专题03 函数的概念与性质（学考真题汇编，全国通用）高中数学

专题03 函数的概念与性质 9类高频考点概览 考点一 函数的定义 考点二 函数的定义域 考点三 函数的单调性 考点四 函数的奇偶性 考点五 函数的图像 考点六 函数的最值 考点七 分段函数 考点八 函数与方程 考点九 函数模型的应用 考点一 函数的定义 1．（2024·湖北·合格考）若函数满足“对定义域内任意实数，都有”，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解析式代入检验判断A，取特殊值检验判断BC，根据解析式及基本不等式可判断D. 【详解】对A，，，所以满足条件，故A正确； 对B，取，，不满足条件，故B错误； 对C，取，，不满足条件，故C错误； 对D，，，， 由知当时，，故，故D错误. 故选：A 2．（2024·广西·合格考）已知函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】直接代入计算即可. 【详解】. 故选：A. 3．（2025·黑龙江·合格考）已知函数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】将直接代入解析式即可. 【详解】因为函数，所以， 故选：D 4．（2023·安徽·合格考）设为实数，不超过的最大整数称为的整数部分，记作.例如，.称函数为取整函数，下列关于取整函数的三个结论： ①对任意，都有； ②对任意，都有； ③对任意，都有. 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据的定义，可得，即可求解①②，举反例即可求解③. 【详解】对于①，由定义得：，故对，，故①正确； 对于②，，令，则，所以， 因此，故②正确； 对于③，取， 则， 不满足，故③错误， 故选：A. 5．（2025·陕西·合格考）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一. 以其名命名的函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，如，. 则（    ） A．是奇函数且为递增函数 B．的值域为且为周期函数 C．若，则的最小值为 D．，满足的实数的取值范围是 【答案】C 【分析】通过举例可判断A；取，求出值域可判断；依据，可得，利用基本不等式可判断C；使用等价转换得，然后利用基本不等式以及题干定义可知D. 【详解】对A，，所以函数不是增函数，故错误； 对B，当，，且，故错误； 对C，由，所以，， 由，所以，则， 当且仅当时，取等号，故正确； 对D，，满足恒成立，等价于，恒成立, 由，当且仅当，即处取等号， 所以，所以，故错误. 故选：C 6．（2023·湖北·合格考）（多选）十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数满足，则称为“倒函数”．下列函数为“倒函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据所给定义一一计算可得. 【详解】对于A：，则，所以，故A正确； 对于B：，则，故B错误； 对于C：，则，所以，故C正确； 对于D：定义域为，则当时，此时无意义，故D错误； 故选：AC 7．（2024·云南·合格考）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 且当时，， 所以. 故答案为：. 8．（2025·北京·合格考）阅读下面题目及其解答过程． 已知函数为定义在上的奇函数，当时， ， （1） 求的值； （2） 求不等式的解集. 解：（1） 因为当时， 所以 ① . 因为是奇函数， 所以 ② . （2）当时， ③ ，所以恒成立. 当时，，所以 ④ . 因为是奇函数，所以 ⑤ . 所以. 由， 解得. 综上，不等式的解集为 ⑥ . 以上题目的解答过程中，设置了①⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置．(只需填写“A”或“B”) 空格序号 选项 ① A．    B． ② A．    B． ③ A．    B． ④ A．   B． ⑤ A．   B． ⑥ A．    B． 【答案】①A；②A；③B；④A；⑤B；⑥A 【分析】根据奇函数的定义与性质解奇函数的函数值、奇函数的解析式及解指数不等式即可. 【详解】（1）∵当时， ，∴，故①选A； ∵函数为定义在上的奇函数，∴，故②选A； （2）由指数函数的性质可知：当时， ，故③选B； ∵当时，，所以，故④选A； ∵函数为定义在上的奇函数，∴，故⑤选B； 由题中过程可知：不等式的解集为，故⑥选A. 9．（2024·北京·合格考）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的值； (2)求函数的零点． 【答案】(1) (2)，3 【分析】（1）根据图象可知，即可求解函数解析式，再代入求值； （2）根据零点的定义，解方程，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以． 所以． 所以． （2）因为， 所以． 令， 得． 所以的零点为，3． 10．（2024·北京·合格考）已知是定义在上的函数． 如果对任意的，当时，都有，则称缓慢递增． 如果对任意的，当时，都有，则称缓慢递减． (1)已知函数缓慢递增，写出一组的值； (2)若缓慢递增且，直接写出的取值范围； (3)设，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，从结论①、结论②中选择一个作为结论，构成一个真命题，并说明理由． 条件①：缓慢递增；        条件②：单调递增． 结论①：缓慢递减；        结论②：单调递减． 【答案】(1) (2) (3)条件①和结论①为真命题，条件①和结论②为真命题，答案见解析 【分析】（1）根据缓慢递增函数定义，代入可求得为任意值，即可求解； （2）根据缓慢递增函数定义，代入可求得的取值范围； （3）先确定条件条件①：缓慢递增；根据缓慢递增函数定义可确定结论①：缓慢递减，根据条件条件①：缓慢递增，根据缓慢递增函数定义可确定结论①：单调递减.若单调递增不妨设，代入，可得两结论都不满足. 【详解】（1）已知是定义在上的缓慢递增， 如果对任意的，当时，都有， 则可得为任意值，所以可得； （2）若缓慢递增且， 根据定义可得 ，将已知代入化简可得， 所以的取值范围为 （3）若选择条件①和结论①，构成的真命题为如果缓慢递增，那么缓慢递减． 理由如下：因为在上缓慢递增， 所以对任意的，当时，都有． 因为， 所以． 所以． 所以在上缓慢递减． 若选择条件①和结论②，构成的真命题为如果缓慢递增，那么单调递减． 理由如下： 因为在上缓慢递增， 所以对任意的，当时，都有． 因为， 所以． 所以． 所以在上单调递减． 而条件②：为单调递增函数， 不妨设，则， 根据题意代入，不满足新的定义， 所以为单调递增函数不能推出缓慢递减；也不能推出单调递减. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 11．（2024·江苏·合格考）定义：区间的长度均等于.设函数的值域为区间. (1)已知，求的长度； (2)已知.是否存在实数，使得的长度？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)9 (2)存在， 【分析】（1）求出二次函数的值域，根据区间长度的定义得解； （2）根据题意，写出分段函数，分别求出每段的值域，按照与的大小讨论，求出的值域，并根据求解验证. 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以的值域为，的长度为. （2）根据题意，， 即，， 当时，， 当时，， 若，则的值域，则， 或，又，不合题意； 若，则的值域，则， 即，解得或（舍去）， 当时，满足，合题意. 所以存在实数，使得的长度. 考点二 函数的定义域 1．（2023·湖南·合格考）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数解析式有意义列式求解， 【详解】由题意得，即的定义域是 故选：B 2．（2024·湖南·合格考）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不为0即可判断A；根据偶次方根被开方数大于等于0即可判断B；根据对数函数真数大于0即可判断C；根据幂函数定义域即可判断D. 【详解】对A，其定义域为，故A错误； 对B，其定义域为，故B错误； 对C，由题意得，解得，则其定义域为，故C错误； 对D，显然其定义域为，故D正确. 故选：D. 3．（2023·北京·合格考）已知函数．若的图象经过原点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点在函数的图象上及偶次根式有意义即可求解. 【详解】因为函数的图象经过原点， 所以，解得， 所以函数的解析式为. 要使有意义，只需要， 所以的定义域为. 故选：A. 4．（2025·北京·合格考）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可求函数的定义域. 【详解】由 . 所以函数的定义域为：. 故选：C 5．（2024·云南·合格考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根号下的式子为非负数可得结果. 【详解】易知函数的定义域为，即. 故选：C 6．（2023·江苏·合格考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数定义域满足，，解得答案. 【详解】函数的定义域满足：，，解得. 故选：D 7．（2023·云南·合格考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式得出函数的定义域. 【详解】要使得有意义，则，解得. 则函数的定义域为. 故选：A 8．（2022·北京·合格考）已知函数，则的定义域是 . 【答案】/ 【分析】根据偶数次方根号里的数大于等于零即可得出答案. 【详解】解：由函数，得， 所以的定义域是. 故答案为：. 9．（2023·辽宁·合格考）已知函数． (1)当时，求的值； (2)若函数的定义域为，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，代值计算可得的值； （2）由题意可得，即可求得实数的取值范围； （3）由题意可得对任意的恒成立，由参变量分离法得出，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，． （2）若函数的定义域为，则对任意的恒成立． 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）由题意可知，不等式对任意的恒成立， 所以，，可得， 因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数， 所以，. 因此，实数的取值范围是. 10．（2022·甘肃·合格考）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的图象过，求的单调区间． 【答案】(1) (2)增区间为，减区间为. 【分析】（1）根据解析式有意义解不等式可得； （2）根据图象过点求a，然后由复合函数单调性求解即可. 【详解】（1）由题可知，即， 解得，所以函数的定义域. （2）由函数的图像过，有，解得， 令，则， 因为为增函数，在上单调递增，在上单调递减， 所以，由复合函数单调性可知，函数在的增区间为，减区间为. 考点三 函数的单调性 1．（2023·辽宁·合格考）下列函数在上既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数在上是奇函数，且为减函数，A不满足条件； 对于B选项，函数在上不是奇函数，且为增函数，B不满足条件； 对于C选项，函数在上是偶函数，且不单调，C不满足条件； 对于D选项，函数在上奇函数，且为增函数，D满足条件. 故选：D. 2．（2025·四川·合格考）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性，结合函数单调性的判定方法，求得为单调递增函数，再由不等式转化为，进而求得实数的取值范围. 【详解】由函数，可得其定义域为， 设，且， 则， 由指数函数为单调递增函数，所以， 又因为，所以， 即，所以函数为单调递增函数， 又由，即，所以， 即，解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 3．（2023·辽宁·合格考）已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数分别列不等式组，再结合指数函数及幂函数的单调性运算求解. 【详解】因为函数， 则由不等式可得或， 所以或， 所以或. 即得. 故选：C. 4．（2025·北京·合格考）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的单调性直接得解. 【详解】因为，在区间上单调递增， 在区间上单调递减，在区间上不单调， 故选：B 5．（2025·辽宁·合格考）已知函数，为的根，下列说法正确的是（   ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 【答案】D 【分析】在上单调递增，结合零点存在性定理计算可判断结论. 【详解】因为在上单调递增，所以至多一个零点， 又， 又为的根，所以，故A错误； 又， 又为的根，所以，故B错误； 由，又为的根，可得，故C错误，D正确. 故选：D. 6．（2025·黑龙江·合格考）如图所示，函数的单调递减区间为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象判断单调区间即可. 【详解】由函数图像可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 故选：B 7．（2024·安徽·合格考）设函数是定义域为的偶函数，若在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数的单调性比较，结合偶函数性质可得，由此确定结论. 【详解】因为函数在区间上单调递减，， 所以，A错误； 因为函数是定义域为的偶函数， 所以，B错误； 所以，，D正确，C错误. 故选：D. 8．（2022·河北·合格考）下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性即可． 【详解】对于A，函数在定义域内单调递增，函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上为减函数，A选项错误； 对于B，由反比例函数的性质可知，在区间上为增函数，B选项正确； 对于C，由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，C选项错误； 对于D，由指数函数性质可知，在区间上为减函数，D选项错误. 故选：B 9．（2024·北京·合格考）在下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数、对数函数以及幂函数的单调性逐项判断即可得. 【详解】对A：在上单调递增，故A错误； 对B：在上单调递增，故B错误； 对C：在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对D：在上单调递减，故D正确. 故选：D. 10．（2024·广西·合格考）在2小时内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（    ） A．   B．   C． D．   【答案】C 【分析】根据题意结合单调性判断. 【详解】根据题意函数先递增再递减，进而判断C选项符合题意. 故选：C. 11．（2024·云南·合格考）函数是定义域为的增函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义域为的增函数， 所以由，得， 解得，即的取值范围为. 故选：C. 12．（2022·河北·合格考）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可. 【详解】对于A：函数在上单调递减，故A正确； 对于B：函数在上单调递增，故B错误； 对于C：函数在上不具有单调，故C错误； 对于D：函数在上单调递增，故D错误； 故选：A 13．（2024·湖北·合格考）若函数满足“对定义域内任意实数，都有”，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解析式代入检验判断A，取特殊值检验判断BC，根据解析式及基本不等式可判断D. 【详解】对A，，，所以满足条件，故A正确； 对B，取，，不满足条件，故B错误； 对C，取，，不满足条件，故C错误； 对D，，，， 由知当时，，故，故D错误. 故选：A 14．（2023·安徽·合格考）下列函数为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本函数的单调性即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，由于，所以不是减函数， 对于B，为上的单调递增函数， 对于C，为上的单调递增函数， 对于D, 为单调递减函数， 故选：D 15．（2023·北京·合格考）下列函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用初等函数的单调性即可求解. 【详解】对于A，由一次函数的性质知，因为，所以在上为减函数，故A错误； 对于B，，由于，所以在上不单调，故B错误； 对于C，由指数函数的性质知，在上为增函数，故C正确； 对于D，由余弦函数知，在上不单调，故D错误. 故选：C. 16．（2022·甘肃·合格考）下列函数中，既是奇函数且在区间上又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数，指数函数，对数函数的单调性和奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以函数为偶函数，故A不符题意； 对于B，函数为非奇非偶函数，故B不符题意； 对于C，函数为非奇非偶函数，故C不符题意； 对于D，，所以函数为奇函数， 又函数在区间上又是增函数，故D符合题意. 故选：D. 17．（2023·广东·合格考）下列函数中，在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数在定义域上为减函数，A不满足条件； 对于B选项，函数在定义域上不单调，B不满足条件； 对于C选项，函数在定义域上为增函数，C满足条件； 对于D选项，函数在定义域上不单调，D不满足条件. 故选：C. 18．（2022·福建·合格考）下列函数中，在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数、二次函数、指数函数和对数函数性质直接判断各个选项即可. 【详解】对于A，由一次函数性质知：在上单调递减，A错误； 对于B，由二次函数性质知：在上单调递增，在上单调递减，B错误； 对于C，由指数函数性质知：在上单调递减，C错误； 对于D，由对数函数性质知：在上单调递增，D正确. 故选：D. 19．（2024·湖北·合格考）（多选）已知为欧拉常数，为圆周率，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用指数函数的单调性和幂函数的单调性逐项判断即可. 【详解】因为函数是增函数，且，所以，故A正确； 因为函数是增函数，且，所以，又函数是增函数，且， 所以，所以，故B错误； 因为函数在是增函数，且，所以，故C正确； 因为函数是增函数，且，所以，所以，D错误. 故选：AC 20．（2025·四川·合格考）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，用定义法判断在的单调性. 【答案】(1)奇函数 (2)单调递减 【分析】(1)用函数奇偶性的定义可判断. (2)根据单调性的定义判断并证明即可. 【详解】（1）由题意知：的定义域为，定义域关于原点对称， 为定义在上的奇函数. （2）在上单调递减.证明如下： 任取， ，且 ，即. 在上单调递减.. 21．（2025·陕西·合格考）已知函数，． (1)若，解不等式； (2)函数的图象过点． （i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据对数型函数的单调性解不等式即可； （2）（i）由题意转化为方程无解，分离参数后，根据指数、对数函数的单调性求值域及可得参数取值范围（ii）分离参数后，由对数函数的性质及基本不等式求出的最大值为，再由推出函数的周期即可得，据此结合单调性即可比较大小. 【详解】（1）当时，，由， 得，所以， 解得， 所以不等式的解集为． （2）（i） 的图象过点，，解得， 所以． 又函数的图象与直线没有公共点， 所以方程无实数解，即方程无实数解． 令，，则， ，，则，， 即函数的值域为，所以实数的取值范围为． （ii）若恒成立，则恒成立， 又， 由，得，当且仅当时取等号， 所以，则，故实数的最大值为． 由已知，得，所以，即． 所以． 又在上单调递增，， 所以，故． 22．（2024·北京·合格考）已知是定义在上的函数． 如果对任意的，当时，都有，则称缓慢递增． 如果对任意的，当时，都有，则称缓慢递减． (1)已知函数缓慢递增，写出一组的值； (2)若缓慢递增且，直接写出的取值范围； (3)设，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，从结论①、结论②中选择一个作为结论，构成一个真命题，并说明理由． 条件①：缓慢递增；        条件②：单调递增． 结论①：缓慢递减；        结论②：单调递减． 【答案】(1) (2) (3)条件①和结论①为真命题，条件①和结论②为真命题，答案见解析 【分析】（1）根据缓慢递增函数定义，代入可求得为任意值，即可求解； （2）根据缓慢递增函数定义，代入可求得的取值范围； （3）先确定条件条件①：缓慢递增；根据缓慢递增函数定义可确定结论①：缓慢递减，根据条件条件①：缓慢递增，根据缓慢递增函数定义可确定结论①：单调递减.若单调递增不妨设，代入，可得两结论都不满足. 【详解】（1）已知是定义在上的缓慢递增， 如果对任意的，当时，都有， 则可得为任意值，所以可得； （2）若缓慢递增且， 根据定义可得 ，将已知代入化简可得， 所以的取值范围为 （3）若选择条件①和结论①，构成的真命题为如果缓慢递增，那么缓慢递减． 理由如下：因为在上缓慢递增， 所以对任意的，当时，都有． 因为， 所以． 所以． 所以在上缓慢递减． 若选择条件①和结论②，构成的真命题为如果缓慢递增，那么单调递减． 理由如下： 因为在上缓慢递增， 所以对任意的，当时，都有． 因为， 所以． 所以． 所以在上单调递减． 而条件②：为单调递增函数， 不妨设，则， 根据题意代入，不满足新的定义， 所以为单调递增函数不能推出缓慢递减；也不能推出单调递减. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 23．（2024·湖北·合格考）已知函数，且. (1)当时，判断函数的单调性，并加以证明； (2)对给定的非零常数，是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)存在，， 【分析】（1）结合函数的定义域，分区间和，证明函数的单调性； （2）根据函数的定义域，确定，并根据确定，并代入验证函数是奇函数. 【详解】（1）当时，， 设， ， 因为，所以，则， 所以，即， 所以在上单调递减； 设， ， 因为，所以，则， 所以，即， 所以在上单调递增； （2）， 因为，若函数是奇函数，则，即，则， 所以， ，即， 所以，， ， 所以只要满足，，即，时，函数是奇函数. 【点睛】关键点点睛：不管是函数的单调性，和函数的奇偶性，首先考虑函数的定义域，然后考虑奇函数的性质，在原点处有定义时，. 24．（2022·福建·合格考）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)若，判断在的单调性，并用定义法证明； (3)若，，判断函数的零点个数，并说明理由． 【答案】(1)奇函数 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)有两个不同的零点，理由见解析 【分析】（1）根据奇偶性定义直接判断即可； （2）任取，可得，由单调性定义可得结论； （3）令，，令可求得的值，由此可求得对应的的取值，即的零点. 【详解】（1）由题意知：的定义域为， ，为定义在上的奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 任取， ； ，，，又，， 在上单调递减. （3）当时，，； 令，则，； 令，解得：， 在上单调递增，当或时，， 有两个不同的零点. 25．（2023·北京·合格考）已知是定义在区间上的偶函数，其部分图像如图所示． (1)求的值； (2)补全的图像，并写出不等式的解集． 【答案】(1)1 (2)作图见解析， 【分析】（1）根据偶函数的性质计算； （2）根据偶函数的性质以及函数图像计算. 【详解】（1）由图可知，， 因为是偶函数，所以； （2） 的图像如上图，不等式的解集为； 综上， ，的解集为. 26．（2023·湖北·合格考）已知函数且． (1)当时，讨论函数的奇偶性； (2)从①②两组条件中选取一组作为已知条件，证明：为增函数． ①； ②． 注：如果选择两组条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)答案见解析； (2)所选条件及证明见解析. 【分析】（1）讨论、，利用奇偶性定义证明； （2）应用单调性定义，令，，再根据所选的条件判断大小即可证. 【详解】（1）由定义域为R， 当，则，而，即为偶函数； 当，则，而，即为奇函数； （2）令，则， 选①，则，所以，， 即，所以为增函数，得证； 选②，则，所以，， 即，所以为增函数，得证； 考点四 函数的奇偶性 1．（2023·辽宁·合格考）下列函数在上既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数在上是奇函数，且为减函数，A不满足条件； 对于B选项，函数在上不是奇函数，且为增函数，B不满足条件； 对于C选项，函数在上是偶函数，且不单调，C不满足条件； 对于D选项，函数在上奇函数，且为增函数，D满足条件. 故选：D. 2．（2025·黑龙江·合格考）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】选项A：令，则，所以不是奇函数； 选项B：令，则，所以不是奇函数； 选项C：令，则，且定义域为R，所以是奇函数； 选项D：令，则，所以不是奇函数； 故选：C 3．（2024·安徽·合格考）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的性质，直接判断函数的奇偶性. 【详解】A.的图象关于轴对称，是偶函数，故A错误； B.是非奇非偶函数，故B错误； C.是奇函数，故C正确； D.的定义域是，是非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 4．（2024·江苏·合格考）函数（    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【分析】根据奇偶函数的定义判断选项. 【详解】由，定义域为， 又， 所以函数是奇函数不是偶函数. 故选：A. 5．（2025·湖南·合格考）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 【答案】A 【分析】根据奇函数的特性分析在的单调性，再结合判断即可． 【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值3，所以，又为奇函数，所以函数在区间上是增函数，且有最大值． 故选：A． 6．（2024·安徽·合格考）设函数是定义域为的偶函数，若在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数的单调性比较，结合偶函数性质可得，由此确定结论. 【详解】因为函数在区间上单调递减，， 所以，A错误； 因为函数是定义域为的偶函数， 所以，B错误； 所以，，D正确，C错误. 故选：D. 7．（2022·河北·合格考）已知函数，且为偶函数，给出以下四个结论： ①若，则； ②若，则； ③若，且，则； ④若，则. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据函数为偶函数，可得关于直线对称，即可求出a，可得的表达式，结合基本不等式可判断①②；利用二次函数的对称性可判断③；结合二次函数表达式化简可判断④. 【详解】由于函数，且为偶函数， 故可得关于直线对称，即的对称轴为， 则，即， 对于①，若，则， 当且仅当，即时取等号，故，①正确； 对于②，若，， 当且仅当，即时取等号，故，②正确； 对于③，若，且，即时，， 则，③正确； 对于④，若，则， 即得，④正确， 故正确结论的个数是4， 故选：D 8．（2022·河北·合格考）已知函数为偶函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质计算可得. 【详解】因为函数为偶函数，又函数的定义域为， 所以，即， 所以对任意的恒成立， 又，所以，解得. 故选：B 9．（2022·河北·合格考）已知函数为上的奇函数，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数性质，解得，并代入检验即可. 【详解】因为函数为上的奇函数， 则，解得， 若，则，且定义域为， 则， 所以函数为上的奇函数， 综上所述：. 故选：A. 10．（2024·北京·合格考）已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即. 故选：B. 11．（2024·云南·合格考）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本初等函数的奇偶性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数为奇函数； 对于B选项，函数为偶函数； 对于C选项，函数为奇函数； 对于D选项，函数为非奇非偶函数. 故选：B. 12．（2024·福建·合格考）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义逐个分析判断. 【详解】对于A，定义域为，因为，所以是奇函数，所以A正确， 对于B，定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，所以B错误， 对于C，定义域为，因为，所以不是奇函数，所以C错误； 对于D，定义域为，因为，所以不是奇函数，所以D错误. 故选：A. 13．（2023·云南·合格考）下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义逐个判断可得答案. 【详解】对于A：定义域为，且，故为奇函数，故A错误； 对于B：定义域为，且，故为奇函数，故B错误； 对于C：定义域为，，故为偶函数，故C正确； 对于D：定义域为，且，故为奇函数，故D错误； 故选：C 14．（2022·甘肃·合格考）下列函数中，既是奇函数且在区间上又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数，指数函数，对数函数的单调性和奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以函数为偶函数，故A不符题意； 对于B，函数为非奇非偶函数，故B不符题意； 对于C，函数为非奇非偶函数，故C不符题意； 对于D，，所以函数为奇函数， 又函数在区间上又是增函数，故D符合题意. 故选：D. 15．（2023·江苏·合格考）已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用奇函数性质代入数据计算得到答案. 【详解】因为函数为奇函数，且当时，， 所以. 故选：A. 16．（2024·广西·合格考）（多选）已知奇函数的图象关于原点对称．下列函数图象中，可以表示奇函数的有（    ） A．   B．   C．  D．   【答案】BC 【分析】根据奇函数关于原点对称判断选项. 【详解】根据奇函数关于原点对称结合函数图象，符合题意是B,C选项. 故选：BC. 17．（2025·辽宁·合格考）已知为定义域为的奇函数，当时，；当时， ． 【答案】 【分析】设，则，代入时解析式，利用奇函数的定义，即可求得答案. 【详解】设，则，代入时解析式可得， 又为奇函数，所以，所以，即. 故答案为：. 18．（2024·云南·合格考）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 且当时，， 所以. 故答案为：. 19．（2024·云南·合格考）已知函数是奇函数．若，则 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】依题意，是奇函数， 所以. 故答案为： 20．（2023·湖南·合格考）中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，如图所示的太极图.定义：若函数的图象是一条连续不断的曲线，且该曲线同时平分圆的周长和面积，则称函数为该圆的“完美函数”.写出圆心在坐标原点的圆的一个“完美函数” .    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意可得一定为奇函数，且图象是一条连续不断的曲线，进而写出符合题意的答案即可. 【详解】由题意，“完美函数”能平分圆的周长和面积，且图象是一条连续不断的曲线， 所以圆心在坐标原点时，“完美函数”一定为奇函数， 则符合题意的一个“完美函数”为（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一）. 21．（2023·广东·合格考）函数是偶函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求出解析式后即可代入求解. 【详解】因为当时，， 所以当时，， 所以， 函数是偶函数， 所以， 所以， 故答案为：. 22．（2025·四川·合格考）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，用定义法判断在的单调性. 【答案】(1)奇函数 (2)单调递减 【分析】(1)用函数奇偶性的定义可判断. (2)根据单调性的定义判断并证明即可. 【详解】（1）由题意知：的定义域为，定义域关于原点对称， 为定义在上的奇函数. （2）在上单调递减.证明如下： 任取， ，且 ，即. 在上单调递减.. 23．（2025·北京·合格考）已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据奇函数定义即可得证； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因的定义域为. 对于任意，都有，且， 故是奇函数. （2）已知，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值4. 24．（2025·北京·合格考）阅读下面题目及其解答过程． 已知函数为定义在上的奇函数，当时， ， （1） 求的值； （2） 求不等式的解集. 解：（1） 因为当时， 所以 ① . 因为是奇函数， 所以 ② . （2）当时， ③ ，所以恒成立. 当时，，所以 ④ . 因为是奇函数，所以 ⑤ . 所以. 由， 解得. 综上，不等式的解集为 ⑥ . 以上题目的解答过程中，设置了①⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置．(只需填写“A”或“B”) 空格序号 选项 ① A．    B． ② A．    B． ③ A．    B． ④ A．   B． ⑤ A．   B． ⑥ A．    B． 【答案】①A；②A；③B；④A；⑤B；⑥A 【分析】根据奇函数的定义与性质解奇函数的函数值、奇函数的解析式及解指数不等式即可. 【详解】（1）∵当时， ，∴，故①选A； ∵函数为定义在上的奇函数，∴，故②选A； （2）由指数函数的性质可知：当时， ，故③选B； ∵当时，，所以，故④选A； ∵函数为定义在上的奇函数，∴，故⑤选B； 由题中过程可知：不等式的解集为，故⑥选A. 25．（2024·湖北·合格考）已知函数，且. (1)当时，判断函数的单调性，并加以证明； (2)对给定的非零常数，是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)存在，， 【分析】（1）结合函数的定义域，分区间和，证明函数的单调性； （2）根据函数的定义域，确定，并根据确定，并代入验证函数是奇函数. 【详解】（1）当时，， 设， ， 因为，所以，则， 所以，即， 所以在上单调递减； 设， ， 因为，所以，则， 所以，即， 所以在上单调递增； （2）， 因为，若函数是奇函数，则，即，则， 所以， ，即， 所以，， ， 所以只要满足，，即，时，函数是奇函数. 【点睛】关键点点睛：不管是函数的单调性，和函数的奇偶性，首先考虑函数的定义域，然后考虑奇函数的性质，在原点处有定义时，. 26．（2023·辽宁·合格考）已知为定义在R上的奇函数，且当时，．求： (1)时，的解析式； (2)不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质,即可求解; （2）根据函数解析式结合对数函数的单调性可解. 【详解】（1）令，则， 即． 又为定义在上的奇函数， 所以． （2）因为在上是奇函数，所以， 所以等价于不等式组，或，或， 解得或或， 故不等式的解集为． 27．（2022·福建·合格考）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)若，判断在的单调性，并用定义法证明； (3)若，，判断函数的零点个数，并说明理由． 【答案】(1)奇函数 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)有两个不同的零点，理由见解析 【分析】（1）根据奇偶性定义直接判断即可； （2）任取，可得，由单调性定义可得结论； （3）令，，令可求得的值，由此可求得对应的的取值，即的零点. 【详解】（1）由题意知：的定义域为， ，为定义在上的奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 任取， ； ，，，又，， 在上单调递减. （3）当时，，； 令，则，； 令，解得：， 在上单调递增，当或时，， 有两个不同的零点. 28．（2023·北京·合格考）已知是定义在区间上的偶函数，其部分图像如图所示． (1)求的值； (2)补全的图像，并写出不等式的解集． 【答案】(1)1 (2)作图见解析， 【分析】（1）根据偶函数的性质计算； （2）根据偶函数的性质以及函数图像计算. 【详解】（1）由图可知，， 因为是偶函数，所以； （2） 的图像如上图，不等式的解集为； 综上， ，的解集为. 29．（2024·湖南·合格考）已知函数，，且为偶函数． (1)若，求的值； (2)求实数的值； (3)若对任意的，存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将指数式化为对数式即可； （2）利用偶函数的定义求解即可； （3）把问题转化成最值问题，根据的正，零，负三种情况进行分类讨论，利用函数的单调性求出各自的最值，建立不等式求解即可． 【详解】（1）， ， 解得：； （2）为偶函数， ， 恒成立， 所以； （3）由（2）知：， 对任意的，存在，使得恒成立， 将问题转化为：， 当时，即或， 开口向上，对称轴为， 在上单调递增， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， ； 当时，即或， 为常函数， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， 所以； 当时，即， 开口向下，对称轴为， 在上单调递减， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， ； 综上所述：实数的取值范围为：． 【点睛】本题考查了指数式化为对数式，偶函数、利用单调性研究函数的最值，解题的关键是将不等式恒成立问题转化为最值问题，同时需要注意分类讨论思想的使用． 30．（2023·湖北·合格考）已知函数且． (1)当时，讨论函数的奇偶性； (2)从①②两组条件中选取一组作为已知条件，证明：为增函数． ①； ②． 注：如果选择两组条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)答案见解析； (2)所选条件及证明见解析. 【分析】（1）讨论、，利用奇偶性定义证明； （2）应用单调性定义，令，，再根据所选的条件判断大小即可证. 【详解】（1）由定义域为R， 当，则，而，即为偶函数； 当，则，而，即为奇函数； （2）令，则， 选①，则，所以，， 即，所以为增函数，得证； 选②，则，所以，， 即，所以为增函数，得证； 考点五 函数的图像 1．（2023·安徽·合格考）为得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据函数的平移变换即可求解. 【详解】为得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点向左平移个单位长度, 故选：D 2．（2024·广西·合格考）二次函数的图象如图所示，不等式的解集为（    ）    A．R B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的图象数形结合得出解集. 【详解】根据函数的图象可得的解集为. 故选：B. 3．（2024·安徽·合格考）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数图象与非正半轴的交点个数及在上单调性判断即可. 【详解】当时，函数在上单调递增，排除AB； 当时，由，得或，此时函数图象与非正半轴有2个交点，排除C，选项D符合题意. 故选：D 4．（2025·辽宁·合格考）某盛水容器如图所示，可看作是上下对称的两个圆台，如果向该容器内倒水，在任意相等的时间间隔内所倒水的体积相等，那么该容器内的水面高度与时间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑相同的变化时间内高度变化的快慢后可得正确的选项. 【详解】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越大， 然后高度的增加量越来越小，最后高度一定，故C符合题意. 故选：C. 5．（2024·广西·合格考）在2小时内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据题意结合单调性判断. 【详解】根据题意函数先递增再递减，进而判断C选项符合题意. 故选：C. 6．（2024·湖南·合格考）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性及定点即可判断. 【详解】函数单调递增，且过点，B选项满足条件. 故选：B 7．（2025·黑龙江·合格考）如图所示，该图象对应的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象判断函数的性质，再结合幂函数的性质判断即可. 【详解】由函数图象可知，该函数的定义域为，函数图象关于原点对称，故为奇函数， 且函数在，上单调递减，故符合题意的只有A. 函数、在定义域上单调递增，不符合题意； 函数为偶函数，不符合题意； 故选：A 8．（2025·北京·合格考）已知函数则的最小值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】数形结合，画出函数的图象即可求解. 【详解】根据题意，画出函数的图象如下：    由图可知，的最小值是. 故选：C 9．（2023·北京·合格考）将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数平移变换进行求解即可. 【详解】将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数. 故选：B. 10．（2024·广西·合格考）（多选）已知奇函数的图象关于原点对称．下列函数图象中，可以表示奇函数的有（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BC 【分析】根据奇函数关于原点对称判断选项. 【详解】根据奇函数关于原点对称结合函数图象，符合题意是B,C选项. 故选：BC. 11．（2023·北京·合格考）已知是定义在区间上的偶函数，其部分图像如图所示． (1)求的值； (2)补全的图像，并写出不等式的解集． 【答案】(1)1 (2)作图见解析， 【分析】（1）根据偶函数的性质计算； （2）根据偶函数的性质以及函数图像计算. 【详解】（1）由图可知，， 因为是偶函数，所以； （2） 的图像如上图，不等式的解集为； 综上， ，的解集为. 考点六 函数的最值 1．（2024·北京·合格考）在区间上，的最大值是其最小值的倍，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用的单调性，得到，即可求解. 【详解】区间上单调递增，又，， 所以，即，解得， 故选：C. 2．（2024·云南·合格考）函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用指数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为在定义域上单调递增，所以函数在上的最小值为， 故选：B. 3．（2024·广西·合格考）函数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据函数单调性求出最大值. 【详解】因为是单调增函数， 又因为,所以. 故选：D. 4．（2022·河北·合格考）已知函数. (1)当时，函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． (2)当时，函数的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 (3)若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】(1)C (2)A (3)B 【分析】（1）根据余弦型函数的周期求解； （2）用二倍角公式化为关于的二次函数，由此可求得最大值； （3）化为关于的二次不等式，结合，利用二次函数性质列不等式求解． 【详解】（1），，，故选：C． （2），， 时，，故选：A （3），即， 所以， 因为， 所以，解得， 故选：B. 5．（2024·江苏·合格考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质可得函数在上单调递增，可求值域. 【详解】二次函数的对称轴为，抛物线的开口向上， 所以函数在上单调递增，所以，， 所以函数的值域为. 故选：C. 6．（2025·陕西·合格考）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一. 以其名命名的函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，如，. 则（    ） A．是奇函数且为递增函数 B．的值域为且为周期函数 C．若，则的最小值为 D．，满足的实数的取值范围是 【答案】C 【分析】通过举例可判断A；取，求出值域可判断；依据，可得，利用基本不等式可判断C；使用等价转换得，然后利用基本不等式以及题干定义可知D. 【详解】对A，，所以函数不是增函数，故错误； 对B，当，，且，故错误； 对C，由，所以，， 由，所以，则， 当且仅当时，取等号，故正确； 对D，，满足恒成立，等价于，恒成立, 由，当且仅当，即处取等号， 所以，所以，故错误. 故选：C 7．（2025·湖南·合格考）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 【答案】A 【分析】根据奇函数的特性分析在的单调性，再结合判断即可． 【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值3，所以，又为奇函数，所以函数在区间上是增函数，且有最大值． 故选：A． 8．（2024·湖南·合格考）已知函数，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．10 【答案】C 【分析】方法一：运用基本不等式可求得最小值. 方法二：求出函数在上的单调性，根据单调性判断函数的最值. 【详解】方法一：当时，， 所以得最小值是6. 方法二：因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故选：C 9．（2023·云南·合格考）已知函数，则函数的最大值为（    ） A．15 B．10 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据给定函数的单调性，求出在指定区间上的最大值作答. 【详解】函数在上单调递增，则， 所以函数的最大值为15. 故选：A 10．（2025·辽宁·合格考）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称． (1)求函数的解析式； (2)若． （i）求的值域； （ii）若对于，使得恒成立，求所有满足条件的的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题意知，与互为反函数，求解即可． （2）（i）设，，则，利用二次函数可求值域；（ii）由题意可得，进而参变分离可得，可求的取值范围． 【详解】（1）由题意知，与互为反函数． 将替换为，替换为得：，即， 所以． （2）（i）对于， 由，，则，， 所以的值域为． （ii）∵，使得恒成立， ∴． 即在上恒成立，得：在上恒成立， 参变分离得：． ∵在上单调递增，∴．∴， ∴的取值范围为． 11．（2025·陕西·合格考）已知函数，． (1)若，解不等式； (2)函数的图象过点． （i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据对数型函数的单调性解不等式即可； （2）（i）由题意转化为方程无解，分离参数后，根据指数、对数函数的单调性求值域及可得参数取值范围（ii）分离参数后，由对数函数的性质及基本不等式求出的最大值为，再由推出函数的周期即可得，据此结合单调性即可比较大小. 【详解】（1）当时，，由， 得，所以， 解得， 所以不等式的解集为． （2）（i） 的图象过点，，解得， 所以． 又函数的图象与直线没有公共点， 所以方程无实数解，即方程无实数解． 令，，则， ，，则，， 即函数的值域为，所以实数的取值范围为． （ii）若恒成立，则恒成立， 又， 由，得，当且仅当时取等号， 所以，则，故实数的最大值为． 由已知，得，所以，即． 所以． 又在上单调递增，， 所以，故． 12．（2024·湖南·合格考）已知函数，，且为偶函数． (1)若，求的值； (2)求实数的值； (3)若对任意的，存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将指数式化为对数式即可； （2）利用偶函数的定义求解即可； （3）把问题转化成最值问题，根据的正，零，负三种情况进行分类讨论，利用函数的单调性求出各自的最值，建立不等式求解即可． 【详解】（1）， ， 解得：； （2）为偶函数， ， 恒成立， 所以； （3）由（2）知：， 对任意的，存在，使得恒成立， 将问题转化为：， 当时，即或， 开口向上，对称轴为， 在上单调递增， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， ； 当时，即或， 为常函数， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， 所以； 当时，即， 开口向下，对称轴为， 在上单调递减， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， ； 综上所述：实数的取值范围为：． 【点睛】本题考查了指数式化为对数式，偶函数、利用单调性研究函数的最值，解题的关键是将不等式恒成立问题转化为最值问题，同时需要注意分类讨论思想的使用． 13．（2023·江苏·合格考）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，再计算周期即可. （2）设，，考虑，，三种情况，利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】（1），最小正周期. （2），即， 设，，， 当时，即，整理得到， ，当且仅当，即时等号成立，故； 当时，不等式恒成立； 当时，即，整理得到， ，当且仅当，即时等号成立，故. 综上所述：，即 考点七 分段函数 1．（2022·河北·合格考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意中的解析式，先求出，再求即可. 【详解】由题意知，，， 所以. 故选：B 2．（2023·辽宁·合格考）已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数分别列不等式组，再结合指数函数及幂函数的单调性运算求解. 【详解】因为函数， 则由不等式可得或， 所以或， 所以或. 即得. 故选：C. 3．（2024·湖南·合格考）为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过 3.2元 超过但不超过的部分 3.6元 超过的部分 4.5元 若某户居民一年的燃气用量为，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（    ） A．1600元 B．1680元 C．1800元 D．2250元 【答案】B 【分析】直接分段计算，然后相加即可得解. 【详解】由题意此户居民这一年应缴纳的燃气费为元. 故选：B. 4．（2022·河北·合格考）已知函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题涉及到分段函数的概念。对于分段函数，需要根据自变量的取值范围确定使用哪一段函数表达式进行计算。本题中，所以要根据 这个递推关系逐步将的值转化到的范围，再使用进行计算. 【详解】根据递推关系转化自变量的值 因为，根据，则. 计算.此时，所以. 根据三角函数值可知. 故选：B. 5．（2024·江苏·合格考）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 已知某用户本月的用水量为，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是（    ） A．45 B．54 C．72 D．90 【答案】B 【分析】根据阶梯水价的计算方法求解. 【详解】某用户本月的用水量为，该用户本月应交纳的水费为元. 故选：B. 6．（2024·江苏·合格考）已知函数，则(    ) A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式，先求,再求即得. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A. 7．（2025·北京·合格考）已知函数则的最小值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】数形结合，画出函数的图象即可求解. 【详解】根据题意，画出函数的图象如下：    由图可知，的最小值是. 故选：C 8．（2023·北京·合格考）已知函数，则的最小值是（    ） A．2 B．1 C．－2 D．－1 【答案】D 【分析】分段函数，分别求函数在两个定义区间内的最小值，即可得到函数最小值. 【详解】当时，，，有最小值1； 当时，， ，有最小值-1； 所以的最小值是-1. 故选：D 9．（2023·广东·合格考）已知函数，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义求值. 【详解】，． 故选：D． 10．（2023·江苏·合格考）若函数的值域为，则实数的可能值共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式，讨论m的范围，确定每段的函数最小值，由题意列方程，求得m的值，可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 若，的值域为，不合题意； 若，则时，，，由于 ， 由题意可知需使； 若，则时，，，， 故需使， 即实数的可能值共有2个， 故选：B 11．（2022·福建·合格考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别将和代入对应解析式即可求得结果. 【详解】，. 故选：C. 12．（2024·北京·合格考）已知则 ；的最大值为 ． 【答案】 1 2 【分析】第一空直接代入即可，第二空分别计算两段的最大值，比较即可求解. 【详解】由解析式可知：， 当，易知， 当，，当时，取最大值2， 所以的最大值为2， 故答案为：1，2 13．（2023·云南·合格考）函数，则 . 【答案】3 【分析】根据给定的分段函数，代入计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：3 14．（2022·甘肃·合格考）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的在单调递增建立不等式组解出即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以有， 解得：， 故答案为：. 15．（2024·江苏·合格考）定义：区间的长度均等于.设函数的值域为区间. (1)已知，求的长度； (2)已知.是否存在实数，使得的长度？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)9 (2)存在， 【分析】（1）求出二次函数的值域，根据区间长度的定义得解； （2）根据题意，写出分段函数，分别求出每段的值域，按照与的大小讨论，求出的值域，并根据求解验证. 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以的值域为，的长度为. （2）根据题意，， 即，， 当时，， 当时，， 若，则的值域，则， 或，又，不合题意； 若，则的值域，则， 即，解得或（舍去）， 当时，满足，合题意. 所以存在实数，使得的长度. 16．（2024·福建·合格考）已知函数且． (1)求实数a的值； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分段函数解析式代入计算可得； （2）由（1）可得的解析式，即可分析函数在各段的单调性与取值范围，再画出的图象，依题意函数与在上恰有两个交点，数形结合即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为且， 所以，解得； （2）由（1）可得， 当时，函数在上单调递减，且； 当时，则在上单调递增， 在上单调递减，且，，即； 所以的图象如下所示： 因为函数在上恰有两个零点， 即函数与在上恰有两个交点， 由图可知或，即实数的取值范围为. 考点八 函数与方程 1．（2025·四川·合格考）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由对数函数的性质及零点定义求解即可. 【详解】因为，，且函数在上单调递增，令，解得，所以函数只有一个零点. 故选：B. 2．（2025·湖南·合格考）函数的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先研究函数的单调性，再判断零点的个数，最后分析的解即可求出． 【详解】因为在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增，最多只有一个零点，又因为，所以函数的零点为． 故选：B． 3．（2025·北京·合格考）已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，求出直线与该图象交点个数即得. 【详解】由给定的图象知，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以方程的解的个数为1. 故选：B 4．（2025·辽宁·合格考）已知函数，为的根，下列说法正确的是（   ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 【答案】D 【分析】在上单调递增，结合零点存在性定理计算可判断结论. 【详解】因为在上单调递增，所以至多一个零点， 又， 又为的根，所以，故A错误； 又， 又为的根，所以，故B错误； 由，又为的根，可得，故C错误，D正确. 故选：D. 5．（2025·湖南·合格考）函数在区间上的零点个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】令，解得，当时，分别计算出对应的值，找出符合的值即可得解. 【详解】令，解得. 当时，，符合条件； 当时， ，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，不符合条件； 当时，，不符合条件. 综上，在区间上，有三个解， 即函数的零点个数为3. 故选：D 6．（2025·北京·合格考）已知函数.下列区间中包含的零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数零点即可得解. 【详解】因为，解得， 所以， 故选：D 7．（2022·河北·合格考）关于函数，实数满足，且，有以下四个结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先将函数写成分段函数，画出函数图象，数形结合即可判断①；结合及基本不等式判断②；再结合的范围确定、的范围，即可判断③④. 【详解】因为， 当时，则，当时，则， 所以的图象如下所示： 因为实数满足，且，即与有两个交点，由图可知，故①正确； 因为，所以，所以， 所以，所以，即， 所以，所以，所以，故②正确； 当时，则，即， 又，所以， 所以，即， 又，所以，所以，则， 又， 所以， 所以，即，故③错误； 当时，，故④正确； 综上所述，正确的结论有个. 故选：C 8．（2022·河北·合格考）已知函数在内有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数确定单调性，然后由零点存在定理求解． 【详解】由题意，， 所以时，，是单调递减函数， 它在上零点，则，解得， 故选：B． 9．（2022·河北·合格考）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】判断函数的单调性，继而结合零点存在定理列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由于在R上均单调递增，故函数在R上单调递增， 又，且，则，解得. 故选：B 10．（2024·湖南·合格考）函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据零点定义计算即可. 【详解】令，解得，则其零点为2. 故选：C. 11．（2024·江苏·合格考）已知函数，若实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】作出函数的图象，由图可得，，再利用均值不等式即可求解. 【详解】函数的图象如图， 因为，， 由图可知，， ，即， 解得，且， ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 12．（2024·安徽·合格考）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，解方程可得结论. 【详解】令，可得， 所以，故. 所以函数的零点是. 故选：B. 13．（2022·甘肃·合格考）函数零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】分和两种情况，直接解方程即可. 【详解】当时，由解得； 当时，令，显然无实数解. 综上，函数的零点为0. 故选：A 14．（2023·北京·合格考）函数的零点是（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据零点的定义求解. 【详解】令 ，则 ； 故选：C. 15．（2025·黑龙江·合格考）已知函数，则函数的零点个数为 . 【答案】1 【分析】利用零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增且连续， 且，， 所以函数有1个零点， 故答案为：1 16．（2025·辽宁·合格考）已知函数在上有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得在上有两个根，由二次函数的根的分布可求得的取值范围. 【详解】由函数在上有两个零点， 可得在上有两个根，令 则，解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 17．（2025·陕西·合格考）函数的零点是 (写出满足条件的一个零点即可). 【答案】（或填，答案不唯一） 【分析】求出函数的零点，写出一个即可. 【详解】当时，，解得， 当时，，解得. 故答案为：（或填，答案不唯一） 18．（2025·湖南·合格考）已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过三角恒等式、诱导公式、二倍角公式以及降幂公式进行化简，代入即可. （2）求解零点的分布，解得通解，再分析解的分布即可. 【详解】（1）化简函数， 利用恒等式，，， 得到： ， 当时，，在的值域为， 所以若，函数的值域为. （2）令，解得， 则或， 即或， 在区间内，前两个非负解为，，后续解依次为，等， 为使恰好有两个零点，需满足， 因此，的取值范围为. 19．（2024·云南·合格考）已知b、c是常数，函数，，．函数的零点是、2． (1)求b、c的值； (2)函数是否有零点？若有，请求出的所有零点；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)函数有零点，为. 【分析】（1）由题意可得和2为方程的根，进而结合韦达定理求解即可； （2）结合题意可得，令，因式分解可得，进而解方程即可求解. 【详解】（1）由，因为函数的零点是和2， 所以和2为方程的根，则，解得. （2）由（1）知，，所以， 令，即，即，即， 解得或或或， 即函数的零点为. 20．（2024·福建·合格考）已知函数且． (1)求实数a的值； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分段函数解析式代入计算可得； （2）由（1）可得的解析式，即可分析函数在各段的单调性与取值范围，再画出的图象，依题意函数与在上恰有两个交点，数形结合即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为且， 所以，解得； （2）由（1）可得， 当时，函数在上单调递减，且； 当时，则在上单调递增， 在上单调递减，且，，即； 所以的图象如下所示： 因为函数在上恰有两个零点， 即函数与在上恰有两个交点， 由图可知或，即实数的取值范围为. 21．（2024·云南·合格考）已知、为常数，，是的零点，且. (1)若，，求、的值； (2)若，比较与的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用韦达定理将，代入计算可得； （2）利用作差法以及两根之间的关系，再由不等式性质计算可判断结论. 【详解】（1）依题意可得的两根分别为； 若，，可得， 解得； （2）易知， 所以，则； 所以， 由可得， 又可得，所以，即； 因此. 所以. 22．（2024·北京·合格考）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的值； (2)求函数的零点． 【答案】(1) (2)，3 【分析】（1）根据图象可知，即可求解函数解析式，再代入求值； （2）根据零点的定义，解方程，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以． 所以． 所以． （2）因为， 所以． 令， 得． 所以的零点为，3． 23．（2022·福建·合格考）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)若，判断在的单调性，并用定义法证明； (3)若，，判断函数的零点个数，并说明理由． 【答案】(1)奇函数 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)有两个不同的零点，理由见解析 【分析】（1）根据奇偶性定义直接判断即可； （2）任取，可得，由单调性定义可得结论； （3）令，，令可求得的值，由此可求得对应的的取值，即的零点. 【详解】（1）由题意知：的定义域为， ，为定义在上的奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 任取， ； ，，，又，， 在上单调递减. （3）当时，，； 令，则，； 令，解得：， 在上单调递增，当或时，， 有两个不同的零点. 考点九 函数模型的应用 1．（2023·辽宁·合格考）卫生部年月发布的《中国岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国岁以下女童身高的中位数与年龄之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的增长速度可得合适的函数模型. 【详解】由图可知，随着的增长，的增长速度越来越慢，C选项中的函数模型较为合适. 故选：C. 2．（2024·湖南·合格考）为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过 3.2元 超过但不超过的部分 3.6元 超过的部分 4.5元 若某户居民一年的燃气用量为，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（    ） A．1600元 B．1680元 C．1800元 D．2250元 【答案】B 【分析】直接分段计算，然后相加即可得解. 【详解】由题意此户居民这一年应缴纳的燃气费为元. 故选：B. 3．（2024·江苏·合格考）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 已知某用户本月的用水量为，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是（    ） A．45 B．54 C．72 D．90 【答案】B 【分析】根据阶梯水价的计算方法求解. 【详解】某用户本月的用水量为，该用户本月应交纳的水费为元. 故选：B. 4．（2024·福建·合格考）某“定制班车”的票价按下列规则制定： ①行程在以内的（含），票价2元； ②行程在以上的，前票价2元，以后每增加票价增加1元（不足的按计算）． 小明某天乘坐该“定制班车”，行程，票价4元，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据小明的票价分析行程最大值，即可判断. 【详解】因为小明的票价为元，则小明的行程最大为， 又当小明的行程为时，票价只需元， 则小明的行程需大于且不超过，所以. 故选：B 5．（2025·北京·合格考）某市居民自来水水价实行阶梯水价制度，用水销售价格表如下： 阶梯 户年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 0-180（含） 5 第二阶梯 181~260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 根据上述信息，下列结论中正确的是（   ） A．若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为770元 B．若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为950元 C．若某户居民自来水年缴费为700元，则该户自来水年用水量在至之间 D．若某户居民自来水年缴费为970元，则该户自来水年用水量在至之间 【答案】D 【分析】根据分段函数的概念即可逐一判断. 【详解】若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为元，故A错误； 若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为元，故B错误； 对于第一阶梯，用户缴费的最大值为元，而第二阶梯用户缴费必然大于元，所以若某户居民自来水年缴费为元，则他来自第一阶梯，故C错误. 由C可知：元费用必在第二阶梯或以上，设用水量为，则，解得，因为，故D正确 故选：D 6．（2024·湖北·合格考）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复利计算方式可直接计算得出结果. 【详解】根据复利计算利息的方式可知存期数为1时，本利和为， 存期数为2时可得本利和为， 所以存期数为时，本利和为. 故选：D 7．（2025·北京·合格考）某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年的增长到2023年的.设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据年平均增长率的意义列方程即可. 【详解】根据题意列方程：. 故选：C 8．（2023·湖南·合格考）为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（    ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由函数图象特殊点代入解析式求解， 【详解】当时，，代入解析式得，得， 令，解得，即，， 故选；C 9．（2022·甘肃·合格考）加快县域范围内农业转移人口市名化，是“十四五”期间我国城镇化和城市化战略的实践重点．某高二数学兴趣小组，通过查找历年数据，发现本县城区常住人口每年大约以的增长率递增，若要据此预测该县城区若干年后的常住人口，则在建立模型阶段，该小组可以选择的函数模型为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】由题意可得该县区城区常住人口与年份的函数关系为指数型函数，即可得解. 【详解】由题意可知，该县城区常住人口每年大约以的增长率递增， 则该县区城区常住人口与年份的函数关系为指数型函数. 故选：B. 10．（2023·江苏·合格考）2023年2月6日，土耳其发生强烈地震，造成重大人员伤亡和财产损失，江苏救援队伍紧急赴当地开展救报行动.尽管日前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（    ） A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】代入数据计算，，计算得到答案. 【详解】，；，， . 故选：C 11．（2023·江苏·合格考）在一次实验中，某小组测得一组数据，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间上，下列四个函数模型为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数模型的增长方式以及定义域可确定选项. 【详解】由散点图的定义域可排除C、D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型. 故选：B 12．（2022·福建·合格考）某池塘里浮萍的面积（单位：）为时间（单位：月）的指数函数，即，且有关数据如图所示．若经过年，浮萍恰好充满整个池塘，则下列说法正确的是（    ）    A．浮萍面积的月增长率均为 B．浮萍面积的月增加量都相等 C．第个月，浮萍面积为 D．第个月，浮萍面积占池塘面积的一半 【答案】A 【分析】根据图象所过点可求得函数解析式，可判断AB；代入可知C错误；对比池塘面积和第个月的浮萍面积可知D错误. 【详解】过点，，则； 对于A，每个月的月增长率为，A正确； 对于B，浮萍面积第个月的增加量为；第个月的增加量为，B错误； 对于C，当时，，即浮萍面积为，C错误； 对于D，池塘总面积为，第个月浮萍面积为， 第个月，浮萍面积不足池塘面积的一半，D错误. 故选：A. 13．（2025·湖南·合格考）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则 ． 【答案】9 【分析】根据给定函数模型，代入列式计算得解. 【详解】依题意，，则，解得， ，则，解得， 所以. 故答案为：9 14．（2023·安徽·合格考）如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 【答案】(1) (2)当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 【分析】（1）根据矩形面积即可求解， （2）根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）则，， 所以 （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 15．（2023·广东·合格考）某企业十年内投资一个项目，2022年投资200万，之后每一年的投资额比前一年增长10%. (1)求该企业在2024年该项目的头投资金额； (2)该企业在哪一年的投资金额将达到400万元?（参考数据：） 【答案】(1)242万元； (2)2030年． 【分析】（1）根据增长率的定义求解； （2）结合指数函数模型列方程求解． 【详解】（1）由题意2023年投资额为，2024年投资额为（万元）； （2）设第年投资金额将达到400万元，即，， ，， 因此在第9年即2030年投资金额将达到400万元． 28 / 86 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 9类高频考点概览 考点一 函数的定义 考点二 函数的定义域 考点三 函数的单调性 考点四 函数的奇偶性 考点五 函数的图像 考点六 函数的最值 考点七 分段函数 考点八 函数与方程 考点九 函数模型的应用 考点一 函数的定义 1．（2024·湖北·合格考）若函数满足“对定义域内任意实数，都有”，则可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广西·合格考）已知函数，则（    ） A． B． C． D．1 3．（2025·黑龙江·合格考）已知函数，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（2023·安徽·合格考）设为实数，不超过的最大整数称为的整数部分，记作.例如，.称函数为取整函数，下列关于取整函数的三个结论： ①对任意，都有； ②对任意，都有； ③对任意，都有. 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（2025·陕西·合格考）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一. 以其名命名的函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，如，. 则（    ） A．是奇函数且为递增函数 B．的值域为且为周期函数 C．若，则的最小值为 D．，满足的实数的取值范围是 6．（2023·湖北·合格考）（多选）十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数满足，则称为“倒函数”．下列函数为“倒函数”的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·云南·合格考）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 8．（2025·北京·合格考）阅读下面题目及其解答过程． 已知函数为定义在上的奇函数，当时， ， （1） 求的值； （2） 求不等式的解集. 解：（1） 因为当时， 所以 ① . 因为是奇函数， 所以 ② . （2）当时， ③ ，所以恒成立. 当时，，所以 ④ . 因为是奇函数，所以 ⑤ . 所以. 由， 解得. 综上，不等式的解集为 ⑥ . 以上题目的解答过程中，设置了①⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置．(只需填写“A”或“B”) 空格序号 选项 ① A．    B． ② A．    B． ③ A．    B． ④ A．   B． ⑤ A．   B． ⑥ A．    B． 9．（2024·北京·合格考）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的值； (2)求函数的零点． 10．（2024·北京·合格考）已知是定义在上的函数． 如果对任意的，当时，都有，则称缓慢递增． 如果对任意的，当时，都有，则称缓慢递减． (1)已知函数缓慢递增，写出一组的值； (2)若缓慢递增且，直接写出的取值范围； (3)设，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，从结论①、结论②中选择一个作为结论，构成一个真命题，并说明理由． 条件①：缓慢递增；        条件②：单调递增． 结论①：缓慢递减；        结论②：单调递减． 11．（2024·江苏·合格考）定义：区间的长度均等于.设函数的值域为区间. (1)已知，求的长度； (2)已知.是否存在实数，使得的长度？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 考点二 函数的定义域 1．（2023·湖南·合格考）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·合格考）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京·合格考）已知函数．若的图象经过原点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·合格考）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·云南·合格考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·江苏·合格考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·云南·合格考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（2022·北京·合格考）已知函数，则的定义域是 . 9．（2023·辽宁·合格考）已知函数． (1)当时，求的值； (2)若函数的定义域为，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 10．（2022·甘肃·合格考）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的图象过，求的单调区间． 考点三 函数的单调性 1．（2023·辽宁·合格考）下列函数在上既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川·合格考）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·辽宁·合格考）已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 4．（2025·北京·合格考）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·合格考）已知函数，为的根，下列说法正确的是（   ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 6．（2025·黑龙江·合格考）如图所示，函数的单调递减区间为（    ） A． B．和 C． D． 7．（2024·安徽·合格考）设函数是定义域为的偶函数，若在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 8．（2022·河北·合格考）下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·北京·合格考）在下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·广西·合格考）在2小时内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（    ） A．   B．   C． D．   11．（2024·云南·合格考）函数是定义域为的增函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2022·河北·合格考）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·湖北·合格考）若函数满足“对定义域内任意实数，都有”，则可以是（    ） A． B． C． D． 14．（2023·安徽·合格考）下列函数为减函数的是（    ） A． B． C． D． 15．（2023·北京·合格考）下列函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 16．（2022·甘肃·合格考）下列函数中，既是奇函数且在区间上又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 17．（2023·广东·合格考）下列函数中，在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 18．（2022·福建·合格考）下列函数中，在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 19．（2024·湖北·合格考）（多选）已知为欧拉常数，为圆周率，则（    ） A． B． C． D． 20．（2025·四川·合格考）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，用定义法判断在的单调性. 21．（2025·陕西·合格考）已知函数，． (1)若，解不等式； (2)函数的图象过点． （i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 22．（2024·北京·合格考）已知是定义在上的函数． 如果对任意的，当时，都有，则称缓慢递增． 如果对任意的，当时，都有，则称缓慢递减． (1)已知函数缓慢递增，写出一组的值； (2)若缓慢递增且，直接写出的取值范围； (3)设，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，从结论①、结论②中选择一个作为结论，构成一个真命题，并说明理由． 条件①：缓慢递增；        条件②：单调递增． 结论①：缓慢递减；        结论②：单调递减． 23．（2024·湖北·合格考）已知函数，且. (1)当时，判断函数的单调性，并加以证明； (2)对给定的非零常数，是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 24．（2022·福建·合格考）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)若，判断在的单调性，并用定义法证明； (3)若，，判断函数的零点个数，并说明理由． 25．（2023·北京·合格考）已知是定义在区间上的偶函数，其部分图像如图所示． (1)求的值； (2)补全的图像，并写出不等式的解集． 26．（2023·湖北·合格考）已知函数且． (1)当时，讨论函数的奇偶性； (2)从①②两组条件中选取一组作为已知条件，证明：为增函数． ①； ②． 注：如果选择两组条件分别解答，按第一个解答计分． 考点四 函数的奇偶性 1．（2023·辽宁·合格考）下列函数在上既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江·合格考）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·合格考）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏·合格考）函数（    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 5．（2025·湖南·合格考）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 6．（2024·安徽·合格考）设函数是定义域为的偶函数，若在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 7．（2022·河北·合格考）已知函数，且为偶函数，给出以下四个结论： ①若，则； ②若，则； ③若，且，则； ④若，则. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2022·河北·合格考）已知函数为偶函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 9．（2022·河北·合格考）已知函数为上的奇函数，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 10．（2024·北京·合格考）已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 11．（2024·云南·合格考）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·福建·合格考）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 13．（2023·云南·合格考）下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 14．（2022·甘肃·合格考）下列函数中，既是奇函数且在区间上又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 15．（2023·江苏·合格考）已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 16．（2024·广西·合格考）（多选）已知奇函数的图象关于原点对称．下列函数图象中，可以表示奇函数的有（    ） A．   B．   C．  D．   17．（2025·辽宁·合格考）已知为定义域为的奇函数，当时，；当时， ． 18．（2024·云南·合格考）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 19．（2024·云南·合格考）已知函数是奇函数．若，则 ． 20．（2023·湖南·合格考）中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，如图所示的太极图.定义：若函数的图象是一条连续不断的曲线，且该曲线同时平分圆的周长和面积，则称函数为该圆的“完美函数”.写出圆心在坐标原点的圆的一个“完美函数” .    21．（2023·广东·合格考）函数是偶函数，当时，，则 . 22．（2025·四川·合格考）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，用定义法判断在的单调性. 23．（2025·北京·合格考）已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 24．（2025·北京·合格考）阅读下面题目及其解答过程． 已知函数为定义在上的奇函数，当时， ， （1） 求的值； （2） 求不等式的解集. 解：（1） 因为当时， 所以 ① . 因为是奇函数， 所以 ② . （2）当时， ③ ，所以恒成立. 当时，，所以 ④ . 因为是奇函数，所以 ⑤ . 所以. 由， 解得. 综上，不等式的解集为 ⑥ . 以上题目的解答过程中，设置了①⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置．(只需填写“A”或“B”) 空格序号 选项 ① A．    B． ② A．    B． ③ A．    B． ④ A．   B． ⑤ A．   B． ⑥ A．    B． 25．（2024·湖北·合格考）已知函数，且. (1)当时，判断函数的单调性，并加以证明； (2)对给定的非零常数，是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 26．（2023·辽宁·合格考）已知为定义在R上的奇函数，且当时，．求： (1)时，的解析式； (2)不等式的解集． 27．（2022·福建·合格考）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)若，判断在的单调性，并用定义法证明； (3)若，，判断函数的零点个数，并说明理由． 28．（2023·北京·合格考）已知是定义在区间上的偶函数，其部分图像如图所示． (1)求的值； (2)补全的图像，并写出不等式的解集． 29．（2024·湖南·合格考）已知函数，，且为偶函数． (1)若，求的值； (2)求实数的值； (3)若对任意的，存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 30．（2023·湖北·合格考）已知函数且． (1)当时，讨论函数的奇偶性； (2)从①②两组条件中选取一组作为已知条件，证明：为增函数． ①； ②． 注：如果选择两组条件分别解答，按第一个解答计分． 考点五 函数的图像 1．（2023·安徽·合格考）为得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移单位长度 D．向左平移个单位长度 2．（2024·广西·合格考）二次函数的图象如图所示，不等式的解集为（    ）    A．R B． C． D． 3．（2024·安徽·合格考）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁·合格考）某盛水容器如图所示，可看作是上下对称的两个圆台，如果向该容器内倒水，在任意相等的时间间隔内所倒水的体积相等，那么该容器内的水面高度与时间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·广西·合格考）在2小时内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   6．（2024·湖南·合格考）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江·合格考）如图所示，该图象对应的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·北京·合格考）已知函数则的最小值是（   ） A． B． C．0 D．1 9．（2023·北京·合格考）将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·广西·合格考）（多选）已知奇函数的图象关于原点对称．下列函数图象中，可以表示奇函数的有（    ） A．   B．   C．   D．   11．（2023·北京·合格考）已知是定义在区间上的偶函数，其部分图像如图所示． (1)求的值； (2)补全的图像，并写出不等式的解集． 考点六 函数的最值 1．（2024·北京·合格考）在区间上，的最大值是其最小值的倍，则实数（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南·合格考）函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广西·合格考）函数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2022·河北·合格考）已知函数. (1)当时，函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． (2)当时，函数的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 (3)若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏·合格考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西·合格考）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一. 以其名命名的函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，如，. 则（    ） A．是奇函数且为递增函数 B．的值域为且为周期函数 C．若，则的最小值为 D．，满足的实数的取值范围是 7．（2025·湖南·合格考）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 8．（2024·湖南·合格考）已知函数，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．10 9．（2023·云南·合格考）已知函数，则函数的最大值为（    ） A．15 B．10 C．0 D． 10．（2025·辽宁·合格考）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称． (1)求函数的解析式； (2)若． （i）求的值域； （ii）若对于，使得恒成立，求所有满足条件的的取值范围． 11．（2025·陕西·合格考）已知函数，． (1)若，解不等式； (2)函数的图象过点． （i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 12．（2024·湖南·合格考）已知函数，，且为偶函数． (1)若，求的值； (2)求实数的值； (3)若对任意的，存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 13．（2023·江苏·合格考）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求实数的取值范围. 考点七 分段函数 1．（2022·河北·合格考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·辽宁·合格考）已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·湖南·合格考）为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过 3.2元 超过但不超过的部分 3.6元 超过的部分 4.5元 若某户居民一年的燃气用量为，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（    ） A．1600元 B．1680元 C．1800元 D．2250元 4．（2022·河北·合格考）已知函数则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏·合格考）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 已知某用户本月的用水量为，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是（    ） A．45 B．54 C．72 D．90 6．（2024·江苏·合格考）已知函数，则(    ) A．2 B．1 C．0 D． 7．（2025·北京·合格考）已知函数则的最小值是（   ） A． B． C．0 D．1 8．（2023·北京·合格考）已知函数，则的最小值是（    ） A．2 B．1 C．－2 D．－1 9．（2023·广东·合格考）已知函数，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．（2023·江苏·合格考）若函数的值域为，则实数的可能值共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2022·福建·合格考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·北京·合格考）已知则 ；的最大值为 ． 13．（2023·云南·合格考）函数，则 . 14．（2022·甘肃·合格考）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围 ． 15．（2024·江苏·合格考）定义：区间的长度均等于.设函数的值域为区间. (1)已知，求的长度； (2)已知.是否存在实数，使得的长度？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 16．（2024·福建·合格考）已知函数且． (1)求实数a的值； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围． 考点八 函数与方程 1．（2025·四川·合格考）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·湖南·合格考）函数的零点为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·合格考）已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025·辽宁·合格考）已知函数，为的根，下列说法正确的是（   ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 5．（2025·湖南·合格考）函数在区间上的零点个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2025·北京·合格考）已知函数.下列区间中包含的零点的是（   ） A． B． C． D． 7．（2022·河北·合格考）关于函数，实数满足，且，有以下四个结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2022·河北·合格考）已知函数在内有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2022·河北·合格考）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 10．（2024·湖南·合格考）函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（2024·江苏·合格考）已知函数，若实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 12．（2024·安徽·合格考）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 13．（2022·甘肃·合格考）函数零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（2023·北京·合格考）函数的零点是（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 15．（2025·黑龙江·合格考）已知函数，则函数的零点个数为 . 16．（2025·辽宁·合格考）已知函数在上有两个零点，则的取值范围是 ． 17．（2025·陕西·合格考）函数的零点是 (写出满足条件的一个零点即可). 18．（2025·湖南·合格考）已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 19．（2024·云南·合格考）已知b、c是常数，函数，，．函数的零点是、2． (1)求b、c的值； (2)函数是否有零点？若有，请求出的所有零点；若没有，请说明理由． 20．（2024·福建·合格考）已知函数且． (1)求实数a的值； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围． 21．（2024·云南·合格考）已知、为常数，，是的零点，且. (1)若，，求、的值； (2)若，比较与的大小. 22．（2024·北京·合格考）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的值； (2)求函数的零点． 23．（2022·福建·合格考）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)若，判断在的单调性，并用定义法证明； (3)若，，判断函数的零点个数，并说明理由． 考点九 函数模型的应用 1．（2023·辽宁·合格考）卫生部年月发布的《中国岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国岁以下女童身高的中位数与年龄之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·湖南·合格考）为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过 3.2元 超过但不超过的部分 3.6元 超过的部分 4.5元 若某户居民一年的燃气用量为，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（    ） A．1600元 B．1680元 C．1800元 D．2250元 3．（2024·江苏·合格考）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 已知某用户本月的用水量为，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是（    ） A．45 B．54 C．72 D．90 4．（2024·福建·合格考）某“定制班车”的票价按下列规则制定： ①行程在以内的（含），票价2元； ②行程在以上的，前票价2元，以后每增加票价增加1元（不足的按计算）． 小明某天乘坐该“定制班车”，行程，票价4元，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·北京·合格考）某市居民自来水水价实行阶梯水价制度，用水销售价格表如下： 阶梯 户年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 0-180（含） 5 第二阶梯 181~260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 根据上述信息，下列结论中正确的是（   ） A．若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为770元 B．若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为950元 C．若某户居民自来水年缴费为700元，则该户自来水年用水量在至之间 D．若某户居民自来水年缴费为970元，则该户自来水年用水量在至之间 6．（2024·湖北·合格考）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·北京·合格考）某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年的增长到2023年的.设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（   ） A． B． C． D． 8．（2023·湖南·合格考）为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（    ）      A．， B．， C．， D．， 9．（2022·甘肃·合格考）加快县域范围内农业转移人口市名化，是“十四五”期间我国城镇化和城市化战略的实践重点．某高二数学兴趣小组，通过查找历年数据，发现本县城区常住人口每年大约以的增长率递增，若要据此预测该县城区若干年后的常住人口，则在建立模型阶段，该小组可以选择的函数模型为（    ） A． B．且 C． D．且 10．（2023·江苏·合格考）2023年2月6日，土耳其发生强烈地震，造成重大人员伤亡和财产损失，江苏救援队伍紧急赴当地开展救报行动.尽管日前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（    ） A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍 11．（2023·江苏·合格考）在一次实验中，某小组测得一组数据，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间上，下列四个函数模型为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 12．（2022·福建·合格考）某池塘里浮萍的面积（单位：）为时间（单位：月）的指数函数，即，且有关数据如图所示．若经过年，浮萍恰好充满整个池塘，则下列说法正确的是（    ）    A．浮萍面积的月增长率均为 B．浮萍面积的月增加量都相等 C．第个月，浮萍面积为 D．第个月，浮萍面积占池塘面积的一半 13．（2025·湖南·合格考）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则 ． 14．（2023·安徽·合格考）如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 15．（2023·广东·合格考）某企业十年内投资一个项目，2022年投资200万，之后每一年的投资额比前一年增长10%. (1)求该企业在2024年该项目的头投资金额； (2)该企业在哪一年的投资金额将达到400万元?（参考数据：） 33 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $