精品解析：安徽省宣城市第六中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025－2026学年第一学期九年级期中质量检测 数学试题 一、单选题 1. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形 2. 下列是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某花架及其侧面示意图，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数y＝x2－1的图象可由下列哪个函数图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到（　　） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数的图象上有两点，，则m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 如图，线段的长度为1，线段的长度为x，线段上的点C满足关系式，线段上的点D满足关系式，线段上的点E满足关系式，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 9. 如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则四边形的面积是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，如图，直线与抛物线的图象都经过轴上的点，抛物线与轴交于、两点，其对称轴为直线，且．直线与轴交于点（点在点的右侧）．则下列命题中正确的个数是（　　） ①；②；③；④． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 11. 二次函数的顶点坐标为________． 12. 因式分解：______． 13. 如图，点A，B分别在函数，的图象上，点D，C在x轴上．若四边形为正方形．则点A的坐标是______． 14. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，连接．已知抛物线． （1）当抛物线同时经过A，B点时，h的值为______． （2）若抛物线与线段有公共点，则h的取值范围是______． 三、解答题 15. 计算：． 16. 解不等式组． 17. 在平面直角坐标系中的位置如图． （1）作出与关于轴对称的； （2）将平移若干个单位长度，作出平移后的，使点在其内部（不在三角形边上），并指出平移后各点坐标． 18. 如图，在正方形中，为对角线上一点，，垂足为，，垂足为．求证：． 19. 掷实心球是亳州市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．一男生在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据亳州市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，则此项考试得分为满分20分．按此评分标准，该生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 20. 【观察思考】 【规律发现】 （1）第5个图案中“★”的个数是__________． （2）第5个图案中“◎”的个数是__________；第2023个图案中“◎”的个数是__________． 【猜想说理】 （3）有人猜想：当是正整数时，第个图案与第个图案中“★”的个数之差为．你同意他的说法吗？请写出理由． 21. 如图，在中，为的中点，点在上，过点分别作交于点，交于点． （1）若，求的值． （2）求证：． 22. 如图，直线y1=-x+4与双曲线y=（k≠0）交于A、B两点，点A的坐标为（1，m），经过点A的直线y2=x+b与x轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式以及点C的坐标； （2）点P是x轴上一动点，连接AP，若△ACP是△AOB的面积的一半，求此时点P的坐标． 23. 如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，，判断的形状； （3）若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期九年级期中质量检测 数学试题 一、单选题 1. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】解：A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意； B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意； D、两个等腰梯形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义，一一判断即可． 【详解】解：A．本选项是关于的三次函数，故本选项不符合题意； B．本选项是关于的反比例函数，故本选项不符合题意； C．当时，本选项是关于的二次函数，故本选项不符合题意； D．本选项是关于的二次函数，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 如图是某花架及其侧面示意图，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握定理，根据定理列出比例式； 根据，列出，求出的长即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 二次函数y＝x2－1的图象可由下列哪个函数图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律先把函数y＝x2－1反方向平移找出原函数进行解答即可． 【详解】解：先把二次函数y＝x2－1的图象函数图象向左平移2个单位，向上平移2个单位得出y＝（x+2）2－1+2，整理得y＝（x+2）2+1， ∴二次函数y＝x2－1的图象可由二次函数的图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．用平移规律“左加右减，上加下减”，要注意正用与逆用平移求函数解析式的方法． 5. 已知反比例函数的图象上有两点，，则m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确在反比例函数中，当时，在每个象限内y随x的增大而减小． 根据在反比例函数中，当时，在每个象限内y随ェ的增大而减小，由反比例函数的图象上有两点，，可以判断出m、n的大小关系，从而本题得以解决． 【详解】解：反比例函数，， 反比例函数中，在每个象限内y随x的增大而减小， 反比例函数的图象上有两点，， 故选：B 6. 如图，线段的长度为1，线段的长度为x，线段上的点C满足关系式，线段上的点D满足关系式，线段上的点E满足关系式，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割比的定义，属于基础题，计算过程中细心即可． 由题意得出C为线段的黄金分割点，D为线段的黄金分割点，E为线段的黄金分割点，再由黄金分割比的比值为即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：(负值舍去)， 即C为线段的黄金分割点，且； 同理：由知，D为线段的黄金分割点， ∴， 由知，E为线段的黄金分割点， ∴， 故选：D． 7. 已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，再根据对称轴计算较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为， 由表可知，当时，；当时，， 方程的一个较小根满足。 根关于对称轴对称，设较大根为，则 ， 。 当时，； 当时，； ， 故选：C． 8. 若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】解含参的分式方程，然后结合已知条件及分式有意义的条件列得不等式并计算即可．本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，结合已知条件解含参分式方程求得是解题的关键． 【详解】解： 两边同时乘上，去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵原分式方程的解为负数， ∴， 解得： 故选：D． 9. 如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则四边形的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． 连接，作于首先证明≌，再证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：连接，作于， ，都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ≌， ，， ∵ ， ， 是等边三角形， ∴， ∵ ， 四边形是平行四边形， ． 故选：B 10. 如图，如图，直线与抛物线的图象都经过轴上的点，抛物线与轴交于、两点，其对称轴为直线，且．直线与轴交于点（点在点的右侧）．则下列命题中正确的个数是（　　） ①；②；③；④． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，解决本题的关键是利用图象判断系数的符号以及一次函数的性质．根据抛物线的性质逐项判断即可．由抛物线的开口判断的符号；由对称轴判断及与的关系；还可由图象上点的坐标判断． 【详解】解：抛物线开口向上， ． 抛物线对称轴是直线， 且． 抛物线与轴交于正半轴， ． ∴ ①错误； 故②是正确； 直线经过一、二、四象限， ． 当时，则， ， 点的坐标为． 直线当时，， 可得． ③正确； 直线与抛物线的图象有两个交点 ， 得，， 由图象知， ， ， ∴④正确． 综上，正确的命题有3个． 故选：D． 二、填空题 11. 二次函数的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式解析式直接得到答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为（3，-1）， 故答案为：（3，-1）． 【点睛】此题考查了二次函数的顶点式的特点，熟记函数解析式的各种形式的构成特点是解题的关键． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；先提取公因式，再对二次三项式使用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ； 故答案为． 13. 如图，点A，B分别在函数，的图象上，点D，C在x轴上．若四边形为正方形．则点A的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】设点A的纵坐标为n，则点B的纵坐标为n，根据点A，B分别在函数，的图象上得，，根据四边形为正方形得，解得，得点A的纵坐标为5，将代入，进行计算即可得． 【详解】解：设点A的纵坐标为n，则点B的纵坐标为n， ∵点A，B分别在函数，的图象上， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴ ， ，（舍）， ∴点A的纵坐标为5， 将代入得，， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 14. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，连接．已知抛物线． （1）当抛物线同时经过A，B点时，h的值为______． （2）若抛物线与线段有公共点，则h的取值范围是______． 【答案】 ①. h ②. h 【解析】 【分析】（1）把A，B点代入即可求出h的值； （2）由函数的解析式可知对称轴为x＝h，当h时，点（，2）在函数图像上，当h时，点（，2）在函数图像上，则可求h的范围． 【详解】解：（1）∵点（，2）在函数图像上 ∴2（h）2， 解得h或h， ∵点（，2）在函数图像上， 2（h）2， 解得h或h， ∵同时经过A，B点 ∴h 故答案为：h （2）∵函数y（x﹣h）2， ∴对称轴为x＝h， 当h时，点（，2）在函数图像上， 则有2（h）2， 解得h或h（舍）， 当h时，点（，2）在函数图像上， 则有则有2（h）2， 解得h（舍）或h， ∴h时函数与线段AB有交点， 故答案为h． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质；熟练掌握二次函数的图像及性质，数形结合解题是关键． 三、解答题 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 16. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，掌握确定不等式组解集的方法是解题的关键． 先求得各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为x． 17. 在平面直角坐标系中的位置如图． （1）作出与关于轴对称的； （2）将平移若干个单位长度，作出平移后的，使点在其内部（不在三角形边上），并指出平移后各点坐标． 【答案】（1） 画图如下： （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据横坐标不变，纵坐标变为相反数，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据平移规律，结合题意计算解答即可． 本题考查了对称作图，坐标平移，熟练掌握对称作图，平移规律是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得，，， 故，，， 则即为所求． 【小问2详解】 解：将坐标向右平移3个单位，再向上平移两个单位， 画图如图所示， 则即为所求， 18. 如图，在正方形中，为对角线上一点，，垂足为，，垂足为．求证：． 【答案】 证明：如图所示，延长交交于，延长交于点， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形为矩形，则，， ∵根据题意可得， ， ∴同理可得，四边形 也为矩形，即，， ∴， 又∵是正方形的对角线，即平分， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】延长交交于，延长交于点，易证，可求得，可证得结论.. 【详解】略 【点睛】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，构造三角形全等找到角之间的关系是解题的关键． 19. 掷实心球是亳州市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．一男生在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据亳州市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，则此项考试得分为满分20分．按此评分标准，该生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：该男生在此项考试中得不到满分． 理由如下： 令，即， 解得（负值舍去）． 该男生在此项考试中得不到满分． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据题意设二次函数的表达式为顶点式，代入起始点的坐标即可求解； （2）令，求出落地点坐标即可与进行比较，从而作出判断． 【小问1详解】 解：由题可知抛物线的顶点为， 故可设关于的函数表达式为， 把起始点代入表达式，得，解得 ； 【小问2详解】 略 20. 【观察思考】 【规律发现】 （1）第5个图案中“★”的个数是__________． （2）第5个图案中“◎”的个数是__________；第2023个图案中“◎”的个数是__________． 【猜想说理】 （3）有人猜想：当是正整数时，第个图案与第个图案中“★”的个数之差为．你同意他的说法吗？请写出理由． 【答案】（1）15 （2）15，6069 （3）同意，理由： 结合（1）中规律，可知第个图案中“★”的个数为， 则第个图案中“★”的个数为， 又∵， ∴当是正整数时，第个图案与第个图案中“★”的个数之差为． 【解析】 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解； （3）根据题意，列式求解即可． 【详解】解：（1）第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为， ……， 第个图案中“★”的个数可表示为， ∴第5个图案中“★”的个数是． 故答案为：15； （2）第1个图案中有3个◎， 第2个图案中有6个◎， 第3个图案中有9个◎， 第4个图案中有12个◎， ……， 第个图案中有个◎， ∴第5个图案中“◎”的个数是15；第2023个图案中“◎”的个数是6069． 故答案为：15，6069； （3）略 【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，找到图形变化规律是解题的关键． 21. 如图，在中，为的中点，点在上，过点分别作交于点，交于点． （1）若，求的值． （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图，延长至点，使，连接，，则四边形是平行四边形， ，． ，， ，， ，， ． 【解析】 【分析】过点D作交AB于E，由点D为中点与,根据平行线分线段成比例定理，即可求得的值； 延长AD至点Q，使,连接BQ,CQ,易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得,,继而可得. 【详解】解：（1）如图，过点作交于点， ． ， ， ． ，， ， ． 为的中点， ， ， ． （2）略 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的判定与性质. 22. 如图，直线y1=-x+4与双曲线y=（k≠0）交于A、B两点，点A的坐标为（1，m），经过点A的直线y2=x+b与x轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式以及点C的坐标； （2）点P是x轴上一动点，连接AP，若△ACP是△AOB的面积的一半，求此时点P的坐标． 【答案】（1）y=，C（-2，0）；（2）P点为（-，0）或（-，0）． 【解析】 【分析】（1）把A（1，m）代入y1=-x+4中，求出m的值，即可求出点A的坐标，从而求出反比例函数的解析式和直线AC的解析式，联立反比例和BC直线解析式，即可求出点C的坐标； （2）连接OA、OB，分别作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，求出△AOB的面积，设P（x，0），根据△ACP是△AOB的面积的一半，列出方程求出x，即可求出P点坐标. 【详解】（1）把A（1，m）代入y1=-x+4得，m=-1+4=3， ∴A（1，3）， ∵点A在双曲线y=（k≠0）上， ∴k=1×3=3， ∴反比例函数的表达式为y=， ∵直线y2=x+b经过点A， ∴b=2， ∴直线y2=x+2， 令y2=0，求得x=-2， ∴C（-2，0）； （2）连接OA、OB，分别作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N， 由题意得， 解得或， ∴A（1，3），B（3，1）， ∴AM=3，BN=1，MN=2， ∴S△AOB=S△AOM+S梯形AMNB-S△BON=S梯形AMNB==4， 设P（x，0）， ∴CP=|x+2|， ∴S△ACP==S△AOB， ∴|x+2|=，则x=±-2， ∴x=-或- ∴P点为（-，0）或（-，0）． 【点睛】本题是对反比例和一次函数的综合考查，熟练掌握反比例及一次函数解析式知识是解决本题的关键. 23. 如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，，判断的形状； （3）若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）直角三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的表达式为，再把点C的坐标代入，即可求解； （2）先求出点B的坐标，可得到，，的长，然后勾股定理逆定理解答即可； （3）求出直线的表达式，设，作轴交于点，则，可得到，进而可用m表示出面积，再结合二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为． 又， 点的坐标为， 代入表达式，得， 解得， 抛物线的表达式为，即； 【小问2详解】 解：令，则， 解得， 点的坐标为， ， ， 是直角三角形； 【小问3详解】 解：设直线的表达式为， 将点，点的坐标代入，得： ， 解得， 直线的表达式为； 设， 如图，作轴交于点，则， ， ， 当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的面积综合，一次函数的解析式，二次函数的解析式，勾股逆定理，两点间的距离公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $