专题精准强化10 数列求和及其综合应用-【创新教程】2026年高考数学大二轮专题增分方案课时作业

1数学 ⑧错题序号： 专题精准强化10数列求和及其综合应用 @错因分析 1.(2025·邢台五岳联盟模拟)已知{an}是等 2.(2025·惠州4月模拟)已知数列{am}的前n 差数列，a1=4,且a5一4，a5,a5十6成等比 项和为Sn,且Sn=n2(n∈N*).数列{bn}是 数列. 公比为3的等比数列，且b1=a1. (1)求{an}的通项公式； (1)求数列{am}和数列{bn}的通项公式； (2)若数列{6，}满足，+1=a,且61 bnbn+1 (2)令cn=an·bn,求数列{cn}的前n项 令求亿，的前n项和T… 和Tn 192 专题精准强化 3.(2025·杭州质检)已知等差数列{an}的前n 4.(2025·娄底4月质检)记Sm为数列{am}的 项和为Sm,且S4=4S2,a2m=2an十1(n∈ 前n项和，且2a)为等差数列， n N米). (1)求数列{an}的通项公式； an n(n+1) )为等比数列，a1=1. (2)数列{bn}满足b1=3,令an·bn=an+2· (1)求a2的值，并求{am}的通项公式； 61求证26，<号 (2)探究{an}是否存在唯一的最大项； k=1 (3)证明：Sm<8. ------------------------------- ·193·1数学 +aa)=S,-(S12-S,)=2S,-S2=2×16-7,15×12 2 答案：0，分，1（答案不唯一，填写其中一个即可） =32+48=80.] 10.解析：由题意，an=a1十d(n-1)=dn十a1-d, 6.B[设函数f(x)=e-x-1,则f(x)=e-1, 当x<0时，f(x)<0,f(x)单调递减；当x>0时，f(x) s=na,+nm2Dd=号d+(a-号)m, 2 2 >0,f(x)单调递增； 所以f(x)≥f(0)=0,即e≥x十1. 所以5-a,=号t+(a,-号)n+d-a 因为S3=e3≥S4十1，所以S3-S4≥1，即a≤-1. 因为{√S。一an}是等差数列，则{√S。一an}的通项是 因为a4=a1q,a1>1,所以q<0,排除A,C. 一次函数型， 若q=-1,则S3=a1S4=0,.a1=e°=1，这与a1>1矛 则号+(a一受)十d-a,能整理成完金平方型， 3d 盾，…q≠一1，排除D.] 7.BC[根据题意，求得d=吕，结合a1十a:=(a,十a,) 所以△= -) 3d) -4·5(d-a)=0, 4d,可判定A错误；根据数列的求和公式和等差数列的性 d 质，可判定B正确：由Ss<0,求得as<0,可判定C正确；根 化简得a1一2 ,所以a1=号脚= d 1 据题意，求得任意的n≥2，an>0,结合a1的正负不确定，可 判定D错误 答案：2 对于A项，由a3十a4=9,a;十ag=18, 11.解：(1)根据题意，表示出b+1与am+1的关系式，计算得 可得(a,+a,)-(a,十a)=8d=g,所以d=9 8 =3,根据等比数列的定义可证明数列{b,}是等比 又由4十=a十a)一4d=9-4X号-号所以A婚碳； b 数列：(2)根据等比数列的通项公式写出数列{b,}的通 对于B项，由S4=14(a+a2_14(a,十aa 项，从而可得数列{an}的通项公式. (1)b1=a1-2=1, 2 2 ,bn=an-2,a+1=3am-4, =28,所以B正确；对于C项，由S6=15a,十a) .bn+1=am+1-2=(3an-4)-2=3(an-2)=3bn, 2 15a8<0,所以ag<0,又因为Sg-S,=ag<0,则S,>Sg, 因为b1≠0，故bn≠0， bn+1=3. 所以C正确； ∴{b}是首项b1=1,公比q=3的等比数列. 对于D项，因为{an}为递增数列，可得公差d>0, (2)由(1)知，bn=3-1,又bn=am一2， 因为{aa+1}为递增数列，可得am+2an+1一anaw+1=an+1 所以a。-2=3-1,所以an=3-1十2. ×2d>0, 所以对任意的n≥2，an>0,但a1的正负不确定，所以D 故数列{an}的通项公式为an=3-1十2. 12.解：(1)根据题意列式求解a1,d,进而可得结果；(2)先 错误.门 8.ACD[对于A:分q=1,q≠1两种情况计算可判断A; 求Sn,讨论an的符号去绝对值，结合Sn运算求解. (1)设等差数列的公差为d, 对于B:q=一1可说明不成立判断B;分q=1,9≠1两种 情况计算可判断C;根据S2m+1一S2-1=a1(1十q)q2m-1, a2=a1+d=11 若(S2m-1}是递增数列，可求q判断D. 由题意可 {s。=10a+10X2a=40 对于A:当q=1时，S+1=(n+1)a1,S+gSn=a1十na1 =(n十1)a1,故成立， 即/a十d=i d=-2' 当g≠1时，51=1-g) 2a,+9d=8解得{0=13， :S+gs=a+gx 所以an=13-2(n-1)=15-2m, 1-9 a(1-9)_a(1-g+1 (2)因为S,-n18+)5-2m）-14n-m2, 2 1-9 1一q ,所以Sa+1=a1十qSn成立，故 A正确；对于B:当q=-1时，S2=0,所以Sn,S2m-S., 令a.=15-2n>0,解得m<号，且n∈N, S3m一S2n不成等比数列，故B错误； 当n≤7时，则an>0,可得Tm=|a1|+a2|十…十an 对于C:当q=1时，S,=na1,2S2m=4na1,3S3m=9ma1,故 S,2S2m,3Sn不成等差数列， =a1十a2+…+an=Sn=14n-n2; 当q≠1时，若存在q,使Sn,2S2n,3Sm成等差数列， 当n≥8时，则a.<0,可得Tn=|a1|十|a2|十…十|an =(a1十a2+…+a,)-(ag++an） 则2X2S.=S,+3S,则4Xa1-9"） =S,-(Sn-S,)=2S,-Sn=2(14×7-72)-(14n- 1一q n2)=n2-14n+98; =1二g2+3×二g2）,整理得4(1+g)= 1-q 1-9 综上所述：T,=4,n≤7 n2-14n+98,n≥8 1十3(1十g产+4)，所以3g-g=0,所以g=日，所以 专题精准强化10 1.解：(1)根据题意列式求出公差，即可求得答聚； 对任意n∈N,都存在q,使得Sn,2S2m,3Sn成等差数 列，故C正确； (2)由累加法可求出方=n(n十1)，即可求得6，= n 国守活a0时男法s 十，利用裂项相消法求和，即得答案 1 所以(1十q)gm-1<0,可解得-1<q<0, (1)因为a;-4,a6,a+6成等比数列， 所以若a1<0,则数列{S2-1}递增的充要条件是一1<g 所以a=(as-4)(a5十6)，解得a5=12. <0,故D正确.] 9.解析：根据三角降暴公式化简，再结合图象求得的取值 又{a,}是等差数列，a,=4,所以公差d=一a=2, 即可， 因为cos2(ωx十p)=k(w≠0)， 故an=a1+(n-1)d=2n+2. 1 1 所以0s2(a,+9）+1=k,即cos2(ar十p）=2h-1, (2)由n0+=am,得b1b, 2 66n+1 要想方程所有正实根从小到大排列构成等差数列， 所以，1 1=a1(n>2),又6，=2， 1 则需要2k-1=0或士1， `bb.- 1 所以k=0,1,之.（答案不唯一，填写其中一个即可）. 当≥2时=（信）十（）十+ ·294· 答案精析 (信-)+后 等比数列前n项和公式求Sn,即可证。 a-+a:十+a+=4a-1D+a-a-2 ①)因为(2a）为等差数列，取前3项知2,2a, n 2 ×2+2=n(n+1), 号4，成等差数列，即4a=号4，十2， 8 又6=号也适合上式，所以号=(m十1D, 国为{0D}为学比教列，取前3项知2号，登成学 =11 1n(n+1) 因么日市 比数列，即2a=3a3· 代入4a:=号a,十2，得4a:=5a+2,这等价于8ag 8 所以工=(-)十（合-号）++（员） 1-n 18a2+9=0, n+1n+1' 2.解析：分析：(1)利用an与S的关系式及等比数列的通 也即(2a-3)4a,-3)=0,所以a,=是或是 项公式即可求解；(2)利用错位相减法即可求解。 (1)当n=1时，a1=S1=1, 若a=是，那么2=5，所以4，=50，但 n 2 2m+1 当n≥2时，a.=Sn-S.-1=n2-(n-1)2=n2-n2十2n n(n十T)(m十1)2不为等比数列，与题千不符， 5-n 1=2n一1，当n=1时也符合上式， 所以an=2n-1, b=a1=1,所以bn=3-1 所以a=是，得a=nm卫，经检验得特合题意，故a 2” (2)cm=a.·bn=(2n-1)3m-1, 所以T.=1+3×3+5×32+…+(2n-1)×3"-1, =n(n十1) 2 3Tn=3+3×32+5×33+…+(2n-1)X3", 两式相减得-2T,=1+2×(3+32+…+3-1)-(2m (2)令an<an+1,解得n<2,令an>a+1,解得n>2, 1)3”, 当n=2时a.=a=号a1=a=2 =1+2×31-3）-(2m-1)3"=-2+(2-2m)3, 所以a1<a2=a>a4>a5>…>a,即最大项不唯一， 1-3 故{an}不存在唯一的最大项. 所以T。=(n-1)3+1. 3.解：(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由题意可 (3)因为a,=n(n+1_ 得4a1+6d=8a1+4d 2n 十2n1)d=2a+2(n-1Dd+1,解方程求出a, (2m2+6n+8)-(m+5n+82=2.元+3m+4-2 2” 2” d,即可求出数列{an}的通项公式； (2由（可得-额由累乘法可家出低的通项 .+5n+8 2"+1 公式，再由裂项相消法求解即可. 记6.=2.心+3+4，注意到6，+1=2 (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d. 2 由S4=4S2,a2m=2am十1， 得22-a+ .”2+2m+1+3n+3+4=2.2+5n+8 2n+1 2m+1 所以an=bn一bn+1: 解得：a1=1,d=2,所以an=1+2(n-1)=2m-1(n∈N). 于是Sn=(b1-b2)+(b2-b)+…十(bn-bn+1) (2)由(1)知，(2n-1)bn=(2n十3)b+1, 即容-0w名器会 =6,-6t1=8-n2+5n+8 2n b=3,=1, 因此S,=8-+5n+88. b2-7’b5’ 利用系秦连可得成总会…会6会× 专题精准强化11 b 2×…×号××8 1.A2.C3.C D 2n-1 4.B[连接BD,VP-oc=VQ-DBc a-成8mD=号（点2）对=1也 9 一Vp-DsC,计算得到答案。 如图所示：连接BD, 成立， Vp-o8c Vo-DCB -Vp-DBC= 1 P 所以26，=6i+6+6++61+6.=号 D人- [-号)（）+（传）++ X4×4×-是] A 9 5.A[由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计 算即可. 所以26，=2(1一2m中） 9 1 9 设上、下两圆锥的底面半径为r,高分别为h1,h2,体积分 别为V,V2, k=1 4,解析：分析：(1)利用等差、等比中项的性质得4如，=3a, 8 因为上圆锥的高与底面半径相等，所以h1=r, 1 十2,2a=3a,联立来得a,=是或号，讨论求数列的道 1 项公式；(2)讨论an,aa+1的大小，得到a<a2=a3>a4> 3T2h2 a5>…>an,即可得结论；(3)法一：由(1)有an=2· 上圆锥的母线为√十h=√十r=√2r,下圆锥的母 +3n十4-2.”2士5n+8,进而有a.=b.-b+1,累加 2m+1 线为Jr+h=√r2十4r=√5r, 得S,=8-n+5+8,即可证；法二：应用错位相减法、 所以上、下两圆锥的母线长之比为2] 2”. ·295·