3.1.1椭圆及其标准方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕椭圆的定义、标准方程及应用展开，从自然界椭圆实例（如竹子斜截面、行星轨道）和生活应用（胶片放映机聚光灯）导入，通过动手操作画椭圆抽象出定义，再推导标准方程并结合例题应用，形成“现实背景→曲线概念→曲线方程→性质→应用”的知识脉络，以坐标法和数形结合为学习支架。 其亮点在于通过自然现象观察和动手实验培养数学眼光，推导方程时的逻辑推理与例题中相关点法、定义法应用发展数学思维，用标准方程表示轨迹体现数学语言。采用“五步法”“待定系数法”等教学方法，课堂小结归纳思想与方法，助力学生深化理解，教师可提升教学效率。

3.1.1 椭圆及其标准方程 用坐标法研究曲线的基本思路: 现实背景 曲线概念 曲线方程 曲线性质 曲线应用 明确研究思路 常用的数学思想: 数形结合 观看视频,请说说你看到的椭圆 自然界中的椭圆 竹子的斜截面,脐橙,西瓜,鸡蛋,晶状体 篮球的光影, 倾斜的水面, 行星公转的 轨道…… 椭圆是自然界中常见的图形 3 椭圆在生产、生活、科技中的应用 4 5 椭圆的光学性质 6 7 椭圆的发展历程 8 动手操作 请按照以下要求完成实验 (1)将绳子的两端分别固定在图板上的两点(要求:绳子的长度大于两点间的距离) (2)套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出轨迹。 问题1:观察笔尖画出的轨迹是什么曲线? M F1 F2 动手操作 问题2:回顾操作过程,思考 (1)在画椭圆的过程中,绳子的 长度变了吗?说明了什么? (2)在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离 大小有怎样的关系? |MF1|+|MF2|=常数(绳长). |MF1|+|MF2|>|F1F2| 平面内到定点的距离等于定长的点(M)的集合叫做圆, 其中定点(O)叫做圆心, 定长(|MO|)叫做半径. M F1 F2 类比 椭圆的定义 |MF1|+|MF2|=常数(|MF1|+|MF2|>|F1F2|) 这两个定点叫做椭圆的焦点(focus), 两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距(focus distance), 焦距的一半称为半焦距. 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆(ellipse). M F1 F2 (ii)当常数 < |F1F2|时, 点M的轨迹不存在. 点M的轨迹是线段F1F2; F1 F2 M (i)当常数 = |F1F2|时, 12 1. 焦点在x轴上的椭圆的标准方程 以经过椭圆两焦点F1, F2的直线为x轴, 线段F1F2的垂直平分线为y轴, 建立平面直角坐标系Oxy, 如图所示. 观察椭圆的形状, 你认为怎样建立坐标系使所得的椭圆方程形式简单? 根据椭圆的定义, 设点M与焦点F1, F2的距离的和等于2a. 则 |MF1|+|MF2|=2a 设M(x, y)是椭圆上任意一点, 椭圆的焦距为2c, 那么焦点F1, F2的坐标分别是(-c, 0), (c, 0). x y O M(x, y) F1 F2 2.动点满足的几何条件 (-c, 0) (c, 0) 1.建系设点 3.列方程 椭圆的标准方程 13 整理, 得 a4-2a2cx+c2x2 = a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2. 对方程②两边平方, 得 整理, 得 (a2-c2)x2 + a2y2 = a2(a2-c2). ④ ③式两边再平方,得 ∵2a>2c>0, 即a>c>0, ∴ a2-c2 >0. 将方程④两边同除以a2(a2-c2), 得 ⑤ 4.化简方程 14 由求解过程可知椭圆上任意一点的坐标(x, y)都满足方程⑥; 反之, 以方程⑥的解为坐标的点(x, y)与椭圆的两个焦点间 的距离之和为2a, 即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上. |OF1|=|OF2|=c, 称方程⑥是椭圆的方程, 这个方程叫做椭圆的标准方程. 它两个焦点分别是F1(-c, 0), F2(c, 0) 观察下图,你能从中找出表示a, c, 的线段吗? x y O P F1 F2 a c ⑥ a b c (a>b>0) 由图可知, |PF1|=|PF2|=a, 5.检验 x2对应大分母a2. 五步法 且a2=b2+c2 15 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1(0, -c), F2(0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么? 焦点在x轴上的椭圆的标准方程 + =1. (a>b>0) 焦点是F1(-c, 0), F2(c, 0). x y O M F1 F2 x y O M F1 F2 2. 焦点在y轴上的椭圆的标准方程 16 焦点在x轴上的椭圆的标准方程 + =1. (a>b>0) 焦点是F1(-c, 0), F2(c, 0). x y O M F1 F2 2. 焦点在y轴上的椭圆的标准方程 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1(0, -c), F2(0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么? 17 焦点在x轴上的椭圆的标准方程 + =1. (a>b>0) 焦点是F1(-c, 0), F2(c, 0). x y O M F1 F2 将x轴与y轴互换. 这是焦点在y轴上的椭圆的标准方程. y2对应大分母a2. 焦点是F1(0, -c), F2(0, c). (a>b>0) 2. 焦点在y轴上的椭圆的标准方程 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1(0, -c), F2(0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么? 18 定义 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) 标准方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0) 图形 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点坐标 F1(-c, 0), F2(c, 0) F1(0, -c), F2(0, c) 焦距 |F1F2|=2c a, b, c的关系 a2 = b2 + c2 哪个分母大,焦点就在哪条坐标轴上! 19 解:由于椭圆的焦点在x轴上, 所以设它的标准方程为 例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是F1(-2, 0), F2(2, 0), 并且经过点(, -), 求它的标准方程. 由椭圆的定义得 从而 b2=a2-c2 =10-4=6. 因此, 所求椭圆的标准方程为 例题精讲 (a>b>0) 又c = 2, 定义法 20 由已知c = 2, 得 a2-b2=4. ① 另解:由题意,椭圆的焦点在x轴上, 设它的标准方程为 你还能用其他方法求它的标准方程吗? 联立① ②解方程组, 得 a2 = 10, b2 = 6. 所以, 所求椭圆的标准方程为 (a>b>0) ② 待定 系数法 21 所以 x2+4y2=4, 解:设点M的坐标为(x, y), 例2 如图, 在圆x2+y2=4上任取一点P, 过点P作x轴的垂线段PD, D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么? 因为点P在圆x2+y2=4上, x y M P D O (x, y) 所以点M的轨迹是椭圆. 相关点代入法 5.检验下结论 2.表示出相关点的坐标 1.建系设点 3.代入 4.化简 即 由例2我们发现, 圆通过 “压缩”可得到椭圆, 你能描述一下图像变换的过程吗? 22 O x y 你能由圆通过 “拉伸”得到椭圆吗?如何 “拉伸”? O x y 纵向 压缩 圆x2+y2=4 x2+(2y)2=4 横坐标保持不变 纵坐标变为原来的2倍 纵向 拉伸 横坐标保持不变 纵坐标变为原来的 圆x2+y2=4 23 所以点M的轨迹是除去 (-5, 0), (5, 0)两点的椭圆. 化简, 得点M的轨迹方程为 例3 如图,设A, B两点的坐标分别是(-5, 0),(5, 0),直线AM, BM相交于点M, 且它们的斜率之积是-,求点M的轨迹方程. M O x y 解:设点M的坐标为(x, y), 得到椭圆的方法有 定义,圆的伸缩, 到两定点斜率乘积为定值 你还有别 的方法得 到椭圆吗? 5.检验 2.动点满足的几何条件 1.建系设点 3.列方程 4.化简 1. 如果椭圆 + =1上一点P与焦点F1的距离等于6, 那么点P与另一焦点F2的距离是_. 解:(1)由已知得椭圆的标准方程为 + y2=1; 24 (2)由已知得b2=a2-c2=16-15=1, (3)∵ a+b=10, c=2, 解得a=6, b=4. ∴ a-b =2, c2=a2-b2=(a+b)(a-b), 椭圆标准方程为 +x2=1; 由 14 2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) a=4, b=1, 焦点在x轴上; (2) a=4, c=, 焦点在y轴上; (3) a+b=10, c=2 . a-b =2. a+b=10, 所以当椭圆的焦点在x轴上时, 椭圆的标准方程为 + =1; 当焦点在y轴上时, 椭圆的标准方程为 + =1; 课堂练习 一个概念 四种方法 两种思想 两个方程 数形结合,类比归纳 五步法,相关点法 定义法,待定系数法 现实背景 曲线概念 曲线方程 曲线性质 曲线应用 |MF1|+|MF2|=2a(2a>2c) 课堂小结 书面作业:教材109页练习1,2,3,4。(必做) 探究作业:1. 能否表示椭圆?(选做) 2.你还有别的方法得到椭圆吗?(选做) 6课后作业 数学对观察自然做出重要贡献,它解释了规律结构中简单的原始元素,而天体就是用这些原始元素建立起来的。 开普勒 谢谢! $