专题3.1 概率的进一步认识（全知识梳理 + 题型精析 +同步练习）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题3.1 概率的进一步认识（全知识梳理+题型精析+同步练习） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）列举法求概率 1 【题型1】列举法求概率 1 知识点（二）用树状图或列表法求概率 2 【题型2】用树状图或列举法求概率 3 知识点（三）游戏的公平性 7 【题型2】用树状图或列举法求概率 7 【题型3】用树状图或列举法求概率判断游戏的公平性 7 知识点（四）几何概率 10 【题型4】求几何概率 10 知识点（五）用频率估计概率 13 【题型5】求某事件的频率 13 【题型6】用频率估计概率 15 【题型7】用频率估计概率的一些综合应用 16 二．同步练习 18 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 18 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 29 一.知识梳理与题型精析 知识点（一）列举法求概率 解题步骤： 1. 明确试验与事件：确定具体的试验，定义所求概率的事件A； 2. 列举所有的等可能结果：用适合的方法列出全部结果，确定无重复、无遗漏； 3. 筛选所有等可能结果； 4. 代入公式计算. 【题型1】列举法求概率 【例题1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；根据列举法可进行求解． 解：随机掷一枚质地均匀的硬币两次，情况有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）共4种情况，其中两次正面都朝上的有1种情况，所以两次正面都朝上的概率是； 故选C． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，从一副扑克牌中取出两组牌，分别是方块1，2，3和红桃1，2，3（A看成1），将它们的背面朝上分别重新洗牌后，再从两组牌中各摸出一张． （1）用列举法列举出所有可能出现的结果． （2）求摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5的概率． 【答案】（1）种结果；（2） 【分析】本题考查了列举法，通过列举法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式求事件的概率． （1）通过列举法展示所有9种等可能的结果数； （2）找出两张牌的牌面数字之和不小于5的结果数，然后根据概率公式求解． 解：（1）解：，，，，，，，，，共9种结果． （2）解：摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5的有，共3种结果， （摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5）． 知识点（二）用树状图或列表法求概率 解题步骤： 1、明确试验与事件确定试验类型，定义所求概率的事件 ，判断试验是否为 “等可能结果”； 2、选择方法并列举所有结果两步试验选树状图或表格，三步及以上优先树状图，确保结果不重不漏，记总结果数为 ； 3、筛选事件的符合结果从所有结果中找出满足事件的结果，统计其个数为； 4、代入公式计算概率根据概率定义：P （A） = . 【题型2】用树状图或列举法求概率 【例题2】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1、2、3，那么从每组牌中各摸出一张牌． （1）摸出两张牌的数字之和为4的概率为多少？ （2）摸出两张牌的数字相等的概率为多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键． （1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可； （2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可． 解：（1）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中摸出两张牌的数字之和为4的结果数有3种， ∴摸出两张牌的数字之和为4的概率为； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中摸出两张牌的数字相等的结果数有3种， ∴摸出两张牌的数字相等的概率为． 【变式1】（2025·河北沧州·模拟预测）在一个不透明的箱子中放有2个白球和2个黑球，小球除颜色不同外其余都相同． （1）从该箱子中随机摸出一个球，摸出白球和摸出黑球的概率是否相同？______（填“是”或“否”）； （2）嘉嘉说：从该箱子中摸出一个球后不放回，摇匀后再从中摸出一个球，摸出一白一黑的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同． 淇淇说：从该箱子中摸出一个球记下颜色后放回，摇匀后再从中摸出一个球，摸出一白一黑的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同． 请选择其中一人的说法，判断其说法是否正确并说明理由． 【答案】（1）是；（2）见分析 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）从该箱子中随机摸出一个球，共有4种等可能的结果，其中摸出白球的结果有2种，摸出黑球的结果有2种，再利用概率公式可得摸出白球的概率和摸出黑球的概率，进而可得结论； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸出一白一黑的小球的结果数和摸出颜色相同的小球的结果数，再利用概率公式可得摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率，进而可得结论． 解：（1）解：是； 理由：从该箱子中随机摸出一个球，共有4种等可能的结果，其中摸出白球的结果有2种，摸出黑球的结果有2种， ∴摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， ∴摸出白球的概率和摸出黑球的概率相同， 故答案为：是； （2）解：选嘉嘉的说法： 嘉嘉的说法错误， 理由：根据嘉嘉的说法列表如下， 共有12种等可能的结果，其中摸出一白一黑的结果有8种，摸出颜色相同的小球的结果有4种， ∴摸出一白一黑的概率为，摸出颜色相同的小球的概率为， ∴摸出一白一黑的概率和摸出颜色相同的小球的概率不相同， ∴嘉嘉的说法错误． 选淇淇的说法： 淇淇的说法正确， 理由：根据淇淇的说法列表如下， 共有16种等可能的结果，其中摸出一白一黑的结果有8种，摸出颜色相同的小球的结果有8种， ∴摸出一白一黑的概率为是，摸出颜色相同的小球的概率为． ∴摸出一白一黑的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同， ∴淇淇的说法正确． 【变式2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了_____人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_____； （2）该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_____类（填A、B、C或D）； （3）将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率． 【答案】（1）400，；（2）D；（3） 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、用列表法或树状图法求概率、求扇形统计图圆心角度数，求众数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用B类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，用乘以C类所占的比例即可得出圆心角度数； （2）求出D类的人数，再根据众数的定义求解即可； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 解：（1）解：此次共调查了人， ∴扇形统计图中C类对应的圆心角度数为； 故答案为：400，； （2）解：D类的人数为（人）， ∵， ∴D类的人数最多，即众数为D类，故选：D； （3）解：画出树状图如下： ； 由树状图可得，共有16种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有4种， 抽取到的两张卡片内容一致的概率为； 故答案为：． 【归纳小结】 1.用画树状图或列表的方法求概率：列表法可以不重复、不遗漏地列出所有可能性的结果，适合于两步完成的事件； 2.树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题时还要要点提醒题目是放回事件还是不放回事件． 知识点（三）游戏的公平性 【题型2】用树状图或列举法求概率 1.若某游戏不计得分情况，当双方获胜的概率相同，则游戏公平；当双方获胜的概率不相同，则游戏不公平． 2．判断游戏公平的方法有： （1）在得分相同的情况下，判断游戏公平性看双方获胜的概率是否相等． （2）在得分不同的情况下，要用各自获胜概率与得分乘积作为判断获胜的标准． 【题型3】用树状图或列举法求概率判断游戏的公平性 【例题3】（2025·河南·模拟预测）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 【答案】A 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握“概率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键． 画树状图，共有16种可能的结果，分别求出各个选项中甲、乙获胜的概率，再分别判断即可． 解：画树状图如下： A、由树状图可知，共有16可能的结果，其中在直线上的点有、、、，在直线上的点有、、， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 而，故选项A符合题意； B、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积不大于15的结果有8种，乘积大于15的结果有8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项B不符合题意； C、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积大于等于20时甲得5分的结果有6种，乙得3分的结果有10种，， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项C不符合题意； D、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中得到的和为奇数的结果8种，得到的和为偶数的结果8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项D不符合题意； 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？ （填公平或不公平） 获胜的概率大，概率是 ． 【答案】 不公平 小兰 【分析】此题考查了概率的应用．用列举法求概率必须把所有可能的结果都列举出来，然后再求其中某个事件发生的概率． 因为骰子的点数是1，2，3，4，5，6．其中偶数有三个，占，是3的倍数的只有两个，占．据此解答． 解：∵骰子的点数是1，2，3，4，5，6， ∴P（偶数）； P（3的倍数）． ∴游戏不公平；小兰获胜的概率大，概率是． 故答案为：不公平，小兰，． 【变式2】（25-26九年级上·云南·阶段练习）在全市中学生足球联赛半决赛中，红星中学队与阳光中学队争夺决赛名额．为决定优先发球权，裁判设计规则如下：准备两个不透明箱子，箱中放标有数字，，的三张卡片，箱中放标有数字，的两张卡片．红星中学队从箱中随机抽取一张卡片，记抽到卡片上的数字为；阳光中学队从箱中随机抽取一张卡片，记抽到卡片上的数字为．若与的和为奇数，则红星中学队获得优先发球权；否则由阳光中学队获得优先发球权． （1）请用列表法或者画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）请问裁判设计的规则公平吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1）共有种等可能的结果总数，即，，，，，；（2）裁判设计的规则公平，理由见分析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断， （1）画树状图列出所有等可能结果； （2）游戏是否公平，关键要看游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等； 解题的关键是掌握：判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平；概率的计算公式：概率=所求情况数与总情况数之比． 解：（1）解：画树状图如图： 共有种等可能的结果总数，即，，，，，； （2）由（1）可知，共有种等可能的结果，其中，，数字的和为奇数，则红星中学队获得优先发球权的结果有种；，，数字的和为偶数，则阳光中学队获得优先发球权的结果有种， ∴（与的和为奇数）， （与的和为偶数）， ∴（与的和为奇数）（与的和为偶数）， ∴裁判设计的规则公平． 知识点（四）几何概率 几何概率一般包括：几何角度概率计算；几何面积概率计算；线段长度的概率计算； 【题型4】求几何概率 【例题4】（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，几何概率，设，则，根据，求出，得到正方形的面积，利用概率公式代入计算即可． 解：设，则， ，， ，     ， 解得：或舍去， ， ， ， ， 这个点落在阴影部分的概率为， 故答案为： 【变式1】（23-24九年级上·山西大同·期末）如图，的面积为平分，垂足为，连接，若三角形内有一点，则点落在内（包括边界）的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形，三角形的面积，概率．熟练掌握全等三角形的性质和判定，三角形的面积公式，概率公式，是解决问题的关键． 由角平分线和垂线证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，根据面积概率可得的答案． 解：延长交于E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点M落在内（包括边界）的概率为，． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）如图是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）． （1）这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴，并在图中画出所有的对称轴； （2）一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． （3）请你设计一个与问题2概率相同的游戏． 【答案】（1）是，4，见分析；（2）；（3）见分析 【分析】本题考查的是几何概率，概率公式，求出黑色方格在整个地板砖中所占面积的比值是本题的关键． （1）根据轴对称图形的定义即可求解； （2）先求出阴影区域在整个地板砖中所占面积的比值，再根据其比值即可得出结论； （3）根据概率的求解得出答案． 解：（1）解：这个图形是轴对称图形，它有4 条对称轴，它的对称轴如图中虚线所示： ， 故答案为：是，4； （2）正方形的面积平均分成16份，阴影部分占4份， 所以停在阴影区域的概率为； （3）如袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中一个红色，三个绿色，充分摇匀后从中随机摸出一个小球是红球的概率．（答案不唯一）． 知识点（五）用频率估计概率 频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数， 频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。 概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大小，即一个时间发生的可能性大小的数值。必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；不确定事件发生的概率在0与1之间。 频率与概率的含义 在试验中，每个对象出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即： 把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率。 【题型5】求某事件的频率 【例题5】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答． 先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答． 解：参加扎染社团的学生数为：， 八年级2班学生参加扎染社团的频率是． 故答案为． 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求频率，根据频率之和为1，进行求解即可． 解：在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ， 则达到或超过 米的数出现的频率是： 故选B． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）现有两根长度分别为5，8的木棒，小亮想通过转盘游戏来获取第三根木棒．他准备了一个均匀的转盘，被平均分成6等份，分别标有木棒的长度：2，3，5，8，10，12．小亮转动转盘一次，停止后，指针指向的数字即为第三根木棒的长度（若指针指向分界线，则重新转动）． （1）若小亮转动转盘60次，发现转出的木棒长度小于5的结果出现了19次，求转出的木棒长度小于5的频率； （2）求小亮获取的第三根木棒和现有的两根木棒能组成三角形的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查可根据概率公式求解概率，求频率，三角形三边关系的应用等知识． （1）根据频率等于实验发生的次数除以总实验的次数求解即可． （2）根据三角形三边关系得出能组成三角形的结果有5，8，5；5，8，8；5，8，10；5，8，12共4种，然后根据概率公式计算即可． 解：（1）解：转出的小棒长度小于5的频率为． （2）解：因为转动转盘共有6种等可能的结果，其中能组成三角形的结果有5，8，5；5，8，8；5，8，10；5，8，12共4种， 所以小亮获取的第三根木棒和现有的两根木棒能组成三角形的概率为． 【题型6】用频率估计概率 【例题6】（25-26九年级上·甘肃天水·期中）一个布袋里装有只有颜色不同的若干个球，其中1个白球，若干个红球，从中任意摸出1个，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，通过大量的重复实验，得到摸出白球的频率是． （1）求布袋中红球的个数． （2）若从布袋中一次性摸出2个球，则都是红球的概率是多少？ 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查了已知频率求概率，已知概率求数量，列举法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）已知摸出白球的频率，即摸出白球的概率，然后用白球的个数除以摸出白球的概率即可求出球的总个数，进而可得答案； （2）列出从布袋一次性摸出2个球的等可能结果，从中找到摸出2个球都是红球的结果数，再根据概率公式求解即可． 解：（1）解：由题意知，布袋中球的总个数为（个）， ∴布袋中红球的个数为（个）， 答：布袋中红球的个数为3个． （2）解：设白球为白，3个红球分别为红1，红2，红3， 从布袋一次性摸出2个球的等可能结果有：（白，红1），（白，红2），（白，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3）， 共有6种等可能结果，其中摸出2个球都是红球的有3种结果， 所以一次性摸出2个球都是红球的概率为． 【变式1】（20-21七年级下·江苏南通·期末）为了估计一个鱼池中鱼的条数，采用了如下方法：先从鱼池的不同地方捞出40条鱼，给这些鱼做上记号后放回鱼池，过一段时间后，在同样的地方捞出200条鱼，其中有记号的鱼有8条．请你估计鱼池中鱼的条数约为 条． 【答案】1000 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数即可． 解：设鱼的总数为x条， 根据题意可知， 解得 故答案为： 【变式2】（2025·宁夏中卫·模拟预测）在一个不透明的布袋中装有蓝色、 白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相 同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在左右，则口袋中蓝色球个数最接近（    ） A．10个 B．20个 C．30个 D．40个 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在其概率附近．已知摸到蓝色球的频率稳定在左右，因此蓝色球的数量等于总球数乘以概率． 解：由题意，总球数为50个，摸到蓝色球的概率约为． 因此，蓝色球的数量为：（个）， 故选：B 【题型7】用频率估计概率的一些综合应用 【例题7】（25-26九年级上·全国·课后作业）投针试验 （1）在一个平面上画一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交．根据记录在下表中的投针试验数据，估计针与直线相交的概率． 试验次数n 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 … 相交次数m … 相交频率 … （2）在投针试验中，如果在间距、针长时，针与直线相交的概率为p，那么当d不变、l减小时，概率p如何变化？当l不变、d减小时，概率p如何变化（在试验中始终保持）? 【答案】（1）表格见详解，概率为；（2）当d不变，l减小时，概率p会变小；当l不变，d减小时，概率p会变大 【分析】本题主要考查了根据数据描述求频率，用频率估计概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）根据试验填写数据即可，根据次数最多的一次确定概率； （2）根据生活常识进行判断即可得到答案． 解：（1）解： 试验次数n 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 … 相交次数m 12 23 35 45 50 60 73 68 88 95 … 相交频率 … 根据表格可得：针与任一直线相交的概率为； （2）解：当d不变，l减小时，概率p会变小；当l不变，d减小时，概率p会变大． 【变式1】（2023·湖南长沙·二模）在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（    ） A．80个 B．75个 C．70个 D．60个 【答案】C 【分析】首先根据重复试验确定取到黑棋子的频率，然后估计白棋子的个数即可． 解：∵共取了200次，其中有25次取到黑棋子， ∴摸到黑色棋子的概率约为， ∴摸到白色棋子的概率约为， ∵共有10可黑色棋子， ∴设有个白色棋子，则， 解得：，经检验是分式方程的解， 故选：C． 【点拨】考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是根据重复试验确定摸到各种棋子的概率，难度不大． 【变式2】（20-21九年级上·重庆·期中）为减轻“新冠”带来的影响，西城天街商场决定在国庆期间开展促销活动，方案如下：在负二楼兑奖区旁放置一个不透明的箱子，箱子里有大小、形状、质地等完全相同的黑、白、红球各一个，顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中黑、白、红三种颜色的球可分别返还现金元、元、元．商场分上午、下午和晚上三个时间段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果如下：下午摸到黑球次数为上午的倍，摸到白球次数为上午的倍，摸到红球次数为上午的倍；晚上摸到黑球次数与上午相同，摸到白球次数为上午的倍，摸到红球次数为上午的倍，三个时间段返现总金额共为元，晚上返现金额比上午多元，则下午返现金额为 元． 【答案】 【分析】根据题意表示出上午、下午、晚上摸到黑、白、红的次数，列数返现的金额式子，确定出a，b，c的值代入计算即可； 解：设上午黑、白、红摸到的次数分别是a，b，c， 则下午摸到黑、白、红的次数是3a，2b，4c， 晚上摸到黑、白、红的次数是a，4b，2c， 晚上返现金额比上午多840， ∴， ∴， 总返现为：， 根据题意：a，b，c是大于零的正整数， 当时满足条件a，b，c为正整数， ∴，，， 即下午返现的金额为元； 故答案是2460． 【点拨】本题主要考查了三元一次方程的应用，理解题意，找准题目间数量关系，准确分析计算是解题的关键． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）将1，2，3三个数字随机取一个数字作为一个点的横坐标，放回后再从中抽取一个数字作为这个点的纵坐标．从这些坐标构成的点中取一点，则这个点在函数图象上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的运算求解，熟练掌握概率的计算公式是解决本题的关键． 首先确定所有可能的点的总数，再找出满足条件的点的数量，最后计算概率即可． 解：横坐标和纵坐标分别从1、2、3中随机选取（有放回）， 列表可知 横坐标 纵坐标 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 ∴由表格可知，有9种不同的点， 在函数 图像上的点满足横坐标等于纵坐标， 即 ，，，共3个点， ∴概率为 ． 故选：B ． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）最美的长安都写在唐诗里．将分别标有“最”、“美”、“长”、“安”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回，再随机摸出一球，则两次摸出的球上的汉字组成“长安”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查古典概型的概率计算．解题用到的思想是列举法（列表法），通过列举所有可能结果分析概率；方法是先确定总结果数，再找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算；解题关键是准确列举所有等可能结果，并明确“组成‘长安’”所对应的结果；易错点是容易混淆“组成‘长安’”是否考虑顺序，若错误判断顺序要求会导致符合条件的结果数计算错误． 解题时，首先明确摸球方式为“有放回”，因此每次摸球的结果相互独立，第一次和第二次摸球各有4种可能，根据列表法总结果数为种．接着，需确定“组成‘长安’”对应的结果，即两个字为“长”和“安”，考虑顺序时符合条件的结果为（长安）和（安长），共2种．最后，根据概率公式计算，得到概率为． 解：列表如下： 最 美 长 安 最 最最 最美 最长 最安 美 美最 美美 美长 美安 长 长最 长美 长长 长安 安 安最 安美 安长 安安 根据表格，总共有种等可能的结果． 符合条件的是（长安）和（安长），共2种． 则概率为：． 故选：D． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）如图所示，转盘被等分成4个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、5，若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查运用概率公式求概率，几何概率，掌握概率公式成为解题的关键． 先确定所有等可能结果数和针指向奇数区的结果数，然后再运用概率公式求解即可． 解：根据题意可得：转盘被等分成4个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、5， 则共有4种等可能结果数，其中3个扇形上是奇数． 故自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是． 故选C． 4．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（    ） A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利 C．对小明有利 D．游戏公平 【答案】D 【分析】本题主要考查了游戏的公平性，根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇，而和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种，则和为偶数的概率和和为奇数的概率相同，故游戏公平，据此可得答案． 解：根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇； ∵奇数与奇数的和为偶数，偶数与偶数的和为偶数，奇数与偶数的和为奇数， ∴和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种， ∴和为偶数的概率和和为奇数的概率相同， ∴这个游戏是公平的， 故选：D． 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的应用．掌握事件的所有情况的概率之和为1成为解题的关键． 根据事件的所有情况的概率之和为1解答即可． 解：∵他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为， ∴他遇到绿灯的概率是：． 故选：C． 6．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）一个不透明的布袋中装有若干个白球和5个黑球，它们除颜色不同外其他都相同，将布袋中的小球搅匀后，从中随机摸出一球，记下其颜色，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了次，其中有次摸到了黑球，估计口袋中白球的个数为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题考查了用频率估计概率．大量反复试验下频率的稳定值即概率，关键是得到关于黑球概率的等量关系． 先由频率＝频数数据总数，计算出频率，再由题意列出方程求解即可． 解：摸了次，其中有次摸到黑球，则摸到黑球的频率是， 由于大量反复试验下频率的稳定值即概率，故摸出黑球的概率为， 设口袋中有个白球，则黑球的概率为， 解得， 故白球的个数为15个． 故选：B． 7．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 频率 0.60 0.45 0.55 0.47 0.48 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 A．不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 B．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” C．掷一枚一元的硬币，正面朝上 D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．由表格数据可知：利用频率估计概率得到实验的概率在左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行对比判断即可． 解：A、不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是，不符合题意； B、掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” 概率是，不符合题意； C、掷一枚一元的硬币，正面朝上的概率是，符合题意； D、三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5概率是，不符合题意； 故选：C 二、填空题 8．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，先后摸出两个小球（每次只摸出一个球，第一次摸出后放回），摸出的两球上金额的和为50元的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查简单的概率计算．需先确定所有可能的结果数及符合条件的结果数，根据，再求概率． 解：因为是第一次摸出后放回， 所以先后摸出两个小球的所有可能结果有种，分别是，， 其中，两球上金额的和为50元的结果有和两种， 根据概率公式，可得所求概率． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·重庆·期中）某中学运动会设置了跑步、跳远和跳绳三个参赛项目，学生可随机选择其中一个项目报名参加．现甲、乙两名同学分别从这三个项目中随机选取一个报名参加，他们同时选中跑步项目的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是用列表法或画树状图法求概率，解题关键是熟练掌握树状图法求概率． 画出树状图，共有个等可能的结果，甲，乙两名学生同时选中跑步项目的结果有个，即可求解． 解：将跑步、跳远和跳绳三个参赛项目分别设为、、， 画树状图如下： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等， 其中他们同时选中跑步项目的结果有种， 他们同时选中跑步项目的概率是． 故答案为：． 10．（24-25六年级下·全国·单元测试）如图，小明有一个边长为的正方形靶盘，其中点，分别是靶盘相邻两边的中点．若小明随意向该靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为 【答案】 【分析】此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．根据飞镖落在阴影区域的概率为阴影区域的面积与总面积的比即可解答． 解：∵正方形的面积为， 阴影部分的面积为， ∴飞镖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据，估计任意抛掷一枚图钉：钉尖朝上的概率约为 ．（结果精确到0.1） 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 【答案】0.4 【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率． 解：∵表中从左往右，频率分别为0.5，0.3，0.36，0.4，0.403，0.4005，0.4002， ∴随着试验次数的增多频率稳定在0.4附近， ∴钉尖朝上的概率约为0.4， 故答案为：0.4． 12．（2024·山西·模拟预测）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，四个扇形的面积都相等，且分别标有，，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止．明明和亮亮两人用如图所示的转盘做游戏，两人各转动转盘一次，转盘停止后记下指针指向的数字．如果两人转得的数字之和为奇数，则明明胜；如果两人转得的数字之和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是 （填“公平”、“对明明有利”或“对亮亮有利”）． 【答案】对亮亮有利 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，熟练掌握概率公式是求解的关键． 根据题意，画树状图，再运用概率公式求概率，判断游戏公平性． 解：根据题意，画树状图如下． 由树状图，可知共有16种等可能的结果，其中和为奇数的结果有6种，和为偶数的结果有10种， ，， ∴这个游戏对亮亮有利， 故答案为：对亮亮有利． 三、解答题 13．（2025·江苏南京·一模）从一副扑克牌中选取7张牌，分成左右两堆．左边四张牌的牌面数字分别是3，4，5，6，右边三张牌的牌面数字分别是3，4，5，将它们分别洗匀后正面向下放在桌面上． （1）从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是 ； （2）从两堆牌中各随机抽取一张牌，求抽出的两张牌数字相同的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是求概率： （1）直接根据概率公式解答即可； （2）根据题意，列出所有可能出现的结果，可得满足两张牌数字相同的结果有3种，再根据概率公式解答即可． 解：（1）解：根据题意得：从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是． 故答案为： （2）解：从两堆牌中各随机抽取一张牌．所有可能出现的结果有：共有12种，它们出现的可能性相同． 所有结果中，满足两张牌数字相同的结果有3种， 所以抽出的两张牌数字相同的概率为． 14．（25-26九年级上·全国·单元测试）（1）一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，求最终停在阴影方砖上的概率； （2）在中，是两条对角线，现有以下条件：①；②；③；④．从中任取一个作为条件，求可判定是菱形的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了概率的简单应用，熟练掌握概率的定义和求法是解题的关键； （1）计算面积再根据概率公式计算概率； （2）判断满足菱形条件的个数然后根据概率公式计算即可. 解：（1）设每个小正方形的边长为1，则， （最终停在阴影方砖上）． （2）①四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形； ②四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形； ③四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形； ④四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形． 只有①③可判定是菱形， ∴可判定是菱形的概率是． 15．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． （1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； （2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可； （2）利用画树状图法或列表法计算概率即可． 本题考查了概率的计算，熟练掌握概率公式和画树状图活列表法计算概率是解题的关键． 解：（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 － （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） － （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） － （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） － 由上表可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种， ． 16．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）某校在新冠疫情期间，开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种，为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取人调查学习参与度，数据整理结果如下表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 录播 7 直播 6 （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由． （2）从选择直播的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在及以上的概率是多少？ （3）该校共有名学生接受这两种教学方式，选择“录播”和“直播”的人数之比是，估计参与度在以下的共有多少人? 【答案】（1）“直播”教学方式，学生的参与度更高，理由见分析；（2）从选择“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在及以上的概率是；（3）参与度在以下的学生共有人 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量，根据概率公式计算概率，由频率估计概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据表格数据得出两种教学方式参与度在以上的人数，比较即可作出判断； （2）用表格中“直播”教学方式学生参与度在以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率； （3）先根据“录播”和“直播”的人数之比为及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案． 解：（1）解：“直播”教学方式，学生的参与度更高． 理由：“直播”参与度在及以上的人数为，“录播”参与度在及以上的人数为，参与度在及以上的“直播”人数多于“录播”人数：“直播”教学方式学生的参与度更高． （2）解： 答：从选择“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在及以上的概率是． （3）解：选择“录播”的学生人数为人， 选择“直播”的学生人数为人， 人， 估计参与度在以下的学生共有人． 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）的大正方形图案由9个全等的小正方形拼图组成，从中随机取出两块，剩余部分组成的图形是轴对称图形的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了列举法求概率，解题的关键是正确列举所有可能的情况． 首先画出图形，然后列举出所有等可能的情况数和剩余部分组成的图形是轴对称图形的情况数，然后根据概率公式求解即可． 解：如图所示， 根据题意得，所有等可能的情况有： 取走的两块分别为1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；1，7；1，8；1，9； 2，3；2，4；2，5；2，6；2，7；2，8；2，9； 3，4；3，5；3，6；3，7；3，8；3，9； 4，5；4，6；4，7；4，8；4，9； 5，6；5，7；5，8；5，9； 6，7；6，8；6，9； 7，8；7，9； 8，9； ∴共有种等可能的情况， 剩余部分组成的图形是轴对称图形的情况有： 取走的两块分别为：1，3；1，5；1，7；1，9；2，4；2，5；2，6；2，8；3，5；3，7；3，9；4，5；4，6；4，8；5，6；5，7；5，8；5，9；6，8；7，9； ∴共有20种情况， ∴从中随机取出两块，剩余部分组成的图形是轴对称图形的概率是． 故选：D． 2．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段练习）质地均匀的一个红球和一个白球随机放入三个不同的盒子中，则恰好有一个盒子为空的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查树状图或表格法求概率，掌握相关知识是解决问题的关键．用树状图或表格法表示出所有等可能的结果和恰好有一个盒子为空的结果，利用概率公式计算即可． 解：将三个盒子分别记为1，2，3， 共有9种等可能性结果，其中恰好有一个盒子为空的结果有6种，故恰好有一个盒子为空的概率为． 故选：C． 3．（2025·山东东营·三模）小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、几何概率的知识点，准确计算是解题的关键． 将平行四边形分成平行四边形和平行四边形两部分，可得四边形内阴影部分是四边形面积的一半，四边形内阴影部分是四边形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率； 解：∵平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵四边形内阴影部分面积四边形面积， 四边形内阴影部分面积四边形面积， ∴阴影部分的面积平行四边形的面积， ∴飞镖在阴影部分的概率是． 故选：B． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，图为四等分数字转盘，图为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后（若指针指在边界处，则重转），将图转盘指针所指区域的数字记为，图转盘指针所指区域的数字记为，则点在第二象限的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，根据题意列出表格，再根据表格解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 解：列表如下： 图图 由表可知，共有种等等可能结果，其中点在第二象限的结果有种， ∴点在第二象限的概率为， 故选：． 5．（24-25九年级下·全国·期末）李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被3整除的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率约为，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可． 解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为； A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为，不符合题意； B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为，不符合题意； C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被3整除的数的结果有3种，故概率为，符合题意； D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为，不符合题意； 故选C 6．（24-25九年级上·山西长治·期末）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列表得出共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可． 此题考查了列表法求概率．列表法可以不重不漏地表示出所有等可能的情况，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 解：列表如下： - - - - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种， 灯泡发光的概率为， 故选：A． 二、填空题 7．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）有五双大小均不相同的手套分别按照左右放在甲、乙两个口袋里面，甲口袋里面全部是左手套，乙口袋里面全部都是右手套，小明从甲、乙两个口袋里面分别任意抽取一只手套，恰好配成大小相同一套的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法求概率，根据题意正确列表是解题的关键． 先根据题意列表确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 解：根据题意列表如下： 甲 乙 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则共有25种等可能结果，其中恰好配成大小相同一套的有5种情况，故概率为：． 故答案为：． 8．（22-23九年级下·山东·自主招生）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567）等．在某次数学趣味活动中，小明需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，则抽取的“三位递增数”不能被5整除的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；因此此题可根据列举法求解概率． 解：由题意可知： 当个位数字为3时，则十位数字为2，百位数字为1；此时有1种情况； 当个位数字为4时，则当十位数字为2时，百位数字为1，当十位数字为3时，百位数字可以为1和2，所以有种情况； 当个位数字为5时，则当十位数字为2时，百位数字为1，当十位数字为3时，百位数字可以为1和2，当十位数字为4时，百位数字可以为1、2和3，所以有种情况； 当个位数字为6时，则当十位数字为2时，百位数字为1，当十位数字为3时，百位数字可以为1和2，当十位数字为4时，百位数字可以为1、2和3，当十位数字为5时，百位数字可以为1、2、3和4，所以有种情况； 由此可知：个位数字为7时，有种情况；个位数字为8时，有种情况；个位数字为9时，有种情况； ∴三位递增数共有个，其中被5整除的三位递增数个位数字一定为5，由上可知共有个， ∴随机抽取的三位递增数不被5整除的概率为； 故答案为． 9．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，用六块全等的含的灰色直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，现在向大正六边形内部投掷飞镖，则飞镖射中灰色部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率的求解，勾股定理，设直角三角形中所对的直角边边长均为1，则斜边为2，利用勾股定理求出另一条直角边，分别求出小正六边形，大正六边形的面积，再求概率即可． 解：设直角三角形中所对的直角边边长均为1，则斜边为2，所以另一条直角边为， 小正六边形的边长为， 小正六边形的面积为， 大正六边形的面积为， 飞镖射中灰色部分的概率为， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，已知边长为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握频率的计算方法是解题的关键，用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率即可得到答案． 解：∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为：， ∵正方形区域内任取个点中，有个点在黑色部分， ∴黑色部分占正方形的：， ∴二维码中黑色部分的面积约为：， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）一个袋子中装有5个白球和若干个红球（袋中每个球除颜色外其余都相同）．某活动小组想估计袋子中红球的个数，分20个组进行摸球试验．每一组做400次试验，汇总后，摸到红球的次数为6000次．估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率的知识，根据红球的次数除以试验总次数即可得到答案． 解：由题意知，红球的概率为：， 故答案为：． 12．（2022·河南驻马店·一模）有甲、乙两个黑布袋，甲布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和；乙布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字，，．小明从甲布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，再从乙布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，则满足有两个不相等实数根的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、列表法求概率，根据一元二次方程有两个不相等实数根，可得：，列表表示出的所有情况，可知共有种等可能的情况出现，其中满足的只有种，所以满足有两个不相等实数根的概率是. 解：有两个不相等实数根， ， ， 由表可知，共有种等可能的情况出现，其中满足的只有种， 满足有两个不相等实数根的概率是． 故答案为：． 三、解答题 13．（2025·江苏·二模）如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区剩余3个空车位．甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车． （1）甲停在A区的概率是_______； （2）求甲、乙停在相同区域的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查列举法、概率公式求概率，熟练掌握列举法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用列举法法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停在相同区域的结果数，再利用概率公式可得出答案． 解：（1）解：∵甲车停放的所有可能结果有5种，停在A区的只有2种， ∴甲能够停放在A区的概率是； （2）解：分别将、两个停车区域的空车位即为“”“”“”“”“”， 则根据题意列出所有可能出现的结果有：，共有10种，它们出现的可能性相同． 所有的结果中，满足“甲、乙两人停在相同区域”（记为事件）的结果有4种， 即， 所以． 14．（2025·青海西宁·一模）现有分别标有数字，，的个质地和大小完全相同的小球．若个小球都装在一个不透明的口袋中，从中随机摸出一个小球后不放回，其标号作为一次函数的系数k．再随机摸出一个小球，其标号作为一次函数的常数b． （1）利用树状图表示一次函数可能出现的所有结果，并写出所有可能的结果； （2）求出一次函数的图象不经过第四象限的概率． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查一次函数的图象，树状图法求概率，熟练掌握一次函数的图象，正确的画出树状图是解题的关键： （1）画出树状图，进行求解即可； （2）求出一次函数的图象不经过第四象限的结果，利用概率公式进行计算即可． 解：（1）解：画出树状图如图： 由图可知共有，六种等可能的结果； （2）解：由（1）可知共有6种等可能的结果，其中，一次函数的图象不经过第四象限的结果有共2种， ∴． 15．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 【答案】不公平，设计一个公平的规则见分析，理由见分析 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得用所指的两个数字作乘积的所有等可能的结果，再找出所得的积是偶数的结果、所得的积是奇数的结果，然后利用概率公式求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得这样的规则不公平．设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜．同样的方法求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得． 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字作乘积，共有24种等可能的结果，其中，所得的积是偶数的结果有18种，所得的积是奇数的结果有6种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则不公平． 设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜． 这样的规则是公平的，理由如下： 由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字求和，共有24种等可能的结果，其中，所得的和是偶数的结果有12种，所得的和是奇数的结果有12种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则公平． 16．（2025·四川德阳·一模）近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为________；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有________人； （2）补全条形统计图； （3）学校准备从组内的甲，乙，丙，丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型 应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表法或画树状图法求甲和乙两名同学同时被选中的概率． 【答案】（1），；；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得抽取的学生人数，用乘以的人数占抽取的人数的百分比，即可得扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数；根据用样本估计总体，用乘以扇形统计图中的百分比，即可得出答案． （2）求出B．比较了解的人数，补全条形统计图即可． （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及和两名同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 解：（1）解：抽取的学生人数为（人）， ∴扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数为； 估计全校非常了解交通法规的约有（人）， 故答案为：，； （2）解：比较了解的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）解；设分别用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四名同学，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中和两名同学同时被选中的结果有种， ∴和两名同学同时被选中的概率为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 概率的进一步认识（全知识梳理+题型精析+同步练习） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）列举法求概率 1 【题型1】列举法求概率 1 知识点（二）用树状图或列表法求概率 2 【题型2】用树状图或列举法求概率 2 知识点（三）游戏的公平性 3 【题型2】用树状图或列举法求概率 3 【题型3】用树状图或列举法求概率判断游戏的公平性 4 知识点（四）几何概率 4 【题型4】求几何概率 4 知识点（五）用频率估计概率 5 【题型5】求某事件的频率 6 【题型6】用频率估计概率 6 【题型7】用频率估计概率的一些综合应用 7 二．同步练习​ 8 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 8 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 11 一.知识梳理与题型精析 知识点（一）列举法求概率 解题步骤： 1. 明确试验与事件：确定具体的试验，定义所求概率的事件A； 2. 列举所有的等可能结果：用适合的方法列出全部结果，确定无重复、无遗漏； 3. 筛选所有等可能结果； 4. 代入公式计算. 【题型1】列举法求概率 【例题1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，从一副扑克牌中取出两组牌，分别是方块1，2，3和红桃1，2，3（A看成1），将它们的背面朝上分别重新洗牌后，再从两组牌中各摸出一张． （1）用列举法列举出所有可能出现的结果． （2）求摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5的概率． 知识点（二）用树状图或列表法求概率 解题步骤： 1、明确试验与事件确定试验类型，定义所求概率的事件 ，判断试验是否为 “等可能结果”； 2、选择方法并列举所有结果两步试验选树状图或表格，三步及以上优先树状图，确保结果不重不漏，记总结果数为 ； 3、筛选事件的符合结果从所有结果中找出满足事件的结果，统计其个数为； 4、代入公式计算概率根据概率定义：P （A） = . 【题型2】用树状图或列举法求概率 【例题2】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1、2、3，那么从每组牌中各摸出一张牌． （1）摸出两张牌的数字之和为4的概率为多少？ （2）摸出两张牌的数字相等的概率为多少？ 【变式1】（2025·河北沧州·模拟预测）在一个不透明的箱子中放有2个白球和2个黑球，小球除颜色不同外其余都相同． （1）从该箱子中随机摸出一个球，摸出白球和摸出黑球的概率是否相同？______（填“是”或“否”）； （2）嘉嘉说：从该箱子中摸出一个球后不放回，摇匀后再从中摸出一个球，摸出一白一黑的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同． 淇淇说：从该箱子中摸出一个球记下颜色后放回，摇匀后再从中摸出一个球，摸出一白一黑的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同． 请选择其中一人的说法，判断其说法是否正确并说明理由． 【变式2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了_____人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_____； （2）该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_____类（填A、B、C或D）； （3）将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率． 【归纳小结】 1.用画树状图或列表的方法求概率：列表法可以不重复、不遗漏地列出所有可能性的结果，适合于两步完成的事件； 2.树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题时还要要点提醒题目是放回事件还是不放回事件． 知识点（三）游戏的公平性 【题型2】用树状图或列举法求概率 1.若某游戏不计得分情况，当双方获胜的概率相同，则游戏公平；当双方获胜的概率不相同，则游戏不公平． 2．判断游戏公平的方法有： （1）在得分相同的情况下，判断游戏公平性看双方获胜的概率是否相等． （2）在得分不同的情况下，要用各自获胜概率与得分乘积作为判断获胜的标准． 【题型3】用树状图或列举法求概率判断游戏的公平性 【例题3】（2025·河南·模拟预测）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 【变式1】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？ （填公平或不公平） 获胜的概率大，概率是 ． 【变式2】（25-26九年级上·云南·阶段练习）在全市中学生足球联赛半决赛中，红星中学队与阳光中学队争夺决赛名额．为决定优先发球权，裁判设计规则如下：准备两个不透明箱子，箱中放标有数字，，的三张卡片，箱中放标有数字，的两张卡片．红星中学队从箱中随机抽取一张卡片，记抽到卡片上的数字为；阳光中学队从箱中随机抽取一张卡片，记抽到卡片上的数字为．若与的和为奇数，则红星中学队获得优先发球权；否则由阳光中学队获得优先发球权． （1）请用列表法或者画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）请问裁判设计的规则公平吗？请通过计算说明理由． 知识点（四）几何概率 几何概率一般包括：几何角度概率计算；几何面积概率计算；线段长度的概率计算； 【题型4】求几何概率 【例题4】（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ． 【变式1】（23-24九年级上·山西大同·期末）如图，的面积为平分，垂足为，连接，若三角形内有一点，则点落在内（包括边界）的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）如图是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）． （1）这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴，并在图中画出所有的对称轴； （2）一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． （3）请你设计一个与问题2概率相同的游戏． 知识点（五）用频率估计概率 频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数， 频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。 概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大小，即一个时间发生的可能性大小的数值。必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；不确定事件发生的概率在0与1之间。 频率与概率的含义 在试验中，每个对象出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即： 把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率。 【题型5】求某事件的频率 【例题5】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是 ． 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）现有两根长度分别为5，8的木棒，小亮想通过转盘游戏来获取第三根木棒．他准备了一个均匀的转盘，被平均分成6等份，分别标有木棒的长度：2，3，5，8，10，12．小亮转动转盘一次，停止后，指针指向的数字即为第三根木棒的长度（若指针指向分界线，则重新转动）． （1）若小亮转动转盘60次，发现转出的木棒长度小于5的结果出现了19次，求转出的木棒长度小于5的频率； （2）求小亮获取的第三根木棒和现有的两根木棒能组成三角形的概率． 【题型6】用频率估计概率 【例题6】（25-26九年级上·甘肃天水·期中）一个布袋里装有只有颜色不同的若干个球，其中1个白球，若干个红球，从中任意摸出1个，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，通过大量的重复实验，得到摸出白球的频率是． （1）求布袋中红球的个数． （2）若从布袋中一次性摸出2个球，则都是红球的概率是多少？ 【变式1】（20-21七年级下·江苏南通·期末）为了估计一个鱼池中鱼的条数，采用了如下方法：先从鱼池的不同地方捞出40条鱼，给这些鱼做上记号后放回鱼池，过一段时间后，在同样的地方捞出200条鱼，其中有记号的鱼有8条．请你估计鱼池中鱼的条数约为 条． 【变式2】（2025·宁夏中卫·模拟预测）在一个不透明的布袋中装有蓝色、 白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相 同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在左右，则口袋中蓝色球个数最接近（    ） A．10个 B．20个 C．30个 D．40个 【题型7】用频率估计概率的一些综合应用 【例题7】（25-26九年级上·全国·课后作业）投针试验 （1）在一个平面上画一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交．根据记录在下表中的投针试验数据，估计针与直线相交的概率． 试验次数n 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 … 相交次数m … 相交频率 … （2）在投针试验中，如果在间距、针长时，针与直线相交的概率为p，那么当d不变、l减小时，概率p如何变化？当l不变、d减小时，概率p如何变化（在试验中始终保持）? 【变式1】（2023·湖南长沙·二模）在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（    ） A．80个 B．75个 C．70个 D．60个 【变式2】（20-21九年级上·重庆·期中）为减轻“新冠”带来的影响，西城天街商场决定在国庆期间开展促销活动，方案如下：在负二楼兑奖区旁放置一个不透明的箱子，箱子里有大小、形状、质地等完全相同的黑、白、红球各一个，顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中黑、白、红三种颜色的球可分别返还现金元、元、元．商场分上午、下午和晚上三个时间段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果如下：下午摸到黑球次数为上午的倍，摸到白球次数为上午的倍，摸到红球次数为上午的倍；晚上摸到黑球次数与上午相同，摸到白球次数为上午的倍，摸到红球次数为上午的倍，三个时间段返现总金额共为元，晚上返现金额比上午多元，则下午返现金额为 元． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）将1，2，3三个数字随机取一个数字作为一个点的横坐标，放回后再从中抽取一个数字作为这个点的纵坐标．从这些坐标构成的点中取一点，则这个点在函数图象上的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）最美的长安都写在唐诗里．将分别标有“最”、“美”、“长”、“安”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回，再随机摸出一球，则两次摸出的球上的汉字组成“长安”的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）如图所示，转盘被等分成4个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、5，若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（    ） A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利 C．对小明有利 D．游戏公平 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）一个不透明的布袋中装有若干个白球和5个黑球，它们除颜色不同外其他都相同，将布袋中的小球搅匀后，从中随机摸出一球，记下其颜色，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了次，其中有次摸到了黑球，估计口袋中白球的个数为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 7．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 频率 0.60 0.45 0.55 0.47 0.48 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 A．不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 B．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” C．掷一枚一元的硬币，正面朝上 D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5 二、填空题 8．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，先后摸出两个小球（每次只摸出一个球，第一次摸出后放回），摸出的两球上金额的和为50元的概率是 ． 9．（25-26九年级上·重庆·期中）某中学运动会设置了跑步、跳远和跳绳三个参赛项目，学生可随机选择其中一个项目报名参加．现甲、乙两名同学分别从这三个项目中随机选取一个报名参加，他们同时选中跑步项目的概率是 ． 10．（24-25六年级下·全国·单元测试）如图，小明有一个边长为的正方形靶盘，其中点，分别是靶盘相邻两边的中点．若小明随意向该靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为 11．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据，估计任意抛掷一枚图钉：钉尖朝上的概率约为 ．（结果精确到0.1） 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 12．（2024·山西·模拟预测）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，四个扇形的面积都相等，且分别标有，，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止．明明和亮亮两人用如图所示的转盘做游戏，两人各转动转盘一次，转盘停止后记下指针指向的数字．如果两人转得的数字之和为奇数，则明明胜；如果两人转得的数字之和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是 （填“公平”、“对明明有利”或“对亮亮有利”）． 三、解答题 13．（2025·江苏南京·一模）从一副扑克牌中选取7张牌，分成左右两堆．左边四张牌的牌面数字分别是3，4，5，6，右边三张牌的牌面数字分别是3，4，5，将它们分别洗匀后正面向下放在桌面上． （1）从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是 ； （2）从两堆牌中各随机抽取一张牌，求抽出的两张牌数字相同的概率． 14．（25-26九年级上·全国·单元测试）（1）一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，求最终停在阴影方砖上的概率； （2）在中，是两条对角线，现有以下条件：①；②；③；④．从中任取一个作为条件，求可判定是菱形的概率． 15．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． （1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； （2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 16．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）某校在新冠疫情期间，开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种，为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取人调查学习参与度，数据整理结果如下表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 录播 7 直播 6 （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由． （2）从选择直播的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在及以上的概率是多少？ （3）该校共有名学生接受这两种教学方式，选择“录播”和“直播”的人数之比是，估计参与度在以下的共有多少人? 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）的大正方形图案由9个全等的小正方形拼图组成，从中随机取出两块，剩余部分组成的图形是轴对称图形的概率是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段练习）质地均匀的一个红球和一个白球随机放入三个不同的盒子中，则恰好有一个盒子为空的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东东营·三模）小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，图为四等分数字转盘，图为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后（若指针指在边界处，则重转），将图转盘指针所指区域的数字记为，图转盘指针所指区域的数字记为，则点在第二象限的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·全国·期末）李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被3整除的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 6．（24-25九年级上·山西长治·期末）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）有五双大小均不相同的手套分别按照左右放在甲、乙两个口袋里面，甲口袋里面全部是左手套，乙口袋里面全部都是右手套，小明从甲、乙两个口袋里面分别任意抽取一只手套，恰好配成大小相同一套的概率是 ． 8．（22-23九年级下·山东·自主招生）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567）等．在某次数学趣味活动中，小明需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，则抽取的“三位递增数”不能被5整除的概率为 ． 9．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，用六块全等的含的灰色直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，现在向大正六边形内部投掷飞镖，则飞镖射中灰色部分的概率为 ． 10．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，已知边长为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ． 11．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）一个袋子中装有5个白球和若干个红球（袋中每个球除颜色外其余都相同）．某活动小组想估计袋子中红球的个数，分20个组进行摸球试验．每一组做400次试验，汇总后，摸到红球的次数为6000次．估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是 ． 12．（2022·河南驻马店·一模）有甲、乙两个黑布袋，甲布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和；乙布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字，，．小明从甲布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，再从乙布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，则满足有两个不相等实数根的概率是 ． 三、解答题 13．（2025·江苏·二模）如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区剩余3个空车位．甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车． （1）甲停在A区的概率是_______； （2）求甲、乙停在相同区域的概率． 14．（2025·青海西宁·一模）现有分别标有数字，，的个质地和大小完全相同的小球．若个小球都装在一个不透明的口袋中，从中随机摸出一个小球后不放回，其标号作为一次函数的系数k．再随机摸出一个小球，其标号作为一次函数的常数b． （1）利用树状图表示一次函数可能出现的所有结果，并写出所有可能的结果； （2）求出一次函数的图象不经过第四象限的概率． 15．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 16．（2025·四川德阳·一模）近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为________；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有________人； （2）补全条形统计图； （3）学校准备从组内的甲，乙，丙，丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型 应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表法或画树状图法求甲和乙两名同学同时被选中的概率． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $