精品解析：山东省济南燕山中学2025--2026学年上学期八年级月考数学试题

济南燕山中学八年级月考数学试题 一、单选题 1. 明明在教室里坐在第4列第3行，他的位置用数对表示．笑笑坐在明明的正后方，她的位置是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 直线上有三个点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 4. 如图是某班去年1~8月份全班同学每月的课外阅读数量折线计图，下列说法正确的是（ ） A. 每月阅读数量的众数是83 B. 每月阅读数量的中位数是58 C. 每月阅读数量的平均数是50 D. 每月阅读数量的极差是65 5. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 6. 明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图为某地区2025年2月和3月的空气质量指数()箱线图．值越小，空气质量越好；值在201~300之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（ ） A. 该地区2025年3月有重度污染天气 B. 该地区2025年3月的值比2月集中 C. 该地区2025年3月的值中位数大于2月值的中位数 D. 整体看，该地区2月的空气质量好于3月 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 9. 如图， 在平面直角坐标系中， 点点P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿路径循环运动，则第2025 秒时点 P的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 定义：是平面内某一点，是图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为点与图形的“点图距”．如图，在等边中，点的坐标为，点、在轴上．记动点与等边的“点图距”为，则随变化的图像是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知点在y轴上，则______． 12. 已知方程组，则的值是__________． 13. 如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为_____． 14. 如图，直线分别与轴交于两点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论： ①；②点的坐标为；③直线的解析式为；④点的坐标为．正确的有_________． 15. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“型函数”．例如：图1就是一次函数关于直线的“型函数”图象．如图2，点，以为斜边在轴上方作等腰，当函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，则的取值范围为___________． 三、解答题 16. 解方程组 （1）； （2）． 17. 已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）作出关于x轴对称的； （2）求的面积； （3）在轴上求作一点，使的值最小，并求出最小值（保留作图痕迹，不写作法）． 19. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）求的面积； （3）点C的坐标为，当时，直接写出m的值． 20. 自从兼具“低成本”与“高性能”核心属性的开源大模型横空出世之后，全球掀起部署或本地接入这一重磅生成式应用的巨浪．我们在选择软件时，可以根据具体需求如语言、场景、功能复杂度等进行权衡．为了解甲、乙两款软件的使用效果，兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两款软件信息识别准确度得分的折线统计图(图1)； b．甲、乙两款软件信息处理速度得分的条形统计图(图2)； c．甲、乙两款软件信息处理速度得分的平均数、中位数、众数及信息识别准确度得分的平均数、方差； 信息处理速度 信息识别准确度 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7 m 乙 n 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）m的值为 ，n的值为 ； （2）若软件信息识别准确度得分的方差越小，则认为该软件识别度越高、更方便．据此推断：甲、乙两款软件中，在使用时识别度更高、更方便的软件是 (填“甲”或“乙”)； （3）小组重新随机抽取了5名使用者，调查结果用表示(如下表)，对两个产品进行性能对比．准确度和处理速度的得分中，方差越小，则性能越好；根据使用需求，使用者对准确度的要求比处理速度要高，在计算两个产品的平均得分时，准确度占比，处理速度占比，得分越高，性能越好，综合两个产品得分的方差和平均数，性能更好的是 ． 准确度 处理速度 A B C D E A B C D E 甲 5 5 6 3 8 6 8 7 9 8 乙 4 7 5 2 5 7 6 7 8 9 21. 春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种优惠． 活动一：所购商品均按原价八折出售； 活动二：所购商品按原价每满200元减50元． （1）若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付______元，选择活动二时需付______元． （2）若设某商品原价为x元，当时，请分别写出选择这两种活动的实付金额y（元）与原价x（元）之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱． 22. 某校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为师生的午餐，这两种食品每包的营养成分表如下： （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选取，两种食品各多少包？ （2）若每份午餐选取这两种食品共5包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选取这两种食品？ 23. 【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 24. 如图，平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点，点的横坐标为， ， ． （1）求、两点的坐标； （2）点在射线上运动，点的横坐标为，的面积为．请用含的式子表示，直接写出的取值范围； （3）在（2）的条件下，当点在第一象限，且时，求此时点的坐标；点是平面上的任意一点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时点的坐标． 25. 学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． （1）函数中自变量的取值范围是___________； （2）如表是与的几组对应值． ．．． 0 1 2 3 4 5 6 ．．． ．．． 4 2 1 2 3 4 ．．． 直接写出表格中的值是___________； （3）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； （4）结合函数图象，解决问题： ①方程有___________个解； ②当时，的取值范围是___________； （5）进一步研究：若点是函数图象上的任意两点，若对于，都有，则的取值范围是___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南燕山中学八年级月考数学试题 一、单选题 1. 明明在教室里坐在第4列第3行，他的位置用数对表示．笑笑坐在明明的正后方，她的位置是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数对和位置的表示．根据题意可知用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此即可解答． 【详解】解：明明在教室里坐在第4列第3行，他的位置用数对表示， 笑笑坐在明明的正后方，她的位置用数对表示． 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点的符号特点，是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴点在第二象限； 故选B． 3. 直线上有三个点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由解析式可得y随x增大而增大，根据三个点的横坐标大小可判断函数值的大小关系． 【详解】解：∵， ∴y随x增大而增大， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 4. 如图是某班去年1~8月份全班同学每月的课外阅读数量折线计图，下列说法正确的是（ ） A. 每月阅读数量的众数是83 B. 每月阅读数量的中位数是58 C. 每月阅读数量的平均数是50 D. 每月阅读数量的极差是65 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数的定义，可判断A；根据中位数的定义，可判断B；根据平均数的计算方法，可判断C；根据极差的定义，可判断D． 【详解】解：A、出现次数最多的是58，故众数是58，本选项说法错误，不符合题意； B、将8个数据由小到大排列为：28，36，42，58，58，70，78，83，中位数是，故本选项说法正确，符合题意； C、该班学生去年1～8月份课外阅读数量的平均数是：，故本选项说法错误，不符合题意； D、，故每月阅读数量的极差是55，本选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了折线统计图、平均数、众数、中位数以及极差等知识，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 5. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，两直线的交点坐标就是两函数解析式组成方程组的解． 先将代入求出的值，再根据题意作答即可． 【详解】将代入得，即 ∵直线与直线交于点， ∴关于的方程组的解为， 即关于的方程组的解为， 故选：B 6. 明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，制作笔管的短竹数+制作笔套的短竹数=83000,3x个笔管，5y个笔筒，且1个笔管与1个笔套正好配套即笔管数等于笔筒数，列出方程组即可． 【详解】∵根据题意，制作笔管的短竹数+制作笔套的短竹数=83000,3x个笔管，5y个笔筒，且1个笔管与1个笔套正好配套即笔管数等于笔筒数， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确审题，列出符合题意的方程组是解题的关键． 7. 如图为某地区2025年2月和3月的空气质量指数()箱线图．值越小，空气质量越好；值在201~300之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（ ） A. 该地区2025年3月有重度污染天气 B. 该地区2025年3月的值比2月集中 C. 该地区2025年3月的值中位数大于2月值的中位数 D. 整体看，该地区2月的空气质量好于3月 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了箱线图的理解与应用，熟练掌握箱线图的特征以及值与空气质量的关系是解题的关键， 通过观察箱线图的特征，结合的定义，对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：选项，从箱线图中可见月有值在之间， ∵值在之间说明重度污染， ∴该地区年月有重度污染天气，故选项正确． 选项，观察箱线图，月的箱形更窄，数据更集中，月的箱形更宽，数据更分散， ∴该地区年月的值不如月集中，故选项错误． 选项，从箱线图中可看出月值的中位数对应的位置高于月， ∴该地区年月的值中位数大于月值的中位数，故选项正确． 选项，∵值越小，空气质量越好，月的值整体小于月， ∴整体看，该地区月的空气质量好于月，故选项正确． 故选：． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，分和两种情况，讨论出直线经过的象限，再作出选择即可． 【详解】解：当时，的图象过一、二、三象限；的图象过二、四象限； 当时，的图象过二、三、四象限；的图象过一、三象限； 可见，符合条件的只有B． 故选：B． 9. 如图， 在平面直角坐标系中， 点点P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿路径循环运动，则第2025 秒时点 P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，数形结合是正确解答此题的关键．根据点的坐标得到，，则四边形的周长为，再求出点P运动2025秒所走的路程为4050个单位长度，,则点P相当于运动了253圈后又运动2个单位长度，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴四边形的周长为， ∵点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环运动， ∴点P运动2025秒所走的路程为个单位长度，， ∴点P相当于运动253圈后又运动2个单位长度， 即第2025秒点所在的位置是， 故选：A． 10. 定义：是平面内某一点，是图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为点与图形的“点图距”．如图，在等边中，点的坐标为，点、在轴上．记动点与等边的“点图距”为，则随变化的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，一次函数动点问题等知识，解题的关键是正确分类讨论． 根据等边三角形的性质和勾股定理求出，，然后根据题意分4种情况讨论，然后分别求解即可． 【详解】解：∵点，点、在轴上 ∴当时，点与等边的“点图距”为的长度， ∴； 当时， ∵是等边三角形，，点的坐标为， ∴， ∴， ∴ ∴， 如图所示，过点P作于点D 当时， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴此时动点与等边的“点图距” ∴当时， ∴动点与等边的“点图距”为的长度， ∴； 当时， ∴动点与等边的“点图距”为的长度， ∴ ∴； 当时，动点与等边的“点图距”为的长度 ∴ 综上所述，． 故选：B． 二、填空题 11. 已知点在y轴上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．根据y轴上的点横坐标为0可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：点在y轴上， ， 解得：， 故答案为：． 12. 已知方程组，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，代数式求值，能选择适当的方法求出结果是解题关键．将方程组的两个方程相加，求出，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：， 由得：， 解得：， ， 故答案为：． 13. 如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 14. 如图，直线分别与轴交于两点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论： ①；②点的坐标为；③直线的解析式为；④点的坐标为．正确的有_________． 【答案】① 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质以及折叠前后的线段、角的关系是解题的关键．先求出A、B两点坐标，利用勾股定理判断①；通过折叠的性质，结合勾股定理求出点C坐标判断②；用待定系数法求直线解析式判断③；根据线段比例或坐标特征判断④． 【详解】解：直线，令，得， ∴ ； 令，得， ∴ ． ∵ ，，， ∴ ，故①正确． 由折叠可知，，，． ∵ ， ∴ ． 设，则． 在中，，即， 解得， ∴ ，故②错误． 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得， ∴ 直线的解析式为（不是），故③错误． 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得， ∴ 直线的解析式为． 设，由，得； 又， 联立解得或（舍去）， ， ∴ ，故④错误． 故答案为：①． 15. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“型函数”．例如：图1就是一次函数关于直线的“型函数”图象．如图2，点，以为斜边在轴上方作等腰，当函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，则的取值范围为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质，解题关键是运用数形结合的思想解题．分两种情况求解，结合图象求解即可． 【详解】解：令，则， ， ∴函数与轴的交点是， ∵等腰中，点， ， ， ∴直线的解析式为， 解方程， ， ∵函数与轴的交点为， ∴当时，函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点， ∵直线与的边已经有两个交点， ∴函数关于直线的“型函数”图象与的边不能再有交点，即在点的左侧， ∴与点关于对称， ∴时，函数关于直线的“型函数”图象经过点， ∴函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，的取值范围为或． 故答案为：或． 三、解答题 16. 解方程组 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的消元思想是解题的关键． （1）把①②得：，将的值代入②即可求出的值； （2）把①②得：，将的值代入①即可求出的值． 【小问1详解】 解：， 把①②得：， 解得：， 把代入②，得， 解得， 原方程组的解为； 【小问2详解】 解： ， 把①②得，， 解得：， 把代入①，得， ， 原方程组的解为． 17. 已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解及其解法，由方程组的解的含义可得，可得，再解方程组，再进一步解答即可. 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，， ∴ 解， 得，， 解得：， 将代入②，得， 将代入，得， 解得. 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）作出关于x轴对称的； （2）求的面积； （3）在轴上求作一点，使的值最小，并求出最小值（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2）的面积为5 （3）如图所示，即为所求的点，的最小值为5 【解析】 【分析】本题考查作图－轴对称变换、轴对称—最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）连接，与x轴的交点即为所求的点，所以的最小值即为的长，用勾股定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：的最小值即为的长， 由勾股定理得， 所以的最小值为5． 19. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）求的面积； （3）点C的坐标为，当时，直接写出m的值． 【答案】（1），； （2）4 （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． （1）分别令x、y为0，代入解析式求出对应的y、x值即可得到点A、B坐标； （2）根据三角形面积公式代入数据计算即可； （3）先求出长，再解得m值即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，；当时，， ∴，； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：由勾股定理得， ∵点C的坐标为，当时， ∴或． 20. 自从兼具“低成本”与“高性能”核心属性的开源大模型横空出世之后，全球掀起部署或本地接入这一重磅生成式应用的巨浪．我们在选择软件时，可以根据具体需求如语言、场景、功能复杂度等进行权衡．为了解甲、乙两款软件的使用效果，兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两款软件信息识别准确度得分的折线统计图(图1)； b．甲、乙两款软件信息处理速度得分的条形统计图(图2)； c．甲、乙两款软件信息处理速度得分的平均数、中位数、众数及信息识别准确度得分的平均数、方差； 信息处理速度 信息识别准确度 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7 m 乙 n 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）m的值为 ，n的值为 ； （2）若软件信息识别准确度得分的方差越小，则认为该软件识别度越高、更方便．据此推断：甲、乙两款软件中，在使用时识别度更高、更方便的软件是 (填“甲”或“乙”)； （3）小组重新随机抽取了5名使用者，调查结果用表示(如下表)，对两个产品进行性能对比．准确度和处理速度的得分中，方差越小，则性能越好；根据使用需求，使用者对准确度的要求比处理速度要高，在计算两个产品的平均得分时，准确度占比，处理速度占比，得分越高，性能越好，综合两个产品得分的方差和平均数，性能更好的是 ． 准确度 处理速度 A B C D E A B C D E 甲 5 5 6 3 8 6 8 7 9 8 乙 4 7 5 2 5 7 6 7 8 9 【答案】（1）9，7.5 （2）甲 （3）甲 【解析】 【分析】本题考查统计图，求中位数，众数，方差和加权平均数，熟练掌握各种数据的计算方法，是解题的关键： （1）根据中位数和众数的确定方法进行求解即可； （2）根据折线图判断方差的大小，即可得出结果； （3）利用加权平均数的计算方法进行求解即可． 【小问1详解】 解：由条形图可知，甲款软件信息处理速度得分出现次数最多的是9， 故； 乙款软件信息处理速度得分的数据排序后，第10个和第11个数据分别为和， 故； 故答案为：9，； 【小问2详解】 解：由折线图可知，甲款软件信息识别准确度得分的波动小，乙款软件信息识别准确度得分的波动较大， ∴， ∴甲、乙两款软件中，在使用时识别度更高、更方便的软件是甲； 【小问3详解】 解：甲的准确度的平均数为， 方差为； 甲的处理速度的平均数为分， 方差为； 故甲的综合得分为； 乙的准确度的平均数为， 方差为； 乙的处理速度的平均数为分， 方差为； 故乙的综合得分为； 综上，甲的加权平均数大于乙的加权平均数，甲和乙的方差相同，故性能更好的是甲． 21. 春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种优惠． 活动一：所购商品均按原价八折出售； 活动二：所购商品按原价每满200元减50元． （1）若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付______元，选择活动二时需付______元． （2）若设某商品原价为x元，当时，请分别写出选择这两种活动的实付金额y（元）与原价x（元）之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱． 【答案】（1）256，270 （2）活动一：；活动二： 当时，选择活动一更省钱；当时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可；当时，选择活动二更省钱． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据活动一的八折规则和活动二每满200减50的规则，分别计算购买原价320元商品的实付金额． （2）先分别写出两种活动实付金额与原价x的函数表达式，再通过比较两个函数的大小，分情况讨论哪种活动更省钱． 【小问1详解】 若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付（元）， ， 则选择活动二时需付（元）， 故答案为：256，270； 【小问2详解】 当时，活动一的实付金额与原价之间的函数表达式为， 活动二的实付金额与原价之间的函数表达式为， 当时，得，解得500， 当时，得，解得500， 当时，得，解得500， ∴当时，选择活动一更省钱； 当时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可； 当时，选择活动二更省钱． 22. 某校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为师生的午餐，这两种食品每包的营养成分表如下： （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选取，两种食品各多少包？ （2）若每份午餐选取这两种食品共5包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选取这两种食品？ 【答案】（1）应选用A种食品3包，B种食品1包 （2）应选取A种食品3包，B种食品2包 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设选用A种食品m包，则选用B种食品包，根据要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设每份午餐的总热量为，利用每份午餐的总热量每包A种食品的热量选用A种食品的数量每包B种食品的热量选用B种食品的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意得：， 解得， 答：应选用A种食品3包，B种食品1包； 【小问2详解】 解：设选用A种食品m包，则选用B种食品包， 根据题意得：， 解得：． 设每份午餐的总热量为，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，此时． 答：应选取A种食品3包，B种食品2包． 23. 【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）6；（2）450元． 【解析】 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 24. 如图，平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点，点的横坐标为， ， ． （1）求、两点的坐标； （2）点在射线上运动，点的横坐标为，的面积为．请用含的式子表示，直接写出的取值范围； （3）在（2）的条件下，当点在第一象限，且时，求此时点的坐标；点是平面上的任意一点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时点的坐标． 【答案】（1），； （2） （3），点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，先求出，再用面积比即可得出，即可得出结论； （2）分两种情况，当时，当时，利用三角形的面积公式即可得出结论； （3）先求出，过点作，交于，过点作于，证明，即可得出，，即可得出的坐标，过点作于，同理可求出的坐标． 【小问1详解】 解：如图1，过点作轴于点， 点的横坐标为， ， 在中，，， ， ， ，，， ， ， ，； 【小问2详解】 当时，由（1）知，，， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， ， ， 当时， 如图3，； 综上所述，； 【小问3详解】 如图4，点在第一象限内， ， ， ， ， 过点作，交于， ， 过点作于， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 过点作于， 同理：， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，直角坐标系，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 25. 学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． （1）函数中自变量的取值范围是___________； （2）如表是与的几组对应值． ．．． 0 1 2 3 4 5 6 ．．． ．．． 4 2 1 2 3 4 ．．． 直接写出表格中的值是___________； （3）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； （4）结合函数图象，解决问题： ①方程有___________个解； ②当时，的取值范围是___________； （5）进一步研究：若点是函数图象上的任意两点，若对于，都有，则的取值范围是___________． 【答案】（1）一切实数 （2） （3） 函数的图象如图所示： （4）2； （5） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）根据二次根式有意义条件得，求解即可； （2）把代入中，求出值即为值； （3）用描点法作出函数图象即可； （4）①根据函数的图象与直线有两个交点，可得方程有2个解，； ②根据函数图象可得，当时，y的取值范围是； （5）由题意，结合（2）可得，分析函数的性质，得到在左侧，在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧，从而可求出的范围． 【小问1详解】 解：由二次根式有意义条件，得， 解得：为一切实数， ∴函数中自变量的取值范围是一切实数． 故答案为：一切实数； 【小问2详解】 解：把代入中得：， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图， ∵函数的图象与直线有两个交点， ∴方程有2个解， 故答案为：； 由图可得：当时，， 当时，， 当时，， ∴根据函数图象可得，当时，y的取值范围是． 故答案为：2；； 【小问5详解】 解：对于函数的图象的对称轴是直线，当时，随的增大而减小，而时，随的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小． ∵对于，都有， ∴，在左侧，在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧， ∴恒成立， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $