专题精准强化5 导数的综合应用-【创新教程】2026年高考数学大二轮专题增分方案课时作业

1数学 ⑧错题序号： 专题精准强化5导数的综合应用 @错因分析： 1.(2025·太原一模)已知函数f(x)=x-alnx, a∈R 2.(2025·上饶二模)已知函数f(x)=2x2+ (1)讨论函数f(x)的单调性； ax一2lnx十b的图象在x=2处的切线与直 (2)当x∈(0，+∞)时，若f(x)≥cos(x-1) 线y=十5垂直。 恒成立，求a的值， (1)求a的值； (2)若函数f(x)在[1，e]上无零点，求b的取 值范围. ·184· 专题精准强化 3.（2025·昆明三诊一模质检)已知函数f(x) 4.已知函数f(x)=xcos x,g(x)=asin x. =z是-alhx (1)若a=1,证明：当x∈（0，)时x>g(x） (1)若f(x)在点(1,0)处的切线与曲线y= >f(x); x2+2x一3相切，求a; (2)若b,c是f(x)的两个极值点，设B(b, 2当xe(-0(o,)时， f(b),C(c,f(c),直线BC的斜率为k,证 sin工，求a的取值范围. 明：a十k>2. -”，===” 。。。。。。。。 ·185I数学 专题精准强化4 所以f(x)=lnx十3，x>0. 1.A2.D3.B4.C5.D6.B7.BC 由f(x)>0→lnx+3>0→x>e3;由f(x)<0→lnx 8.ABD[由奇函数的性质可知，因为f(x)的定义域战为R, +3<0→0<x<e3 f(0)=0,所以A正确； 所以函数f(x)在(0，e3)上单调递减，在(e3,十o∞)上 当x<0时，-x>0,f(-x)=(x2-3)er十2，又因为 单调递增. f(-x)=-f(x),所以f(x)=-(x2-3)ex-2,所以B 所以当x=e3时，函数取得极小值，且f(e3)=e3· 正确； 当x>0时，f(x)=(x+3)(x-1)e,所以f(x)在(0,1》 [2+(-3)]=-马」 e3· 上单调递减，在(1，十∞)上单调递增 12.解：(1)使用单调性的定义和导数即可判断单调性；(2) x>0时，f(x)→-1，f1)=-2e+2<0,f3）=2>0, 先用导数确定g(x)的单调性，然后利用零点存在定理 分情况讨论g'(x)的零点个数，即可得到a的取值 所以f(x)的图象大致为 范围， 2e-2 )由fr)=x+ax,知f(x）=x+a 3 y=√3 当a≥0时，f(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调 递增； -10 当a<0时，有f(x)=x+a=(x十√一a)(x-√一a), 从而对x<-√一a和x>√一a有f'(x)>0, 对-√-a<x<√一a有f'(x)<0. -2e+2 所以f(x)在(-∞，-√一a]和[√一a,十∞)上单调递 因为2一2>2，所以C错误，由奇函数图象关于原，点对 增，在[一√一a,√J一a]上单调递减. 称可知D正确.] 综上，当a≥0时，f(x)在R上单调递增； 9.解析：因为f(x)=(x2-3x+2)(x-a)(x∈R), 当a<0时，f(x)在(-∞，-√一a]和[√一a,+∞)上 所以f(x)=(2x-3)(x-a)+(x2-3x+2), 单调递增，在[一√一a,√一a]上单调递减. 由f(2)=0得：2一a=0,所以a=2, 所以f(x)=(x-1)(x-2)2且f(x)=2(x-1)(x-2) (2)由于g(x)=3x+ax+21nx, +(x-2)2=(x-2)(3x-4), 当x变化时，f(x),f(x)变化如下表 故g(x)=x+2十a. 4 3 2 2 (2,+∞) 记h(x)=g(x),则h(x)=2x-昌=2x-1 从而对0<x<1有h'(x)<0,对x>1有h(x)>0. f() 0 0 十 所以g'(x)在(0,1]上单调递减，在[1，十∞)上单调 递增. f() 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 当a≥-3时，对x∈(0,1)U(1,+oo)均有 即a=2时，x=2是f(x)的极值点， g'(x)>g'(1)=3十a≥0，所以g(x)不可能有两个零 所以f(0)=一4， 点，从而g(x)不可能有两个极值点； 答案：一4 当aK-3时，由g(-吕）=>0g=3+a<0, 10.解析：借助换元法令t=√x十1，可得f(x)=h(t)= P十51-子，借助导数求取函数h(0的单调性后，即可 g'(√-a)= 2>0,钻合零点存在定理可知g(x) v-a 得解. 令t=√x十1>0，则x=t2-1,故f(x)= 存在两个零点a(名，1E1,V@. -(-1)+3(t-1D+2=-2+56- 再结合g'(x)的单调性知g(x)在x∈(0，u)U(o, t, 十∞)时取正值，在x∈(u,v)时取负值，所以g(x)有极 大值，点x=和极小值，点x=0. 令A0=-f+51-2>0, 综上，a的取值范围是（一o∞，一3). 专题精准强化5 则K()=-3+5+是 =-34+50+2= 1.解：(1)求出函数f(x)的导数，再分类讨论求出函数 f(x)的单调性. _(32+1)(t+√2)(t-√2) (2)由给定不等式构造函数，得该函数在1处取得最小 2 值，结合极值的意义求出α，再验证得解. 当t∈(0，√2)时，h'(t)>0,当t∈（√2，十∞）时，h'(t) (1)函数f(x)=x一alnx的定义域为(0，十∞)，求导得 <0, f(x)=1-a 则h(t)在(0，√2)上单调递增，在（√2，+∞）上单调 递减， 当a≤0时，f(x)>0,所以函数f(x)在(0，十∞)上单调 故h()≤h@)=-W2)+5X2-2=22, 递增； 2 当a>0时，由f(x)<0,得0<x<a;由f(x)>0,得x>a, 函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,十∞)上单调递增， 即函数f)=二士十3x+2的最大值为2V2. 所以当a≤0时，函数f(x)在(0，十∞)上单调递增； W/x+1 当a>0时，函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+∞) 答案：22 上单调递增. 11.解：分析：(1)根据导数的几何意义，可得f(e)=4,可 (2)4 g(x)=f(x)-cos(x-1)=x-aln x-cos(x- 求a的值.(2)求导，分析函数的单调性，可得函数的 1),x>0, 极值. 求导得g'(x)=1-a+sin(x-1),由当x∈(0，十o∞) (1)因为f(x)=x(a+lnx),x>0. 时，f(x)≥cos(x一1)恒成立， 所以f(x)=a十hx十x·1=lhx十a十1，x>0. 得Hx∈(0，十∞)，g(x)≥0恒成立，而g(1)=0,因此 由题意f(e)=4→1ne十a十1=4→a=2. g(1)是函数g(x)的最小值， (2)因为f(x)=x(2十lnx),x>0. 又g(x)在(0，十∞)上可导，则1是g(x)的极小值点， ·288. 答案精析 g'(1)=1-a=0,解得a=1, 当a=1时，g(x)=x-lnx-cos(x-1),x>0, k=f(b)-f(c)_ b-aln-(（e--alnc） 1 =1+ 令h(x)=x-1-hx,x>0,求导得k'()=1- b-c b-c x' 由h'(x)<0,得0<x<1;由h(x)>0,得x>1, 1 函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， aln方=2-2aln白， bcb-c 则h(x)≥h(1)=0,即x-lnx≥1， 6 因此g(x)=x-lnx-cos(x-1)≥1-cos(x-1)≥0，当 且仅当x=1取等号， 则a+=a2a+2=1(6--2加6）+2. b一6 1 所以a=1. 2.解：(1)首先求出导函数，由f(2)=2即可求解.(2)由题 意可得22+ax-2lnx+6=0在[1，e]上无解，分离参 1>0, 因为6>1，所以石<1，所以6- 数，转化为两个函数无交点即可求解。 令A)=x-子-2nx(x>1D,则Nx)=1+是 x (1)由函数fx）=合x+ar-2nx+b,>0, =2=2x+1-x-1)>0, x f)=x+a兰所以可得f2)=2+a-号=2，解得 所以函数h(x)在(1，十o∞)上单调递增， 所以h(x)>h(1)=0, a=1. (2)若画数f(x)在[1，e]上无零点，即2x+x-21nx+ 所以6b-21nb>0, b=0在[1，e]上无解， 所以a+=,（-6-2m6）+2>2. 即-6=合+x-2nx在[1，e]上无解， b一6 4.解：(1)当a=1时，g(x)=sinx,所以即证：x>sinx> 令ga)=合+r-2加x[1,d: 0∈(0，受） gx)=x+1-2-+-2-+2》-D,在[1， 先证左边：x>sinx,令h(x)=x-sinx,h'(x)=1- x cos >0, e]上g'(x)>0, 所以g(x)在[1，e]上单调递增， h(x)在(0，受)单调递增，h(x)>ho)=0, 所以g(1)g(x)≤g(e), 即x>sinx: 即<g()≤号十e-2, 再证右边：sinx>xcos x,令k(x)=sinx一xcos x,k'(x) =cos x-cos x+xsin x=xsin x>0, 若-6=合+2一2hx在[1，d上无解， k(x)在(0，受)）上单词造增，(x)>(0)=0,即 则-K号我-6公号十e-2 sinx>xosx,x∈(0,2）时， 即6>-是或62-e-号 e2 x>g(x)>f(x). (2)sin af(x)=sin z xcos x 所以b的取值范围为 x g(x)x asin x' ,2-e-)u(+m ◆F)=-8臣x∈(u(o,) 3.解析：(1)先根据导数的几何意义即可求出f(x)在点(1， 因为F(一x)=F(x),所以题设等价于F(x)>0在 0)处的切线方程，再求出切线与曲线y=x十2x一3相 (0,受)恒成立， 切的切点，代入切线方程即可得解； (2)由题意可得函教∫(x)=工-+1(r>0)有两个不 由1)知，当x(0,登）时，>sim>cosx,于是： ①当a<0时，F(x)>0恒成立； 同的零，点b,c,再利用韦达定理求出b十c,bc,不妨设b> ②当a>0时，F(x)>0等价于asin2x-x2cosx>0, c,则b>1,求出a十k的表达式，再构造函数求出其最值， (i)当0<a<1时，asin2x-x2cosx<a2-cos x=x2(a 即可得证. cos x), (1)由f(x)=x- 士-hx,得f)=1+兰 令力(x)=a-cosx,因为p(x)=a-cosx在x∈ 则f(1)=2一a, (0,受)上递增， 所以f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=(2-a)(x-1), 由y=x2+2x-3,得y=2x+2, 且0)=a-1<0,p(受)>0，所以存在Bc(0,受）} 令y=2x+2=2-a,得2=-受 使(8)=0， 所以当0<x<B,p(x)<0,即x2(a-cosx)<0,不合 则f(x)在，点(1,0)处的切线与曲线y=x2+2x-3相切 题意； 的切点为（受，号-a-3） (i)当a≥1时，asin2x-x2cosx≥sin2x-x2cosx, 所以2 令r(x)=sinx-xcos,ze(0,） -a-3=(2-a)(号-1解得a=-21 (x)=2sin xcos x-2xcos x+x'sin x>2sin xcos x (2)f(x)=1+ +-g=x-a+1(x>0), -2sin xa sin x x -[-2(1-cos =)]sin =(-4sin 2)sin x- 因为b,c是f(x)的两个极值点， 所以函数∫(x)=t-a+1(x>0)有两个不同的零点 4[(受)-sin]sinx>0r(x)在(0，)上单调 x 递增， b;cy 则b+c=a,bc=1,且a2-4>0,所以a>2, 所以r(x)>r(0)=0,所以asin2x-x2cosx>0,所以 F(x)>0. 不妨设b>c,则b>1, 综上：a的取值范围为(-∞，0)U[1,十∞). ·289·