专题02 一元二次函数，方程和不等式（学考真题汇编，全国通用）高中数学

专题02 一元二次函数、方程和不等式 3类高频考点概览 考点一 不等式的性质 考点二 一元二次不等式 考点三 基本不等式 考点一 不等式的性质 1．（2025·北京·合格考）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2022·河北·合格考）若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·云南·合格考）已知、、都是实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·云南·合格考）已知a、b、c都是实数，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·北京·合格考）已知，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖北·合格考）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·湖南·合格考）若，则下列不等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 8．（2025·黑龙江·合格考）若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2022·福建·合格考）若，则一定有（    ） A． B． C． D． 10．（2024·福建·合格考）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·广西·合格考）若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 12．（2023·江苏·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024·湖南·合格考）已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2022·甘肃·合格考）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2022·河北·合格考）若实数a，b，c满足，，则（    ） A． B． C． D． 16．（2023·湖南·合格考）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 17．（2023·湖北·合格考）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·陕西·合格考）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 19．（2024·云南·合格考）已知、为常数，，是的零点，且. (1)若，，求、的值； (2)若，比较与的大小. 考点二 一元二次不等式 1．（2025·黑龙江·合格考）已知，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·江苏·合格考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 3．（2024·云南·合格考）若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁·合格考）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南·合格考）已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 6．（2025·北京·合格考）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 7．（2025·北京·合格考）不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 8．（2025·陕西·合格考）命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·广西·合格考）二次函数的图象如图所示，不等式的解集为（    ）    A．R B． C． D． 10．（2023·安徽·合格考）不等式的解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 11．（2024·湖北·合格考）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 12．（2022·河北·合格考）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·福建·合格考）不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 14．（2024·北京·合格考）在下列各数中，满足不等式的是（    ） A． B． C． D． 15．（2023·广东·合格考）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 16．（2023·云南·合格考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 17．（2023·北京·合格考）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 18．（2023·湖北·合格考）为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． 19．（2023·辽宁·合格考）已知集合，，则＝（    ） A． B． C． D． 20．（2025·黑龙江·合格考）集合，若，则的取值可能 .（写出一个满足题意的答案即可） 21．（2024·云南·合格考）若，则的取值范围为 . 22．（2022·福建·合格考）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为 ．    23．（2024·云南·合格考）已知、为常数，，是的零点，且. (1)若，，求、的值； (2)若，比较与的大小. 考点三 基本不等式 1．（2024·云南·合格考）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 2．（2024·江苏·合格考）已知函数，若实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（2025·北京·合格考）已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 4．（2023·辽宁·合格考）若正数、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南·合格考）若是正数，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 6．（2024·江苏·合格考）若矩形的面积为100，则该矩形周长的最小值是（    ） A． B．20 C． D．40 7．（2025·陕西·合格考）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一. 以其名命名的函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，如，. 则（    ） A．是奇函数且为递增函数 B．的值域为且为周期函数 C．若，则的最小值为 D．，满足的实数的取值范围是 8．（2022·河北·合格考）已知函数，且为偶函数，给出以下四个结论： ①若，则； ②若，则； ③若，且，则； ④若，则. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2022·河北·合格考）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 10．（2023·湖南·合格考）已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 11．（2022·河北·合格考）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．6 12．（2024·广西·合格考）如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2023·湖北·合格考）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2023·江苏·合格考）若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．（2023·广东·合格考）已知、，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 16．（2023·云南·合格考）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 17．（2022·福建·合格考）（多选）下列函数中，最小值为的函数为（    ） A． B． C． D． 18．（2023·辽宁·合格考）已知，则的最小值为 ． 19．（2025·北京·合格考）已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 20．（2024·安徽·合格考）为美化校园环境，发展学生的科学文化素养，某中学将在一块矩形空地上修建植物园.如图所示，该空地长米，宽米，计划在此空地上修建两条互相垂直且宽度均为x米的观赏通道（图中阴影部分），并在剩余四个矩形区域种植不同的植物供学生观赏，其中. (1)若种植植物的区域面积不小于平方米，求的取值范围； (2)若修建观赏通道的总费用为元，种植植物的费用为元/平方米（为正常数）.当为何值时，完成此计划所需要的总费用最低？并求出这个最低总费用（结果用m表示）.（完成此计划的总费用修建观赏通道的总费用种植植物的总费用） 21．（2023·安徽·合格考）如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 22．（2023·江苏·合格考）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求实数的取值范围. 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3类高频考点概览 考点一 不等式的性质 考点二 一元二次不等式 考点三 基本不等式 考点一 不等式的性质 1．（2025·北京·合格考）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 所以，，故CD错误； 因为，，所以即恒成立，故A正确； 取，，则，但此时，故B未必成立. 故选：A 2．（2022·河北·合格考）若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC，令，举反例即可；对于D，直接由不等式的传递性即可得证. 【详解】对于ABC，令，显然满足，同时，，，故ABC错误； 对于D，若，则，故D正确. 故选：D. 3．（2024·云南·合格考）已知、、都是实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例可得AB错误；由不等式的性质可得C正确，D错误. 【详解】对A，令，则，故A错误； 对B，；令，则，故B错误； 对CD，由，，相加可得，即，故C正确，D错误. 故选：C 4．（2024·云南·合格考）已知a、b、c都是实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及特殊值法逐项对选项进行分析即可. 【详解】因为， 对于A，根据不等式的性质知，故A正确； 对于B，当时，；当时，；当时，，故B错误； 对于C，当时，，所以；当时，，所以，故C错误； 对于D，若，则，故D错误. 故选：A. 5．（2024·北京·合格考）已知，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】对于ABD:取，满足，显然和，都不成立； 对于C：由可得，故成立. 故选：C 6．（2024·湖北·合格考）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立不等关系即可. 【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为， 则有. 故选：C 7．（2025·湖南·合格考）若，则下列不等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值判断ABC，利用作差法判断D. 【详解】当时，，即，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D 8．（2025·黑龙江·合格考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】因为，则当时，，A说法错误； 因为，所以，B说法错误； 因为，所以，C说法错误，D说法正确； 故选：D 9．（2022·福建·合格考）若，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作差法比较各式的大小，注意成立的条件，即可得答案. 【详解】A：，仅当时，即，错； B：，仅当时，即，错； C：，仅当时，即，错； D：，故一定正确，对. 故选：D 10．（2024·福建·合格考）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A，当，时，满足，但是，故A错误； 对于B，当，时，满足，但是，故B错误； 对于C，当，时，满足，但是，故C错误； 对于D，因为，所以，即，故D正确. 故选：D 11．（2024·广西·合格考）若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件，根据不等式的性质可得答案. 【详解】因为，所以，故A正确，B错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：A. 12．（2023·江苏·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】A选项：，则，故A正确； B选项：，则，所以，故B错误； C选项：当或时，，则，故C错误； D选项：当时，，故D错误. 故选：A． 13．（2024·湖南·合格考）已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由不等式的性质、充要条件的定义即可求解. 【详解】由不等式的性质可知：等价于，即“”是“”的充要条件. 故选：C. 14．（2022·甘肃·合格考）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质推导可判断AB；取特值验证可判断CD. 【详解】因为，所以，A错误； 因为，且，所以，B正确； 当时，，C错误； 取，则，故D错误. 故选：B 15．（2022·河北·合格考）若实数a，b，c满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得解. 【详解】因为，， 由不等式性质可知，，故AC错误； 由，可得，不等式性质可知，故B错误； 由可知，所以，即， 又，所以，故D正确. 故选：D 16．（2023·湖南·合格考）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断. 【详解】对于A，取特殊值，，，满足条件，但不满足结论，故A错误； 对于B，由，若，则，故B错误； 对于C，由同向不等式的性质知，，可推出，故C正确； 对于D，取，满足条件，但，故D错误. 故选：C. 17．（2023·湖北·合格考）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用不等式性质、基本不等式判断各项的正误即可. 【详解】由，则，，，A、B错，C对， 由，且，故等号取不到，则，D错. 故选：C 18．（2025·陕西·合格考）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】取特值可判断A；利用函数单调性判断BC；作差法判断D. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，故A是假命题； 对于B，因为函数在上单调递增，若，则，故B是真命题； 对于C，若，因为函数在上单调递增， 所以，故C是真命题； 对于D，若，则， 所以，故D是真命题. 故选：BCD. 19．（2024·云南·合格考）已知、为常数，，是的零点，且. (1)若，，求、的值； (2)若，比较与的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用韦达定理将，代入计算可得； （2）利用作差法以及两根之间的关系，再由不等式性质计算可判断结论. 【详解】（1）依题意可得的两根分别为； 若，，可得， 解得； （2）易知， 所以，则； 所以， 由可得， 又可得，所以，即； 因此. 所以. 考点二 一元二次不等式 1．（2025·黑龙江·合格考）已知，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】解不等式可得或， 因为或，因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 2．（2024·江苏·合格考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为整式不等式，即一元二次不等式求解. 【详解】由等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 3．（2024·云南·合格考）若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，解得， 则x的取值范围为. 故选：A. 4．（2025·辽宁·合格考）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得集合，利用交集的定义可求得. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 5．（2025·湖南·合格考）已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式得，再结合选项及充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】由，则，解得， 则是使得成立的一个既不充分也不必要条件， 是使得成立的一个必要不充分条件， 是使得成立的一个充分不必要条件， 是使得成立的一个充要条件. 故选：C. 6．（2025·北京·合格考）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】直接求出一元二次不等式的解集即可. 【详解】解不等式，得， 所以不等式的解集为. 故选：B 7．（2025·北京·合格考）不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据二次不等式的解法求解. 【详解】由， 所以不等式的解集是， 故选：C 8．（2025·陕西·合格考）命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据原命题的否定命题为真命题可将问题转化为二次函数恒成立为题，利用二次函数的性质进行求解即可. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 即对恒成立， 因为，所以. 故选：A 9．（2024·广西·合格考）二次函数的图象如图所示，不等式的解集为（    ）    A．R B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的图象数形结合得出解集. 【详解】根据函数的图象可得的解集为. 故选：B. 10．（2023·安徽·合格考）不等式的解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解的特征即可求解. 【详解】由可得， 解得或， 故不等式的解为或， 故选：B 11．（2024·湖北·合格考）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 【答案】A 【分析】令，求解，求出排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间. 【详解】由题意得：，令， 即，解得， 所以排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为. 故选：A. 12．（2022·河北·合格考）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次不等式解法可得答案. 【详解】. 故选：C 13．（2024·福建·合格考）不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得. 【详解】不等式，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：A 14．（2024·北京·合格考）在下列各数中，满足不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解二次不等式，判断数是否在解集内即可得到答案. 【详解】解不等式得. 故选：B. 15．（2023·广东·合格考）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次不等式与二次函数图象的关系得结论． 【详解】的图象是开口向上的抛物线，它与轴的两交点分别是，， ∴不等式的解为或， 故选：A． 16．（2023·云南·合格考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式等价于，由一元二次方程的解集公式直接求得. 【详解】不等式等价于， 解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 17．（2023·北京·合格考）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数的性质，解二次不等式. 【详解】当时，；当时，， 所以不等式的解集是. 故选：B 18．（2023·湖北·合格考）为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设花卉带的宽度为 ，由题设有且求范围，即可得答案. 【详解】设花卉带的宽度为 ，则， 所以，即，可得， 又，故，而，则可能取值为2. 故选：B 19．（2023·辽宁·合格考）已知集合，，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解分式不等式与二次不等式化简集合，从而利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为集合， ， 所以，则． 故选：D． 20．（2025·黑龙江·合格考）集合，若，则的取值可能 .（写出一个满足题意的答案即可） 【答案】 【分析】计算集合再求出参数的值. 【详解】若，满足，，所以可以是中任意一个，可以是， 故答案为：.（答案不唯一） 21．（2024·云南·合格考）若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解法求出即可； 【详解】，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 22．（2022·福建·合格考）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为 ．    【答案】1 【分析】设花卉带的宽度为米，根据题设有求解集，即可确定最小值. 【详解】设花卉带的宽度为米，则，即， 所以，故， 所以花卉带的宽度至少应为1米. 故答案为：1 23．（2024·云南·合格考）已知、为常数，，是的零点，且. (1)若，，求、的值； (2)若，比较与的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用韦达定理将，代入计算可得； （2）利用作差法以及两根之间的关系，再由不等式性质计算可判断结论. 【详解】（1）依题意可得的两根分别为； 若，，可得， 解得； （2）易知， 所以，则； 所以， 由可得， 又可得，所以，即； 因此. 所以. 考点三 基本不等式 1．（2024·云南·合格考）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由基本不等式求解即可； 【详解】由题意可得，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：D. 2．（2024·江苏·合格考）已知函数，若实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】作出函数的图象，由图可得，，再利用均值不等式即可求解. 【详解】函数的图象如图， 因为，， 由图可知，， ，即， 解得，且， ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 3．（2025·北京·合格考）已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由基本不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：D 4．（2023·辽宁·合格考）若正数、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正数、满足， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 5．（2025·湖南·合格考）若是正数，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用均值不等式即可求解． 【详解】由，根据均值不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，也即， 再次根据均值不等式可得，当且仅当时等号成立， 故的最小值是4. 故选：C 6．（2024·江苏·合格考）若矩形的面积为100，则该矩形周长的最小值是（    ） A． B．20 C． D．40 【答案】D 【分析】设矩形的长为，宽为，根据面积得，结合基本不等式求得周长的最小值． 【详解】设矩形的长为，宽为，周长为，则，， 所以， 当且仅当时，等号成立. 所以周长的最小值为. 故选：D. 7．（2025·陕西·合格考）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一. 以其名命名的函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，如，. 则（    ） A．是奇函数且为递增函数 B．的值域为且为周期函数 C．若，则的最小值为 D．，满足的实数的取值范围是 【答案】C 【分析】通过举例可判断A；取，求出值域可判断；依据，可得，利用基本不等式可判断C；使用等价转换得，然后利用基本不等式以及题干定义可知D. 【详解】对A，，所以函数不是增函数，故错误； 对B，当，，且，故错误； 对C，由，所以，， 由，所以，则， 当且仅当时，取等号，故正确； 对D，，满足恒成立，等价于，恒成立, 由，当且仅当，即处取等号， 所以，所以，故错误. 故选：C 8．（2022·河北·合格考）已知函数，且为偶函数，给出以下四个结论： ①若，则； ②若，则； ③若，且，则； ④若，则. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据函数为偶函数，可得关于直线对称，即可求出a，可得的表达式，结合基本不等式可判断①②；利用二次函数的对称性可判断③；结合二次函数表达式化简可判断④. 【详解】由于函数，且为偶函数， 故可得关于直线对称，即的对称轴为， 则，即， 对于①，若，则， 当且仅当，即时取等号，故，①正确； 对于②，若，， 当且仅当，即时取等号，故，②正确； 对于③，若，且，即时，， 则，③正确； 对于④，若，则， 即得，④正确， 故正确结论的个数是4， 故选：D 9．（2022·河北·合格考）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号， 故选：C. 10．（2023·湖南·合格考）已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求得的最大值，进而求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以的最大值为2. 故选：D. 11．（2022·河北·合格考）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】根据重要的不等式直接计算即可求解. 【详解】由题意知，， 得，当且仅当时等号成立， 即的最大值为3. 故选：C 12．（2024·广西·合格考）如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何关系表示和，即可比较大小. 【详解】因为是圆的半径，所以， 因为是圆的直径，所以， 则，即，即， 所以， 当点与点重合时，，否则，即， 所以 . 故选：B 13．（2023·湖北·合格考）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用不等式性质、基本不等式判断各项的正误即可. 【详解】由，则，，，A、B错，C对， 由，且，故等号取不到，则，D错. 故选：C 14．（2023·江苏·合格考）若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设底面圆半径为，则圆柱的高为，圆柱侧面积为，利用均值等式计算得到答案. 【详解】设底面圆半径为，则圆柱的高为， 圆柱侧面积为， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 15．（2023·广东·合格考）已知、，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为、，且，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是. 故选：B. 16．（2023·云南·合格考）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用均值不等式求解作答. 【详解】正实数满足，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 17．（2022·福建·合格考）（多选）下列函数中，最小值为的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式和对勾函数单调性依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，（当且仅当，即时取等号）， 的最小值为，A正确； 对于B，，（当且仅当，即时取等号）， 的最小值为，B正确； 对于C，，，的最小值为，C正确； 对于D，当时，， 令，在上单调递减，当时，， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为，D错误. 故选：ABC. 18．（2023·辽宁·合格考）已知，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】利用基本不等式即可求出答案. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当时，取等号． 故答案为：4. 19．（2025·北京·合格考）已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据奇函数定义即可得证； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因的定义域为. 对于任意，都有，且， 故是奇函数. （2）已知，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值4. 20．（2024·安徽·合格考）为美化校园环境，发展学生的科学文化素养，某中学将在一块矩形空地上修建植物园.如图所示，该空地长米，宽米，计划在此空地上修建两条互相垂直且宽度均为x米的观赏通道（图中阴影部分），并在剩余四个矩形区域种植不同的植物供学生观赏，其中. (1)若种植植物的区域面积不小于平方米，求的取值范围； (2)若修建观赏通道的总费用为元，种植植物的费用为元/平方米（为正常数）.当为何值时，完成此计划所需要的总费用最低？并求出这个最低总费用（结果用m表示）.（完成此计划的总费用修建观赏通道的总费用种植植物的总费用） 【答案】(1)； (2)，最低总费用元. 【分析】（1）由条件求出种植植物的区域面积，结合条件列不等式求其解可得结论； （2）根据条件求出完成此计划所需要的总费用，利用基本不等式求其最小值. 【详解】（1）由题意得种植植物的区域面积为， 所以， 即， 解得或. 又，得， 所以的取值范围为. （2）设完成此计划所需要的总费用为元， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 所以，当时，完成此计划所需要的最低总费用元. 21．（2023·安徽·合格考）如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 【答案】(1) (2)当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 【分析】（1）根据矩形面积即可求解， （2）根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）则，， 所以 （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 22．（2023·江苏·合格考）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，再计算周期即可. （2）设，，考虑，，三种情况，利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】（1），最小正周期. （2），即， 设，，， 当时，即，整理得到， ，当且仅当，即时等号成立，故； 当时，不等式恒成立； 当时，即，整理得到， ，当且仅当，即时等号成立，故. 综上所述：，即 14 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $