专题06 平面向量和复数（学考真题汇编，全国通用）高中数学

专题06 平面向量和复数 4类高频考点概览 考点一 平面向量的基本定理及坐标表示 考点二 平面向量的线性运算 考点三 平面向量的数量积 考点四 复数 考点一 集合的概念 1．（2025·北京·合格考）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题利用向量平行的坐标性质列出等式即可求解． 【详解】根据，， 若，则， 即，即． 故选：D． 2．（2024·云南·合格考）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的加减运算的坐标表示可得结果. 【详解】易知. 故选：D 3．（2025·辽宁·合格考）已知向量与向量不共线，且向量与向量共线，，则（   ） A．5 B．15 C．40 D．60 【答案】B 【分析】根据向量共线列方程，化简求得的值. 【详解】由于与共线，向量与向量不共线， 所以，所以. 故选：B. 4．（2025·北京·合格考）下列向量中，与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由共线向量的坐标关系逐个判断即可. 【详解】对A：因为，故与共线； 对B：因为，故与不共线； 对C：因为，故与不共线； 对D：因为，故与不共线. 故选：A 5．（2025·陕西·合格考）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量平行的充要条件即可列方程求解. 【详解】已知平面向量，，若，则，解得. 故选：C. 6．（2025·四川·合格考）已知向量，且，则（   ） A．2 B．4 C．7 D．9 【答案】D 【分析】由向量线性关系的坐标运算求参数值. 【详解】由，即，可得. 故选：D 7．（2024·湖北·合格考）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用向量的坐标运算计算即可. 【详解】因为向量，所以. 故选：D. 8．（2023·湖北·合格考）如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且，则实数（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先将分别用表示，再结合题意即可得解. 【详解】， ， 所以， 又因为， 所以. 故选：B. 9．（2023·安徽·合格考）如图，在平行四边形中，点是的中点，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】, 故选：D 10．（2023·湖南·合格考）在中，D为BC的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量的线性运算求解， 【详解】由题意得， 故， 故选：B 11．（2024·湖南·合格考）已知向量，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量共线得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：B. 12．（2024·福建·合格考）如图，在中，，分别是，的中点，若，则向量可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，分别是，的中点， 所以，， 所以. 故选：D 13．（2023·云南·合格考）已知向量，若，则（    ） A．-8 B．8 C．-10 D．10 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量，， 则，解得. 故选：D. 14．（2023·北京·合格考）已知向量，．若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为向量，且，则. 故选：C. 15．（2023·北京·合格考）向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】运用坐标计算向量的模. 【详解】由图形可知：  ； 故选：B. 16．（2023·广东·合格考）已知向量，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量加法的坐标运算计算． 【详解】由题意， 故选：B． 17．（2023·江苏·合格考）已知向量，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】D 【分析】求出的坐标表示，根据向量垂直的坐标表示，可列方程，即可求得答案. 【详解】由已知向量， 可得， 由可得， 即，解得， 故选：D 18．（2023·湖北·合格考）设向量，．若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 故选：A 19．（2025·陕西·合格考）（多选）在平行四边形中，对角线，相交于点，则（    ） A． B．与共线的单位向量为 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形 【答案】ACD 【分析】对于A，由向量加法的平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分即可判断；对于B，与共线的单位向量可能同向，可能反向，从而可判断；对于C，两边平方之后化简，再结合矩形的特征即可判断；对于D，根据数量积的运算展开，再结合菱形的特征即可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，与共线的单位向量为和，故B错误； 对于C，因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以平行四边形为矩形，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以， 所以， 所以平行四边形为菱形，故D正确. 故选：ACD. 20．（2024·湖北·合格考）（多选）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据向量的坐标可判断A；计算向量的模判断B；根据向量垂直以及平行的坐标表示可判断CD. 【详解】由于，则，A错误； 由于，B正确， 因为，故，C正确； 因为，故不平行，D错误； 故选：BC 21．（2022·福建·合格考）（多选）下列各组向量中，可以用来表示向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据各向量组是否能表示出向量即可. 【详解】A：为零向量，基底不能含零向量，故不能表示，错； B：，故可以表示，对； C：，故可以表示，对； D：因为，故可以表示,对； 故选：BCD. 22．（2024·广西·合格考）已知向量，则向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据向量坐标的线性运算即可. 【详解】. 故答案为：. 23．（2023·安徽·合格考）已知向量．若，则 ． 【答案】2 【分析】根据向量的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：2. 24．（2023·云南·合格考），则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解作答. 【详解】因为，则， 所以的坐标为. 故答案为： 25．（2023·辽宁·合格考）向量． (1)若，求k的值． (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行向量的坐标表示计算可得； （2）先根据向量垂直得出参数，再根据模的坐标运算即得. 【详解】（1）因为所以，则． （2）因为，，所以，． ，． 26．（2025·辽宁·合格考）已知． (1)求点的坐标和； (2)求． 【答案】(1)， (2)17 【分析】（1）根据平面相等向量的坐标表示求出D的坐标，结合平面向量的几何意义求出模； （2）由（1）求出，结合平面向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】（1）由题意，∴， 又，∴， 得，解得，即． 又，∴， ∴． （2）由（1）知，， ∴． 考点二 集合间的基本关系 1．（2023·北京·合格考）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相等向量的定义即可得答案. 【详解】解：因为相等向量是指长度相等且方向相同的向量,O为正六边形ABCDEF的中心， 所以与模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正确； 与只是模相等的向量，故B错误； 与只是模相等的向量，故C错误； 与只是模相等的向量，故D错误. 故选：A. 2．（2024·广西·合格考）如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行向量的定义判断即可. 【详解】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量. 由图可知，与方向相反，因此是平行向量. 故选：C. 3．（2024·安徽·合格考）如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以， 即得. 故选：B. 4．（2024·云南·合格考）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的三角形法则可得结果. 【详解】根据向量加法的三角形法则,得到. 故选：C. 5．（2025·黑龙江·合格考）如图所示，在中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量加法法则求解即可. 【详解】由平面向量加法法则得，故B正确. 故选：B 6．（2022·河北·合格考）在中，设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图结合向量加减法可得答案. 【详解】由图，，又，. 则. 故选：D 7．（2024·湖北·合格考）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算化简求解即可. 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 8．（2024·江苏·合格考）在中，为边的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图及向量加减法可得答案. 【详解】由图可得，. 故选：A 9．（2025·湖南·合格考）在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的数乘及减法运算求解. 【详解】如图，    则， 故选：D 10．（2023·辽宁·合格考）如图所示，平行四边形的两条对角线相交于点．，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量加法的平行四边形法则可求得结果. 【详解】因为行四边形的两条对角线相交于点，，， 则为的中点，且， 又因为，则，故. 故选：B. 11．（2022·河北·合格考）在中，设，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定条件结合平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为，， 所以，故D正确. 故选：D. 12．（2024·北京·合格考）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形法则即可求解. 【详解】 . 故选：B 13．（2023·湖北·合格考）如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且，则实数（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先将分别用表示，再结合题意即可得解. 【详解】， ， 所以， 又因为， 所以. 故选：B. 14．（2023·辽宁·合格考）在中，点为边的中点，若，则实数的值为 . 【答案】2 【分析】由向量平行四边形运算法则求出即可. 【详解】因为，， 所以，所以，即. 故答案为：2 考点三 集合的基本运算 1．（2025·黑龙江·合格考）已知向量，向量，则（    ） A．20 B．17 C．8 D．0 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标表示直接求解即可. 【详解】因为向量，向量， 所以， 故选：B 2．（2024·江苏·合格考）已知向量，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】由题，， 又，所以. 故选：C. 3．（2025·黑龙江·合格考）已知向量，则向量的模（长度）为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】由模长公式即可求解. 【详解】， 故选：D 4．（2025·北京·合格考）已知菱形的边长为2，，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义求解. 【详解】. 故选：B 5．（2025·湖南·合格考）已知向量，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标公式求解即可. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：D. 6．（2025·北京·合格考）已知向量满足，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量点积的概念，向量点积公式为，我们可以通过这个公式来求解夹角的余弦值. 【详解】已知， 由向量点积公式可得：， 将代入上式， 得到： . 故选：A. 7．（2024·安徽·合格考）已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的定义求解． 【详解】由已知，又， ∴， 故选：A． 8．（2024·云南·合格考）已知平面向量，，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】利用向量数量积的坐标运算公式求解即可. 【详解】. 故选：C. 9．（2024·云南·合格考）已知平面向量，平面向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示可得出关的等式，解之即可. 【详解】因为平面向量，平面向量，且， 则，解得. 故选：A. 10．（2022·河北·合格考）已知向量，则（    ） A．2 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示计算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：A. 11．（2022·河北·合格考）已知向量满足，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】首先根据数量积的运算律求出，再由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，所以， 即，则， 所以. 故选：D 12．（2023·湖北·合格考）已知，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：D 13．（2022·河北·合格考）已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标公式，求得结果. 【详解】由，可得，解得. 故选：A. 14．（2024·湖南·合格考）如图，是边长为2的等边三角形，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义进行运算即可. 【详解】因为是边长为2的等边三角形，所以， 所以. 故选：C 15．（2022·河北·合格考）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】将分别进行平方，借助的值联系起它们的关系，从而求解. 【详解】由题知，， 则， ， 则. 故选：A 16．（2024·福建·合格考）已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义求出，再由投影向量的定义计算可得. 【详解】因为向量与的夹角是，且，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 17．（2023·云南·合格考）已知与的夹角为，则（    ） A．-3 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由数量积公式求解即可. 【详解】. 故选：B 18．（2023·江苏·合格考）已知是边长为2的等边三角形，分别是边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的运算法则得到ABC错误，，D正确，得到答案. 【详解】对选项A：，错误； 对选项B：，错误； 对选项C：，错误； 对选项D：，正确. 故选：D 19．（2023·北京·合格考）向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】运用坐标计算向量的模. 【详解】由图形可知：  ； 故选：B. 20．（2023·江苏·合格考）已知向量，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】D 【分析】求出的坐标表示，根据向量垂直的坐标表示，可列方程，即可求得答案. 【详解】由已知向量， 可得， 由可得， 即，解得， 故选：D 21．（2025·陕西·合格考）（多选）在平行四边形中，对角线，相交于点，则（    ） A． B．与共线的单位向量为 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形 【答案】ACD 【分析】对于A，由向量加法的平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分即可判断；对于B，与共线的单位向量可能同向，可能反向，从而可判断；对于C，两边平方之后化简，再结合矩形的特征即可判断；对于D，根据数量积的运算展开，再结合菱形的特征即可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，与共线的单位向量为和，故B错误； 对于C，因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以平行四边形为矩形，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以， 所以， 所以平行四边形为菱形，故D正确. 故选：ACD. 22．（2024·湖北·合格考）（多选）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据向量的坐标可判断A；计算向量的模判断B；根据向量垂直以及平行的坐标表示可判断CD. 【详解】由于，则，A错误； 由于，B正确， 因为，故，C正确； 因为，故不平行，D错误； 故选：BC 23．（2025·北京·合格考）如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示， 给出下列三个结论： ①； ②的最大值为25； ③的最大值为． 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】本题可通过建立平面直角坐标系，结合蜂巢的图形并利用向量的坐标运算来逐一分析三个结论． 【详解】①因为正六边形边长为1，由图形可知，该六边形最长的对角线为2，到在竖直方向上间隔2个最长对角线以及1个正六边形边长对应的距离，最长对角线， 故，①正确． ②建立如图所示平面直角坐标系，由且AB在竖直方向， 可得，则，设，那么，则， 要使最大，需要最大，结合图形，的最大值可达到5（例如当处于图中M点时）， 此时，即的最大值为25，②正确． ③同样基于②建立的平面直角坐标系，虽然C、D两点异于A、B两点，但因为图中蜂巢的对称性， C、D两点距离最远的问题仍可以等价为蜂巢中任意两点间距离最远的问题， 为使得C、D两点相距最远，两点之间应靠近边界，根据对称性，可假设C点位于原点A， 此时根据对称性只需要考虑D点位于y轴左边即可，所以. 由图观察可见，离C点最远的顶点应是六边形的顶点， 而对于正六边形MNPQRS，其中，U为PR中点，，，， 在正六边形MNPQRS中，外边界四点P、N、M、S离C点相对较远， 对应坐标为，即，，即， ，即，，即， 可知，，所以外边界四点P、N、M、S中，只需要考虑M、N两点， 因、，故应取更大的，③正确． 故答案为：①②③． 24．（2025·四川·合格考）已知向量，且，则 ． 【答案】 【分析】应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，则，可得. 故答案为： 25．（2024·湖北·合格考）已知，且，则 . 【答案】 【分析】根据，结合条件求模长. 【详解】. 故答案为：. 26．（2024·安徽·合格考）已知，，若，则 . 【答案】1 【分析】根据向量垂直坐标表示列方程求即可. 【详解】因为，，， 所以， 所以 故答案为：. 27．（2024·北京·合格考）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； .    【答案】 2 【分析】向量的模长即向量起点至终点的距离，由图可知结果；向量的数量积等于向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影，由图可知结果. 【详解】由图可知， ，其中为在上的投影， 由图可知投影长度为1，且方向与相反， 故. 故答案为：2；. 28．（2023·湖北·合格考）已知两个单位向量与的夹角是，则 ． 【答案】/ 【分析】根据数量积的定义计算可得. 【详解】因为两个单位向量与的夹角是， 所以. 故答案为： 29．（2022·甘肃·合格考）已知向量，则实数 ． 【答案】 【分析】利用向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以，解得. 故答案为：. 30．（2023·广东·合格考）已知向量和的夹角为，，，则 . 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】由平面向量数量积的定义可得. 故答案为：. 31．（2022·福建·合格考），则向量的夹角为 【答案】 【分析】利用向量夹角的坐标公式求夹角余弦值，进而确定夹角大小. 【详解】由题设，而， 所以. 故答案为： 32．（2025·辽宁·合格考）已知． (1)求点的坐标和； (2)求． 【答案】(1)， (2)17 【分析】（1）根据平面相等向量的坐标表示求出D的坐标，结合平面向量的几何意义求出模； （2）由（1）求出，结合平面向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】（1）由题意，∴， 又，∴， 得，解得，即． 又，∴， ∴． （2）由（1）知，， ∴． 33．（2023·辽宁·合格考）向量． (1)若，求k的值． (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行向量的坐标表示计算可得； （2）先根据向量垂直得出参数，再根据模的坐标运算即得. 【详解】（1）因为所以，则． （2）因为，，所以，． ，． 34．（2023·辽宁·合格性）向量，如图所示，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）先根据题图求得，，再根据向量数量积的坐标公式，模长公式以及夹角公式即可求解； （2）结合（1）得到，，再根据数量积的坐标表示求解． 【详解】（1）由题图知，，， 所以，，， 所以． （2）结合（1）可得，， 所以． 35．（2024·广西·合格考）已知向量，，记． (1)若，，求x的值的集合； (2)已知，若函数在区间上单调递增，且函数的图象的一个对称中心为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用向量垂直的坐标表示和辅助角公式得，解出即可； （2）根据正弦函数的单调增区间通式得到，再根据其对称中心得到方程，解出即可. 【详解】（1）若，，则， 则，解得， 则x的值的集合为. （2）依题意知， 由，.解得，. 由于函数在区间内单调递增，故，即，. 当时，上式成立，即，结合得， 因为函数的图象的一个对称中心为， 则， 则，解得，， 结合，则. 考点四 充分条件与必要条件 1．（2024·江苏·合格考）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由复数几何意义可得答案. 【详解】在复平面对应的点为，该点在四象限. 故选：D 2．（2024·云南·合格考）已知i为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用复数的模的计算公式求解即可. 【详解】复数，则. 故选：C. 3．（2024·江苏·合格考）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棣莫弗公式化简求解. 【详解】由棣莫弗公式，. 故选：D. 4．（2025·北京·合格考）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何表示即可得. 【详解】因为复数对应的点的坐标是，所以. 故选：A. 5．（2024·安徽·合格考）已知为虚数单位，，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简方程可得，由此可求. 【详解】因为，即， 可得，所以. 故选：C. 6．（2025·四川·合格考）复数的模为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据复数模的定义计算． 【详解】 故选：C. 7．（2025·黑龙江·合格考）在复数集中，为虚数单位，则（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用复数的运算性质求解即可. 【详解】由复数运算性质得，故A正确. 故选：A 8．（2025·湖南·合格考）已知，则复数的实部为（  ） A．2 B．1 C．－1 D．－2 【答案】A 【分析】根据复数的乘方，乘法运算及实部的定义求解即可. 【详解】由题意得， 所以. 所以复数的实部为2. 故选：. 9．（2024·湖北·合格考）欧拉恒等式（其中为虚数单位，为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式的特例，即当时，，得.根据欧拉公式，表示的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】复数，进而得出所求复数. 【详解】由题意，复数. 故选：A 10．（2024·湖南·合格考）已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由纯虚数的概念即可得解. 【详解】由纯虚数的概念：实部为0，虚部不为0，对比选项可知，选项中复数为纯虚数的是. 故选：D. 11．（2024·福建·合格考）i为虚数单位，计算等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法法则运算即可. 【详解】. 故选：A. 12．（2024·云南·合格考）已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的减法法则计算即可. 【详解】由，， 则. 故选：A. 13．（2024·北京·合格考）在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】复数对应的点为即可求解. 【详解】因为，所以对应的点的坐标为， 故选：D 14．（2024·云南·合格考）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 15．（2023·安徽·合格考）已知是虚数单位，则等于（    ） A．13 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘法即可. 【详解】. 故选：A. 16．（2024·安徽·合格考）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解. 【详解】，对应的点，位于第二象限. 故选：B 17．（2023·湖南·合格考）已知i为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的四则运算求解， 【详解】由题意得， 故选：B 18．（2023·湖北·合格考）设，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：C 19．（2023·云南·合格考）若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】求出复数在复平面内对应的点的坐标，即可判断作答. 【详解】复数，则在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B 20．（2023·江苏·合格考）已知，则（    ） A．3 B．4 C． D．10 【答案】C 【分析】根据复数的模的计算公式，即可求得答案. 【详解】因为，所以. 故选：C. 21．（2022·甘肃·合格考）若复数（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数乘法运算化简即可. 【详解】由复数乘法运算得. 故选：D 22．已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的代数形式的几何意义得到对应点的坐标，进而判定. 【详解】复数对应的点的坐标为,为第四象限的点， 故选:D. 23．（2025·陕西·合格考）（多选）是虚数单位，是复数的共轭复数，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由模的计算公式判断A，由共轭复数的概念判断B，由复数乘法、减法判断CD. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB. 24．（2024·广西·合格考）设复数，（i是虚数单位），则 ． 【答案】 【分析】根据复数的加法运算求解. 【详解】. 故答案为：. 25．（2024·湖南·合格考）已知复数，，则 . 【答案】 【分析】直接由复数加法定义即可求解. 【详解】若复数，，则. 故答案为：. 26．（2022·福建·合格考）计算 （为虚数单位） 【答案】 【分析】根据虚数单位的幂指数运算可直接得到结果. 【详解】. 故答案为：. 27．（2023·北京·合格考）已知复数，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用复数的加法法则即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 28．（2023·广东·合格考）已知复数，要让z为实数，则实数m为 . 【答案】2 【分析】由复数的定义求解. 【详解】为实数，则，． 故答案为：2. 38 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面向量和复数 4类高频考点概览 考点一 平面向量的基本定理及坐标表示 考点二 平面向量的线性运算 考点三 平面向量的数量积 考点四 复数 考点一 平面向量的基本定理及坐标表示 1．（2025·北京·合格考）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．4 2．（2024·云南·合格考）若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·合格考）已知向量与向量不共线，且向量与向量共线，，则（   ） A．5 B．15 C．40 D．60 4．（2025·北京·合格考）下列向量中，与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西·合格考）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川·合格考）已知向量，且，则（   ） A．2 B．4 C．7 D．9 7．（2024·湖北·合格考）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·湖北·合格考）如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且，则实数（    ）    A． B．2 C． D．3 9．（2023·安徽·合格考）如图，在平行四边形中，点是的中点，设，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（2023·湖南·合格考）在中，D为BC的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·湖南·合格考）已知向量，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2024·福建·合格考）如图，在中，，分别是，的中点，若，则向量可表示为（    ） A． B． C． D． 13．（2023·云南·合格考）已知向量，若，则（    ） A．-8 B．8 C．-10 D．10 14．（2023·北京·合格考）已知向量，．若，则实数（    ） A． B． C． D． 15．（2023·北京·合格考）向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则（    ） A．2 B． C． D．3 16．（2023·广东·合格考）已知向量，则=（    ） A． B． C． D． 17．（2023·江苏·合格考）已知向量，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．或1 18．（2023·湖北·合格考）设向量，．若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 19．（2025·陕西·合格考）（多选）在平行四边形中，对角线，相交于点，则（    ） A． B．与共线的单位向量为 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形 20．（2024·湖北·合格考）（多选）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 21．（2022·福建·合格考）（多选）下列各组向量中，可以用来表示向量的是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·广西·合格考）已知向量，则向量的坐标为 ． 23．（2023·安徽·合格考）已知向量．若，则 ． 24．（2023·云南·合格考），则的坐标为 . 25．（2023·辽宁·合格考）向量． (1)若，求k的值． (2)若，求． 26．（2025·辽宁·合格考）已知． (1)求点的坐标和； (2)求． 考点二 平面向量的线性运算 1．（2023·北京·合格考）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广西·合格考）如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·合格考）如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·云南·合格考）（   ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江·合格考）如图所示，在中，（    ） A． B． C． D． 6．（2022·河北·合格考）在中，设，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖北·合格考）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏·合格考）在中，为边的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·湖南·合格考）在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 10．（2023·辽宁·合格考）如图所示，平行四边形的两条对角线相交于点．，，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（2022·河北·合格考）在中，设，，若，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·北京·合格考）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 13．（2023·湖北·合格考）如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且，则实数（    ）    A． B．2 C． D．3 14．（2023·辽宁·合格考）在中，点为边的中点，若，则实数的值为 . 考点三 平面向量的数量积 1．（2025·黑龙江·合格考）已知向量，向量，则（    ） A．20 B．17 C．8 D．0 2．（2024·江苏·合格考）已知向量，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·合格考）已知向量，则向量的模（长度）为（    ） A． B．0 C． D．1 4．（2025·北京·合格考）已知菱形的边长为2，，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 5．（2025·湖南·合格考）已知向量，若，则（  ） A． B． C． D． 6．（2025·北京·合格考）已知向量满足，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽·合格考）已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·云南·合格考）已知平面向量，，则（   ） A． B． C．1 D．5 9．（2024·云南·合格考）已知平面向量，平面向量.若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2022·河北·合格考）已知向量，则（    ） A．2 B． C．10 D． 11．（2022·河北·合格考）已知向量满足，则（    ） A． B． C．2 D． 12．（2023·湖北·合格考）已知，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 13．（2022·河北·合格考）已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B． C．4 D． 14．（2024·湖南·合格考）如图，是边长为2的等边三角形，则（    ） A．4 B． C．2 D． 15．（2022·河北·合格考）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 16．（2024·福建·合格考）已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 17．（2023·云南·合格考）已知与的夹角为，则（    ） A．-3 B．3 C． D． 18．（2023·江苏·合格考）已知是边长为2的等边三角形，分别是边的中点，则（    ） A． B． C． D． 19．（2023·北京·合格考）向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则（    ） A．2 B． C． D．3 20．（2023·江苏·合格考）已知向量，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．或1 21．（2025·陕西·合格考）（多选）在平行四边形中，对角线，相交于点，则（    ） A． B．与共线的单位向量为 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形 22．（2024·湖北·合格考）（多选）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 23．（2025·北京·合格考）如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示， 给出下列三个结论： ①； ②的最大值为25； ③的最大值为． 其中所有正确结论的序号是 . 24．（2025·四川·合格考）已知向量，且，则 ． 25．（2024·湖北·合格考）已知，且，则 . 26．（2024·安徽·合格考）已知，，若，则 . 27．（2024·北京·合格考）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； .    28．（2023·湖北·合格考）已知两个单位向量与的夹角是，则 ． 29．（2022·甘肃·合格考）已知向量，则实数 ． 30．（2023·广东·合格考）已知向量和的夹角为，，，则 . 31．（2022·福建·合格考），则向量的夹角为 32．（2025·辽宁·合格考）已知． (1)求点的坐标和； (2)求． 33．（2023·辽宁·合格考）向量． (1)若，求k的值． (2)若，求． 34．（2023·辽宁·合格性）向量，如图所示，求： (1)； (2)． 35．（2024·广西·合格考）已知向量，，记． (1)若，，求x的值的集合； (2)已知，若函数在区间上单调递增，且函数的图象的一个对称中心为，求的值． 考点四 复数 1．（2024·江苏·合格考）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·云南·合格考）已知i为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．（2024·江苏·合格考）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·合格考）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·合格考）已知为虚数单位，，则实数等于（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川·合格考）复数的模为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 7．（2025·黑龙江·合格考）在复数集中，为虚数单位，则（    ） A． B．0 C．2 D．3 8．（2025·湖南·合格考）已知，则复数的实部为（  ） A．2 B．1 C．－1 D．－2 9．（2024·湖北·合格考）欧拉恒等式（其中为虚数单位，为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式的特例，即当时，，得.根据欧拉公式，表示的复数是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·湖南·合格考）已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（    ） A． B．5 C． D． 11．（2024·福建·合格考）i为虚数单位，计算等于（    ） A． B． C． D． 12．（2024·云南·合格考）已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024·北京·合格考）在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·云南·合格考）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．（2023·安徽·合格考）已知是虚数单位，则等于（    ） A．13 B．5 C． D． 16．（2024·安徽·合格考）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．（2023·湖南·合格考）已知i为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 18．（2023·湖北·合格考）设，则（    ） A．1 B． C． D． 19．（2023·云南·合格考）若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．（2023·江苏·合格考）已知，则（    ） A．3 B．4 C． D．10 21．（2022·甘肃·合格考）若复数（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 22．已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 23．（2025·陕西·合格考）（多选）是虚数单位，是复数的共轭复数，若，，则（    ） A． B． C． D． 24．（2024·广西·合格考）设复数，（i是虚数单位），则 ． 25．（2024·湖南·合格考）已知复数，，则 . 26．（2022·福建·合格考）计算 （为虚数单位） 27．（2023·北京·合格考）已知复数，，则 ． 28．（2023·广东·合格考）已知复数，要让z为实数，则实数m为 . 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $