a-1)y+3-a=0,得(y-1)a+3x -y+3=0, -1)2+y2=4,圆心为C(1,0), 半径为r=2, 令/y-1=0 3, 又易知直线x一my十1=0过定 3y+3=0解得=-号 (y=1 O C 点(-1,0)， 所以直线山经过定点（号，1），位于第二象限，故C 如图，过C作CH⊥AB于H,因 正确； 为AC在AB上的投影向量的模为√5，则AH=√，所以 对于D,由l:ax十2y十3a=0,得(x+3)a十2y=0, CH=√2-3=1，则2=1，解得m=士5.] √1+m 令0原容了 (y=0 所以直线1过定，点M(-3,0), 8.C[作出曲线C:x2+y2-|x|-|y=0对应的曲线，将 当PM⊥1时，点P(1,3)到直线1的距离的最大， d=a+b3看作曲线C上的.点(a,b)到直线lz+y一3 最大值为1PM|=√(-3-1)+(0-3)2=5，故D √2 错误.] 0的距离，结合圆心到直线的距离求得d的最小值和最大 10.ACD[圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5,5), 值，即可求得答案. 由题意知点(a,b)在曲线C:x2+y2-|x|一|y|=0上， 半径为4，直线AB的方程为号十=1，即x十2y-4 曲线C关于原点以及坐标轴均对称； =0, 由于x≥0，y≥0时，曲线的方程为x2十y2-x一y=0,即 图心M到直线AB的距离为5+2×5-4-1卫 √12+225 (e-)+()= 115>4, 5 ·300· 答案精析 所以，点P到直线AB的距离的最小值为卫5 点C(3,0)到直线3x-y十1=0的距离 -4<2,最 5 d=13X3-0+1=√10>22， 大值为15+410，A选项正确，B选项错误； √/32+(-1)2 5 所以，点P到直线3x一y十1=0距离的最小值为 如图所示： d-22=√10-2√2. 当∠PBA最大或最小时，PB与圆 答案：√0-2√2 M相切，连接MP、BM,可知PM 14.解析：设A(x1y1),B(x2y2), PB,IBM|=√/(0-5)+(2-5)8 南但。牌择 .x2=一2 =√34，|MP|=4,由勾股定理可得 {y1=-23'{y2=231 |BP|=√BM2-MP'=3√2， 可得A(2,-2√3)，B(-2,2√3)， CD选项正确.] 设经过点A,B,C(8,0)的圆的方程为x2十y2十Dx十Ey 11.ACD[圆C:x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,圆心 +F=0(D2+E2-4F>0), 为C(1,0),半径r=1； 4+12+2D-2√3E+F=0 对于A:若b2一2a=1,则圆心到直线的距离d= la+1l_ 所以{4+12-Dx+2V3E+F=0, la+1l a+1 =1=r, (64+0+8D+0+F=0 √a2+b√a+2a+1√(a+1)7 ,D=-6 所以直线L与圆C相切，故A正确； 解得{E=-2√5， 对于B:当a=0,b=一2时满足a十b=一2，此时直线方 F=-16 程为y=一2 1 即x2+y2-6x-2√3y-16=0, 可得(x-3)2+(y-√3)2=28. 则国心到直线的距离为2<r,显然直线与圆相交，故B 答案：(x-3)2+(y-√3)2=28 错误； 专题精准强化15 对于C:当a=1,b=-1时直线l:x-y十1=0，则直线 1.D2.D3.C x-y十1十√2=0与直线1平行， 4,B[将抛物线与直线联立，利用韦达定理，求解出x1· 且两平行线间的距离山，=1+2-1 =1, 2=-2,y1·y2=t2,利用垂直关系，2·兰=-1求 √1+(-1)7 2 1 依题意动圆圆心到直线x一y十1十√2=0的距离与到C 解，即可得到十%，代入MF+NF-+号+为 (1,0)的距离相等， 且点C(1,0)不在直线x-y+十1十√2=0上， 十公即可得到答案 根据抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹是一条抛物 设M(x1,1),N(x2,y2),将直线与抛物线联 线，故C正确； 对于D:不妨令 立/x=2y y {y=2x+t' A(-1,0),B(0,1), x-y+1=0 消去y有：x2-4x2t=0,有x1十工2=4，x1·x2=一2t, AB的中点为D x-y+1+√/2-0 则y1·y2=(2x1十t)(22+t)=4x1·x2+2t(1十x2) +t2=-8t+8t+t2=t2, 3 =√2， 由于0M10N,因此尝·头=-1，即2=-1，得到1 所以以AB为直径的 =2, 国的方程为(+号) 因此y1十y2=2x1+t+2x2+t=8+2+2=12, 由于抛物线中p=1,抛物线上点到焦，点距离等于到准线 1 的距离， 因此MF+NFI=y+号+%+号=12+1=13.] 又c-)+(-=<号+1，所 2 2 5.D[由sinx2=siny2结合诱导公式得出x2=y2+2kπ 以圆D与圆C相交， (k∈Z)或x2=(2n十1)π-y2(n∈N),化简曲线方程，可 得合适的选项. 所以圆C上存在点P满足PA·PB=O,故D正确.] 由sinx2=siny2可得x2=y2十2kπ(k∈Z)或 12.解析：先根据直线1与2平行求出参数，再由两平行直 线间的距离公式可得答案. x2=(2n+1)x-y2(n∈N), 即x2-y=2kπ(k∈ND或x2+y2=(2n+1)π(n∈N), :直线6与4年行是=马≠己， 所以，曲线sinx2=siny2由一族同心圆x2+y2=(2n十 a 解得a=一2， 1)π(n∈N)与直线y=士x以及两族等轴双曲线x2一y ∴.直线：x-y-1=0,直线12：x-y-2=0, =2kπ(k∈N")、y2一x2=2kπ(k∈N')构成.] ·直线4与4之间的距离d=-1-（-2)- 6.A[根据给定条件，利用对称特征及余弦定理、数量积 2 定义列式求出离心率， √1+1 由F2关于∠PF1F2的角平分线L 答案号 的对称，点恰好是点P,得PF,= F1F2=2c, 13.解析：设出点P的坐标，由已知探求点P的轨迹，再借 由椭圆的定义得|PF2|=2a 助几何意义求出最小值 PF1l=2a-2c,设∠PF1F2=a, 设点P(x,y),则PA=(1-x,-y),PB=(5-x,-y), 在△PFF2中，由余弦定理得 由PA·PB≤4，得(x-1)(x-5)+y2≤4， cos a=PF+FE1-IPF 2PFF F 即(x-3)2十y2≤8，则点P的轨迹是以点C(3,0)为圆 4c+4c2-(2a-2c)》_2-a+2ac 心，2√2为半径的圆及内部， 2·2c·2c 2c2 ·301· I数学 由rP.R-号c,得1rpE1eose= 由已知得F(2,0),准线方程为x= 2,设直线AB的方程为x=my十2，A -号a,则202c,g+=告e, （x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点M 2c2 (xy),如图所示， M 7 整理得：c2+2ac-9a2=0,即9e+18e-7=0,又0<e 联立十2，消去工并整理得y {y2=8x <1,所以e=号] -8my-16=0, 则y十y2=8m,yy2=-16, 7.ABD[根据椭圆方程求出a,b,c,再结合椭圆的性质逐 所以x1+x2=m(y1+y2)+4=8m2+4, 一判断即可· 所以，=西十五=4m2十2，o=当业=4m,即M 设描圈C:号十学-1的长轴长为2a,短轴长为26，焦距 2 2 (4m2+2,4m), 为2c, 所以|AB|=x1+x2十4=8m2+8. 故当m=0时，AB|min=8. 若△ABP为等边三角形，则 m≠0，如图所示， 设直线PM的斜率为k,则·1 F2 =-1,k=-m,所以直线PM的 方程为y-4m=一m(x-4m2一 2),即y=-m.x+4m3十6m, 所以，点P(-2,4m3+8m), 则a2=9,b2=4,c2=9一4=5，故a=3,b=2,c=√5， 所以C的焦距为2√5，故A正确； 又PM=号1AB1, C的离心率为二=5，故B正确； 所以(4m2+4)2+(4m十4m2)2= a 子(8m+8,解得 △F1PF2的周长为|PF:|+|PF2|+|FF2|=2a+2c= m2=2, 6十2√5，故C错误； 所以|AB引=8m2+8=24. 对于D,当点P位于椭圆的上下顶点时，△FPF2的面 答案：824 积最大，最大值为号×2X2厅=25，故D正确.] b=1 11.解：(1)由题意得 2，求出a,b,从而可求出 8.ACD[L恰为抛物线的准线，由 -g= a2=2 抛物线定义可知A选项正确.设 ∠AFx=0,连接AE易知 0 椭圆方程；(2)当直线1的斜率不存在时，不合题意，当 △ADE≌△AFE,.∠DAE= 直线l的斜率存在时，设直线l的方程y=kx十√3，设A (x1,y1),B(x2,y2),将直线方程代入椭圆方程化简，再 ∠FAE= 1 2 ∠FAD= 2则 利用根与系数的关系，利用弦长公式列方程可求出， IAEI=AFI 从而可求出直线方程 ,b=1 cos 2 (1)依题意： b√2，解得a=√ 2 1b=1 所以E的方程为号+y=1. 2 (1-cos 0)cos2 IABI=IAFI+IBFI-1-cos0 (2)如图，当直线1的斜率不存 在时，AB=2,与题意不符， 2p 十十6s9品)选项B错误. 舍去； 当直线1的斜率存在时，设直 AB1=g≥2p=6,选项C正确， 线l的方程y=x十√3，设A (x1,y),B(x2y2) |AE1·|BE|= 力 联立2+y=1 消y得：x 0 (1-cos 0)cos2 a+cco生 8g>18 y=k.x+√3 选项D正确.故本题正确选项为ACD.] +2(kx十√3)2=2， 9.解析：由题知：|AF2|=5,|AF11=13,|F1F2|=2c= 整理得：(2k2+1)x2+4√3kx十4=0， √132-52=12，解得c=6,1AF1|-|AF2|=2a=8,解 △=(4√3k)2-16(22+1)=16(k2-1)>0,则k∈(- 得a=4,所以=台=是 0∞，-1)U(1,+∞)， -4√3k 4 答案：昌 x+x=2k十1xx=2k+ 10.解析：设直线AB的方程及弦AB的中点M,联立直线 则|AB|=√1十√(x+x2)2-4x1x2=√1十k AB的方程与抛物线方程可得x1十x2及M点坐标，结 -43k 16=4√®-1_8V2 合抛物线焦点弦公式可得|AB|,由等边三角形性质可 N(2k+1 2k2+12k2+1 7 知PM⊥AB,即可设出直线PM的方程，结合，点P在准 即7√k-1=2√2(2k2+1), 线上可得点P坐桥，再结合PM=受AB及AB 则17k-32k2-57=0,即(17k2+19)(k2-3)=0, 解得=√3或k=一√3， 8m2十8计算即可. 则直线1的方程为y=√3.x十√3或y=-√5x十√3. ·302· 答案精析 12.解：(1)已知双曲线C的中心为坐标原点O,且焦点在x2.解：(1)根据焦半径公式得到xp=2,求出P(2,士2②)，从而 轴上，故设其标准方程为三-兰-=1(a>0,b>0), q? 求出斜率：2)法一：PQ=号十4，联立抛物线方程，设 又其渐近线方程为，5x十2y=0,即么=50， P(x1y),Q(x2y2),得到两根之和，两根之积，得到yR a 2 又点P4,-3)在双曲线C上，代入得9-是=1@， =十业=22，求出答案；法二：设P(x1,),Q(x2, 2 a 62 联立①②，解得a=2,b=√3， ),得到业二当=4=区 -孟十”=乞，从而确定为十⅓ 所以双曲线C的标准方程为 2 =1; 4,得到发=士2=2区，得到答案。 (2)直线1过点Q(0,2)且倾斜 (1)F(1,0),|PF1=xp+1=3, 角为45°，故其方程为 .xp=2,将xp=2代入y2=4x y=x十2， 将其代入双曲线方程，联立得 得，yp=士22， 工一x+2)=1,化筒得2+ P(2,士2√2) R 4 3 16x+28=0, 所以n=专9=士2， 解得x1=一2和x2=一14，代 (2)法一：设P(x1,y1),Q(x2, 入直线1， y2), 求得y1=0和y2=一12， 即直线1与双曲线C的交点M(一2,0)、N(一14，一12)， PQ:y=2 x十t,即x=2y 所以Saw=号10Mly=号×2X12=12. √2t, 代入y2=4x,得y2一4√2y十4√2t=0, 专题精准强化16 由韦达定理，有y1十y2=4√2， 1.解：设F(c,0,由题设有c三11。-号 故g=当十业=22，R在定直线y=22上. 2 故。1-号，解得a=2,截b=尽 法二：设P(x1y1),Q(x2y2）， 故箱围方程为号+号-1， 由题意，二业=业一”=4-巨」 Zaa1 yy+y 2' 44 (2)直线AB的斜率必定存 y米 在，设AB:y=k(x-4), 故y1十y2=4V2, A(x1y1), 故g=当业=22，R在定直线y=22上. B(x2y2), 2 由3x2+4y2-12 3.解：(1)依题意，得直线1：y-4= yx4,可得(3 x一2，即y=x十2， 十4k2)x2-32k2x+64k2 则圆心(0,0)到直线1的距离 12=0, d=12=2,所以1MN1 故△=1024k4-4(3+4k)(64k2-12)>0, √2 =2√4-2=2√2. (2)依题意，直线1的斜率存在且 32k2 64k2-12 不为零，设M(x1,y1),N(x2, 又西十西=3十级西=3+4银2， y2),l:y-4=k(x-2), 而N(停小故克线BN:y=三（-受） 联立4（红-2》，得1+)2-4场(k-2)x十4 {x2+y2=4 x2一2 -16k+12=0, 3 故%=2 -3y2 1+62,西4=62-16k+12 则西十，=46(-2) 1+k2 52x2-5’ x2一2 所以与+板十产。 k(c1一2)+4+ x1一2 所以y1-a=y十2x5 3y2 k(x2-2)+ 4 x2-2 =2+4。+ 「x1-2x2-2 =×(2x,-5)+32 =2k+ 4(x1十x2一4) 2x2-5 x1x2-2(x1十x2)+4 =b(x1-4)×(2x2-5)+3k(x2-4) 2x2-5 =2k 4×[年2 =k21x-5(x1十x2)+8 2x2-5 4级16k+12-2×4k-2)+4 1+k 1十k2 2×6412-5×32k 3十462十8 =2k-(2k+1)=-1, =k- 3+4k2 所以1十k2是定值，且定值为一1. 2x2-5 4.解：(1)抛物线C:y=2px(p>0)与双曲线E,号 y 128k2-24-160k2+24+32k =k 3+4k2 -=0, 1(a>0,b>0)有公共的焦点F, 2x2-5 故y1=yQ,即AQ⊥y轴. 设双曲线E的焦距为2，则有号=c, ·303·1数学 [答题栏] ⑧错题序号： 1 专题精准强化14直线与圆 @错因分析： ,单选题 二、多选题 31.(2025· 新疆适应性检测三)直线l:2x十3y 9.对于直线l1:ax+2y+3a=0,l2:3x十(a- 4 一1=0的一个方向向量为 1)y十3-a=0,则 () A.(3,2) B.(3,-2) A.l1∥l2的充要条件是a=3或a=-2 -5 C.(2,3) D.(2,-3) --62.已知直线过点(1,2)，且纵截距为横截距的 &当a=号时，61 7 两倍，则直线1的方程为 ( ) C.直线l2经过第二象限内的某定点 A.2x-y=0 D.点P(1,3)到直线1的距离的最大值为 --8 B.2x+y-4=0 3√2 9 C.2x-y=0或x+2y-2=0 10.(2025·南通考前押题卷)已知点P在圆 10 D.2x-y=0或2x+y-4=0 (x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4,0)、 3.(2025·石家庄质检三)已知圆C1:x2+y2 B(0,2),则 () 11 =1和圆C2:x2十y2-6x-8y十9=0，则两 A.点P到直线AB的距离小于10 圆公切线的条数为 B.点P到直线AB的距离大于2 A.1 B.2 C.3 D.4 C.当∠PBA最小时，|PB|=3√2 4.若过点P(0,-1)的直线l圆C:(x一√3)2+ D.当∠PBA最大时，|PB|=3√2 y2=1有公共点，则直线1的倾斜角的最大 11.(2025·郑州三模)已知直线l:a.x+by+1 值为 ( =0(a,b不同时为0)，圆C:x2+y2一2x= A日 B至 c晋 号 0,则 () 5.(2025·白山二模)若直线1：x+y=0与圆 A.当b2-2a=1时，直线1与圆C相切 C:(x一2)2+y2=4交于A,B两点，则 B.当a十b=-2时，直线L与圆C不可能 IABI= ) 相交 C.当a=1,b=一1时，与圆C外切且与直 A.2√2 B.2 C.√2 D.1 线1相切的动圆圆心的轨迹是一条抛 6.(2024·全国甲卷)已知b是a,c的等差中 物线 项，直线a.x十by十c=0与圆x2十y2+4y D.当a=1,b=一1时，直线l与坐标轴相 1=0交于A,B两点，则|AB的最小值为 ( 交于A,B两点，则圆C上存在点P满 A.1 B.2 C.4 D.25 足PA·PB=O 7.(2025·秦皇岛模拟)已知直线x一my十1= 三、填空题 0与⊙C:x2十y2-2x-3=0交于A,B两 12.若2x十ay-2=0与x-y+a=0平行，则 点，若AC在AB上的投影向量的模为√3，则 两直线之间的距离为 m的值为 13.(2025·徐州适应性测试)已知点A(1,0), ( ) A士 B.土③ B(5,0),若PA·PB≤4，则点P到直线3x C.±1 D.土√3 3 一y十1=0距离的最小值为 8.(2025·邢台二模)已知实数a,b满足a2十 14.(2025·衡水二模)已知圆x2+y2=16与 b2一a|-b=0,则|a十b-3|的最小值与 直线y=一√3x交于A,B两点，则经过点 最大值之和为 ( A,B,C(8,0)的圆的方程为 A.4 B.5 C.6 D.7 ·200· 专题精准强化 ⑧错题序号： [答题栏] 专题精准强化15 圆锥曲线的方程与性质 @错因分析 2 一、单选题 6(2025·丽江模报)设椭圆C后+ =1(a 1.(2025·安阳三模)已知抛物线y=2ax2(a >0)的焦点到准线的距离为1，则a= >b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭4 圆C上一点，若点F2关于∠PF1F2的角平 分线1的对称点恰好是点P,且F1P·F1F2 A.2 B.1 c D 6-- 号a2,则C的离心率为 ( ) 2.(2025·全国一卷)已知双曲线C的虚轴长 是实轴长的√7倍，则C的离心率为( ) A. B号 C. D.9 8.- A.√2 B.2 C.√7 D.2√2 二、多选题 3.(2025·葫芦岛协作校一模)已知F1,F2分 7(2025·潍坊三模)已知椭圆c:号+￥与 别是稀圆C秀+y2=1(m≠1)的左，右熊 的焦点分别为F1,F2,P为C上一点，则 点，P是椭圆C上的一点，且|PF1|十 |PF2|=6,则椭圆C的离心率是( ) A.C的焦距为2√5 A R C.22 D.2② 3 9 BC的离心率为 3 4.(2025·张家口三模)已知抛物线x2=2y的 C.△F1PF2的周长为3+√5 焦点为F,O为原点，直线y=2x十t与该抛 D.△F1PF2面积的最大值为25 物线交于M,N两点，且OM⊥ON,则|MF 8.(2025·全国一卷)设抛物线C:y2=6x的焦 +|NF|= ( 点为F,过F的直线交C于A、B两点，过A A.12 B.13 C.14 D.15 5.(2025·岳阳模拟)曲线sinx2=siny2的图 作直线L:x= 号的垂线，垂足为D,过F作 象大致为 ) 垂直于AB的直线交1于E,则 ( ) A.AD=AF B.AE=AB C.|AB|≥6 D.|AE·|BE|≥18 三、填空题 9.(2024·新课标I卷)设双曲线C:一三 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2, B 过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两 点.若|F1A|=13,|AB=10,则C的离心 率为 10.(2025·泰安三模)已知抛物线C:y2=8x, 点P在C的准线上，过C的焦点F的直线 与C相交于A,B两点，则|AB|的最小值 为 ,若△ABP为等边三角形，则 IABI= 。 ·201· 1数学 四、解答题 12.(2025·南宁三模)已知双曲线C的中心为 1.已知椭圆E,号 2+2=1(a≥b≥0)的短轴 坐标原点O,且焦点在x轴上，点P(4,一 3)在双曲线C上，其一条渐近线方程为√3x 长为2，离心率为 +2y=0. 2 (1)求双曲线C的标准方程； (1)求E的方程； (2)过点Q(0,2)且倾斜角为45°的直线l与 (2)过点(0，√3)作直线1与椭圆E相交于 双曲线C交于M、N两点，求△OMN的 A,B两点，若1AB1=8y2,求直线1的 面积. 7 方程. ·202·