16.3.2完全平方公式 自主学习同步练习题 2025-2026学年人教版 八年级数学上册

2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册《16.3.2完全平方公式》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列计算正确的是（       ） A． B． C． D． 2．下列哪一组m、n的值可以使等式成立．（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知实数a，b满足，，则的值是（   ） A．49 B．37 C．36 D．7 4．若a为任意整数，则的值总能（   ） A．被25整除 B．被20整除 C．被16整除 D．被9整除 5．如图，已知图1、图2均为正方形拼图，其中所有直角三角形的形状及大小都相同，两个拼图中阴影部分的面积分别记为，则的值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 6．如图，坪山中心广场拟开发一块新花坛，花坛如阴影部分所示．点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，已知，图中阴影部分面积为6．则（    ） A．20 B．35 C．40 D．50 7．如图有两张正方形纸片A和B，图（1）将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3，图（2）将正方形A和B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为10，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图（3），（图（2），图（3）中正方形A和B纸片均无重叠部分），则图（3）阴影部分面积（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 二、填空题 8．若是一个完全平方式，那么m的值是 ． 9．若，．则 ． 10．已知，，则的值为 ． 11．已知，，则的值为 ． 12．已知为三边的长，若，则的形状为 ． 13．有若干张面积分别为、、的正方形和长方形纸片，小明从中抽取了1张面积为的正方形纸片，4张面积为的长方形纸片．若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片 张． 14．如图是某校要绿化的平面图，它是以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出了这个“中”字图案，经测量得知，它的四个正方形的周长之和为米，其面积之和为平方米．若将长方形这部分辅种上草皮，若草皮的市场价为每平方米元，则该学校需要购买草皮的费用为 元． 三、解答题 15．利用完全平方公式计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 16．运用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)． 17．先化简，再求值：，其中，． (2)，其中， 18．问题提出 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你 能求代数式的最大值吗？ 初步思考 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： ， 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0． 所以当时，的值最大，最大值是4． 所以的最大值是4． 根据上面的经验，求代数式的最大值． 推广运用 某商品现在每件盈利10元，每天可卖出20件．市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖1件．当每件商品涨价多少元时，每天的利润最大？（注：总利润每件利润销量） 19．综合与实践． 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式，之间的等量关系为 ； (2)运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值； (3)如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且 ，求图中阴影部分的面积． 20．题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． 因为，所以． 因为，所以， 所以． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则___________． （2）若满足，求的值． 【拓展应用】 （3）如图，在三角形中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在三角形外部作正方形和正方形，连接．若，的面积为12，直接写出正方形和正方形的面积和．正方形和正方形的面积和为___________． 参考答案 1．解∶A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、正确； D、，故选项错误； 故选C． 2．B 【分析】本题考查的是完全平方公式，将等式两边展开后比较对应项的系数，利用完全平方公式确定m和n的值即可． 【详解】解：将右边展开： = ， 等式左边为，右边为， 比较对应项系数： ，即； ，解得或， 当时，，对应选项B，此时左边为，右边为，等式成立， 当时，，但选项中无此组合， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了完全平方公式． 利用完全平方公式展开并代入已知条件即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 4．B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式计算化简出结果，由此即可得． 【详解】解：原式 ， 由此可知，若为任意整数，则的值总能被20整除， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，设直角三角形的另一条直角边长为a，利用割补法分别表示出和，进行求解即可． 【详解】解：设直角三角形的另一条直角边长为a， 则， ， ∴． 则的值为． 故选：． 6．C 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得，，，根据代入计算即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得，，，即， 所以 ． 故选：C． 7．B 【分析】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键．由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，进而即可求解． 【详解】解：设A卡片的边长为a，B卡片的边长为b，则A卡片的面积为，B卡片的面积为， 图1中阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图2阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图3阴影部分的面积可以表示为 ， 故选：B． 8．7或 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，进行求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴或； 故答案为：7或． 9． 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解，代数式的求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．先将两式相加，再利用完全平方公式的知识即可求解． 【详解】解：将，两式相加， 可得：， 即：， 解得：， 故答案为：． 10．30 【分析】本题考查了完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，先根据，，整理得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 故答案为：30． 11．15 【分析】本题考查完全平方公式的应用及非负数的性质，解题关键是将已知条件变形为完全平方和为0的形式，利用非负数性质求出a、b、c的值． 先由用表示，代入并整理，通过完全平方公式变形得到 ；依据非负数性质，得且，求出、，进而算出；最后将、、代入计算出结果． 【详解】解：∵， ∴， 代入，得． ， ． ． 且， 解得，． 把代入，得 ． ∴． 故答案为：15． 12．等边三角形 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，对原式进行整理，得出，得到，因此三角形是等边三角形． 【详解】解：因为， 即， 即， 得：， 所以， 所以， 所以的形状为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 13．4 【分析】题目主要考查完全平方公式与图形面积的关系，理解题意，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 设抽取k张的纸片，直接根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵正方形和长方形的面积为、、ab，已经抽取了1张的纸片，4张的纸片， ∴设抽取k张的纸片， ∴， ∴． ∴还需面积为的正方形纸片4张． 故答案为：4． 14．解：设米，米， 由题意得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴购买草皮的费用为元， 故答案为：． 15．（1）解：原式， ， ， ． （2）解：原式， ， ， ． （3）解：原式． （4）解：原式． 16．（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 17．（1）解： ， 当，时． 原式 ． （2）解：原式 ， 当，时，原式 ． 18．解： 因为， 所以， ∴当时，的值最大，最大值为14， 设每件商品涨价x元，则涨价后每天获得的总利润为： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为225， 即当每件商品涨价5元时，每天的利润最大值为225元． 19．(1) (2)36 (3)10 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． （1）先用代数式表示图形中各个部分的面积，然后根据各个部分面积之间的关系即可解答； （2）由求出的值； （3）用代数式表示阴影部分的面积，再根据 ，然后代入相关数据计算即可． 【详解】（1）解：图2中，整体是边长为的正方形,面积为，阴影部分的正方形的边长为，因此面积为，四个长为a，宽为b的长方形的面积为， 因此有． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴； （3）解：阴影部分的面积为： ∵， ∴ ． ∴阴影部分的面积为10． 20．（1）43；（2）；（3）52 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握换元法以及完全平方公式的变形，是解题的关键： （1）设，，得到，，利用完全平方公式变形计算即可； （2）设，，利用完全平方公式变形计算即可； （3）易得，，，设，，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：设，，则，， ， ； （2）设，，则 ， ， ， ， ， 解得：， ； （3），，， ，， ， ， 设，， 则，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $