专题04 指数函数、对数函数和幂函数（学考真题汇编，全国通用）高中数学

专题04 指数函数、对数函数和幂函数 7类高频考点概览 考点一 指数幂的运算 考点二 指数函数及图像 考点三 指数函数的单调性 考点四 对数运算 考点五 对数函数及其图像 考点六 对数函数的单调性 考点七 幂函数 考点一 指数幂的运算 1．（2025·黑龙江·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·福建·合格考）若，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广西·合格考）（    ） A．0 B． C．1 D．2 4．（2023·云南·合格考）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·合格考）已知函数，，下列关于函数和的三个结论： ①的值域是； ②存在，使得，； ③任意x，，都有. 其中所有正确结论的编号是（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 6．（2024·湖北·合格考）已知，则 . 7．（2025·四川·合格考）已知函数，则 ． 8．（2023·辽宁·合格性）已知，则的最小值为 ． 考点二 指数函数及图像 1．（2022·福建·合格考）某池塘里浮萍的面积（单位：）为时间（单位：月）的指数函数，即，且有关数据如图所示．若经过年，浮萍恰好充满整个池塘，则下列说法正确的是（    ）    A．浮萍面积的月增长率均为 B．浮萍面积的月增加量都相等 C．第个月，浮萍面积为 D．第个月，浮萍面积占池塘面积的一半 2．（2022·河北·合格考）关于函数，实数满足，且，有以下四个结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·湖北·合格考）如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南·合格考）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·湖北·合格考）设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 6．（2022·河北·合格考）已知函数为偶函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 7．（2023·辽宁·合格考）若“，”是真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽·合格考）已知函数，，下列关于函数和的三个结论： ①的值域是； ②存在，使得，； ③任意x，，都有. 其中所有正确结论的编号是（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 9．（2023·湖北·合格考）下列函数中，定义域和值域都是的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·云南·合格考）函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 11．（21-22高二·福建·合格考）（多选）下列函数中，最小值为的函数为（    ） A． B． C． D． 12．（2023·湖南·合格考）已知函数（，且）的图象过点，则 . 考点三 指数函数的单调性 1．（2025·四川·合格考）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·辽宁·合格考）已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 3．（2022·河北·合格考）下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·河北·合格考）已知，则.（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏·合格考）设，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广西·合格考）下列数中最大的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·云南·合格考）若，，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2023·安徽·合格考）下列函数为减函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（2022·福建·合格考）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·福建·合格考）三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12．（2023·云南·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（2023·广东·合格考）下列函数中，在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·湖北·合格考）（多选）已知为欧拉常数，为圆周率，则（    ） A． B． C． D． 考点四 对数运算 1．（2024·云南·合格考）（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·合格考）（   ） A． B． C．2 D． 3．（2025·黑龙江·合格考）（    ） A．4 B．3 C．1 D．0 4．（2025·湖南·合格考）（    ） A． B． C． D．2 5．（2024·湖北·合格考）若函数满足“对定义域内任意实数，都有”，则可以是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·云南·合格考）（   ） A．5 B．2 C．1 D．0 7．（2024·广西·合格考）（    ） A．3 B．2 C．1 D． 8．（2022·河北·合格考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·云南·合格考）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2023·江苏·合格考）已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 11．（2023·广东·合格考）已知函数，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 12．（2022·福建·合格考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 13．（2023·北京·合格考）（    ） A．－100 B．100 C．－2 D．2 14．（2025·湖南·合格考）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则 ． 15．（2024·北京·合格考） ． 16．（2023·辽宁·合格考）计算： ． 17．（2025·辽宁·合格考）计算： ． 18．（2023·安徽·合格考） ． 考点五 对数函数及其图像 1．（2023·辽宁·合格考）已知函数与的图象关于对称，则的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·合格考）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·合格考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·云南·合格考）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．（2023·湖北·合格考）下列函数中，定义域和值域都是的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广西·合格考）对数函数的图象经过点（    ） A． B． C． D． 7．（2023·广东·合格考）下列函数可能是对数函数的是（    ） A． B．C． D． 8．（2023·辽宁·合格考）函数（，且）的图象一定过点（    ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽·合格考）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江苏·合格考）已知函数，若实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 11．（2024·湖北·合格考）如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·北京·合格考）将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024·福建·合格考）若，，则等于（    ） A． B． C． D． 14．（2025·北京·合格考）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 15．（2023·湖北·合格考）（多选）十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数满足，则称为“倒函数”．下列函数为“倒函数”的是（    ） A． B． C． D． 16．（2024·湖北·合格考）已知，则 . 17．（2023·辽宁·合格考）已知函数． (1)当时，求的值； (2)若函数的定义域为，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 18．（2024·湖南·合格考）已知函数，，且为偶函数． (1)若，求的值； (2)求实数的值； (3)若对任意的，存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 考点六 对数函数的单调性 1．（2025·四川·合格考）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2022·河北·合格考）下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·河北·合格考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·河北·合格考）已知，则.（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏·合格考）设，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·云南·合格考）若，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·四川·合格考）已知函数，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2023·安徽·合格考）下列函数为减函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（2022·福建·合格考）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·福建·合格考）三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12．（2023·江苏·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（2023·湖南·合格考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2023·云南·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 15．（2022·甘肃·合格考）下列函数中，既是奇函数且在区间上又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 16．（2024·湖北·合格考）已知函数，且. (1)当时，判断函数的单调性，并加以证明； (2)对给定的非零常数，是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17．（2025·陕西·合格考）已知函数，． (1)若，解不等式； (2)函数的图象过点． （i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 18．（2022·甘肃·合格考）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的图象过，求的单调区间． 19．（2023·湖南·合格考）已知函数，. (1)写出函数的单调区间； (2)求函数的最大值； (3)求证：方程有唯一实根，且. 20．（2023·辽宁·合格考）已知为定义在R上的奇函数，且当时，．求： (1)时，的解析式； (2)不等式的解集． 考点七 幂函数 1．（2023·辽宁·合格考）下列函数在上既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·合格考）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏·合格考）已知函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽·合格考）已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·黑龙江·合格考）如图所示，该图象对应的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·北京·合格考）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2024·湖南·合格考）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 8．（2023·江苏·合格考）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（    ） A．-2 B． C．2 D．3 9．（2023·湖南·合格考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2022·甘肃·合格考）下列函数中，既是奇函数且在区间上又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 11．（2023·湖北·合格考）下列函数中，定义域和值域都是的是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·湖北·合格考）（多选）已知为欧拉常数，为圆周率，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025·陕西·合格考）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（2025·四川·合格考）已知函数，则 ． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数、对数函数和幂函数 7类高频考点概览 考点一 指数幂的运算 考点二 指数函数及图像 考点三 指数函数的单调性 考点四 对数运算 考点五 对数函数及其图像 考点六 对数函数的单调性 考点七 幂函数 考点一 指数幂的运算 1．（2025·黑龙江·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂的运算性质可得答案. 【详解】. 故选：D 2．（2024·福建·合格考）若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，，所以. 故选：D 3．（2024·广西·合格考）（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据指数幂运算计算即可. 【详解】. 故选：D. 4．（2023·云南·合格考）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数的运算律可判断AB，由对数式的运算规则及换底公式可判断CD. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，故D错误． 故选：C. 5．（2024·安徽·合格考）已知函数，，下列关于函数和的三个结论： ①的值域是； ②存在，使得，； ③任意x，，都有. 其中所有正确结论的编号是（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【分析】根据基本不等式判断①，联立方程，再结合，判断②，根据指数运算，即可判断③. 【详解】①，当，即时等号成立，故①正确； ②联立，解得：，，显然这样矛盾，故②错误； ③， ， 所以，故③正确. 故选：C 6．（2024·湖北·合格考）已知，则 . 【答案】 【分析】根据指数与对数的运算法则计算． 【详解】由得，则， 所以， 故答案为：. 7．（2025·四川·合格考）已知函数，则 ． 【答案】2 【分析】由分数指数幂的运算公式计算即得. 【详解】因，则. 故答案为：2. 8．（2023·辽宁·合格性）已知，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】利用基本不等式即可求出答案. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当时，取等号． 故答案为：4. 考点二 指数函数及图像 1．（2022·福建·合格考）某池塘里浮萍的面积（单位：）为时间（单位：月）的指数函数，即，且有关数据如图所示．若经过年，浮萍恰好充满整个池塘，则下列说法正确的是（    ）    A．浮萍面积的月增长率均为 B．浮萍面积的月增加量都相等 C．第个月，浮萍面积为 D．第个月，浮萍面积占池塘面积的一半 【答案】A 【分析】根据图象所过点可求得函数解析式，可判断AB；代入可知C错误；对比池塘面积和第个月的浮萍面积可知D错误. 【详解】过点，，则； 对于A，每个月的月增长率为，A正确； 对于B，浮萍面积第个月的增加量为；第个月的增加量为，B错误； 对于C，当时，，即浮萍面积为，C错误； 对于D，池塘总面积为，第个月浮萍面积为， 第个月，浮萍面积不足池塘面积的一半，D错误. 故选：A. 2．（2022·河北·合格考）关于函数，实数满足，且，有以下四个结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先将函数写成分段函数，画出函数图象，数形结合即可判断①；结合及基本不等式判断②；再结合的范围确定、的范围，即可判断③④. 【详解】因为， 当时，则，当时，则， 所以的图象如下所示： 因为实数满足，且，即与有两个交点，由图可知，故①正确； 因为，所以，所以， 所以，所以，即， 所以，所以，所以，故②正确； 当时，则，即， 又，所以， 所以，即， 又，所以，所以，则， 又， 所以， 所以，即，故③错误； 当时，，故④正确； 综上所述，正确的结论有个. 故选：C 3．（2024·湖北·合格考）如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合指数函数和对数函数的图象，根据函数图象的对称变化逐一求解可得. 【详解】由图可知，与关于直线对称，所以的解析是为； 与关于轴对称，所以的解析是为； 与关于轴对称，所以的解析是为. 故选：B 4．（2024·湖南·合格考）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性及定点即可判断. 【详解】函数单调递增，且过点，B选项满足条件. 故选：B 5．（2023·湖北·合格考）设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据指数函数的单调性，确定，，，与的关系，再由时，函数值的大小判断. 【详解】因为当底数大于时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数大于且小于时，指数函数是定义域上的减函数， 所以，大于，，大于且小于， 由图知： ，即， ，即， 所以. 故选：B 6．（2022·河北·合格考）已知函数为偶函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质计算可得. 【详解】因为函数为偶函数，又函数的定义域为， 所以，即， 所以对任意的恒成立， 又，所以，解得. 故选：B 7．（2023·辽宁·合格考）若“，”是真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全称命题或特称命题的相关性真假求解参数 【详解】由题意，，恒成立， 因为，所以，所以． 故选：B． 8．（2024·安徽·合格考）已知函数，，下列关于函数和的三个结论： ①的值域是； ②存在，使得，； ③任意x，，都有. 其中所有正确结论的编号是（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【分析】根据基本不等式判断①，联立方程，再结合，判断②，根据指数运算，即可判断③. 【详解】①，当，即时等号成立，故①正确； ②联立，解得：，，显然这样矛盾，故②错误； ③， ， 所以，故③正确. 故选：C 9．（2023·湖北·合格考）下列函数中，定义域和值域都是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂指对及正切函数的定义域、值域判断各项是否符合要求即可. 【详解】幂函数的定义域和值域都是，A符合； 指数函数的值域为，B不符合； 对数函数的定义域为，C不符合； 正切函数的定义域为，D不符合； 故选：A 10．（2024·云南·合格考）函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性计算即可得出结果. 【详解】易知函数在区间上单调递减， 所以其最大值为. 故选：A 11．（21-22高二·福建·合格考）（多选）下列函数中，最小值为的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式和对勾函数单调性依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，（当且仅当，即时取等号）， 的最小值为，A正确； 对于B，，（当且仅当，即时取等号）， 的最小值为，B正确； 对于C，，，的最小值为，C正确； 对于D，当时，， 令，在上单调递减，当时，， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为，D错误. 故选：ABC. 12．（2023·湖南·合格考）已知函数（，且）的图象过点，则 . 【答案】2 【分析】根据指数函数经过的点即可求解. 【详解】将代入得， 故答案为：2 考点三 指数函数的单调性 1．（2025·四川·合格考）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性，结合函数单调性的判定方法，求得为单调递增函数，再由不等式转化为，进而求得实数的取值范围. 【详解】由函数，可得其定义域为， 设，且， 则， 由指数函数为单调递增函数，所以， 又因为，所以， 即，所以函数为单调递增函数， 又由，即，所以， 即，解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 2．（2023·辽宁·合格考）已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数分别列不等式组，再结合指数函数及幂函数的单调性运算求解. 【详解】因为函数， 则由不等式可得或， 所以或， 所以或. 即得. 故选：C. 3．（2022·河北·合格考）下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性即可． 【详解】对于A，函数在定义域内单调递增，函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上为减函数，A选项错误； 对于B，由反比例函数的性质可知，在区间上为增函数，B选项正确； 对于C，由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，C选项错误； 对于D，由指数函数性质可知，在区间上为减函数，D选项错误. 故选：B 4．（2022·河北·合格考）已知，则.（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性分别判断的取值范围即可求解. 【详解】，即； ，即； ，即， 所以. 故选：A 5．（2024·江苏·合格考）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数，对数函数单调性可得答案. 【详解】因函数均在上递增， 则，即. 故选：A 6．（2025·湖南·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数、指数函数单调性分析即可． 【详解】对数函数单调递增，故， 又因为指数函数单调递增，故． 所以. 故选：D． 7．（2024·广西·合格考）下列数中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性判断即可. 【详解】因为是单调增函数，所以. 故选：D. 8．（2024·云南·合格考）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以， 而，所以， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：B. 9．（2023·安徽·合格考）下列函数为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本函数的单调性即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，由于，所以不是减函数， 对于B，为上的单调递增函数， 对于C，为上的单调递增函数， 对于D, 为单调递减函数， 故选：D 10．（2022·福建·合格考）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数单调性直接判断即可. 【详解】，. 故选：D. 11．（2024·福建·合格考）三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】因为在定义域上单调递增，所以， 又， 所以. 故选：A 12．（2023·云南·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性，借助“媒介数”比较大小作答. 【详解】函数在上单调递增，则， 函数在R上单调递增，，，即， 所以. 故选：A 13．（2023·广东·合格考）下列函数中，在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数在定义域上为减函数，A不满足条件； 对于B选项，函数在定义域上不单调，B不满足条件； 对于C选项，函数在定义域上为增函数，C满足条件； 对于D选项，函数在定义域上不单调，D不满足条件. 故选：C. 14．（2024·湖北·合格考）（多选）已知为欧拉常数，为圆周率，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用指数函数的单调性和幂函数的单调性逐项判断即可. 【详解】因为函数是增函数，且，所以，故A正确； 因为函数是增函数，且，所以，又函数是增函数，且， 所以，所以，故B错误； 因为函数在是增函数，且，所以，故C正确； 因为函数是增函数，且，所以，所以，D错误. 故选：AC 考点四 对数运算 1．（2024·云南·合格考）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】. 故选：C. 2．（2025·北京·合格考）（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算求解即可. 【详解】. 故选：A 3．（2025·黑龙江·合格考）（    ） A．4 B．3 C．1 D．0 【答案】C 【分析】利用对数的运算性质计算求解即可. 【详解】由对数的运算性质可得， 故选：C 4．（2025·湖南·合格考）（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质即可求解． 【详解】根据对数运算性质可知，，所以． 故选：C． 5．（2024·湖北·合格考）若函数满足“对定义域内任意实数，都有”，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解析式代入检验判断A，取特殊值检验判断BC，根据解析式及基本不等式可判断D. 【详解】对A，，，所以满足条件，故A正确； 对B，取，，不满足条件，故B错误； 对C，取，，不满足条件，故C错误； 对D，，，， 由知当时，，故，故D错误. 故选：A 6．（2024·云南·合格考）（   ） A．5 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】由换底公式进行求解. 【详解】. 故选：C. 7．（2024·广西·合格考）（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】利用对数的性质可得答案. 【详解】. 故选：C. 8．（2022·河北·合格考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意中的解析式，先求出，再求即可. 【详解】由题意知，，， 所以. 故选：B 9．（2023·云南·合格考）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数的运算律可判断AB，由对数式的运算规则及换底公式可判断CD. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，故D错误． 故选：C. 10．（2023·江苏·合格考）已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用奇函数性质代入数据计算得到答案. 【详解】因为函数为奇函数，且当时，， 所以. 故选：A. 11．（2023·广东·合格考）已知函数，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义求值. 【详解】，． 故选：D． 12．（2022·福建·合格考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别将和代入对应解析式即可求得结果. 【详解】，. 故选：C. 13．（2023·北京·合格考）（    ） A．－100 B．100 C．－2 D．2 【答案】D 【分析】根据对数运算规则计算. 【详解】 ； 故选：D. 14．（2025·湖南·合格考）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则 ． 【答案】9 【分析】根据给定函数模型，代入列式计算得解. 【详解】依题意，，则，解得， ，则，解得， 所以. 故答案为：9 15．（2024·北京·合格考） ． 【答案】2 【分析】由同底数的对数计算公式化简，即可得出结果. 【详解】. 故答案为：2. 16．（2023·辽宁·合格考）计算： ． 【答案】 【分析】利用对数的运算性质计算可得结果. 【详解】. 故答案为：. 17．（2025·辽宁·合格考）计算： ． 【答案】6 【分析】利用对数的运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 18．（2023·安徽·合格考） ． 【答案】0 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】, 故答案为：0 考点五 对数函数及其图像 1．（2023·辽宁·合格考）已知函数与的图象关于对称，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性可知，利用二次函数及对数函数单调性即可求得值域为. 【详解】因为与的图象关于对称，所以与互为反函数， 即可得． 因为，所以， 因为，所以在上单调递减， 即可得，即的值域为． 故选：D． 2．（2024·湖南·合格考）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不为0即可判断A；根据偶次方根被开方数大于等于0即可判断B；根据对数函数真数大于0即可判断C；根据幂函数定义域即可判断D. 【详解】对A，其定义域为，故A错误； 对B，其定义域为，故B错误； 对C，由题意得，解得，则其定义域为，故C错误； 对D，显然其定义域为，故D正确. 故选：D. 3．（2024·北京·合格考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由即可求解. 【详解】由解析式可知，， 及， 所以定义域为， 故选：A 4．（2024·云南·合格考）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的真数大于零列不等式求解即可. 【详解】由得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 5．（2023·湖北·合格考）下列函数中，定义域和值域都是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂指对及正切函数的定义域、值域判断各项是否符合要求即可. 【详解】幂函数的定义域和值域都是，A符合； 指数函数的值域为，B不符合； 对数函数的定义域为，C不符合； 正切函数的定义域为，D不符合； 故选：A 6．（2024·广西·合格考）对数函数的图象经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令即可. 【详解】令，解得， 则其过点. 故选：A. 7．（2023·广东·合格考）下列函数可能是对数函数的是（    ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的图象可得合适的选项. 【详解】对数函数的定义域为，ABCD四个选项中最有可能是对数函数的是A选项. 故选：A. 8．（2023·辽宁·合格考）函数（，且）的图象一定过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数所过定点，令即可求解. 【详解】因为对数函数（，且）的图象过定点， 所以令，解得， 此时，即的图象过定点． 故选：C． 9．（2024·安徽·合格考）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数图象与非正半轴的交点个数及在上单调性判断即可. 【详解】当时，函数在上单调递增，排除AB； 当时，由，得或，此时函数图象与非正半轴有2个交点，排除C，选项D符合题意. 故选：D 10．（2024·江苏·合格考）已知函数，若实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】作出函数的图象，由图可得，，再利用均值不等式即可求解. 【详解】函数的图象如图， 因为，， 由图可知，， ，即， 解得，且， ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 11．（2024·湖北·合格考）如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合指数函数和对数函数的图象，根据函数图象的对称变化逐一求解可得. 【详解】由图可知，与关于直线对称，所以的解析是为； 与关于轴对称，所以的解析是为； 与关于轴对称，所以的解析是为. 故选：B 12．（2023·北京·合格考）将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数平移变换进行求解即可. 【详解】将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数. 故选：B. 13．（2024·福建·合格考）若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，，所以. 故选：D 14．（2025·北京·合格考）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的概念计算出a，根据负指数幂的概念计算出b，从而可以比较大小． 【详解】， ∴， 故选：D． 15．（2023·湖北·合格考）（多选）十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数满足，则称为“倒函数”．下列函数为“倒函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据所给定义一一计算可得. 【详解】对于A：，则，所以，故A正确； 对于B：，则，故B错误； 对于C：，则，所以，故C正确； 对于D：定义域为，则当时，此时无意义，故D错误； 故选：AC 16．（2024·湖北·合格考）已知，则 . 【答案】 【分析】根据指数与对数的运算法则计算． 【详解】由得，则， 所以， 故答案为：. 17．（2023·辽宁·合格考）已知函数． (1)当时，求的值； (2)若函数的定义域为，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，代值计算可得的值； （2）由题意可得，即可求得实数的取值范围； （3）由题意可得对任意的恒成立，由参变量分离法得出，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，． （2）若函数的定义域为，则对任意的恒成立． 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）由题意可知，不等式对任意的恒成立， 所以，，可得， 因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数， 所以，. 因此，实数的取值范围是. 18．（2024·湖南·合格考）已知函数，，且为偶函数． (1)若，求的值； (2)求实数的值； (3)若对任意的，存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将指数式化为对数式即可； （2）利用偶函数的定义求解即可； （3）把问题转化成最值问题，根据的正，零，负三种情况进行分类讨论，利用函数的单调性求出各自的最值，建立不等式求解即可． 【详解】（1）， ， 解得：； （2）为偶函数， ， 恒成立， 所以； （3）由（2）知：， 对任意的，存在，使得恒成立， 将问题转化为：， 当时，即或， 开口向上，对称轴为， 在上单调递增， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， ； 当时，即或， 为常函数， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， 所以； 当时，即， 开口向下，对称轴为， 在上单调递减， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， ； 综上所述：实数的取值范围为：． 【点睛】本题考查了指数式化为对数式，偶函数、利用单调性研究函数的最值，解题的关键是将不等式恒成立问题转化为最值问题，同时需要注意分类讨论思想的使用． 考点六 对数函数的单调性 1．（2025·四川·合格考）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由对数函数的性质及零点定义求解即可. 【详解】因为，，且函数在上单调递增，令，解得，所以函数只有一个零点. 故选：B. 2．（2022·河北·合格考）下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性即可． 【详解】对于A，函数在定义域内单调递增，函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上为减函数，A选项错误； 对于B，由反比例函数的性质可知，在区间上为增函数，B选项正确； 对于C，由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，C选项错误； 对于D，由指数函数性质可知，在区间上为减函数，D选项错误. 故选：B 3．（2022·河北·合格考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数的运算法则及对数函数的性质计算即可. 【详解】易知， 而，所以， 即. 故选：A 4．（2022·河北·合格考）已知，则.（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性分别判断的取值范围即可求解. 【详解】，即； ，即； ，即， 所以. 故选：A 5．（2024·江苏·合格考）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数，对数函数单调性可得答案. 【详解】因函数均在上递增， 则，即. 故选：A 6．（2025·湖南·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数、指数函数单调性分析即可． 【详解】对数函数单调递增，故， 又因为指数函数单调递增，故． 所以. 故选：D． 7．（2024·云南·合格考）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以， 而，所以， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：B. 8．（2025·四川·合格考）已知函数，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的单调性即可求得函数的值域 【详解】因函数在时为增函数， 故，即， 故的取值范围是. 故选：B. 9．（2023·安徽·合格考）下列函数为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本函数的单调性即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，由于，所以不是减函数， 对于B，为上的单调递增函数， 对于C，为上的单调递增函数， 对于D, 为单调递减函数， 故选：D 10．（2022·福建·合格考）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数单调性直接判断即可. 【详解】，. 故选：D. 11．（2024·福建·合格考）三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】因为在定义域上单调递增，所以， 又， 所以. 故选：A 12．（2023·江苏·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的单调性得到，，，得到答案. 【详解】；；， 所以. 故选：A 13．（2023·湖南·合格考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数与对数函数的性质判断， 【详解】由幂函数的性质得，由对数函数性质得， 即， 故选：D 14．（2023·云南·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性，借助“媒介数”比较大小作答. 【详解】函数在上单调递增，则， 函数在R上单调递增，，，即， 所以. 故选：A 15．（2022·甘肃·合格考）下列函数中，既是奇函数且在区间上又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数，指数函数，对数函数的单调性和奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以函数为偶函数，故A不符题意； 对于B，函数为非奇非偶函数，故B不符题意； 对于C，函数为非奇非偶函数，故C不符题意； 对于D，，所以函数为奇函数， 又函数在区间上又是增函数，故D符合题意. 故选：D. 16．（2024·湖北·合格考）已知函数，且. (1)当时，判断函数的单调性，并加以证明； (2)对给定的非零常数，是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)存在，， 【分析】（1）结合函数的定义域，分区间和，证明函数的单调性； （2）根据函数的定义域，确定，并根据确定，并代入验证函数是奇函数. 【详解】（1）当时，， 设， ， 因为，所以，则， 所以，即， 所以在上单调递减； 设， ， 因为，所以，则， 所以，即， 所以在上单调递增； （2）， 因为，若函数是奇函数，则，即，则， 所以， ，即， 所以，， ， 所以只要满足，，即，时，函数是奇函数. 【点睛】关键点点睛：不管是函数的单调性，和函数的奇偶性，首先考虑函数的定义域，然后考虑奇函数的性质，在原点处有定义时，. 17．（2025·陕西·合格考）已知函数，． (1)若，解不等式； (2)函数的图象过点． （i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据对数型函数的单调性解不等式即可； （2）（i）由题意转化为方程无解，分离参数后，根据指数、对数函数的单调性求值域及可得参数取值范围（ii）分离参数后，由对数函数的性质及基本不等式求出的最大值为，再由推出函数的周期即可得，据此结合单调性即可比较大小. 【详解】（1）当时，，由， 得，所以， 解得， 所以不等式的解集为． （2）（i） 的图象过点，，解得， 所以． 又函数的图象与直线没有公共点， 所以方程无实数解，即方程无实数解． 令，，则， ，，则，， 即函数的值域为，所以实数的取值范围为． （ii）若恒成立，则恒成立， 又， 由，得，当且仅当时取等号， 所以，则，故实数的最大值为． 由已知，得，所以，即． 所以． 又在上单调递增，， 所以，故． 18．（2022·甘肃·合格考）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的图象过，求的单调区间． 【答案】(1) (2)增区间为，减区间为. 【分析】（1）根据解析式有意义解不等式可得； （2）根据图象过点求a，然后由复合函数单调性求解即可. 【详解】（1）由题可知，即， 解得，所以函数的定义域. （2）由函数的图像过，有，解得， 令，则， 因为为增函数，在上单调递增，在上单调递减， 所以，由复合函数单调性可知，函数在的增区间为，减区间为. 19．（2023·湖南·合格考）已知函数，. (1)写出函数的单调区间； (2)求函数的最大值； (3)求证：方程有唯一实根，且. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由对数函数的性质直接可判断单调性； （2）化简，由三角函数的性质即可得出答案； （3）设，通过分类讨论研究函数值值域和单调性，证明，则有，再通过构造函数放缩法证得结论. 【详解】（1）函数，定义域为， 由对数函数的性质可知，在上单调递增， 所以单调递增区间为，无单调递减区间； （2）因为， 又因为，当时，； （3）令， ①当时，，， 则当时，，没有零点； ②当时，有，则，， ，没有零点； ③当时，有， 由 在上单调递增， ，， 所以存在唯一实数，使得， 因为上单调递增，所以， 因为，所以， 因为，即, 所以， 因为，所以，所以， 令，由在单调递减， 得，即， 所以， 又因为，所以， 即， 综上所述：方程有唯一实根，且. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用单调性和零点存在性定理可证零点唯一性；二是利用不等式转化结合三角函数单调性得证不等式. 20．（2023·辽宁·合格考）已知为定义在R上的奇函数，且当时，．求： (1)时，的解析式； (2)不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质,即可求解; （2）根据函数解析式结合对数函数的单调性可解. 【详解】（1）令，则， 即． 又为定义在上的奇函数， 所以． （2）因为在上是奇函数，所以， 所以等价于不等式组，或，或， 解得或或， 故不等式的解集为． 考点七 幂函数 1．（2023·辽宁·合格考）下列函数在上既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数在上是奇函数，且为减函数，A不满足条件； 对于B选项，函数在上不是奇函数，且为增函数，B不满足条件； 对于C选项，函数在上是偶函数，且不单调，C不满足条件； 对于D选项，函数在上奇函数，且为增函数，D满足条件. 故选：D. 2．（2024·湖南·合格考）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不为0即可判断A；根据偶次方根被开方数大于等于0即可判断B；根据对数函数真数大于0即可判断C；根据幂函数定义域即可判断D. 【详解】对A，其定义域为，故A错误； 对B，其定义域为，故B错误； 对C，由题意得，解得，则其定义域为，故C错误； 对D，显然其定义域为，故D正确. 故选：D. 3．（2024·江苏·合格考）已知函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点在幂函数上求参，再求函数值即可. 【详解】因为函数的图象经过点，则，计算得， 所以函数为，则. 故选：B. 4．（2024·安徽·合格考）已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合幂函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以当时，成立，反之当时，成立， 所以p是q的充要条件. 故选：C 5．（2025·黑龙江·合格考）如图所示，该图象对应的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象判断函数的性质，再结合幂函数的性质判断即可. 【详解】由函数图象可知，该函数的定义域为，函数图象关于原点对称，故为奇函数， 且函数在，上单调递减，故符合题意的只有A. 函数、在定义域上单调递增，不符合题意； 函数为偶函数，不符合题意； 故选：A 6．（2025·北京·合格考）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由幂函数为上的增函数， 且， 所以，即， 故选：A 7．（2024·湖南·合格考）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】将点的坐标代入函数解析式即可求得. 【详解】将代入得：，解得：. 故选：A 8．（2023·江苏·合格考）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（    ） A．-2 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】在上单调递减，A错误，不是偶函数，B错误，定义判断C正确， 函数为奇函数，D错误，得到答案. 【详解】对选项A：，，函数在上单调递减，错误； 对选项B：，，函数定义域为，不是偶函数，错误； 对选项C：，，函数定义域为，，函数为偶函数，且在上单调递增，正确； 对选项D：，，函数定义域为，，函数为奇函数，错误； 故选：C 9．（2023·湖南·合格考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数与对数函数的性质判断， 【详解】由幂函数的性质得，由对数函数性质得， 即， 故选：D 10．（2022·甘肃·合格考）下列函数中，既是奇函数且在区间上又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数，指数函数，对数函数的单调性和奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以函数为偶函数，故A不符题意； 对于B，函数为非奇非偶函数，故B不符题意； 对于C，函数为非奇非偶函数，故C不符题意； 对于D，，所以函数为奇函数， 又函数在区间上又是增函数，故D符合题意. 故选：D. 11．（2023·湖北·合格考）下列函数中，定义域和值域都是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂指对及正切函数的定义域、值域判断各项是否符合要求即可. 【详解】幂函数的定义域和值域都是，A符合； 指数函数的值域为，B不符合； 对数函数的定义域为，C不符合； 正切函数的定义域为，D不符合； 故选：A 12．（2024·湖北·合格考）（多选）已知为欧拉常数，为圆周率，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用指数函数的单调性和幂函数的单调性逐项判断即可. 【详解】因为函数是增函数，且，所以，故A正确； 因为函数是增函数，且，所以，又函数是增函数，且， 所以，所以，故B错误； 因为函数在是增函数，且，所以，故C正确； 因为函数是增函数，且，所以，所以，D错误. 故选：AC 13．（2025·陕西·合格考）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】取特值可判断A；利用函数单调性判断BC；作差法判断D. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，故A是假命题； 对于B，因为函数在上单调递增，若，则，故B是真命题； 对于C，若，因为函数在上单调递增， 所以，故C是真命题； 对于D，若，则， 所以，故D是真命题. 故选：BCD. 14．（2025·四川·合格考）已知函数，则 ． 【答案】2 【分析】由分数指数幂的运算公式计算即得. 【详解】因，则. 故答案为：2. 45 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $