专题07 立体几何初步（学考真题汇编，全国通用）高中数学

专题07 立体几何初步 4类高频考点概览 考点一 空间几何体 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点三 直线、平面平行的判定与性质 考点四 直线、平面垂直的判定与性质 考点一 空间几何体 1．（2025·辽宁·合格考）我国古代的数学著作《九章算术》中提到了“仓”“堑堵”“阳马”等几何体，其中“仓”是长方体，“堑堵”是两底面为直角三角形的棱柱，“阳马”是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．在“阳马”中，平面，分别为、、、的中点，、、、分别为、、、的中点，和交于，平面、平面、平面将阳马分割成一个“仓”，2个“堑堵”和2个小“阳马”，那么分割后2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中中点条件得到2个小“阳马”的高度、底面积与“阳马”的高度和底面积的关系，结合棱锥的体积公式得到结果. 【详解】设底面的面积为，高为h（即的长度），则“阳马”的体积为， 因为分别为、、、的中点，分别为、、、的中点， 所以小“阳马”与的底面都是底面积的，高是“阳马”的高的一半， 因此，每个小阳马的体积为：， 两个小阳马的总体积为：2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为. 所以2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为. 故选：C. 2．（2025·湖南·合格考）已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的半径为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据球O和圆柱的空间位置关系，结合勾股定理即可求出． 【详解】由题意可知，球O和圆柱的空间位置关系如图所示， 由题意可知，，则在直角中，． 故选：B．      3．（2025·北京·合格考）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】B 【分析】利用棱锥的体积公式求解即可. 【详解】因为长方体，底面，，， 所以四棱锥的体积， 故选：B 4．（2025·四川·合格考）半径为2的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据球的表面积公式即可求解 . 【详解】由球的表面积公式可得半径为2的球的表面积. 故选：D 5．（2024·江苏·合格考）已知圆柱的底面半径是2，高是3，则该圆柱的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱的体积公式计算. 【详解】根据题意，圆柱的体积为. 故选：D. 6．（2024·云南·合格考）某中学开展劳动实习，学生学习编织球体工艺品．若这种球体的半径为10cm，则这种球体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】由题意，这种球体的表面积为. 故选：D. 7．（2025·黑龙江·合格考）如图所示，在长方体的所有棱中，与平面垂直的棱有（    ）条. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用长方体的结构特征直接判断得解. 【详解】在长方体中，与平面垂直的棱有，共4条. 故选：D 8．（2023·辽宁·合格考）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰，置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体，求其直径的一个近似公式．已知球的半径为，则由此公式可得球的体积约是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，求出的值即可. 【详解】由题意可得解得，故该球的体积约为. 故选：D. 9．（2025·黑龙江·合格考）祖暅是南北朝时期的伟大科学家，在数学上做出了突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了“祖暅原理”，即“幂势既同，则积不容异”.利用祖暅原理可以获得球的体积公式为.已知一个球的半径，则该球的体积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用球的体积公式，将半径，直接代入求解即可. 【详解】由题意球的体积公式为， 则半径的球的体积， 故选：D 10．（2022·河北·合格考）若球O被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心O到该截面的距离为1，则球O的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出截面圆的半径，再利用勾股定理求得球的半径，再根据球的表面积公式即可得出答案. 【详解】因为球的一截面的面积为，所以截面圆的半径为， 又因为球心到该截面的距离为1， 所以球的半径为， 所以球的表面积为. 故选：B. 11．（2022·河北·合格考）已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角是，则该圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式计算即得. 【详解】由圆锥的母线与底面所成的角是，得圆锥轴截面等腰三角形且底角为， 所以圆锥轴截面等腰三角形是正三角形，因此圆锥母线长为2， 所以该圆锥的侧面积是. 故选：B 12．（2022·河北·合格考）已知是球的球面上一点，过线段的中点作垂直于直线的平面，若该球被这个平面截得的圆面的面积为，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题涉及球的截面相关概念.球的截面是一个圆，根据圆的面积公式（其中为面积，为半径），可求出截面圆的半径.再利用球的截面性质，设球的半径为，截面圆半径为，球心到截面的距离（这里），通过勾股定理求出球的半径，进而求出球的表面积. 【详解】已知截面圆的面积为，根据圆的面积公式，可得，解得. 设球的半径为，因为是的中点，所以球心到截面的距离. 根据勾股定理，将，代入可得： ,则，则，则，解得. 根据球的表面积公式，将代入可得： 故选：C. 13．（2022·河北·合格考）已知圆锥的母线长为2，母线与底面所成的角是，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的性质求得圆锥的高和底面半径，再由体积公式计算． 【详解】设圆锥的高为，底面半径为，又母线长为，而母线与底面所成的角是， 则，， 所以体积为， 故选：A． 14．（2022·河北·合格考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，侧面底面，E，F分别为的中点． (1)若，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． (2)下列结论正确的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 (3)直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】(1)D (2)C (3)D 【分析】（1）由面面垂直的性质及三角形中位线得出三棱锥的高的长度，再根据三棱锥体积公式求解即可； （2）通过构造三角形中位线，结合余弦定理即可说明AB；由面面平行的判定及性质即可判断C；由线面垂直的性质即可说明D； （3）取中点为，连接，由面面垂直的性质及三角形中位线得出平面，进而得出直线与平面所成角即为，即可求解． 【详解】（1）连接，因为侧面是等边三角形，为中点，所以， 因为底面是正方形，，所以， 又因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 取中点，连接，又为的中点，则，且， 平面， 所以三棱锥的体积为， 故选：D． （2）对于A，由（1）得，平面，又平面，所以， 在中，，， 则， 取中点为，连接，则， 在中，， 所以与夹角余弦值为，故A错误； 对于B，取的中点，连接，则，， 因为平面，平面，所以， 所以， 又因为分别为的中点，所以， 在中，， 所以，则与夹角为，故B错误； 对于C，由B知，，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又因为平面，且，所以平面平面， 又平面，所以平面，故C正确； 对于D，因为平面平面，平面平面，， 平面， 所以平面，又平面，所以， 所以， 又因为为的中点，所以， 在中，， 所以与不垂直，又平面，所以与平面不垂直， 又因为平面平面，所以与平面不垂直，故D错误； 故选：C． （3）由（2）知，平面， 取中点为，连接，，则， 因为为中点，所以，，所以平面， 所以直线与平面所成角即为， 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为， 故选：D． 15．（2024·广西·合格考）已知圆柱的底面积为1，高为2，则该圆柱的体积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据圆柱的体积公式计算可得答案. 【详解】因为圆柱的底面积为1，高为2， 所以该圆柱的体积为. 故选：B. 16．（2022·河北·合格考）如图，在正方体中，分别为棱，的中点. (1)若，则三棱锥的体积是（    ） A．72 B．54 C．36 D．18 (2)下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 (3)直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】(1)C (2)A (3)D 【分析】（1）根据锥体的体积公式计算可得； （2）设，连接，，即可证明平面，即可判断A、C，再利用假设法推出B，由不垂直，即可判断D； （3）取的中点，连接、，即可说明为直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）当时； 故选：C （2）设，连接，，则为的中点，又分别为棱，的中点， 所以且，又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 连接，因为为的中点， 若平面，平面，所以，则， 设正方体的棱长为，则，，显然， 故不垂直平面，所以B错误； 因为平面，所以与平面不平行，故C错误； 因为平面，显然不垂直，所以不垂直平面，故D错误； 故选：A （3）取的中点，连接、，则，又平面， 所以平面，所以为直线与平面所成角， 又平面，所以， 设正方体的棱长为，则，， 所以，所以直线与平面所成角的正弦值是. 故选：D 17．（2024·北京·合格考）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 【答案】C 【分析】正方体的体积减掉8个以为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积. 【详解】设此半正多面体模型的体积为， 则. 故选：C. 18．（2024·广西·合格考）如图、以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球 【答案】C 【分析】根据圆柱的形成即可得到答案. 【详解】以矩形的边所在直线为轴， 其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆柱. 故选：C. 19．（2023·辽宁·合格性）已知一个正方体的8个顶点都在一个球面上，且正方体的棱长为3，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的体对角线求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】由正方体的对角线为其外接球的直径可得， ，解得， 所以外接球的体积． 故选：C． 20．（2022·甘肃·合格考）一个长方形容器中盛有水，面为正方形且．如图，当面水平放置时，水面的高度恰好为，那么将面水平放置时，水面的高度等于（    ）    A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据水的体积不变即可求解. 【详解】设正方形的边长为a，则水的体积为， 将面水平放置时，设水面的高度为，则有，得. 故选：A 21．（2023·北京·合格考）已知三棱柱的体积为12，则三棱锥的体积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由棱锥体积公式可知，棱锥的体积是等底等高的棱柱体积的，计算即可. 【详解】三棱锥与三棱柱等底等高，则三棱锥的体积是三棱柱体积的，即三棱锥的体积为4. 故选：B 22．（2023·湖北·合格考）“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具，升装满后沿升口刮平，称为“平升”．已知某种升的形状是正四棱台，上、下底面边长分别为和，高为（厚度不计），则该升的1平升约为（    ）（精确到）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用棱台的体积公式求1平升，即可得答案. 【详解】由题设，上底面积为 ，下底面积为 ， 所以1平升为 ，约为. 故选：B 23．（2022·福建·合格考）已知圆柱的底面半径为，母线长为，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆柱侧面积公式直接求解即可. 【详解】圆柱的侧面积. 故选：B. 24．（2023·湖南·合格考）设p：四棱柱是正方体，q：四棱柱是长方体，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合正方体和长方体的定义，根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】正方体是特殊的长方体，而长方体不一定是正方体， 所以p是q的充分不必要条件. 故选：A. 25．（2023·江苏·合格考）若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设底面圆半径为，则圆柱的高为，圆柱侧面积为，利用均值等式计算得到答案. 【详解】设底面圆半径为，则圆柱的高为， 圆柱侧面积为， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 26．（2025·陕西·合格考）（多选）如图，已知圆锥，，为圆的直径，，分别为线段，的中点，过作平行于底面的平面交圆锥的侧面于圆.（    ） A．圆锥的轴截面面积为 B．沿着该圆锥表面从到的最短距离为 C．圆台的体积为 D．圆台的外接球表面积为 【答案】ABD 【分析】圆锥的轴截面为等腰，求之判断A；由已知得圆锥的侧面展开图的圆心角，由展开图求线段判断B；直接出圆台的体积判断C；设圆台的外接球球心为，且在上，半径为，根据可得的值，从而可解. 【详解】圆锥的轴截面为等腰， ，A正确； 由已知得圆锥的侧面展开图的圆心角， 如图为圆锥侧面展开图，接， 可得，，，则，故B正确. 圆台的体积为，C错误； 设圆台的外接球球心为，且在上，半径为， 设，则， 则，解得， 所以， 所以圆台的外接球表面积为，D正确. 故选：ABD 27．（2023·湖北·合格考）（多选）“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上，当圆柱容球时，圆柱的底面直径和高都等于球的直径．记球的表面积为，体积为；圆柱的表面积为，体积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设球的半径为，根据圆柱和球的表面积公式及体积公式分别求出其表面积与体积，再逐一判断即可. 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面圆的半径为，高为， 则，， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误. 故选：AB. 28．（2025·北京·合格考）如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，则是 三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】锐角 【分析】根据勾股定理可知三角形为等边三角形得解. 【详解】因为，，两两互相垂直，， 所以， 所以，即是等边三角形， 故答案为：锐角 29．（2025·四川·合格考）已知圆锥的体积为，高为3，则该圆锥的底面半径为 ． 【答案】2 【分析】利用圆锥体积公式求解即可. 【详解】设圆锥的半径为,所以，解得：; 故答案为： 30．（2025·黑龙江·合格考）三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，其长分别为，则这个三棱锥的体积是 . 【答案】 【分析】根据三条侧棱两两垂直的关系,利用线面垂直的判定定理可得一条侧棱是相对应侧面上的高，进而得到底面面积和三棱锥的高，由三棱锥体积公式可求得结果. 【详解】 不妨设，，，且两两互相垂直， ， 又，，平面，， 平面，. 故答案为：. 31．（2025·四川·合格考）已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为 . 【答案】 【分析】由圆柱的底面积公式、侧面积公式、体积公式可解. 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h， 由题意可知，解得. 所以该圆柱的体积为. 故答案为：. 32．（2024·云南·合格考）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作球体教具，他们制作的球体，半径为，这种球体的表面积是 . 【答案】 【分析】利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知，半径为的球体的表面积为. 故答案为：. 33．（2024·福建·合格考）若球的表面积为，则该球的半径是 ． 【答案】 【分析】根据球的表面积公式计算可得. 【详解】设球的半径为，依题意，解得（负值已舍去）. 故答案为： 34．（2023·云南·合格考）已知圆锥的底面半径为1，高为2，则其体积等于 . 【答案】/ 【分析】直接利用圆锥的体积公式计算得到答案. 【详解】圆锥的体积. 故答案为：. 35．（2023·广东·合格考）棱长为的正方体的内切球的直径为 . 【答案】 【分析】根据正方体的几何性质可得结果. 【详解】棱长为的正方体的内切球的直径为. 故答案为：. 36．（2025·辽宁·合格考）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，平面，,,，、为、的中点． (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）连接，设，可得出，其中，利用余弦定理结合的取值范围可求出的值，利用三角形的面积公式可求出等腰梯形的面积，再利用锥体的体积公式可求得四棱锥的体积. 【详解】（1）因为、分别为、的中点，则， 因为，则， 因为平面，平面，故平面. （2）连接，如下图所示： 因为四边形为等腰梯形，则，且， 不妨设，则，其中， 又因为，， 由余弦定理可得， ， 所以，，解得， 因为，则， 所以， ， 因为平面，故. 因此，四棱锥的体积为. 37．（2024·安徽·合格考）如图，在正三棱柱中，D为AC的中点. (1)求证：； (2)若，，求三棱锥的表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理可得. （2）将三棱锥的各个面的面积计算出来再相加即可. 【详解】（1）证法一：由题意知，为正三角形， D为AC的中点，所以， 又平面ABC，平面ABC，所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以. 证法二：如图，取中点E，连接DE，BE， 则或其补角即为异面直线与BD所成的角， 在中，，，， 则为直角三角形，， 即异面直线与BD所成的角为直角， 故. （2）因为为正三角形，，所以， 所以的面积， 又平面ABC，所以，， 所以的面积， 的面积， 由（1）可知，平面，所以，， 所以的面积， 所以三棱锥的表面积. 38．（2024·云南·合格考）如图，在直三棱柱中，D是线段BC的中点，且． (1)求证：平面； (2)若，是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合题设易得，，进而结合线面垂直的判定定理求证即可； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 又D是线段BC的中点，且，所以， 因为，平面, 所以平面. （2）由（1）知，平面， 因为是边长为2的正三角形， 所以，则， 则， 所以三棱锥的体积为. 39．（2023·辽宁·合格考）如图所示，在直三棱柱中，E为的中点，F为与的交点． (1)求证：平面； (2)若，，，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)12. 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）根据给定条件，结合线面垂直的判定证得平面，再利用锥体的体积公式计算即可. 【详解】（1）在直三棱柱中，连接， 由，得F是的中点，而E为的中点，则， 又平面，平面，所以平面． （2）由，得，则， 由直三棱柱，得平面，而平面，则， 平面，于是平面， 所以四棱锥的体积. 40．（2024·湖北·合格考）《九章算术》是我国古代数学名著中的瑰宝，该书中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的阳马中，底面，点是的中点，连结. (1)证明：两两垂直； (2)设阳马的体积为，四面体的体积为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质可得，，和“阳马”的定义得； （2）取的中点，连接，可得底面，再利用锥体的体积公式即可求解. 【详解】（1）由底面，底面， 则，， 又在阳马中，底面为矩形， 则， 因此可得两两垂直. （2） 取的中点，连接， 又点是的中点，则，且， 又底面， 则底面， 则四面体的体积， 又阳马的体积， 则， 因此可得. 41．（2024·湖南·合格考）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）首先求出，再利用锥体体积公式即可得到答案； （2）利用线面垂直的性质得，再利用线面垂直的判定即可. 【详解】（1）因为平面，平面，则， 所以， 则. （2）因为平面，平面，则， 因为底面为正方形，所以， 又因为，平面， 所以平面. 42．（2023·辽宁·合格考）《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.如图所示，是长方体. (1)求证：三棱锥为鳖臑； (2)若，，，求三棱锥的表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）根据长方体的性质得，，从而，为直角三角形，再根据线面垂直的判定定理得，从而，为直角三角形，根据鳖臑定义得证； （2）结合直角三角形面积公式，利用三棱锥表面积公式直接计算即可. 【详解】（1）因为是长方体，所以， 所以，，， 所以，为直角三角形. 因为为长方形，所以． 因为，，，所以， 所以，所以，为直角三角形， 所以三棱锥为鳖臑. （2）因为四边形为长方形，，，所以. 因为，，，为直角三角形，所以， 所以三棱锥的表面积 . 43．（2023·安徽·合格考）如图，在三棱锥中，底面是正三角形，是的中点，底面． (1)求证：； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正三角形性质和线面垂直性质得，，最后再利用线面垂直的判定和性质即可证明； （2）利用勾股定理求出，最后利用椎体体积公式即可. 【详解】（1）连接，因为△ABC为正三角形，M为BC的中点， 所以，因为底面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以. （2）因为底面是正三角形，， 则，因为底面，底面，所以， 所以， 所以. 44．（2023·湖北·合格考）如图，长方体中，，点E，F分别在，上，且．    (1)求AF的长； (2)过点E，F的平面与长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH．在答题卡对应的图中，作出点G，H，并说明作法及理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）根据基本题意结合勾股定理作出这个正方形. 【详解】（1）连接， 因为平面，平面，所以， 则， 故；    （2）因为，所以，且， 过点作于，则， 因为四边形为正方形，所以， 则， 所以点在线段上，且， 在上分别取，使得，连接， 此时的四边形即为题中所要画的图形， 由上可知四边形为棱形， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 所以四边形为正方形.    45．（2023·江苏·合格考）如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，分别是的中点，. (1)证明： 平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求证； （2）先证明平面，即可求出三棱锥的体积 【详解】（1）因为分别是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以 平面； （2）因为是等边三角形，是的中点， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为底面和侧面都是边长为2的等边三角形， 所以 46．（2023·湖南·合格考）如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.    (1)求证：平面ABC； (2)若，，求圆锥PO的体积. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由三角形中位线可得线线平行，即可由线面平行的判定求证， （2）由圆锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）由于D，E分别为母线PB，PC的中点,所以, 由于平面ABC,平面ABC,所以平面ABC （2）AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点， 所以,又，所以, 因此底面圆的半径为, 故圆锥PO的体积为， 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 1．（2025·辽宁·合格考）已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据空间线线、线面之间的基本关系，结合选项依次判断看. 【详解】A：若，则，故A正确； B：若，则或或与相交，故B错误； C：若，则或，故C错误； D：若，则或，故D错误. 故选：A 2．（2024·云南·合格考）如图，在正方体中，直线与直线BD（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】法一：根据异面直线的概念判断即可.法二：利用反证法可证明直线与直线异面. 【详解】法一：由图形可知，直线与直线不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线. 法二：（反证法）假设直线与直线不异面，则直线与直线共面， 设直线与直线确定的平面，又不共线，所以确定平面， 所以平面与平面重合，从而可得平面，与平面矛盾， 所以直线与直线异面. 故选：A. 3．（2024·安徽·合格考）如图，在长方体，中，，，则异面直线CD与所成的角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的定义求解：说明是异面直线CD与所成的角或其补角，然后在直角三角形中求得这个角． 【详解】∵， ∴是异面直线CD与所成的角或其补角， 在直角中，， ，所以， 所以异面直线CD与所成的角是， 故选：A． 4．（2025·黑龙江·合格考）如果直线与平面没有公共点，那么直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．直线在平面内 【答案】A 【分析】根据空间线面位置关系可得出结论. 【详解】如果直线与平面没有公共点，则， 故选：A. 5．（2023·辽宁·合格考）乒乓球是一项深受我国广大人民群众喜爱的体育运动，乒乓球台主要由乒乓球网和台面组成．如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线，则直线l与平面α的位置关系是（    ）． A． B． C． D．l与α相交 【答案】C 【分析】利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】由题意得，且平行于乒乓球网的下边缘， 而乒乓球网的下边缘在平面内， 由线面平行的判定定理得成立，故C正确. 故选：C 6．（2025·陕西·合格考）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】对于ABC，由答案不完备即可判断错误；对于D，由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理即可判断正确. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或异面，故B错误； 对于C，若，，则或相交或，故C错误； 对于D， 如图，，点是平面内一点， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 因为，，且， 所以，，又， 所以，又， 所以，故正确. 故选：D. 7．（2024·江苏·合格考）已知直线 平面，则（    ） A．与内所有直线都平行 B．内不存在直线与垂直 C．过的平面与必平行 D．内有无数条直线与垂直 【答案】D 【分析】由直线与平面平行定义可得答案. 【详解】对于A，直线 平面，则平面内的直线与直线l可能平行，或异面，故A错误； 对于B，由A分析，在与直线l异面的直线中，存在与直线l垂直，故B错误； 对于C，过l的平面可能与相交，故C错误； 对于D，由B分析，可在平面内做无数条与直线l垂直的直线，故D正确. 故选：D 8．（2024·云南·合格考）如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正方体的性质找到异面直线所成的角，求出即可； 【详解】由题意可得，所以异面直线与所成的角等于， 由正方体的性质可得， 故选：B 9．（2024·安徽·合格考）已知两条直线，与平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与相交或异面，故A错误； 对于B；因为，则存在直线，使得，又，所以，则，故B正确； 对于C：因为，，则或或与平面相交（不垂直）或，故C错误； 对于D：因为，，则或，故D错误. 故选：B 10．（2024·福建·合格考）已知直线平面，直线平面，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．与是异面直线 D．与没有公共点 【答案】D 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】因为直线平面，直线平面， 所以或与是异面直线，则与没有公共点. 故选：D 11．（2022·河北·合格考）已知是一条直线，是两个不同的平面，有以下结论： ①若 ，则；    ②若 ，则； ③若 ，则 .    ④若，则 . 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据空间中线面、面面之间的基本关系，依次判断命题即可. 【详解】①：若 ，则，故①正确； ②：若 ，则或与相交或 ，故②错误； ③：若 ，则 或与相交，故③错误； ④：若，则 ，故④正确. 故选：D 12．（2022·河北·合格考）如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设为的中点，连接，可证或其补角即为异面直线DE和所成的角，故可求它的余弦值. 【详解】 设为的中点，连接， 由正方体的性质可得则四边形为平行四边形， 故，而为所在棱的中点，故， 故，故或其补角即为异面直线DE和所成的角， 设正方体的棱长为2，则， 故，故异面直线DE和所成的角的余弦值为， 故选：C. 13．（2024·北京·合格考）如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（    ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 【答案】D 【分析】由直三棱柱的特征逐项判断即可. 【详解】易知三棱柱为直三棱柱， 由图易判断与异面，AB错误； 因为,与相交但不垂直，所以与直线不垂直，C错误； 由图可判断与直线是异面直线，D正确. 故选：D 14．（2022·河北·合格考）已知为平面，l，m，n为三条不同的直线，给出以下四个结论： ①若l，m与n所成的角相等，则； ②若l，m与所成的角相等，则； ③若l与n所成的角等于30°，，则m与n所成的角等于30°； ④若l与所成的角等于30°，，则m与所成的角等于30°. 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】D 【分析】由空间中线面位置关系，线线所成的角，线面所成的角的概念逐个判断即可. 【详解】若l，m与n所成的角相等，则可能平行，可能相交，故①错误； 若l，m与所成的角相等，则可能平行，可能相交，故②错误； 若l与n所成的角等于30°，，则m与n所成的角等于30°，故③正确； 若l与所成的角等于30°，，则m与所成的角等于30°，故④正确； 故选：D 15．（2023·辽宁·合格考）设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】选项A由平行的传递性可得；BCD由长方体中的线面、面面位置关系举反例可知. 【详解】选项A，若，，则由平行的传递性可知，，故A正确； 选项B，若，，则或都有可能， 如图，长方体中（以下同）， 设直线为，直线为，底面为， 满足，，但，与不平行，故B错误；    选项C，若，，则与不一定垂直， 如图，设上底面为，下底面为，平面为， 满足，，但，与不垂直， 故C错误；    选项D，若，，则或或与相交都有可能， 如图，设直线为，直线为，设上底面为， 满足，，但，与不平行，故D错误．    故选：A. 16．（2023·安徽·合格考）下列关于平面平行的命题，正确的是（    ） A．若一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 C．若两个平面与同一个平面垂直，则这两个平面平行 D．若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行 【答案】B 【分析】对A，两面相交，另一平面有无数条直线和交线平行也和该平面平行，故可判断；对B，根据平面平行的判定定理即可判断；对C，根据墙面三个角可判断；对D，两面相交一条直线，和直线平行的直线都平行两平面，故可判断. 【详解】对A，假设两个面相交于一条直线，则其中一个平面内有无数条直线与交线平行也与另一个平面平行，故A不正确； 对B，根据平面平行的判定定理，可知一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，故B正确； 对C，若两个平面与同一个平面垂直，不一定得出两平面平行，例如墙角的三个面，故C错误； 对D，两个平面与同一条直线平行，不一定能得出两面平行，例如两面相交与一条直线，存在与交线平行的直线平行于两个面，故D错误. 故选：B 17．（2022·河北·合格考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面都是等边三角形，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题涉及异面直线所成角的概念，可通过平移异面直线中的一条，使其与另一条相交，这个相交角就是异面直线所成角或其补角.我们可以利用中点的性质，构造平行关系来平移直线，然后通过余弦定理求出这个角的余弦值. 【详解】    连接BD，AC交O.连接EO,则O为BD中点，是的中点，则根据三角形中位线定理， 在中，且.所以（或其补角）就是异面直线BE和PA所成的角. 设正方形ABCD的边长为.因为侧面都是等边三角形，所以. 在中，是PC的中点，，，根据等腰三角形三线合一，， 由勾股定理可得. 在中，，则.且. 在中，根据余弦定理. 将，，代入可得：. 故选：B 18．（2023·云南·合格考）在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把平移到，连结构成等边三角形，异面直线与所成角即为. 【详解】连结、，如下图： 在正方体中，且； 四边形为平行四边形，则； 又在正方体中，为等边三角形， 就是异面直线与所成角,， 异面直线与所成角的大小为. 故选：C. 19．（2023·广东·合格考）已知α和β是两个不同平面，A:，B:α和β没有公共点，则A是B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据面面平行的定义判断. 【详解】两个平面平行的定义是：两个平面没有公共点，则这两个平面平行，因此是的充要条件． 故选：C． 20．（2023·湖南·合格考）如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由异面直线所成角的概念求解， 【详解】由题意，正方体中得，故异面直线AC与所成的角，即正方形对角线与的夹角， 故选：D 21．（2023·北京·合格考）四棱锥如图所示，则直线PC（    ） A．与直线AD平行 B．与直线AD相交 C．与直线BD平行 D．与直线BD是异面直线 【答案】D 【分析】根据异面直线的定义即可求解. 【详解】根据异面直线的定义，不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，可以判断直线PC与直线AD、直线BD是异面直线. 故选：D. 22．（2023·江苏·合格考）已知直线 平面，直线平面，则与不可能（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 【答案】B 【分析】若与相交，得到与有交点，这与题设矛盾，得到答案. 【详解】直线 平面，直线平面，则与可能平行，异面和垂直， 若与相交，，则，，直线平面，故， 即与有交点，这与题设矛盾. 故选：B 23．（2022·甘肃·合格考）正方体中，直线与直线所成的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线线垂直证明线面垂直即可得两直线垂直，进而可求解夹角大小. 【详解】在正方体中，如图，连接， 由于平面，平面， 所以， 又 ，平面， 所以平面，平面，故 ， 所以直线与直线所成的角是， 故选：D 24．（2022·福建·合格考）如图，四面体中，分别为的中点．则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】是中点，利用中位线性质平移相关线段，将、转化为、，根据四面体侧面形状不定判断A、B；利用线面平行的判定及平面的基本性质判断C、D. 【详解】由题设，若，即， 由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故A错； 若是中点，连接，则，若，即， 同上，各侧面形状不定，不一定成立，故B错；    若是中点，连接，则，而面，面， 所以面，显然面与面不是同一平面，且面面， 所以平面不成立，C错； 由题意，面，面， 所以平面，D对. 故选：D 25．（2024·广西·合格考）（多选）如图，在矩形纸片中，A，B分别是边，的中点．将纸片沿翻折后竖起放在桌面上，，与桌面接触，桌面所在平面记为，那么下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据图形可判断ACD，利用线面垂直的判断即可判断B. 【详解】由图可知，故AC错误，D正确； 因为矩形纸片中，A，B分别是边，的中点，且矩形纸片竖直放在桌面上， 所以，又因为，平面， 所以，故B正确. 故选：BD. 26．（2025·湖南·合格考）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 ． 【答案】/0.2 【分析】连接，先证明，可得（或其补角）为直线和所成角，进而结合余弦定理求解即可. 【详解】连接， 在正方体中，因为是的中点，是的中点， 所以，， 则，， 所以四边形为平行四边形，则， 所以（或其补角）为直线和所成角， 设正方体的棱长为2， 则， 所以， 在中，由余弦定理得， 则异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：.    27．（2023·湖北·合格考）已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面．给出下列四个论断： ①；②；③；④． 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个正确命题：若 ，则 ．（注：用序号作答） 【答案】 ①③④（答案不唯一） ②（答案不唯一） 【分析】由，得或，分类讨论并结合及平面的基本性质、面面垂直的判定有，可得一个正确命题. 【详解】由，，则或， 当，，则； 当，过作平面交于，则，而，    所以，而，则； 综上，，，，则. 故答案为：①③④，②（答案不唯一） 考点三 直线、平面平行的判定与性质 1．（2025·四川·合格考）如图，在四面体中，分别是的中点，则下列结论中一定正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】C 【分析】对于AB选项，若平面、平面成立，则必有、成立，根据题目条件判断这两垂直条件是否成立即可；对于C，由即可得到；对于D，取AC中点H，连接GH，可知面GHF，再和平面EFG比对即可判断． 【详解】对于A，若平面，则，又因为G、F为中点，所以，所以，但由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故A错误； 对于B，若平面，则，所以，但由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故B错误； 对于C，由题意，面EFG，面EFG，所以平面EFG，故C正确； 对于D，取AC中点H，连接GH，则，而面GHF，面GHF，所以面GHF，但显然面GHF与面EFG不是同一平面，且面面，所以平面EFG不成立，故D错误。 故选：C． 2．（2024·安徽·合格考）已知两条直线，与平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与相交或异面，故A错误； 对于B；因为，则存在直线，使得，又，所以，则，故B正确； 对于C：因为，，则或或与平面相交（不垂直）或，故C错误； 对于D：因为，，则或，故D错误. 故选：B 3．（2022·河北·合格考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，侧面底面，E，F分别为的中点． (1)若，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． (2)下列结论正确的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 (3)直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】(1)D (2)C (3)D 【分析】（1）由面面垂直的性质及三角形中位线得出三棱锥的高的长度，再根据三棱锥体积公式求解即可； （2）通过构造三角形中位线，结合余弦定理即可说明AB；由面面平行的判定及性质即可判断C；由线面垂直的性质即可说明D； （3）取中点为，连接，由面面垂直的性质及三角形中位线得出平面，进而得出直线与平面所成角即为，即可求解． 【详解】（1）连接，因为侧面是等边三角形，为中点，所以， 因为底面是正方形，，所以， 又因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 取中点，连接，又为的中点，则，且， 平面， 所以三棱锥的体积为， 故选：D． （2）对于A，由（1）得，平面，又平面，所以， 在中，，， 则， 取中点为，连接，则， 在中，， 所以与夹角余弦值为，故A错误； 对于B，取的中点，连接，则，， 因为平面，平面，所以， 所以， 又因为分别为的中点，所以， 在中，， 所以，则与夹角为，故B错误； 对于C，由B知，，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又因为平面，且，所以平面平面， 又平面，所以平面，故C正确； 对于D，因为平面平面，平面平面，， 平面， 所以平面，又平面，所以， 所以， 又因为为的中点，所以， 在中，， 所以与不垂直，又平面，所以与平面不垂直， 又因为平面平面，所以与平面不垂直，故D错误； 故选：C． （3）由（2）知，平面， 取中点为，连接，，则， 因为为中点，所以，，所以平面， 所以直线与平面所成角即为， 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为， 故选：D． 4．（2022·河北·合格考）如图，在正方体中，分别为棱，的中点. (1)若，则三棱锥的体积是（    ） A．72 B．54 C．36 D．18 (2)下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 (3)直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】(1)C (2)A (3)D 【分析】（1）根据锥体的体积公式计算可得； （2）设，连接，，即可证明平面，即可判断A、C，再利用假设法推出B，由不垂直，即可判断D； （3）取的中点，连接、，即可说明为直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）当时； 故选：C （2）设，连接，，则为的中点，又分别为棱，的中点， 所以且，又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 连接，因为为的中点， 若平面，平面，所以，则， 设正方体的棱长为，则，，显然， 故不垂直平面，所以B错误； 因为平面，所以与平面不平行，故C错误； 因为平面，显然不垂直，所以不垂直平面，故D错误； 故选：A （3）取的中点，连接、，则，又平面， 所以平面，所以为直线与平面所成角， 又平面，所以， 设正方体的棱长为，则，， 所以，所以直线与平面所成角的正弦值是. 故选：D 5．（2023·安徽·合格考）下列关于平面平行的命题，正确的是（    ） A．若一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 C．若两个平面与同一个平面垂直，则这两个平面平行 D．若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行 【答案】B 【分析】对A，两面相交，另一平面有无数条直线和交线平行也和该平面平行，故可判断；对B，根据平面平行的判定定理即可判断；对C，根据墙面三个角可判断；对D，两面相交一条直线，和直线平行的直线都平行两平面，故可判断. 【详解】对A，假设两个面相交于一条直线，则其中一个平面内有无数条直线与交线平行也与另一个平面平行，故A不正确； 对B，根据平面平行的判定定理，可知一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，故B正确； 对C，若两个平面与同一个平面垂直，不一定得出两平面平行，例如墙角的三个面，故C错误； 对D，两个平面与同一条直线平行，不一定能得出两面平行，例如两面相交与一条直线，存在与交线平行的直线平行于两个面，故D错误. 故选：B 6．（2022·福建·合格考）如图，四面体中，分别为的中点．则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】是中点，利用中位线性质平移相关线段，将、转化为、，根据四面体侧面形状不定判断A、B；利用线面平行的判定及平面的基本性质判断C、D. 【详解】由题设，若，即， 由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故A错； 若是中点，连接，则，若，即， 同上，各侧面形状不定，不一定成立，故B错；    若是中点，连接，则，而面，面， 所以面，显然面与面不是同一平面，且面面， 所以平面不成立，C错； 由题意，面，面， 所以平面，D对. 故选：D 7．（2024·湖北·合格考）（多选）如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据线面平行的判定定理逐项进行判断即可. 【详解】对A：如图： 连接，交于点，连接，则，平面， 且直线与直线不平行，所以直线与平面相交，故A错误； 对B：如图： 因为，平面，平面，所以平面，故B正确； 对C：如图： 取中点，易证四点共面，且，平面， 平面，所以平面，故C正确； 对D：如图： 连接，则，平面，平面， 所以平面，故D正确. 故选：BCD 8．（2023·北京·合格考）阅读下面题目及其解答过程． 如图，在直三棱柱中，，D，E分别为BC，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：． 解：（1）取的中点F，连接EF，FC，如图所示． 在中，E，F分别为，的中点， 所以，． 由题意知，四边形为 ① ． 因为D为BC的中点，所以，． 所以，． 所以四边形DCFE为平行四边形， 所以． 又 ② ，平面， 所以，平面． （2）因为为直三棱柱，所以平面ABC． 又平面ABC，所以 ③ ． 因为，且，所以 ④ ． 又平面，所以． 因为 ⑤ ，所以． 以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）． 空格序号 选项 ① A．矩形                 B．梯形 ② A．平面   B．平面 ③ A．           B． ④ A．平面   B．平面 ⑤ A．           B． 【答案】（1）①A；②A；（2）③B； ④A； ⑤B 【分析】根据逻辑推理过程，结合直棱柱的性质、线面平行（垂直）的判定或性质确定各空格应补充的条件. 【详解】①根据直棱柱的结构特征及给定的条件知：结论为四边形为矩形，填A； ②由线面平行的判定条件，条件中缺平面，填A； ③由线面垂直的性质知：结论为，填B； ④由线面垂直的判定知：结论为平面，填A； ⑤根据及所得结论为，条件应为，填B. 故答案为：A，A，B，A，B 9．（2023·北京·合格考）如图，在正方体中，是正方形ABCD及其内部的点构成的集合．给出下列三个结论： ①，； ②，； ③，与不垂直． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】 （1）平面，即可判断①；（2）利用平行四边形的性质证明线线平行，即可判断；（3）利用线面垂直的判定证明平面，过作平面的平行面与平面的交线在正方形ABCD外，即可判断. 【详解】对于①，平面，，，故①正确； 对于②，当到达点时，，,是平行四边形，,,，，故②正确； 对于③，平面 过作平面的平行面与平面的交线在正方形ABCD外， ，与不垂直,故③正确. 故答案为：①②③. 10．（2025·辽宁·合格考）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，平面，,,，、为、的中点． (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）连接，设，可得出，其中，利用余弦定理结合的取值范围可求出的值，利用三角形的面积公式可求出等腰梯形的面积，再利用锥体的体积公式可求得四棱锥的体积. 【详解】（1）因为、分别为、的中点，则， 因为，则， 因为平面，平面，故平面. （2）连接，如下图所示： 因为四边形为等腰梯形，则，且， 不妨设，则，其中， 又因为，， 由余弦定理可得， ， 所以，，解得， 因为，则， 所以， ， 因为平面，故. 因此，四棱锥的体积为. 11．（2025·北京·合格考）如图，在正方体中，点在上. (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面，可知. （2）根据平面平面，可证平面. 【详解】（1）因为为正方体， 所以平面，又平面， 所以. （2）因为为正方体， 所以平面平面，又平面， 所以平面. 12．（2024·北京·合格考）如图，在三棱锥中，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 请先写出第（1）问的解答过程，然后阅读下面第（2）问的解答过程. 证明：（2）因为是的中点， 所以①_________. 因为，由（1）知，， 所以②_________ 所以③_________. 所以. 在第（2）问的解答过程中，设置了①～③三个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）. 空格序号 选项 ① （A） （B） ② （A） （B）平面 ③ （A）平面 （B）平面 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由中位线得到线线平行，然后得到线面平行，即得证； （2）等腰三角形三线合一得到线线垂直，由（1）的结论和条件得到另一组垂线，从的证明面面垂直. 【详解】（1）在中，因为，分别是，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）①A，②A，③B. 13．（2025·陕西·合格考）如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的外心.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）由等体积法即可求解. 【详解】（1），， ，是直角三角形，      又为的外心，为的中点. 连接，又为的中点，所以中， 又平面，平面， 平面. （2）由（1）知，又由已知平面，所以，， 因为，平面，平面， 平面，. 不妨设，， ，，，. 又，为的中点， ， 是边长为的等边三角形，. 设点到平面的距离为， ，，即， ，. 设直线与平面所成的角为，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 14．（2024·江苏·合格考）如图，已知正方体.求证： (1) 平面； (2) 平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）通过证明 AB，可完成证明； （2）通过证明可完成证明. 【详解】（1）由题，四边形为正方形，则 AB. 又平面，面，则 平面； （2）由题，平面，又面，则. 又四边形为正方形，则. 因，平面，， 则 上平面 15．（2025·湖南·合格考）如图，在正三棱柱中，为的中点． (1)在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； (2)若，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)点 为 的中点； (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求解； （2）利用线面垂直的判定定理证得平面 ，可得，找到线面角为，从而求解. 【详解】（1）在正三棱柱中，取的中点为P,连接 , 因为 D 为 中点，所以 , 且， 所以四边形 为平行四边形，故 ， 又因为平面，平面， 所以平面，故P 为 中点. （2）设直线 与平面 所成的角为 ， 在正三角形 中， ，其中 为中点. 则，. 在正三棱柱中，平面 ，平面 ， 所以， 又因为，平面 ，平面 ， 所以平面 ，平面 ，所以. 所以为直线与平面所成的角； 则. 16．（2025·北京·合格考）阅读下面题目及其解答过程.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，分别是的中点. (1)求证：平面；    (2)求证：平面. 解： （1）在中，分别是的中点， 所以_____①_______. 又_____②_____，平面， 所以平面. （2）因为在中，是的中点，所以_____③______. 因为底面为正方形，所以. 因为平面， 所以_________④_________. 又因为. 所以___________⑤___________. 又平面， 所以___________⑥___________. 又因为， 所以平面. 空格序号 选项 答案 ① A． B． ② A．平面 B．平面 ③ A． B． ④ A． B． ⑤ A．平面 B．平面 ⑥ A． B． 【答案】(1)①A，②A (2)③A，④A，⑤B，⑥B 【分析】根据题目条件逐项将证明过程补充完整即可. 【详解】（1）①线线平行，即，所以选A； ②直线在平面外，即平面，所以选A. 故选：A，A. （2）③等腰三角形底边上“三线合一”，即，所以选A； ④直线垂直于平面，则直线垂直于该平面内的所有直线，即，所以选A； ⑤直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线垂直于这个平面，即平面，所以选B； ⑥直线垂直于平面，则直线垂直于该平面内的所有直线，即，所以选B. 故选：A，A，B，B. 17．（2023·辽宁·合格考）如图所示，在直三棱柱中，E为的中点，F为与的交点． (1)求证：平面； (2)若，，，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)12. 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）根据给定条件，结合线面垂直的判定证得平面，再利用锥体的体积公式计算即可. 【详解】（1）在直三棱柱中，连接， 由，得F是的中点，而E为的中点，则， 又平面，平面，所以平面． （2）由，得，则， 由直三棱柱，得平面，而平面，则， 平面，于是平面， 所以四棱锥的体积. 18．（2023·江苏·合格考）如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，分别是的中点，. (1)证明： 平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求证； （2）先证明平面，即可求出三棱锥的体积 【详解】（1）因为分别是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以 平面； （2）因为是等边三角形，是的中点， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为底面和侧面都是边长为2的等边三角形， 所以 19．（2023·湖南·合格考）如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.    (1)求证：平面ABC； (2)若，，求圆锥PO的体积. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由三角形中位线可得线线平行，即可由线面平行的判定求证， （2）由圆锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）由于D，E分别为母线PB，PC的中点,所以, 由于平面ABC,平面ABC,所以平面ABC （2）AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点， 所以,又，所以, 因此底面圆的半径为, 故圆锥PO的体积为， 20．（2024·广西·合格考）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵中，已知，且点，，分别是，，边的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理转化为证明线面平行，通过构造平行四边形，证明； （2）利用面面垂直的性质定理，即可证明. 【详解】（1）连结，因为分别是的中点， 所以，且， 因为点是的中点，所以，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 且平面，平面， 所以平面； （2）因为，为的中点，所以， 由平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面； 考点四 直线、平面垂直的判定与性质 1．（2024·江苏·合格考）在正方体中，直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的特征结合线面角的定义得出线面角为，再计算正切即可. 【详解】 在正方体中，设， 又因为平面， 所以直线与平面所成角为，所以正切值. 故选：D. 2．（2025·陕西·合格考）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】对于ABC，由答案不完备即可判断错误；对于D，由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理即可判断正确. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或异面，故B错误； 对于C，若，，则或相交或，故C错误； 对于D， 如图，，点是平面内一点， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 因为，，且， 所以，，又， 所以，又， 所以，故正确. 故选：D. 3．（2025·四川·合格考）如图，在四面体中，分别是的中点，则下列结论中一定正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】C 【分析】对于AB选项，若平面、平面成立，则必有、成立，根据题目条件判断这两垂直条件是否成立即可；对于C，由即可得到；对于D，取AC中点H，连接GH，可知面GHF，再和平面EFG比对即可判断． 【详解】对于A，若平面，则，又因为G、F为中点，所以，所以，但由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故A错误； 对于B，若平面，则，所以，但由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故B错误； 对于C，由题意，面EFG，面EFG，所以平面EFG，故C正确； 对于D，取AC中点H，连接GH，则，而面GHF，面GHF，所以面GHF，但显然面GHF与面EFG不是同一平面，且面面，所以平面EFG不成立，故D错误。 故选：C． 4．（2022·河北·合格考）已知为平面，l，m，n为三条不同的直线，给出以下四个结论： ①若l，m与n所成的角相等，则； ②若l，m与所成的角相等，则； ③若l与n所成的角等于30°，，则m与n所成的角等于30°； ④若l与所成的角等于30°，，则m与所成的角等于30°. 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】D 【分析】由空间中线面位置关系，线线所成的角，线面所成的角的概念逐个判断即可. 【详解】若l，m与n所成的角相等，则可能平行，可能相交，故①错误； 若l，m与所成的角相等，则可能平行，可能相交，故②错误； 若l与n所成的角等于30°，，则m与n所成的角等于30°，故③正确； 若l与所成的角等于30°，，则m与所成的角等于30°，故④正确； 故选：D 5．（2024·安徽·合格考）已知两条直线，与平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与相交或异面，故A错误； 对于B；因为，则存在直线，使得，又，所以，则，故B正确； 对于C：因为，，则或或与平面相交（不垂直）或，故C错误； 对于D：因为，，则或，故D错误. 故选：B 6．（2024·湖南·合格考）如图，为圆柱底面直径，为母线，若，则与圆柱底面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面角定义得为所求的角，再利用等腰直角三角形性质即可得到答案. 【详解】因为母线底面， 则与圆柱底面所成角即为，又因为为圆柱底面直径，则， 因为，所以. 故选：B. 7．（2023·辽宁·合格考）设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】选项A由平行的传递性可得；BCD由长方体中的线面、面面位置关系举反例可知. 【详解】选项A，若，，则由平行的传递性可知，，故A正确； 选项B，若，，则或都有可能， 如图，长方体中（以下同）， 设直线为，直线为，底面为， 满足，，但，与不平行，故B错误；    选项C，若，，则与不一定垂直， 如图，设上底面为，下底面为，平面为， 满足，，但，与不垂直， 故C错误；    选项D，若，，则或或与相交都有可能， 如图，设直线为，直线为，设上底面为， 满足，，但，与不平行，故D错误．    故选：A. 8．（2023·江苏·合格考）在空间，到一个三角形的三个顶点距离相等的点的集合表示的图形是（    ） A．一个点 B．一条直线 C．一个平面 D．一个球面 【答案】B 【分析】易得空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线，如图，设点为的外心，且直线平面，点为直线上任意一点，证明即可. 【详解】空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线， 如图，设点为的外心，且直线平面，点为直线上任意一点， 则，且平面， 所以直线，直线，直线， 当点与点重合时，，即直线的点到的三个顶点距离相等， 当点与点不重合时， 由勾股定理可得，即直线的点到的三个定点距离相等， 综上直线的点到的三个顶点距离相等，反之到的三个顶点距离相等的点都在直线l上， 所以空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线. 故选：B 9．（2023·江苏·合格考）如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，平面，故是与平面所成角，计算得到答案. 【详解】如图所示：连接，因为平面，故线与平面所成角，设正方体棱长为1，则， . 故选：C 10．（2024·广西·合格考）（多选）如图，在矩形纸片中，A，B分别是边，的中点．将纸片沿翻折后竖起放在桌面上，，与桌面接触，桌面所在平面记为，那么下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据图形可判断ACD，利用线面垂直的判断即可判断B. 【详解】由图可知，故AC错误，D正确； 因为矩形纸片中，A，B分别是边，的中点，且矩形纸片竖直放在桌面上， 所以，又因为，平面， 所以，故B正确. 故选：BD. 11．（2023·安徽·合格考）如图，在直三棱柱中，．若，则与平面所成的角的大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据线面垂直可得线面角的几何角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】连接, 由于直三棱柱中，平面，平面， 故,又,平面， 故平面, 由于,所以平面, 故为与平面所成的角， 由于，所以, ， 由于为锐角，所以， 故答案为： 12．（2023·北京·合格考）如图，在正方体中，是正方形ABCD及其内部的点构成的集合．给出下列三个结论： ①，； ②，； ③，与不垂直． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】 （1）平面，即可判断①；（2）利用平行四边形的性质证明线线平行，即可判断；（3）利用线面垂直的判定证明平面，过作平面的平行面与平面的交线在正方形ABCD外，即可判断. 【详解】对于①，平面，，，故①正确； 对于②，当到达点时，，,是平行四边形，,,，，故②正确； 对于③，平面 过作平面的平行面与平面的交线在正方形ABCD外， ，与不垂直,故③正确. 故答案为：①②③. 13．（2025·北京·合格考）如图，在正方体中，点在上. (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面，可知. （2）根据平面平面，可证平面. 【详解】（1）因为为正方体， 所以平面，又平面， 所以. （2）因为为正方体， 所以平面平面，又平面， 所以平面. 14．（2024·安徽·合格考）如图，在正三棱柱中，D为AC的中点. (1)求证：； (2)若，，求三棱锥的表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理可得. （2）将三棱锥的各个面的面积计算出来再相加即可. 【详解】（1）证法一：由题意知，为正三角形， D为AC的中点，所以， 又平面ABC，平面ABC，所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以. 证法二：如图，取中点E，连接DE，BE， 则或其补角即为异面直线与BD所成的角， 在中，，，， 则为直角三角形，， 即异面直线与BD所成的角为直角， 故. （2）因为为正三角形，，所以， 所以的面积， 又平面ABC，所以，， 所以的面积， 的面积， 由（1）可知，平面，所以，， 所以的面积， 所以三棱锥的表面积. 15．（2025·陕西·合格考）如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的外心.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）由等体积法即可求解. 【详解】（1），， ，是直角三角形，      又为的外心，为的中点. 连接，又为的中点，所以中， 又平面，平面， 平面. （2）由（1）知，又由已知平面，所以，， 因为，平面，平面， 平面，. 不妨设，， ，，，. 又，为的中点， ， 是边长为的等边三角形，. 设点到平面的距离为， ，，即， ，. 设直线与平面所成的角为，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 16．（2023·辽宁·合格考）如图所示，在直三棱柱中，E为的中点，F为与的交点． (1)求证：平面； (2)若，，，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)12. 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）根据给定条件，结合线面垂直的判定证得平面，再利用锥体的体积公式计算即可. 【详解】（1）在直三棱柱中，连接， 由，得F是的中点，而E为的中点，则， 又平面，平面，所以平面． （2）由，得，则， 由直三棱柱，得平面，而平面，则， 平面，于是平面， 所以四棱锥的体积. 17．（2024·云南·合格考）如图，在三棱锥中，，，.    (1)证明：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）求出的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：因为，，，、平面， 因此平面. （2）因为，且，，则， 又因为平面，且， 故，即三棱锥的体积为. 18．（2024·广西·合格考）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵中，已知，且点，，分别是，，边的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理转化为证明线面平行，通过构造平行四边形，证明； （2）利用面面垂直的性质定理，即可证明. 【详解】（1）连结，因为分别是的中点， 所以，且， 因为点是的中点，所以，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 且平面，平面， 所以平面； （2）因为，为的中点，所以， 由平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面； 19．（2024·云南·合格考）如图，在直三棱柱中，D是线段BC的中点，且． (1)求证：平面； (2)若，是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合题设易得，，进而结合线面垂直的判定定理求证即可； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 又D是线段BC的中点，且，所以， 因为，平面, 所以平面. （2）由（1）知，平面， 因为是边长为2的正三角形， 所以，则， 则， 所以三棱锥的体积为. 20．（2024·湖北·合格考）《九章算术》是我国古代数学名著中的瑰宝，该书中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的阳马中，底面，点是的中点，连结. (1)证明：两两垂直； (2)设阳马的体积为，四面体的体积为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质可得，，和“阳马”的定义得； （2）取的中点，连接，可得底面，再利用锥体的体积公式即可求解. 【详解】（1）由底面，底面， 则，， 又在阳马中，底面为矩形， 则， 因此可得两两垂直. （2） 取的中点，连接， 又点是的中点，则，且， 又底面， 则底面， 则四面体的体积， 又阳马的体积， 则， 因此可得. 21．（2024·湖南·合格考）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）首先求出，再利用锥体体积公式即可得到答案； （2）利用线面垂直的性质得，再利用线面垂直的判定即可. 【详解】（1）因为平面，平面，则， 所以， 则. （2）因为平面，平面，则， 因为底面为正方形，所以， 又因为，平面， 所以平面. 22．（2022·福建·合格考）如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．    (1)求三棱锥的体积； (2)若，且为锐角，求证：平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由面面垂直的性质可得面，即为体高，利用棱锥体积公式求体积即可； （2）由三角形面积公式可得，根据已知及平方关系求余弦值，应用余弦定理求，易知，再由线面垂直的性质得，最后应用线面垂直的判定证结论. 【详解】（1）面面，，面面，面， 所以面，又的面积为6， 所以三棱锥的体积. （2）由题设，即，又为锐角， 所以， 由，故， 所以， 由（1）知面，面，故， ，面，故平面. 23．（2023·湖北·合格考）如图，长方体中，，点E，F分别在，上，且．    (1)求AF的长； (2)过点E，F的平面与长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH．在答题卡对应的图中，作出点G，H，并说明作法及理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）根据基本题意结合勾股定理作出这个正方形. 【详解】（1）连接， 因为平面，平面，所以， 则， 故；    （2）因为，所以，且， 过点作于，则， 因为四边形为正方形，所以， 则， 所以点在线段上，且， 在上分别取，使得，连接， 此时的四边形即为题中所要画的图形， 由上可知四边形为棱形， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 所以四边形为正方形.    24．（2023·广东·合格考）如图，圆的直径为4，直线PA垂直圆所在的平面，C是圆上的任意一点. (1)证明BC⊥面PAC； (2)若求PB与面PAC的夹角. 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）由已知线面垂直得，由圆性质得，再由线面垂直的判定定理得证线面垂直； （2）由（1）得是与平面所成的角，然后求出，再利用直角三角形得结论． 【详解】（1）证明：平面，平面，∴，同理， 是圆直径，在圆周上，因此， 又，平面，∴平面； （2）由（1）平面，∴是与平面所成的角， 又平面，∴， 由已知，，所以， ∴与平面所成的角是． 2 / 93 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 立体几何初步 4类高频考点概览 考点一 空间几何体 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点三 直线、平面平行的判定与性质 考点四 直线、平面垂直的判定与性质 考点一 空间几何体 1．（2025·辽宁·合格考）我国古代的数学著作《九章算术》中提到了“仓”“堑堵”“阳马”等几何体，其中“仓”是长方体，“堑堵”是两底面为直角三角形的棱柱，“阳马”是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．在“阳马”中，平面，分别为、、、的中点，、、、分别为、、、的中点，和交于，平面、平面、平面将阳马分割成一个“仓”，2个“堑堵”和2个小“阳马”，那么分割后2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·合格考）已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的半径为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 3．（2025·北京·合格考）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．10 4．（2025·四川·合格考）半径为2的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏·合格考）已知圆柱的底面半径是2，高是3，则该圆柱的体积是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·云南·合格考）某中学开展劳动实习，学生学习编织球体工艺品．若这种球体的半径为10cm，则这种球体的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江·合格考）如图所示，在长方体的所有棱中，与平面垂直的棱有（    ）条. A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2023·辽宁·合格考）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰，置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体，求其直径的一个近似公式．已知球的半径为，则由此公式可得球的体积约是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·黑龙江·合格考）祖暅是南北朝时期的伟大科学家，在数学上做出了突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了“祖暅原理”，即“幂势既同，则积不容异”.利用祖暅原理可以获得球的体积公式为.已知一个球的半径，则该球的体积为（    ） A．2 B．4 C． D． 10．（2022·河北·合格考）若球O被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心O到该截面的距离为1，则球O的表面积是（    ） A． B． C． D． 11．（2022·河北·合格考）已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角是，则该圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 12．（2022·河北·合格考）已知是球的球面上一点，过线段的中点作垂直于直线的平面，若该球被这个平面截得的圆面的面积为，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 13．（2022·河北·合格考）已知圆锥的母线长为2，母线与底面所成的角是，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 14．（2022·河北·合格考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，侧面底面，E，F分别为的中点． (1)若，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． (2)下列结论正确的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 (3)直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·广西·合格考）已知圆柱的底面积为1，高为2，则该圆柱的体积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 16．（2022·河北·合格考）如图，在正方体中，分别为棱，的中点. (1)若，则三棱锥的体积是（    ） A．72 B．54 C．36 D．18 (2)下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 (3)直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·北京·合格考）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 18．（2024·广西·合格考）如图、以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球 19．（2023·辽宁·合格性）已知一个正方体的8个顶点都在一个球面上，且正方体的棱长为3，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 20．（2022·甘肃·合格考）一个长方形容器中盛有水，面为正方形且．如图，当面水平放置时，水面的高度恰好为，那么将面水平放置时，水面的高度等于（    ）    A．4 B．8 C．10 D．12 21．（2023·北京·合格考）已知三棱柱的体积为12，则三棱锥的体积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 22．（2023·湖北·合格考）“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具，升装满后沿升口刮平，称为“平升”．已知某种升的形状是正四棱台，上、下底面边长分别为和，高为（厚度不计），则该升的1平升约为（    ）（精确到）    A． B． C． D． 23．（2022·福建·合格考）已知圆柱的底面半径为，母线长为，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 24．（2023·湖南·合格考）设p：四棱柱是正方体，q：四棱柱是长方体，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．（2023·江苏·合格考）若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·陕西·合格考）（多选）如图，已知圆锥，，为圆的直径，，分别为线段，的中点，过作平行于底面的平面交圆锥的侧面于圆.（    ） A．圆锥的轴截面面积为 B．沿着该圆锥表面从到的最短距离为 C．圆台的体积为 D．圆台的外接球表面积为 27．（2023·湖北·合格考）（多选）“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上，当圆柱容球时，圆柱的底面直径和高都等于球的直径．记球的表面积为，体积为；圆柱的表面积为，体积为，则（    ） A． B． C． D． 28．（2025·北京·合格考）如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，则是 三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） 29．（2025·四川·合格考）已知圆锥的体积为，高为3，则该圆锥的底面半径为 ． 30．（2025·黑龙江·合格考）三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，其长分别为，则这个三棱锥的体积是 . 31．（2025·四川·合格考）已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为 . 32．（2024·云南·合格考）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作球体教具，他们制作的球体，半径为，这种球体的表面积是 . 33．（2024·福建·合格考）若球的表面积为，则该球的半径是 ． 34．（2023·云南·合格考）已知圆锥的底面半径为1，高为2，则其体积等于 . 35．（2023·广东·合格考）棱长为的正方体的内切球的直径为 . 36．（2025·辽宁·合格考）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，平面，,,，、为、的中点． (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积． 37．（2024·安徽·合格考）如图，在正三棱柱中，D为AC的中点. (1)求证：； (2)若，，求三棱锥的表面积. 38．（2024·云南·合格考）如图，在直三棱柱中，D是线段BC的中点，且． (1)求证：平面； (2)若，是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积． 39．（2023·辽宁·合格考）如图所示，在直三棱柱中，E为的中点，F为与的交点． (1)求证：平面； (2)若，，，求四棱锥的体积． 40．（2024·湖北·合格考）《九章算术》是我国古代数学名著中的瑰宝，该书中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的阳马中，底面，点是的中点，连结. (1)证明：两两垂直； (2)设阳马的体积为，四面体的体积为，求的值. 41．（2024·湖南·合格考）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求证：平面. 42．（2023·辽宁·合格考）《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.如图所示，是长方体. (1)求证：三棱锥为鳖臑； (2)若，，，求三棱锥的表面积. 43．（2023·安徽·合格考）如图，在三棱锥中，底面是正三角形，是的中点，底面． (1)求证：； (2)若，求三棱锥的体积． 44．（2023·湖北·合格考）如图，长方体中，，点E，F分别在，上，且．    (1)求AF的长； (2)过点E，F的平面与长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH．在答题卡对应的图中，作出点G，H，并说明作法及理由． 45．（2023·江苏·合格考）如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，分别是的中点，. (1)证明： 平面； (2)求三棱锥的体积. 46．（2023·湖南·合格考）如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.    (1)求证：平面ABC； (2)若，，求圆锥PO的体积. 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 1．（2025·辽宁·合格考）已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2024·云南·合格考）如图，在正方体中，直线与直线BD（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 3．（2024·安徽·合格考）如图，在长方体，中，，，则异面直线CD与所成的角的大小为（    ）    A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江·合格考）如果直线与平面没有公共点，那么直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．直线在平面内 5．（2023·辽宁·合格考）乒乓球是一项深受我国广大人民群众喜爱的体育运动，乒乓球台主要由乒乓球网和台面组成．如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线，则直线l与平面α的位置关系是（    ）． A． B． C． D．l与α相交 6．（2025·陕西·合格考）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 7．（2024·江苏·合格考）已知直线 平面，则（    ） A．与内所有直线都平行 B．内不存在直线与垂直 C．过的平面与必平行 D．内有无数条直线与垂直 8．（2024·云南·合格考）如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽·合格考）已知两条直线，与平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．（2024·福建·合格考）已知直线平面，直线平面，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．与是异面直线 D．与没有公共点 11．（2022·河北·合格考）已知是一条直线，是两个不同的平面，有以下结论： ①若 ，则；    ②若 ，则； ③若 ，则 .    ④若，则 . 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 12．（2022·河北·合格考）如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·北京·合格考）如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（    ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 14．（2022·河北·合格考）已知为平面，l，m，n为三条不同的直线，给出以下四个结论： ①若l，m与n所成的角相等，则； ②若l，m与所成的角相等，则； ③若l与n所成的角等于30°，，则m与n所成的角等于30°； ④若l与所成的角等于30°，，则m与所成的角等于30°. 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 15．（2023·辽宁·合格考）设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 16．（2023·安徽·合格考）下列关于平面平行的命题，正确的是（    ） A．若一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 C．若两个平面与同一个平面垂直，则这两个平面平行 D．若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行 17．（2022·河北·合格考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面都是等边三角形，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 18．（2023·云南·合格考）在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 19．（2023·广东·合格考）已知α和β是两个不同平面，A:，B:α和β没有公共点，则A是B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（2023·湖南·合格考）如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 21．（2023·北京·合格考）四棱锥如图所示，则直线PC（    ） A．与直线AD平行 B．与直线AD相交 C．与直线BD平行 D．与直线BD是异面直线 22．（2023·江苏·合格考）已知直线 平面，直线平面，则与不可能（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 23．（2022·甘肃·合格考）正方体中，直线与直线所成的角是（    ） A． B． C． D． 24．（2022·福建·合格考）如图，四面体中，分别为的中点．则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 25．（2024·广西·合格考）（多选）如图，在矩形纸片中，A，B分别是边，的中点．将纸片沿翻折后竖起放在桌面上，，与桌面接触，桌面所在平面记为，那么下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 26．（2025·湖南·合格考）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 ． 27．（2023·湖北·合格考）已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面．给出下列四个论断： ①；②；③；④． 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个正确命题：若 ，则 ．（注：用序号作答） 考点三 直线、平面平行的判定与性质 1．（2025·四川·合格考）如图，在四面体中，分别是的中点，则下列结论中一定正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 2．（2024·安徽·合格考）已知两条直线，与平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（2022·河北·合格考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，侧面底面，E，F分别为的中点． (1)若，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． (2)下列结论正确的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 (3)直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·河北·合格考）如图，在正方体中，分别为棱，的中点. (1)若，则三棱锥的体积是（    ） A．72 B．54 C．36 D．18 (2)下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 (3)直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·安徽·合格考）下列关于平面平行的命题，正确的是（    ） A．若一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 C．若两个平面与同一个平面垂直，则这两个平面平行 D．若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行 6．（2022·福建·合格考）如图，四面体中，分别为的中点．则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 7．（2024·湖北·合格考）（多选）如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·北京·合格考）阅读下面题目及其解答过程． 如图，在直三棱柱中，，D，E分别为BC，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：． 解：（1）取的中点F，连接EF，FC，如图所示． 在中，E，F分别为，的中点， 所以，． 由题意知，四边形为 ① ． 因为D为BC的中点，所以，． 所以，． 所以四边形DCFE为平行四边形， 所以． 又 ② ，平面， 所以，平面． （2）因为为直三棱柱，所以平面ABC． 又平面ABC，所以 ③ ． 因为，且，所以 ④ ． 又平面，所以． 因为 ⑤ ，所以． 以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）． 空格序号 选项 ① A．矩形                 B．梯形 ② A．平面   B．平面 ③ A．           B． ④ A．平面   B．平面 ⑤ A．           B． 9．（2023·北京·合格考）如图，在正方体中，是正方形ABCD及其内部的点构成的集合．给出下列三个结论： ①，； ②，； ③，与不垂直． 其中所有正确结论的序号是 ． 10．（2025·辽宁·合格考）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，平面，,,，、为、的中点． (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积． 11．（2025·北京·合格考）如图，在正方体中，点在上. (1)求证：； (2)求证：平面. 12．（2024·北京·合格考）如图，在三棱锥中，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 请先写出第（1）问的解答过程，然后阅读下面第（2）问的解答过程. 证明：（2）因为是的中点， 所以①_________. 因为，由（1）知，， 所以②_________ 所以③_________. 所以. 在第（2）问的解答过程中，设置了①～③三个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）. 空格序号 选项 ① （A） （B） ② （A） （B）平面 ③ （A）平面 （B）平面 13．（2025·陕西·合格考）如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的外心.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 14．（2024·江苏·合格考）如图，已知正方体.求证： (1) 平面； (2) 平面. 15．（2025·湖南·合格考）如图，在正三棱柱中，为的中点． (1)在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； (2)若，求直线与平面所成的角的正弦值． 16．（2025·北京·合格考）阅读下面题目及其解答过程.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，分别是的中点. (1)求证：平面；    (2)求证：平面. 解： （1）在中，分别是的中点， 所以_____①_______. 又_____②_____，平面， 所以平面. （2）因为在中，是的中点，所以_____③______. 因为底面为正方形，所以. 因为平面， 所以_________④_________. 又因为. 所以___________⑤___________. 又平面， 所以___________⑥___________. 又因为， 所以平面. 空格序号 选项 答案 ① A． B． ② A．平面 B．平面 ③ A． B． ④ A． B． ⑤ A．平面 B．平面 ⑥ A． B． 17．（2023·辽宁·合格考）如图所示，在直三棱柱中，E为的中点，F为与的交点． (1)求证：平面； (2)若，，，求四棱锥的体积． 18．（2023·江苏·合格考）如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，分别是的中点，. (1)证明： 平面； (2)求三棱锥的体积. 19．（2023·湖南·合格考）如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.    (1)求证：平面ABC； (2)若，，求圆锥PO的体积. 20．（2024·广西·合格考）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵中，已知，且点，，分别是，，边的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 考点四 直线、平面垂直的判定与性质 1．（2024·江苏·合格考）在正方体中，直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·合格考）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3．（2025·四川·合格考）如图，在四面体中，分别是的中点，则下列结论中一定正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 4．（2022·河北·合格考）已知为平面，l，m，n为三条不同的直线，给出以下四个结论： ①若l，m与n所成的角相等，则； ②若l，m与所成的角相等，则； ③若l与n所成的角等于30°，，则m与n所成的角等于30°； ④若l与所成的角等于30°，，则m与所成的角等于30°. 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 5．（2024·安徽·合格考）已知两条直线，与平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．（2024·湖南·合格考）如图，为圆柱底面直径，为母线，若，则与圆柱底面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·辽宁·合格考）设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．（2023·江苏·合格考）在空间，到一个三角形的三个顶点距离相等的点的集合表示的图形是（    ） A．一个点 B．一条直线 C．一个平面 D．一个球面 9．（2023·江苏·合格考）如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 10．（2024·广西·合格考）（多选）如图，在矩形纸片中，A，B分别是边，的中点．将纸片沿翻折后竖起放在桌面上，，与桌面接触，桌面所在平面记为，那么下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 11．（2023·安徽·合格考）如图，在直三棱柱中，．若，则与平面所成的角的大小为 ． 12．（2023·北京·合格考）如图，在正方体中，是正方形ABCD及其内部的点构成的集合．给出下列三个结论： ①，； ②，； ③，与不垂直． 其中所有正确结论的序号是 ． 13．（2025·北京·合格考）如图，在正方体中，点在上. (1)求证：； (2)求证：平面. 14．（2024·安徽·合格考）如图，在正三棱柱中，D为AC的中点. (1)求证：； (2)若，，求三棱锥的表面积. 15．（2025·陕西·合格考）如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的外心.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 16．（2023·辽宁·合格考）如图所示，在直三棱柱中，E为的中点，F为与的交点． (1)求证：平面； (2)若，，，求四棱锥的体积． 17．（2024·云南·合格考）如图，在三棱锥中，，，.    (1)证明：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积. 18．（2024·广西·合格考）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵中，已知，且点，，分别是，，边的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 19．（2024·云南·合格考）如图，在直三棱柱中，D是线段BC的中点，且． (1)求证：平面； (2)若，是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积． 20．（2024·湖北·合格考）《九章算术》是我国古代数学名著中的瑰宝，该书中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的阳马中，底面，点是的中点，连结. (1)证明：两两垂直； (2)设阳马的体积为，四面体的体积为，求的值. 21．（2024·湖南·合格考）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求证：平面. 22．（2022·福建·合格考）如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．    (1)求三棱锥的体积； (2)若，且为锐角，求证：平面． 23．（2023·湖北·合格考）如图，长方体中，，点E，F分别在，上，且．    (1)求AF的长； (2)过点E，F的平面与长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH．在答题卡对应的图中，作出点G，H，并说明作法及理由． 24．（2023·广东·合格考）如图，圆的直径为4，直线PA垂直圆所在的平面，C是圆上的任意一点. (1)证明BC⊥面PAC； (2)若求PB与面PAC的夹角. 38 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $