专题3.3 概率的进一步认识（单元测试·基础卷）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题3.3 概率的进一步认识（单元测试·基础卷） 一、单选题 1．（2024·四川德阳·模拟预测）小明有四根木条，长度分别是2，3，4，5，从中任意取三根木条作为边拼成三角形，小明能拼成三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列举法求概率，三角形三边关系：两边之和大于第三边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把所有可能的组合罗列出来，再结合三角形的三边关系进行判断，最后根据概率公式进行计算，即可作答． 解：∵长度分别是2，3，4，5， ∴从中任意取三根木条，所有可能的组合为：共4种组合， ∵， ∴这三根木条能拼成三角形； ∵， ∴这三根木条不能拼成三角形； ∵， ∴这三根木条能拼成三角形； ∵， ∴这三根木条能拼成三角形； 即能拼成三角形的组合共3种， ∴能拼成三角形的概率是， 故选：A 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）某口袋中有10个球，其中白球有2个，绿球有5个，其余为黑球．从袋中任意摸出1个球，若为绿球，则甲获胜；若为黑球，则乙获胜．为使游戏对甲、乙双方公平，丙放入x个黑球，则x为（   ） A．3 B．4 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了游戏公平性的判断，利用概率相等来说明游戏公平，建立等式求解. 游戏公平的条件是甲、乙获胜的概率相等，原袋中有白球2个、绿球5个、黑球3个，放入个黑球后，总球数为，黑球数为，根据概率相等列方程求解。 解：原袋中共有10个球，其中白球2个，绿球5个，黑球3个. 放入x个黑球后：总球数变为，黑球数变为. 则甲获胜的概率：摸到绿球的概率为. 乙获胜的概率：摸到黑球的概率为. 由于甲、乙概率相等，即 消去分母得，解得. 当时，总球数为12，黑球数为5，甲、乙获胜概率均为，符合公平性． 故选：D． 3．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）2025年山西高考首次实行“”模式，高中生李明已选物理，然后要在思想政治，地理，化学，生物这4门中选2门进行考试，则李明选中地理和生物的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率等知识，准确求概率是解题的关键． 画树状图求出所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为地理、生物的结果有2种，根据概率公式即可求解． 解：把思想政治、地理、化学、生物分别记为A，B，C，D，画树状图如图所示： 由上图可知，所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为地理、生物的结果有2种：，， ∴（李明恰好选中地理、生物）． 故选：A 4．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图进而可得答案． 解：转动转盘1次，获得一袋橘子的概率为，获得一袋苹果的概率为，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图如下： ∴转动转盘2次，共9种情况，其中苹果和橘子都获得的有4种情况， ∴转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是， 故选：D． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【答案】B 【分析】本题主要考查频率的应用，根据成活率求出未成活率，再乘以2000即可得出结果． 解：（棵）， 故选：B 6．（25-26九年级上·山东青岛·期中）在一个不透明的盒子中装有若干个白球和3个红球（除颜色外其余都相同），如果从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则白球约为（   ）个 A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的应用及利用概率求数量，读懂题意列出方程是解题的关键． 设盒子中白球有个，根据题意列出方程，解方程即可得出答案． 解：设盒子中白球有个， 根据题意有，， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 故选：B． 7．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）从，3，6这三个数中任取两个数作为点的横坐标和纵坐标，则点在第二象限的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用列表法与树状图法求概率的方法，先列表或画图展示所有等可能的结果数，再找出某事件发生的结果数，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率为，先画树状图展示所有6种等可能的结果，再找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可． 解：画树状图为 ， 共有6种等可能的结果，它们是，其中点在第二象限的共2种结果，它们是， ∴点在第二象限的概率是 故选： ． 8．（2025·广西柳州·三模）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了频数、频率及总数间的关系，熟练掌握三者间的关系是解题的关键．用球的总个数分别乘以摸到白球频率求出其对应个数，继而可得答案． 解：根据题意得：个， 即估计口袋中白球的个数是18个． 故选：B 9．（24-25八年级上·陕西·开学考试）如图，将一个飞镖随机投掷到方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，用阴影方块个数除以方块总数即可得出答案，解题的关键是掌握几何概率的求法． 解：根据题意得：方格纸中一共有9个小正方形，其中阴影部分有4个， ∴飞镖落在阴影部分的概率为． 故选：B 10．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用列表法求概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并结合概率公式计算是解题的关键．通过列表法列出所有入口和出口的组合情况，再找出从口进入且从口离开的情况数，最后根据概率公式计算概率． 解：列表 出口入口 由列表可知，共有种等可能的结果． 其中从口进入，从口离开的结果只有种，即． 所以． 故选：A． 二、填空题 11．（23-24七年级下·广东湛江·期末）已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是 ． 【答案】0.4 【分析】此题考查了频率的求法以及无理数的定义，正确把握无理数的定义是解题关键．直接利用无理数的定义结合频率的求法得出答案． 解：∵数据：，，，，，其中无理数有：，π， ∴无理数出现的频率是：． 故答案为0.4． 12．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，正方形内接于，在这个圆面上随意抛一粒豆子豆子大小忽略不计，若豆子落在正方形内的概率记为，豆子落在图中阴影部分内的概率记为，则 填“>”“<”或“=” 【答案】< 【分析】本题考查了几何的概率，圆与正方形面积的计算，掌握概率等于目标区域面积与总区域面积之比是解题的关键．通过计算正方形的面积和圆的面积，进而求出豆子落在正方形和阴影部分的概率，最后比较这两个概率的大小． 解：设的半径为，则， ，， ， ， 故答案为：<． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为和的同心圆，如图．他们蒙上眼在一定距离外向同心圆内部掷石子，落在阴影内则小红胜，落在小圆内则小明胜．这个游戏 （填“公平”或“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】本题考查了概率的应用，根据概率评判游戏是否公平是解题的关键． 求出小明与小红分别胜的概率，如果相等，则游戏公平，否则游戏不公平． 解：． ， 这个游戏不公平． 故答案为：不公平． 14．（2025·山西临汾·二模）英文中瓷器“”与中国“”同为一词．瓷器是中国的名片，中国是瓷器的故乡，历史实践课上，某小组的同学制作了中国瓷器宋代五大名窑的卡片（卡片的背面完全相同），小文从中一次性随机抽取两张卡片，抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的概率是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了列表求概率．设五大名窑的卡片分别为，根据列表法求得所有等可能结果，进而根据概率公式计算，即可求解． 解： 设五大名窑的卡片分别为，列表如下， 共有20种等可能的结果，其中他抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的结果有种， ∴抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的概率是， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·广东茂名·阶段练习）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在，则口袋中白色球的个数可能是 ． 【答案】24个 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．根据题意可知摸到白色球的概率为，据此可得出结论． 解：∵ 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在， ∴ 摸到白色球的概率为， ∴ 口袋中白色球的个数可能是 （个）． 故答案为：24个． 16．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）用两个腰长为a的等腰直角三角板及两个腰长为b的等腰直角三角板拼成如图所示的正方形，其中，现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率问题，该题解答的关键是确定针尖落在阴影部分的概率等于阴影区域的面积与整体的面积比． 先分别表示出正方形的面积和阴影区域的面积，再根据针尖落在阴影部分的概率等于阴影区域的面积与整体的面积比即可解答； 解： 设 则 故答案为：． 17．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）现有图案分别为重庆磁器口，洪崖洞，李子坝三个不同旅游景点的邮票，除正面图案外完全相同，现将三枚邮票背面朝上放置，随机抽取一枚邮票不放回，从剩下的邮票中再次抽取一枚，则抽中的两枚邮票中其中一枚邮票的图案为磁器口的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查用树状图或列表格求概率，掌握相关知识是解决问题的关键.利用树状图列出所有结果，然后根据概率公式求出概率即可. 解：设摸到图案分别为重庆磁器口，洪崖洞，李子坝三种邮票的事件分别为, 共有6种等可能性的结果，其中摸到图案为磁器口的有4种，所以摸到图案为磁器口的概率为. 故答案为：. 18．（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率． 首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式，小球落在不规则图案的概率为：， 当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为， 综上有：， 解得． 故答案为：． 三、解答题 19．（2025·江苏南京·三模）桌面上倒扣着3个不透明的纸杯，其中2个纸杯中放有小球． （1）随机翻开1个纸杯，其中放有小球的概率是__________； （2）随机翻开2个纸杯，求2个纸杯中均放有小球的概率． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了概率公式，列举法求概率，掌握概率公式是解题关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）利用列举法求解即可． 解：（1）解：桌面上倒扣着3个不透明的纸杯，其中2个纸杯中放有小球， 则随机翻开1个纸杯，其中放有小球的概率是， 故答案为：； （2）解：所有可能出现的结果有：（球1，球2）、（球1，无）、（球2，无）共3种，它们出现的可能性相同． 所有的结果中，满足“2个纸杯中均放有小球”（记为事件M）的结果有1种， 所以． 20．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：每次付4元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你元钱的奖品． （1）用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果； （2）求出获奖的概率； （3）如果有个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上骗走多少钱？ 【答案】（1）见分析；（2）；（3）元 【分析】本题考查了概率的相关知识．熟练掌握概率的相关知识是解题的关键． （1）通过列表的方式列举出所有可能的摸球结果即可； （2）先找出两次都摸白球的结果数，共9种，再根据概率公式计算即可； （3）结合概率的知识，计算一定人数参与游戏时，摊主的盈利情况． 解：（1）解：列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有种等可能的结果数； （2）解：前后两次摸得的都是白球的结果数为9， 所以获奖的概率； （3）（元）， 即摊主可能会从这些人身上骗走元． 21．（2025九年级下·全国·专题练习）团委招募志愿者进行宣传活动，团支书决定从某班4名女团员（小悦、小慧、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女团员去参加．抽签规则：将4名女团员的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在案面上，团支书先从中随机抽取1张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第2张，记下姓名． （1）“该班男生小明被抽中”是________事件，“小悦被抽中”是________事件；（填“不可能”“必然”或“随机”） （2）请你用画树状图或列表的方法求出小慧被抽中的概率． 【答案】（1）不可能；随机；（2） 【分析】（1）根据事件的类型定义，判断该班男生小明被抽中和小悦被抽中分别属于哪种事件． （2）通过列表法列出所有可能的抽取结果，再找出小慧被抽中的结果数，利用概率公式求解． 解：（1）解：“该班男生小明被抽中”：因为抽取的是4名女团员，所以是不可能事件； “小悦被抽中”：结果不确定，是随机事件． （2）解：记小悦、小慧、小艳和小倩这4名女团员分别为，列表如下： 第一次第二次 - - - - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中小慧被抽中的结果有6种， 小慧被抽中的概率为． 【点拨】本题考查事件的分类与概率的计算，掌握通过列表法列举所有可能结果，利用概率公式求解概率是解题的关键． 22．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段练习）某校在校运会期间，组织了一次拔河比赛，裁判员让甲、乙两队队长用“石头、剪刀、布”的方式选择场地位置．游戏规则如下： 若一人出“剪刀”，另一人出“布”，则出“剪刀”者胜；若一人出“石头”，另一人出“剪刀”，则出“石头”者胜；若一人出“布”，另一人出“石头”，则出“布”者胜；若两人出相同手势，则两人平局． 假设甲、乙两队队长每次出这三种手势的可能性相同． （1）列表格或画树状图法，列出甲、乙两队队长的手势可能出现的情况； （2）裁判员的这种做法对甲、乙两队公平吗？请说明理由． 【答案】（1）见分析（列表格或画树状图法选择其一即可）；（2）公平，理由见分析 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，根据题意准确列表或画出树状图是解题的关键． （1）根据题意列出表格或画树状图即可； （2）根据（1）中的表格或树状图，得出所有的等可能的结果数，以及甲获胜的结果数和乙获胜的结果数，根据概率公式计算出甲获胜和乙获胜的概率，再比较即可得出结论． 解：（1）解：列表格如下： 甲 乙 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 画树状图如下： （2）解：公平，理由如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲获胜的结果有3种，乙获胜的结果有3种， ∴（甲获胜），（乙获胜）， ∵（甲获胜）（乙获胜）， ∴对甲乙两队是公平的． 23．（24-25七年级下·广东深圳·期末）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．为此，某团队设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行随机调查．将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次参与调查的共有 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果某市有万人在使用手机： ①则估计该市最喜欢用“微信”进行沟通的人数为 万人； ②在该市使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，则抽取的最喜欢使用“”沟通的概率是 ． 【答案】（1）；；（2）见分析；（3）①；② 【分析】本题考查了利用频率估计概率、条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中获取需要的信息是解题的关键． （1）由用电话沟通的人数及其所占百分比可求出总人数，用乘以利用“微信”沟通人数占被调查人数的比例即可； （2）先求出短信沟通的人数，再根据种方式的人数之和等于总人数求出使用“微信”的人数，从而补全条形统计图； （3）①用总人数乘以样本中用微信人数所占比例即可； ②先求出抽取的恰好使用“”的频率，再用频率估计概率即可． 解：（1）解：∵喜欢用“电话”进行沟通的人数为，所占百分比为， ∴此次共抽查了（人）， 表示“微信”的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：；； （2）解：喜欢用“短信”进行沟通的人数为：（人）， 喜欢用“微信”进行沟通的人数为：（人）， 补充条形统计图： （3）解：①由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有人， ∴该某市的万人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有（万人）， 故答案为：； ②由（1）可知：参与这次调查的共有人，其中喜欢用“”进行沟通的人数为人， ∴在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“”的频率是， ∴用频率估计概率，在该市使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“”的概率是， 故答案为：． 24．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，87，86，89，85，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 9.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_____，_____，______； （2）若该校八年级有900名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ （3）该校从八、九两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取了4名学生，其中八年级2名，九年级2名．现从这4名学生中随机抽取2人参加市赛，请用列表法或画树状图法，求抽到的学生至少有一名来自八年级的概率． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了众数，中位数，画树状图求概率，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据众数，中位数的定义进行分析，即可作答． （2）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． （3）先画树状图，再得一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有种，然后列式计算，即可作答． 解：（1）解：依题意，分析八年级20名学生的竞赛成绩，出现次数最多，且为次， ∴众数； ∵调查20名九年级学生竞赛成绩， ∴中位数排在第和名之间， 则，即A组有9名学生， 结合成绩情况，得出第和名的竞赛成绩分别是和， ∴中位数， 又∵组有名学生， 则， 故答案为：． （2）解：依题意，， ∴估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有人． （3）解：把八年级2名学生分别记为甲和乙，九年级2名学生分别记为丙和丁，画出树状图如下： ∴一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有种， ∴抽到的学生至少有一名来自八年级的概率为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 概率的进一步认识（单元测试·基础卷） 一、单选题 1．（2024·四川德阳·模拟预测）小明有四根木条，长度分别是2，3，4，5，从中任意取三根木条作为边拼成三角形，小明能拼成三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）某口袋中有10个球，其中白球有2个，绿球有5个，其余为黑球．从袋中任意摸出1个球，若为绿球，则甲获胜；若为黑球，则乙获胜．为使游戏对甲、乙双方公平，丙放入x个黑球，则x为（   ） A．3 B．4 C．1 D．2 3．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）2025年山西高考首次实行“”模式，高中生李明已选物理，然后要在思想政治，地理，化学，生物这4门中选2门进行考试，则李明选中地理和生物的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 6．（25-26九年级上·山东青岛·期中）在一个不透明的盒子中装有若干个白球和3个红球（除颜色外其余都相同），如果从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则白球约为（   ）个 A．9 B．12 C．15 D．18 7．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）从，3，6这三个数中任取两个数作为点的横坐标和纵坐标，则点在第二象限的概率是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·广西柳州·三模）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 9．（24-25八年级上·陕西·开学考试）如图，将一个飞镖随机投掷到方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24七年级下·广东湛江·期末）已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是 ． 12．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，正方形内接于，在这个圆面上随意抛一粒豆子豆子大小忽略不计，若豆子落在正方形内的概率记为，豆子落在图中阴影部分内的概率记为，则 填“>”“<”或“=” 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为和的同心圆，如图．他们蒙上眼在一定距离外向同心圆内部掷石子，落在阴影内则小红胜，落在小圆内则小明胜．这个游戏 （填“公平”或“不公平”）． 14．（2025·山西临汾·二模）英文中瓷器“”与中国“”同为一词．瓷器是中国的名片，中国是瓷器的故乡，历史实践课上，某小组的同学制作了中国瓷器宋代五大名窑的卡片（卡片的背面完全相同），小文从中一次性随机抽取两张卡片，抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的概率是 ． 15．（24-25九年级上·广东茂名·阶段练习）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在，则口袋中白色球的个数可能是 ． 16．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）用两个腰长为a的等腰直角三角板及两个腰长为b的等腰直角三角板拼成如图所示的正方形，其中，现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ． 17．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）现有图案分别为重庆磁器口，洪崖洞，李子坝三个不同旅游景点的邮票，除正面图案外完全相同，现将三枚邮票背面朝上放置，随机抽取一枚邮票不放回，从剩下的邮票中再次抽取一枚，则抽中的两枚邮票中其中一枚邮票的图案为磁器口的概率是 ． 18．（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为 ． 三、解答题 19．（2025·江苏南京·三模）桌面上倒扣着3个不透明的纸杯，其中2个纸杯中放有小球． （1）随机翻开1个纸杯，其中放有小球的概率是__________； （2）随机翻开2个纸杯，求2个纸杯中均放有小球的概率． 20．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：每次付4元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你元钱的奖品． （1）用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果； （2）求出获奖的概率； （3）如果有个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上骗走多少钱？ 21．（2025九年级下·全国·专题练习）团委招募志愿者进行宣传活动，团支书决定从某班4名女团员（小悦、小慧、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女团员去参加．抽签规则：将4名女团员的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在案面上，团支书先从中随机抽取1张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第2张，记下姓名． （1）“该班男生小明被抽中”是________事件，“小悦被抽中”是________事件；（填“不可能”“必然”或“随机”） （2）请你用画树状图或列表的方法求出小慧被抽中的概率． 22．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段练习）某校在校运会期间，组织了一次拔河比赛，裁判员让甲、乙两队队长用“石头、剪刀、布”的方式选择场地位置．游戏规则如下： 若一人出“剪刀”，另一人出“布”，则出“剪刀”者胜；若一人出“石头”，另一人出“剪刀”，则出“石头”者胜；若一人出“布”，另一人出“石头”，则出“布”者胜；若两人出相同手势，则两人平局． 假设甲、乙两队队长每次出这三种手势的可能性相同． （1）列表格或画树状图法，列出甲、乙两队队长的手势可能出现的情况； （2）裁判员的这种做法对甲、乙两队公平吗？请说明理由． 23．（24-25七年级下·广东深圳·期末）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．为此，某团队设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行随机调查．将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次参与调查的共有 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果某市有万人在使用手机： ①则估计该市最喜欢用“微信”进行沟通的人数为 万人； ②在该市使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，则抽取的最喜欢使用“”沟通的概率是 ． 24．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，87，86，89，85，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 9.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_____，_____，______； （2）若该校八年级有900名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ （3）该校从八、九两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取了4名学生，其中八年级2名，九年级2名．现从这4名学生中随机抽取2人参加市赛，请用列表法或画树状图法，求抽到的学生至少有一名来自八年级的概率． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $