专题精准强化11 空间几何体-【创新教程】2026年高考数学大二轮专题增分方案课时作业

答案精析 (信-)+后 等比数列前n项和公式求Sn,即可证。 a-+a:十+a+=4a-1D+a-a-2 ①)因为(2a）为等差数列，取前3项知2,2a, n 2 ×2+2=n(n+1), 号4，成等差数列，即4a=号4，十2， 8 又6=号也适合上式，所以号=(m十1D, 国为{0D}为学比教列，取前3项知2号，登成学 =11 1n(n+1) 因么日市 比数列，即2a=3a3· 代入4a:=号a,十2，得4a:=5a+2,这等价于8ag 8 所以工=(-)十（合-号）++（员） 1-n 18a2+9=0, n+1n+1' 2.解析：分析：(1)利用an与S的关系式及等比数列的通 也即(2a-3)4a,-3)=0,所以a,=是或是 项公式即可求解；(2)利用错位相减法即可求解。 (1)当n=1时，a1=S1=1, 若a=是，那么2=5，所以4，=50，但 n 2 2m+1 当n≥2时，a.=Sn-S.-1=n2-(n-1)2=n2-n2十2n n(n十T)(m十1)2不为等比数列，与题千不符， 5-n 1=2n一1，当n=1时也符合上式， 所以an=2n-1, b=a1=1,所以bn=3-1 所以a=是，得a=nm卫，经检验得特合题意，故a 2” (2)cm=a.·bn=(2n-1)3m-1, 所以T.=1+3×3+5×32+…+(2n-1)×3"-1, =n(n十1) 2 3Tn=3+3×32+5×33+…+(2n-1)X3", 两式相减得-2T,=1+2×(3+32+…+3-1)-(2m (2)令an<an+1,解得n<2,令an>a+1,解得n>2, 1)3”, 当n=2时a.=a=号a1=a=2 =1+2×31-3）-(2m-1)3"=-2+(2-2m)3, 所以a1<a2=a>a4>a5>…>a,即最大项不唯一， 1-3 故{an}不存在唯一的最大项. 所以T。=(n-1)3+1. 3.解：(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由题意可 (3)因为a,=n(n+1_ 得4a1+6d=8a1+4d 2n 十2n1)d=2a+2(n-1Dd+1,解方程求出a, (2m2+6n+8)-(m+5n+82=2.元+3m+4-2 2” 2” d,即可求出数列{an}的通项公式； (2由（可得-额由累乘法可家出低的通项 .+5n+8 2"+1 公式，再由裂项相消法求解即可. 记6.=2.心+3+4，注意到6，+1=2 (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d. 2 由S4=4S2,a2m=2am十1， 得22-a+ .”2+2m+1+3n+3+4=2.2+5n+8 2n+1 2m+1 所以an=bn一bn+1: 解得：a1=1,d=2,所以an=1+2(n-1)=2m-1(n∈N). 于是Sn=(b1-b2)+(b2-b)+…十(bn-bn+1) (2)由(1)知，(2n-1)bn=(2n十3)b+1, 即容-0w名器会 =6,-6t1=8-n2+5n+8 2n b=3,=1, 因此S,=8-+5n+88. b2-7’b5’ 利用系秦连可得成总会…会6会× 专题精准强化11 b 2×…×号××8 1.A2.C3.C D 2n-1 4.B[连接BD,VP-oc=VQ-DBc a-成8mD=号（点2）对=1也 9 一Vp-DsC,计算得到答案。 如图所示：连接BD, 成立， Vp-o8c Vo-DCB -Vp-DBC= 1 P 所以26，=6i+6+6++61+6.=号 D人- [-号)（）+（传）++ X4×4×-是] A 9 5.A[由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计 算即可. 所以26，=2(1一2m中） 9 1 9 设上、下两圆锥的底面半径为r,高分别为h1,h2,体积分 别为V,V2, k=1 4,解析：分析：(1)利用等差、等比中项的性质得4如，=3a, 8 因为上圆锥的高与底面半径相等，所以h1=r, 1 十2,2a=3a,联立来得a,=是或号，讨论求数列的道 1 项公式；(2)讨论an,aa+1的大小，得到a<a2=a3>a4> 3T2h2 a5>…>an,即可得结论；(3)法一：由(1)有an=2· 上圆锥的母线为√十h=√十r=√2r,下圆锥的母 +3n十4-2.”2士5n+8,进而有a.=b.-b+1,累加 2m+1 线为Jr+h=√r2十4r=√5r, 得S,=8-n+5+8,即可证；法二：应用错位相减法、 所以上、下两圆锥的母线长之比为2] 2”. ·295· I数学 6.A[将A点所在的侧面沿交线展开，分别求得A点到C 设底面边长为2a.正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面 点的最短距离和C,点到B点的最短距离，进而求得小蚂 角为0， 蚁走过的最短距离. 这个角接近30°，取0=30°，∴.∠SH0=30°， 将A,点所在的侧面沿交线展开，C 如图所示， 则0H=a,0S= 3a,SH=23 3a. 则A到C的最短距离为 /402+282=4√149， 在R△sAH中a+(=4Vm, C点到B,点的最短距离为BC= 解得a=12,故底面边长为24m, √202+(20+22)7=2√54I, 故小蚂蚁走过的最短距离为 正四棱锥的高为3×12=4V3(m, 4wW149+2541.] 7.C[首先根据已知条件求出圆台的高，然后根据外接球 侧面积为S=4×号×24×2gX12=3845m, 3 的表面积求出上底和下底半径，然后根据圆台体积公式 体积V=1×24X24×45=768√3m3.] 求出其体积. 设圆台的上底半径为r,则下底半径R=2r 10.BCD[对于A:求出长轴短轴长即可求得结果；对于选 轴截面为等腰梯形，两底边长分别为2r和4r,腰与下底 项B,C利用割补法将图形等价于底面半径为2cm,高 的夹角为 为2cm的圆柱即可求得结果，对于选项D:利用椭圆的 3 面积公式即可求得结果 则圆台的高，即梯形的高为h=号（一2）·m子-5 对于A:因为截面与圆柱体的轴成45°，且圆柱体底面 半径为2cm,故裁面椭圆长轴长为2a= sin 45=42, 4 因为外接球的表面积为16π，所以球半径为=2， 短轴长为2b=4,故c=√瓜-8=2，故e=名=2号2=号， 设球心到上底圆心距离为a,则到下底圆心距离为h一a. 根据球心到上下底面圆周的距离均为2，得方程： 故A错误；对于选项B:因为上、下截面间的距离为√2 fr2+a2=4 {4r+(a-h)2=4解得r=1,a=5. cm,所以AB=sin45=2cm,将该几何体沿A点平行 所以圈台体积为：V=}h(R+Rr十)= 3π·3. 于圆柱底面切割补到以沿点B平行于圆柱底面的位 置，则正好是以底面半径为2cm,高为2cm的圆柱，则 4+2+1)=79] V=π×2X2=8πcm3,故B正确；对于选项C:同样以 选项B的方法割补，侧面积即为以底面半径为2，高为2 8.B[利用等体积法求出，点A,到平面EFG的距离，说明 的圆柱的侧面，S=2πX2X2=8πcm,故选项C正确；对 所求球形体积最大时即为棱长为6的正方体的内切球， 于选项D:利用椭圆的面积公式：S=πab=4√2πcm,故选 再根据求得体积公式即可得解. 项D正确.] 由题意A1E-A1F=A1G= 含，设点A1到平面EFG的 3 11,BC[对于A:圆台的体积为3元 距离为d,而EF=EG=FG=3 2 (12+32+1×3)×23=263 3， A错误：对于B:如图是圆台的轴 =1×3W2 32) 3√2 截面ABCD,外接球球心为O,设 S△BrG=21 18V3 2 2 2 16 外接球半径为R,当球心在梯形 2 ABCD内时，√R2-1+ 由VE,=V,得X 3 2 3×3 2 VR-32-23,解得R=28, 3， 号×8，解得复， 当球心在梯形ABCD外时， 棱长为6的正方体的内切球的半径为3， √R2-1-√R2-32=25,方 程无解，所以外接球的表面积 棱长为6的正方体体对角线的长度为6√3， 因为33-5-53>8， 4πR2=112 3 ，B正确； 2 21 对于C:用过任意两条母线的平 所以所求球形体积最大时即为棱长为6的正方体的内切球， 面截该圆台所得截面周长，其中轴截面的周长最大，又 则该球形饰品的体积的最大值为子元×3=36mcm.] 母线长为W/(23)2+(3-1)2=4,则最大周长为4十4+2 十6=16，C正确： 9.ABC[在正四棱锥中，设底面边长为2a,根据侧棱长和 对于D:如图：挖去以该圆台上 侧面与底面所成的二面角可求底边的边长，从而可求体 底面为底，高为√3的圆柱后所 高、侧面积以及体积，据此可判断各项的正误. 得几何体的表面积为π(3十1) 如图，在正四棱锥S-ABCD中，O为正方形ABCD的中 心，SH⊥AB, ×4+2π×1×√3+π×(32+12) =26π十2√3π，D错误.] 12.解析：根据体积为公比为10的 等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前 两个圆柱的高度.设第一个圆柱的高为h1,第二个圆柱 个 325 325 的高为，则 ×230 2 =10, /325\ r(2)h: 115 故h2=23mm,h1= 则H为AB的中点，连接SO,OH,AO, 2 mm. 则SO⊥平面ABCD,OH⊥AB, 则∠SHO为侧面与底面所成的锐二面角， 答案：号m,23mm ·296· 答案精析1 13.解析：设铁球半径为r,根据题意， 所以FC⊥平面A'BF,而FCC平面BCFE,所以平面A 有4x2=(9-2r)2十(8-2r)2, BF⊥平面BCFE, 即4r2-68x2+145=0, 故点A'在平面BCFE的投影在BF上面， 即(2r-29)(2r-5)=0, 注意到三角形A'EF与三角形GEF都是边长为2的等 解得：一昌或翌（会）。 边三角形，即三角形A'EF与三角形GEF全等， 从而A'H⊥EF,GH⊥EF,A'H∩GH=H,A'HC平面 5 A'OH,GHC平面A'OH, 答案：2 所以EF⊥平面A'OH,因为A'OC平面A'OH,所以 14.解析：根据给定条件，利用球冠表 N EF⊥A'O,因为FC⊥平面A'BF,AOC平面A'OH,所 面积公式及球的表面积公式计算 以CF⊥A'O,又因为EF∩CF=F,EFC平面BCFE, 得解. CFC平面BCFE,故有A'O⊥平面BCFE, 令地球半径R=4a,则低轨卫星 所以A'O=√A'H2-HO M到球心O的距离为5a,过M作 地球的切线，切，点为AB,A、B交 = √(2sin60°)2- (×号×4sn6o） =8- OM于O',则OM垂直平分AB, OA⊥AM,AM=3a,OA= =26 AM·0A=1 3 a,低轨卫星M绕赤 OM 5 注意到点G是直角三角形BCF斜边上的中，点， 道旋转一周没有扫到的部分为以O,O,分别为球冠底面 所以G是四边形BCFE(或三角形BCF)外接圆的圆心 国心，尚为如一号-警的两个球是，没有扫到的面软为 (这是因为∠BEF+∠C=120°十60°=180°，从而B,C, F,G四点共圆)， 所以四棱锥A-BCFE的外接球的球心O在与平面 2·2x·4a·80=8a,球的表面积为4机R=64xa2,所 BCFE垂直的O'G上，且底面四边形BCFE外接圆的半 5 以该卫星回传信号的地表覆盖面积百分比为 径为BG=号BC=2,设O到平面BCFE的距离为O'G 64ra2、128ra2 =h,过O作O'D⊥AO于点D,所以OG2+GC2=OD2 5 3 64πa2 5 =60%. 十A'D2=R2,即h2+22=R2 答案：60% 专题精准强化12 1.B2.A3.C 解得h=0,R2=4,这意味着此时点O与点G重合， 4.C[根据空间中，线面位置关系的性质定理和判定定理 四棱锥A'-BCFE的外接球的表面积是S=4πR2=16π.] 可判断各选项的正误 7.ACD[利用面面垂直的判定判断A;确定线线位置关 若aLY,B⊥Y,则l∥m或l与m相交，故A错误； 系判断B:利用平面基本事实判断C;利用线面垂直的性 若l∥m,则a∥3或a与3相交，故B错误； 质、面面平行的性质判断D. 若a⊥B,Y⊥3，则l⊥m,故C正确； 对于A,显然m二a,mCB,又m⊥Y,则a⊥Y,B⊥y,A正确； 若lLm,则Q与B相交，不一定是垂直，故D错误.] 对于B,由m二a,n寸a,得m与n可能相交、可能平行、也 5.B[设棱台高为h,且三条侧棱延长后交于一点O,则由 可能为异面直线，B错误； 已知得AB=3A1B1, 对于C,由a∩B=l,B∩y=m,l∩m=P,知点P在平 则0到上底的距离为合，0到下底的距离为号A,又 面a,B,y内，即点P为平面a,y的公共点，而y∩a=n, 因此P∈n,C正确； 对于D,由mLa,m⊥B,得a∥B,而a∥Y,因此3∥Y,D正确.门 SADC93SC=3 8.BD[根据线面、面面平行的判定定理与性质，结合反证 所以9·-A=号→h=上底 法，由选项依次证明即可 如图，过E点作EG∥PD交AD于点G,连接GF,即有 EG∥平面PCD, 申心到顶点A的距高为召，所以所求正物值为之方 2 由于AABG△APD,所以品-品-瓷， 5 若AB∥CD,则GF∥CD,又GF￠平面PCD,CDC平 96-1. 面PCD, 所以GF∥平面PCD,由EG∩GF=G,EG、GFC平 面EGF, 6.C[画出图形，通过分析得出A0=25,外接球球心在 得平面EGF∥平面PCD,又EFC平面EGF,所以EF∥ 3 平面PCD,故B正确； 过底面外接圆圆心G且垂直于底面（即平行于A'O)的 P 直线上面，且底面外接圆半径为BG=2,设O到平面 BCFE的距离为O'G=h,过O作OD⊥AO于，点D,从 而OG2+GC=OD2十A'D2=R2,由此列出方程组求 E 出R,结合球的表面积公式即可得解。 D B 若CD∥平面PAB,又因为平面ABCD∩平面PAB= B B AB,所以CD∥AB,由B可知D正确； G 假设EF∥平面PCD,设平面EFP∩CD=H,则EF 图① 图② ∥PH, 依题意取BC,EF的中，点为G,H,且GH交BF于点O, 若BC∥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以 注意到F是AC的中，点，三角形ABC是等边三角形，从 BC∥AD, 而O是三角形ABC的中心， 反之若BC∥AD,当且仅当BC∥平面PAD,即A、C同 同时有A'B⊥FC,FB⊥FC,A'B∩FB=B,A'BC平面 时正确或错误； ABF,FBC平面A'BF, 若BC∥AD,可能AB∥CD,也可能AB与CD相交. ·297·1数学 [答题栏] ⑧错题序号： 1 专题精准强化11空间几何体 @错因分析： ,单选题 6.如图为一个组合 31.(2025·黄冈模拟)如图，一个沙漏模型正好 体，底座为一个长 -4 放进一个棱长为2的正方体中，使得沙漏底 方体，凸起部分由 120 40 面与正方体底面位于同一平面内，且其底面 一小长方体和一个 所在的圆是正方体底面的内切圆，则该沙漏 6 40 的体积是 半圆柱组成，一只 小蚂蚁从A点出发，沿几何体表面爬行，首 先到达C点，然后沿凸起部分的表面到达B 9 点，则小蚂蚁走过的最短距离为 () 10 A.4√149+2√54IB.4149+22+10π 11 B.π c D.2π C.4√205+42 D.122+10π 7.(2025·聊城三模)已知某圆台的轴截面中 2.(2025·河北部分校联考二)已知圆台O1O 上下底面圆的半径分别为1,3，母线长为4， 有一个角为5，且下底是上底的2倍，若该 则该圆台的侧面积为 ) 圆台的外接球的表面积为16π，则该圆台的 A.32π B.26π C.16π D.8π 3.(2025·青岛适应性检测二)已知圆柱的底 体积为 ( ) 面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆 A53 B.5√3π 周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 3π A.4π B.6π C.8π D.10元 C. D.7√3π 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4， 8.(2025·常德模拟)如 D C P,Q是棱DD1的两个三等分点，则四面体 图，现有棱长为6cm A B PQBC的体积为 ) 的正方体玉石缺失了 A.g B号 c. 一个角，缺失部分为正 5.(2025·潍坊三模)某同学在劳动课上做了 三棱锥A1-EFG,且E,F,G分别为棱A1A, 一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的 A1B1,A1D1靠近A1的四等分点，若将该玉 圆锥组成.已知该陀螺上、下两圆锥的体积 之比为1：2，上圆锥的高与底面半径相等， 石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体 则上、下两圆锥的母线长之比为 () 积的最大值为 ( ) A.①0 1 5 b.2 A.273 B.36πcm3 2 C.2 D.15 5 c125m D.72πcm3 ·194· 专题精准强化！ 二、多选题 三、填空题 9.中和殿是故宫外朝三 12.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比 大殿之一，位于紫禁 城太和殿与保和殿之 数列.第一个圆柱的底面直径为65mm,第 间，中和殿建筑的亮 二、三个圆柱的底面直径为325mm,第三 点是屋顶为单檐四角攒(cuan)尖顶，体现天 个圆柱的高为230mm,求前两个圆柱的高 圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看 度分别为 作一个正四棱锥.己知此正四棱锥的侧棱长 为4√21m,侧面与底面所成的锐二面角为 13.(2025·全国二卷)一个底面半径为4cm, 0,这个角接近30°，若取0=30°，则下列结论 高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度 正确的是 () 忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁 A.正四棱锥的底面边长为24m 球半径的最大值为 cm. B.正四棱锥的高为4√3m 14.(2025·重庆模拟)阅读 C.正四棱锥的体积为768√3m3 D.正四棱锥的侧面积为96√3m2 下面两则材料解决 10.(2025·台州二模)如图， 问题： 是由两个平行平面截半径 材料一：2025年4月29 为2cm且足够高的圆柱 日，长征火箭再次腾空，将“互联网低轨卫 体所得的几何体，截面与 圆柱体的轴成45°，上、下 B 星”成功送入预定轨道.低轨卫星距地面 截面间的距离为√2cm.某高中数学兴趣小 一般为160~2000公里，与高轨卫星相比， 组对该几何体进行了探究，得出下列四个 有速度快、回传信号质量高等特点，在半 结论，其中正确的是 ( A藏口曲线的离心率为2 径为6400公里的地球上空，更像“贴地 飞行” B.该几何体的体积为8πcm3 材料二：球面被平面所截得的一部分叫做 C.该几何体的侧面积为8πcm2 D.该几何体的上截面面积为4√2πcm2 球冠，垂直于截面的直径被截得的一段叫 11.(2025·徐州适应性测试)已知圆台的上、 做球冠的高（如图）.当球面半径为R,球冠 下底面直径分别为2,6，高为2√3，则 高为h时，球冠表面积S=2πRh, 问题：若某低轨卫星位于赤道正上方1600 A.该圆台的体积为26√3π 公里高度的轨道，保持高度绕地球一圈 B.该圆台外接球的表面积为 3 (地球相对静止)，回传信号沿直线传输（能 C.用过任意两条母线的平面截该圆台所得 直线观测到卫星的地面均可接收到信号)， 截面周长的最大值为16 则该卫星回传信号的地表覆盖面积百分比 D.挖去以该圆台上底面为底，高为√3的圆柱 后所得几何体的表面积为(16十2√3)π 为 ·195