16.3.1平方差公式 自主学习同步练习题 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册《16.3.1平方差公式》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．若，则多项式M为（    ） A． B． C． D． 2．下列不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 3．若，则的值是（    ） A． B．7 C． D．5 4．计算的结果是（　　） A．1 B．0 C． D． 5．为了美化校园，学校把一个边长为的正方形跳远沙池的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造成长方形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会（　　） A．变小 B．变大 C．没有变化 D．无法确定 6．计算：（   ） A． B． C． D． 7．从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．若且，则 ． 9．已知，，，则 ． 10．若x，y满足，，则的值为 ． 11．对于任何实数，，，，我们规定符号的意义是，按照这个规定请你计算：当时，的值为 ． 12．若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，）．在这个数中，所有“神秘数”的个数是 ． 13．将边长分别为，的小正方形和大正方形按如图所示摆放.若，则图中阴影部分的总面积为 . 14．观察下列各式： ； ； ； …… 根据以上规律计算： 的值是 ． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．计算： (1)； (2)． 17．先化简，再求值：，其中，． 18．如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形． (1)设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含a、b的代数式表示和； (2)请通过比较（1）中的和，写出一个含有的等式； (3)请根据（2）的结论计算：． 19．观察下列等式，并回答问题 ， ， ， ， …… (1)将2028写成两整数平方差的形式： ________________ (2)用含有字母（的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． 20．如图1，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． （1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_____； （2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为_____； （3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式_____； 【问题解决】 （4）利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为_____； ②计算：． 参考答案 1．A 【分析】本题考查了平方差公式以及因式分解．将等式右边因式分解，比较即可求解． 【详解】解：∵，而， ∴， 故选：A． 2．B 【分析】本题考查平方差公式：，解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；公式中的和可以是单项式，也可以是多项式．据此依次对各选项逐一分析即可作出判断． 【详解】解：A．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B．，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意； C．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； D．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查整式的运算以及平方差公式．根据多项式乘多项式法则，可得，从而求出a，b的值，进而代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了利用平方差公式进行简便计算，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 先将原式化为，再由平方差公式计算即可． 【详解】解： 故选：A． 5．A 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示变化前后的面积是正确解答的前提． 用代数式表示变化前后的面积，比较得出答案． 【详解】解：由题意得正方形跳远沙池的面积为，长方形跳远沙池的面积为， 因为， 所以沙池的面积会变小． 故选：A． 6．B 【分析】本题考查平方差公式的应用，根据题中所给式子的结构特征，添加，从左到右逐步运用平方差公式化简即可得到答案，熟记平方差公式是解决问题的关键. 【详解】解： ， 故选：B. 7．A 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：∵大正方形的面积-小正方形的面积，矩形的面积， ∴． 故选：A． 8． 【分析】本题考查了平方差公式的应用能力，解题的关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算，运用平方差公式进行计算、求解． 【详解】解：， ， 故答案为：2． 9．10 【分析】本题考查平方差公式，掌握，是正确解答的关键．根据平方差公式得出，再由，，可求出，进而求出． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵，，， ∴， 即， 故答案为：10． 10． 【分析】根据题意，计算，后整体代入解答即可． 本题考查了已知式子的值，求代数式的值，熟练掌握整体思想应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2026． 11．1 【分析】本题考查了实数的运算，代数式求值，理解定义的新运算是解题的关键．根据题意可得，然后根据定义新运算可得，从而进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：1． 12． 【分析】本题考查平方差的公式及不等式的应用，解题的关键是掌握平方差的公式的运用，找到“神秘数”的规律．根据题意，得“神秘数”的规律为：(为为非负整数)，进而列不等式求解即可 【详解】解：∵“神秘数”能表示为两个连续偶数的平方差， ∴“神秘数”满足：(为非负整数)的规律， ， ∴， ∴， ∴， ∴在这个数中，“神秘数”的个数是 故答案为：． 13． 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，解题的关键是线段的和差问题，再利用面积公式计算． 利用图形可得到两个阴影部分面积的高，求出面积的表达式，用面积公式计算即可. 【详解】解：∵边长分别为，的小正方形和大正方形如图放置， ∴大三角形的高为： ，小三角形的高为： ∴图中阴影部分的总面积为： ∵ ∴ 图中阴影部分的总面积 故答案为：10 . 14． 【分析】本题考查了整式的规律，解题的关键是理解题意，得出规律． 根据代数式的规律可得，结合题意得出，进行化简即可得出答案． 【详解】解：观察代数式可得， 把代入得， ∴． ∴ 故答案为：． 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查平方差公式，掌握是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算； （2）根据平方差公式进行计算； （3）根据平方差公式进行计算； （4）根据平方差公式进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式，多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据平方差公式和多项式乘以多项式运算法则计算，然后合并即可． 【详解】（1） ； （2） ． 17．， 【分析】本题考查了整式的化简求值．利用平方差公式进行计算后合并同类项，再代入数据求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 18．(1)， (2) (3)298 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，熟练掌握平方差公式，是解题的关键． （1）用分割法以及梯形的面积公式分别表示出和即可； （2）根据，列出等式即可； （3）利用（2）中的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：； ； （2）由（1）可知： （3）由（2）可知： ． 19．(1)507；； (2)；验证见解析 【分析】本题主要考查了找规律，用代数式表示，整式的运算，解题的关键是整理题目给出的规律． （1）利用题意得到，根据进行整理，即可解题； （2）根据题中等式进行归纳即可表示出该规律，再利用整式的运算法则即可验证． 【详解】（1）解：由题中等式可知，（为正整数）， ， ． （2）解：由题中等式可知，这一规律为：， 右边 ． 即左边右边， 这一规律成立． 20．（1）；（2）；（3）；（4）①；② 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． （1）根据图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差即可得解； （2）由拼图可得，图2是长为，宽为的长方形，表示出面积即可； （3）由（1）（2）即可得解； （4）①根据（3）中的公式计算即可得解；②根据（3）中的公式计算即可得解． 【详解】解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即； （2）由拼图可得，图2是长为，宽为的长方形，因此面积为； （3）由（1）（2）可得：； （4）①∵， ∴， ∵， ∴； ② ． 学科网（北京）股份有限公司 $