16.3乘法公式 自主学习同步练习题 2025-2026学年人教版 八年级数学上册

2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册《16.3乘法公式》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，那么加上的单项式为（   ） A． B． C． D． 3．已知，且，则的值是（ ） A．6 B．5 C． D．以上都不对 4．已知，则下列求值计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．已知，则的值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 7．如图，从图甲到图乙的变换过程中，能表示两个图形面积关系的等式是（    ） A． B． C． D． 8．如图：有，，三类卡片，分别是边长为的正方形，长为，宽为的长方形，边长为的正方形，现有4张卡片，6张卡片，9张卡片，取其中的若干张卡片拼成无缝隙不重叠的正方形或长方形，下列说法不正确的是（    ） A．可拼成边长为的正方形． B．可拼成长、宽分别为，的长方形． C．可拼成长、宽分别为，的长方形． D．可拼成面积为的正方形． 二、填空题（满分24分） 9．已知是一个完全平方式，则 ． 10．若，则代数式的值为 ． 11．一个长方形的长为，宽为，则长方形的面积为 ． 12．计算： ． 13．对于任何实数，，，，我们规定符号的意义是，按照这个规定请你计算：当时，的值为 ． 14．已知，则 ． 15．如图，大正方形与小正方形的面积之差是50，则阴影部分的面积是 ．    16．观察下列运算并填空： ； ； ； … 根据以上结果，猜想： ． 三、解答题（满分72分） 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5) 18．用简便方法计算： 19．先化简，再求值： (1)已知，其中． (2)已知，求代数式的值． 20．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到 ．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； 21．乘法公式的探究及应用． 探究问题：如图①是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图②． （1）图①中长方形纸条的面积可表示为__________（写成多项式乘法的形式）； （2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为__________（写成两数平方差的形式）； （3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：__________； 结论运用： （4）运用所得的公式计算：__________，__________； 拓展运用： （5）计算：． 22．我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： (1)算法赏析：若满足，求的值． 解：设，则 ……请继续完成计算； (2)算法体验：若满足，求的值； (3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为117，求长方形的面积． 23．阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）； ； ． 代数式的最小值为－2； （2） ； ； ； 代数式的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为______； （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由； 【拓展提高】 （3）薛城区某校打算把长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了平方差公式， 根据平方差公式的结构特征，需满足两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数，逐一分析选项，判断是否符合条件． 【详解】解： 因为两个括号均为，属于完全平方公式，不符合平方差公式的结构，所以A不符合题意； 因为将第一个括号变形为，原式可写为，其中，为相同项，与为相反项，符合平方差公式，结果为，所以B符合题意； 将第二个括号变形为，原式等价于，属于完全平方公式的负数，不符合平方差公式，所以C不符合题意； 因为两个括号中的项均不同且无互为相反数的关系，无法应用平方差公式，所以D不符合题意． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式的结构进行解答即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴加上的单项式可以是， 故选：D． 3．A 【分析】本题考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式还是解题的关键． 利用已知条件，结合平方差公式即可直接求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ 解得：； 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活地根据公式进行变形是解此题的关键． 逐项分析，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，，， 故A，B错误； 则， ∴， 即， 故D错误； ， 即 ， 故C正确． 故选C． 5．A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、平方差公式的应用等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 利用作差法和平方差求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 6．B 【分析】本题主要考查代数式的变形与化简，完全平方差公式，掌握代数式的化简是解题的关键．通过换元简化方程，利用配方法得到完全平方差公式从而解出的值，进而求出的值，再代入求值即可． 【详解】解：设，原方程变为， 化简得， ， 即或， 或， 或 当时，， 当时，； 故选：B． 7．D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式的推导方法是解答本题的关键． 用代数式分别表示图甲和图乙的面积，再根据两个图的面积相等的关系可得结论． 【详解】解：图甲的面积可以看作一个长方形， ∴面积为， 图乙可以看作两个正方形的面积差， 即， 两个图的面积相等， ， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，完全平方公式与几何图形的面积，分别求出各选项中的面积，进行判断即可． 【详解】解：A、，需要1张A卡片，6张B卡片，9张C卡片，正确，不符合题意； B、，需要2张A卡片，7张B卡片，3张C卡片，只有6张B卡片，故原说法错误，符合题意； C、，需要1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片，正确，不符合题意； D、，需要4张A卡片，4张B卡片，1张C卡片，正确，不符合题意； 故选：B． 9．15或 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的结构特征求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴，解得或． 故答案为：15或． 10．49 【分析】先计算的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将的值代入化简计算，然后再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ = = = = =49． 故答案为：49． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式分解因式后整体代入是解题的关键． 11． 【分析】本题考查平方差公式的应用，先根据面积公式列式，再根据直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 长方形的面积为：， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果，能熟练理解和灵活运用完全平方公式是解题的关键． 【详解】原式， ， ， ． 故答案为： 13．1 【分析】本题考查了实数的运算，代数式求值，理解定义的新运算是解题的关键．根据题意可得，然后根据定义新运算可得，从而进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：1． 14．3 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． ，据此即可求解．熟记公式形式是解题关键． 【详解】解： ∵， ∴，，， ∴ 故答案为：． 15．25 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，得到，，再根据阴影部分的面积等于进行求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由题意和图可知：，，， ∴阴影部分的面积 ； 故答案为：25． 【点睛】本题考查利用平方差公式求图形的面积．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 16． 【分析】根据题目给出式子得规律，右边x的指数正好比前边x的最高指数大1． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 17．（1）解：； （2）解： ； （3） ； （4） ． (5)解：原式 ． 18．解： ． 19．(1)解：原式 ， ， ， 原式． (2)解： 因为，所以． 将代入 原式 20．(1) (2) 【分析】本题考查的是多项式乘多项式的几何意义，掌握正方形面积公式和长方形面积公式是解决此题的关键． （1）直接根据正方形的面积公式求得正方形的面积，然后再根据大正方形的面积各个小正方形的面积之和各个长方形的面积之和，即可得出结论； （2）将（1）中等式变形，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】（1）解：图2的面积可表示为或， 图2中所表示的数学等式为 ； （2）∵，， ∴， ∵ ∴ ∴. 21．（1） （2） （3） （4）； （5） 【分析】（1）用代数式表示长方形的长、宽，再根据面积公式表示出长方形的面积即可； （2）图2中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，表示两个正方形的面积差即可；（3）由两个图形的阴影部分的面积相等得出答案； （4）利用平方差公式进行计算即可； （5）)利用平方差公式，把每一项展开并计算，约分就可以得到结果. 本题考查了平方差公式的几何背景，解答本题的关键是利用阴影部分面积相等得到平方差公式的表达式，注意灵活运用平方差公式． 【详解】解：（1）图①中长方形纸条的面积可表示为， 故答案为：； （2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为， 故答案为：； （3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：， 故答案为：； （4） ， ， 故答案为：，； （5） ． 22．(1)12 (2)200 (3)54 【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提． （1）根据完全平方公式可得可求得此题结果； （2）设，，则，，再利用完全平方公式求解即可； （3）正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为，可得，设，，则，，利用可求出答案． 【详解】（1）解：设，则， ； （2）解：设，，则，， ∴ ； （3）解：正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为， 则有， 设，，则，， 所以长方形的面积为： ， 答：长方形的面积为54． 23．（1）；（2），理由见解析；（3）当长方形的长和宽均为时，长方形生物园的最大面积为 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，偶次方，完全平方公式的几何背景等，熟练掌握并灵活运用完全平方公式及不等式是解题的关键． （1）根据，得到，即可解答； （2）运用求差法，求出即可解答； （3）设 ，长方形的面积为S，从而，即当时，S有最大值16，即可解答． 进而可以判断得解． 【详解】解：（1）， ∵， ． 代数式的最小值为． 故答案为：． （2），理由如下： ∵；， ∴ ， ∵， ． ． （3）设 ，长方形的面积为S， ∴， ， ∵， ∴， ∴当时，S有最大值16， 即，时，． 答：当长方形的长和宽均为时，长方形生物园的最大面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $