专题09 概率（学考真题汇编，全国通用）高中数学

专题09 概率 3类高频考点概览 考点一 随机事件的概率 考点二 古典概型的概率 考点三 事件的关系及概率的计算 考点一 随机事件的概率 1．（2023·辽宁·合格性）2022年12月20日，联合国世界旅游组织公布2022年“最佳旅游乡村”名单，中国广西大寨村和重庆荆竹村成功入选．辽宁绿江村也以景色别致的油菜花海吸引了众多游客．小明准备利用假期从中选一个乡村游玩，记事件：小明选大寨村，事件：小明选荆竹村，事件：小明选绿江村．已知，，则＝（    ） A．0.12 B．0.18 C．0.7 D．0.9 【答案】C 【分析】利用互斥事件与对立事件的概率公式即可得解. 【详解】由题意，得事件，，为互斥事件， 所以，则. 故选：C． 2．（2025·湖南·合格考）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可. 【详解】已知甲能破译密码的概率为，则甲不能破译密码的概率为， 已知乙能破译密码的概率为，则乙不能破译密码的概率为， 密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译， 所以密码不能被成功破译的概率为. 故选：C 3．（2023·安徽·合格考）王老师从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访．事件表示“抽中甲、乙两位同学”，事件表示“抽中甲、丙两位同学”，则（    ） A．是必然事件 B．是不可能事件 C．与是互斥事件 D．与是对立事件 【答案】C 【分析】根据事件的定义，以及对立和互斥的定义即可根据选项逐一求解. 【详解】从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访,所有的基本事件有{（甲乙），（甲丙），（乙丙）}， 对于A，是不一定发生，故不是必然事件， 对于B，是可能发生，所以不是不可能事件， 对于C，与不能同时发生，故与是互斥事件， 对于D, 与不能同时发生，但 不是全部事件，所以不是对立事件， 故选：C 4．（2024·湖北·合格考）从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 【答案】C 【分析】找出满足条件的数据，计算出数据在之间的频率，用频率估计概率，可得结果. 【详解】在所给的数据中，在之间的数据有498,501,500,501,499共5个， 所以数据在之间的频率为：. 用频率估计概率，则所求概率为. 故选：C 5．（2025·辽宁·合格考）2025年春节将要到来，某商场为了增加客流量，决定举办“购物得奖券”活动，规定购买一定价值的商品的顾客均可获得一张奖券，中奖的概率为，不中奖的概率为．现在两个人各有一张奖券，两张奖券是否中奖相互独立，则两张奖券中恰有一张中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式，列式计算即得. 【详解】依题意，两张奖券中恰有一张中奖的概率为. 故选：D 6．（2024·安徽·合格考）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 【答案】D 【分析】根据事件的定义判断． 【详解】事件是点数为1或2，事件是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件， 是点为2，是随机事件，是可能发生的， 是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件， 故选：D． 7．（2023·广东·合格考）某人连续投篮两次，则他至少投中一次的对立事件是（    ） A．至多投中一次 B．两次都投中 C．只投中一次 D．两次都没投中 【答案】D 【分析】根据对立事件的定义判断. 【详解】至少投中1次的反面是没有一次投中，因此选项D正确． 故选：D． 8．（2022·福建·合格考）某人连续射击两次，事件“两次都没有命中目标”的对立事件是（    ） A．至少有一次命中目标 B．至多有一次命中目标 C．恰好两次都命中目标 D．恰好有一次命中目标 【答案】A 【分析】根据对立事件定义直接判断即可. 【详解】由对立事件定义知：事件“两次都没有命中目标”的对立事件为“至少有一次命中目标”. 故选：A. 9．（2023·辽宁·合格考）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否回答正确互不影响．求： (1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率； (2)该选手至多进入第二轮考核的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得. （2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）记“该选手正确回答第轮问题”为事件，则 事件，，相互独立，且，，. 因为该选手进入第三轮才被淘汰指：前两轮均通过，第三轮淘汰， 所以该选手进入第三轮才被淘汰的概率为 . （2）因为选手至多进入第二轮考核意味着第一轮淘汰或者第一轮通过第二轮淘汰,且事件和互斥. 所以该选手至多进入第二轮考核的概率为 . 10．（2024·湖南·合格考）某射击运动员在一天的射击训练中射靶100次，训练成绩统计结果如图所示. (1)请估计这名运动员射击成绩的众数； (2)请估计这名运动员射击一次命中9环的概率； (3)如果这名运动员连续射击两次，每次射击成绩互不影响，请估计他两次命中环数都大于8环的概率. 【答案】(1)8环 (2) (3) 【分析】（1）根据众数定义并结合频数分布图即可得到答案； （2）根据频率估计概率即可得到答案； （3）根据频率估计概率并结合独立事件的乘法公式即可得到答案. 【详解】（1）根据频数分布图得该名运动员100次射靶中，射中8环的频数最多， 则这名运动员射击成绩的众数为8环. （2）由题意，该运动员在100次训练中，射中9环的频数为25， 由频率估计概率得名运动员射击一次命中9环的概率为. （3）由题意，该运动员在100次训练中，射中大于8环的频数为， 由频率估计概率得名运动员射击一次命中大于8环的概率为， 则根据独立事件的乘法公式得他两次命中环数都大于8环的概率为. 11．（2024·云南·合格考）甲、乙两人独立地参加本次普通高中化学学业水平合格性考试，他们的考试成绩互不影响．甲的化学成绩得满分的概率为，乙的化学成绩得满分的概率为． (1)求甲、乙两人的化学成绩都得满分的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人的化学成绩没有得满分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可； （2）利用对立事件的概率公式直接求解即可. 【详解】（1）由题意，甲、乙两人的化学成绩都得满分的概率为. （2）由题意，甲、乙两人至少有一人的化学成绩没有得满分的概率为. 12．（2025·陕西·合格考）今年“五一”假期，《水饺皇后》《苍茫的天涯是我的爱》等多部影片投放全国电影院线，题材涵盖历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑等多种类型，持续为中国电影市场释放消费活力．甲、乙、丙三人在5月1日各自独立地观看了一场电影，已知甲观看科幻类电影的概率为，乙、丙观看科幻类电影的概率均为． (1)若历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑六种不同类型电影的参考票价分别为，，，，，（单位：元），求这六种不同类型电影票价的第75百分位数； (2)求甲、乙、丙三人恰有两人观看科幻类电影的概率． 【答案】(1)元 (2) 【分析】（1）由百分位数的定义即可求解； （2）由互斥加法、独立乘法公式即可求解. 【详解】（1）将已知数据由小到大排序，可得，，，，，． 由，得数据，，，，，的第75百分位数为， 所以，这六种不同类型电影票价的第75百分位数为元． （2）设事件“甲观看科幻类电影”，事件“乙观看科幻类电影”， 事件“丙观看科幻类电影”，则事件，，相互独立， 且，． 设事件“恰有两人观看科幻类电影”，则， 且事件，，两两互斥． 所以， ． 所以，恰有两人观看科幻类电影的概率为． 13．（2023·云南·合格考）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙成功破译的概率分别为. (1)求甲､乙都成功破译密码的概率； (2)求至少有一人成功破译密码的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式计算作答. （2）利用对立事件及相互独立事件的乘法公式计算作答. 【详解】（1）令甲破译密码成功的事件为A，乙破译密码成功的事件为B，则，A，B相互独立， 甲、乙都成功破译密码的事件为，因此， 所以甲、乙都成功破译密码的概率. （2）至少有一人成功破译密码的事件，其对立事件， 则， 所以至少有一人成功破译密码的概率. 14．（2023·湖南·合格考）自2018年国家实施乡村振兴战略以来，农村电商行业蓬勃发展，规模不断扩大.农村电商畅通了农产品进城渠道，加速推进了农业数字化.图1为我国2018年至2022年农村电商行业农产品网络零售额的变化情况，图2为A市2022年农产品网络零售量占比扇形图.    (1)请根据图1简要描述我国2018年至2022年农产品网络零售额的变化趋势； (2)从A市2022年网络零售农产品中随机抽取一件，估计抽取的产品是粮油或茶叶的概率； (3)已知某农产品带货主播每天零售额超过1万元的概率为0.6，假定每天的销售情况互不影响，求该主播任意两天中至少有一天零售额超过1万元的概率. 【答案】(1)2018年至2022年农产品网络零售额逐渐增大 (2) (3) 【分析】（1）由统计图描述变化趋势， （2）由古典概型与互斥事件的概念求解， （3）由对立事件的概念与独立事件的乘法公式求解 【详解】（1）由图可知2018年至2022年农产品网络零售额逐渐增大 （2）由题意得扇形图中茶叶的占比为, 故从A市2022年网络零售农产品中随机抽取一件，估计抽取的产品是粮油或茶叶的概率为 （3）记任意两天中至少有一天零售额超过1万元为事件， 则为两天零售额都没有超过1万元， 考点二 古典概型的概率 1．（2024·江苏·合格考）盒中有3个大小，质地完全相同的球，其中1个红球、2个白球.若从中一次随机取出2个球，则取到的都是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出从中任意取出2个球，共有多少种取法，确定取出的两个球都是白球的取法数，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【详解】由题意从中任意取出2个球，共有种取法， 其中取出的两个球都是白球的取法有种， 故取出的两个球都是白球的概率为. 故选：A. 2．（2024·安徽·合格考）从2，4，8中任取两个不同的数，分别记作a，b，则使为整数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】由条件可知，得到不同的对数为，，， ，，，共6个对数，其中为整数的有2个， 所以概率. 故选：B 3．（2025·北京·合格考）北京中轴线纵贯北京老城中心，北起钟鼓楼，南至永定门，途经多处著名景点，展现了中国传统都城规划理念及“中”“和”哲学思想的深刻内涵．为传播北京中轴线文化，某社会实践活动小组准备从北京中轴线上的万宁桥、景山、故宫和天安门4个景点中随机选取2个景点做策划方案，则选取的2个景点包含故宫的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】基本事件总数，包含故宫的基本事件个数，由此即可求出概率． 【详解】在4个著名景点中随机选择2个景点，总的选法有：， 其中包含故宫的有：， 则概率． 故选：C． 4．（2025·四川·合格考）一道选择题有A，B，C，D四个选项，且只有一个选项正确．若随机选择一个选项，则答对这道题的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】从A，B，C，D四个选项中选一个选项有四种不同的选法， 又只有一个选项正确，所以选正确的选法只有一种， 所以答对这道题的概率是. 故选：A. 5．（2025·黑龙江·合格考）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一枚正面朝上，一枚反面朝上”的概率是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用古典概型的概率公式计算求解即可. 【详解】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现的所有可能为“正正”，“正反”，“反正”，“反反”， 所以出现“一枚正面朝上，一枚反面朝上”的概率， 故选：C 6．（2024·湖南·合格考）某环保志愿者计划从甲、乙、丙、丁四个社区中随机选择一个社区进行“垃圾分类”宣讲，则该志愿者选择甲社区的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型概率公式进行求解. 【详解】因为某环保志愿者计划从甲、乙、丙、丁四个社区中随机选择一个社区进行“垃圾分类”宣讲， 共有四种选择方法：甲、乙、丙、丁，所以该志愿者选择甲社区的概率为. 故选：A 7．（2022·河北·合格考）从长度为的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】B 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】从长度为的5条线段中任取3条， 则可能结果有，，，，，，，，，共种情况， 其中满足这三条线段为边能构成一个三角形的有，，共种情况， 所以以这三条线段为边能构成一个三角形的概率. 故选：B 8．（2024·北京·合格考）2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】算出基本事件的总数、随机事件中的基本事件的个数后可求概率. 【详解】设为“2名学生来自不同年级”，则总的基本事件的个数为， 中基本事件的个数为，故， 故选：D. 9．（2024·云南·合格考）某公司10名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下： 等级 一等奖 二等奖 三等奖 人数（单位：人） 3 6 1 现从这10名员工中任选1名员工参加经验交流活动．若每位员工被选到的概率相等，则选到获一等奖员工的概率为（   ） A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【分析】根据古典概率的知识求得正确答案. 【详解】根据古典概型的知识可知，所求概率为. 故选：B 10．（2024·云南·合格考）为弘扬“尊老、敬老、爱老”的中华传统美德，某班组织学生到甲、乙两个敬老院看望老人.按规定，该班某同学通过摸球的方式选择到哪个敬老院看望老人，摸球规则如下：在一个不透明的袋子中有8个大小质地完全相同的球，其中5个红球，3个黄球.该同学从这个袋子中随机摸出1个球.若摸出的球是红球，该同学到甲敬老院看望老人；若摸出的球是黄球，该同学到乙敬老院看望老人.该同学到甲敬老院看望老人的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型概率计算公式可得结果. 【详解】根据题意摸出的球是红球的概率为， 因此该同学到甲敬老院看望老人的概率为. 故选：D 11．（2024·福建·合格考）随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现朝上的面的点数是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】随机投掷一枚质地均匀的骰子可能出现的结果有个， 其中朝上的面的点数是偶数有种情况， 所以出现朝上的面的点数是偶数的概率. 故选：C 12．（2022·河北·合格考）从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】记2名男生为，2名女生为， 任意选出两人的样本空间，共6个样本点， 恰好一男一女生的事件，共4个样本点， 所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是. 故选：A 13．（2023·湖北·合格考）某对夫妇打算生育三个孩子，假设生男孩、女孩是等可能的，且不考虑多胞胎情形，则这三个孩子中男、女孩均有的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表法求三个孩子中男、女孩均有的概率即可. 【详解】三个孩子性别依次如下表： 1孩 2孩 3孩 男 男 男 男 男 女 男 女 男 女 男 男 男 女 女 女 男 女 女 女 男 女 女 女 所以这三个孩子中男、女孩均有的情况有6种，而一共有8种情况， 则这三个孩子中男、女孩均有的概率是. 故选：C 14．（2023·广东·合格考）若，则三个数称之为勾股数，从3，4，12，13中任取两个，能和5组成勾股数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用列举法写出所有基本事件，得出的逆反应概率事件的基本事件，计数后计算即得． 【详解】从3，4，12，13中任取两个的基本事件有，，，，，共6个，其中能和5组成勾股数的有两个基本事件， 所以所求概率为． 故选：B． 15．（2023·北京·合格考）某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型概率公式计算. 【详解】验证码的最后一个数字有10种不同结果，其中奇数占5种， 所以收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为. 故选：A 16．（2023·云南·合格考）单项选择题是标准化考试中常用的题型，是从A､B､C､D四个选项中选择一个正确答案.假设考生有一个单项选择题不会做，他随机选择一个答案，答对的概率是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由古典概型的概率公式求解. 【详解】该考生选择的答案可以为：A，B，C，D，其中正确答案只有一个，故答对的概率是. 故选：D 17．（2023·湖南·合格考）某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁两个劳动实践基地中选择一个进行研学，则选择红色教育基地的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】任选一个基地研学，共有4种选择，则红色教育基地有2种选择，所以选择红色教育基地的概率是， 故选：D 18．（2025·北京·合格考）某校美术社团在校园文化节期间制作了“金面罩”“锅神兽”“铜太阳神器”3枚三星堆文物图案印章，并为每位学生随机选择1枚盖章留念，则学生甲得到“金面罩”图案的概率为 ；学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为 . 【答案】 【分析】根据古典概型的概率公式可得空1的答案；根据独立事件同时发生的概率公式可得空2的答案. 【详解】因为学生甲得到“金面罩”“锅神兽”“铜太阳神器”图案的概率相等，所以学生甲得到“金面罩”图案的概率为：. 因为学生乙和学生丙得到“铜神兽”图案的概率均为，且相互独立，所以学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为：. 故答案为：； 19．（2025·陕西·合格考）一个袋中装有大小和质地相同的个小球，标号分别为，从袋中不放回的依次摸出两个小球的标号分别记为. 设事件“为偶数”，事件“”，则 . 【答案】 【分析】由列举法解决古典概型概率问题即可. 【详解】记摸出两个小球的标号对应的有序数组为， 样本空间， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 20．（2023·安徽·合格考）用这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是 ． 【答案】 【分析】利用列举法和古典概率模型公式即可求解. 【详解】用这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，共有6种情况： ， 其中组成的三位数为偶数的只有两种， 故组成的三位数为偶数的概率是. 故答案为：. 21．（2024·北京·合格考）某公司三个部门共有100名员工，为调查他们的体育锻炼情况，通过随机抽样获得了20名员工一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）： A部门 4.5  5  6  7.5  9  11  12  13 B部门 3.5  4  5.5  7  9.5  10.5  11 C部门 5  6  6.5  7  8.5 从三个部门抽出的员工中，各随机抽取一人，分别记为甲、乙、丙、假设所有员工的锻炼时间相互独立，给出下列三个结论： ①甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为； ②甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为； ③乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①② 【分析】本意通过古典概型即可判断出①②，部门员工运动时间存在比部门员工运动时间多的，也存在少的，所以无法的结论③，从而得出答案. 【详解】①部门共有8名员工，运动时间超过8小时的有4名员工， ∴由古典概型可得甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为，故①正确； ②、两部门各有员工8和7名，随机各抽取一名员工共有种情况， 其中运动时间相同的情况只有1种， ∴甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为，故②正确； ③当抽取出来的乙运动时间为4小时，抽取出来的丙运动时间为7小时， 此时不满足乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长，故③不正确. 故答案为：①② 22．（2025·黑龙江·合格考）黑龙江省某中学为了掌握该校学生对2025年“亚冬会”的了解程度，现从该校高一年级学生中采用不放回简单随机抽样的方法抽取30人，参加学校组织的“亚冬会”知识竞赛. (1)高一年级学生知识竞赛成绩统计如下： 成绩 人数 5 9 11 3 2 通过以上数据，试估计高一年级参加知识竞赛的30名学生的平均成绩； (2)在上述成绩样本中，从知识竞赛成绩位于的学生中不放回地随机抽取2人，求所抽取的2人成组均在之间的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用频率分布直方图中平均数估计值的计算公式，可得答案； （2）利用古典概型的概率公式以及列举法，可得答案. 【详解】（1）， 估计高一年级参加知识竞赛的30名学生的平均成绩为. （2）由（1）可知竞赛成绩位于共有人， 位于有人，记为，位于有人，记为， 所抽取的2人成组均在之间的情况为，情况数为； 在人中抽取的情况有，，，，，，，，，，总的情况数为， 所以所抽取的2人成组均在之间的概率. 23．（2022·甘肃·合格考）为增强生态环境保护意见，某市电视台组织40名选手参加生态环境保护知识竞赛活动，现场打分采用十分制，其分数统计如图所示．    (1)试求这40名选手得分的众数和平均数； (2)在得分为9分和10分的人中随机抽3人，代表该市参加全省决赛．求得分为10分的2人全被抽取的概率． 【答案】(1)众数为5，平均数为； (2). 【分析】（1）根据得分频数可得众数，由图中数据，根据平均数公式计算可得平均数； （2）给得分为9分和10分的人编号，列举出所以结果，根据古典概型概率公式可得. 【详解】（1）有条形图可知，获得5分的选手最多，故众数为5. 由图中数据可知，， 即平均数为. （2）由图知，得9分的有3人，记为，得10分的有2人，记为， 从5人中任选3人的结果有： ， ，共10种选法. 得分为10分的2人全被抽到的结果有：，共3种选法. 所以，得分为10分的2人全被抽取的概率为. 考点三 事件的关系及概率的计算 1．（2024·江苏·合格考）甲，乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，则两人都击中目标的概率为（    ） A．0.26 B．0.72 C．0.85 D．0.98 【答案】B 【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率. 【详解】甲乙各射击一次，则“甲中靶”与“乙中靶”相互独立， 所以，甲乙各射击一次，则两人都中靶的概率为. 故选：B. 2．（2024·广西·合格考）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别是与．甲、乙两人在罚球线各投球1次，假设两人投球是否命中互不影响，则甲、乙两人投球都命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据独立事件的乘法公式即可. 【详解】根据独立事件的乘法公式得甲、乙两人投球都命中的概率为. 故选：A. 3．（2023·辽宁·合格考）高二（1）班在体育课上进行足球射门练习，甲同学的命中率为0.6，乙同学的命中率为0.7．若甲、乙各射门一次，则甲、乙都命中的概率是（    ）． A．0.12 B．0.18 C．0.28 D．0.42 【答案】D 【分析】根据相互独立事件的概率公式计算即可. 【详解】因为甲同学的命中率为0.6，乙同学的命中率为0.7． 所以若甲、乙各射门一次，甲、乙都命中的概率是. 故选：D. 4．（2024·云南·合格考）甲、乙两人独立地破译一份密码.已知甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，则甲、乙两人都成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率. 【详解】因为甲、乙两人独立地破译一份密码，且甲能破译的概率为，乙能破译的概率为， 因此，甲、乙两人都成功破译的概率为. 故选：B. 5．（2023·江苏·合格考）甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（    ） A．0.09 B．0.42 C．0.51 D．0.6 【答案】C 【分析】甲乙都不能译出密码得概率为，密码被破译的概率为，得到答案. 【详解】甲乙都不能译出密码得概率为， 故密码被破译的概率为. 故选：C 6．（2024·福建·合格考）甲、乙两人独立破译某个密码，若每人成功破译密码的概率均为，则密码不被破译的概率为（    ） A．0.09 B．0.42 C．0.49 D．0.51 【答案】C 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得. 【详解】因为每人成功破译密码的概率均为，且甲、乙两人独立破译某个密码， 则密码不被破译的概率. 故选：C 7．（2024·湖北·合格考）已知事件与事件相互独立，且，则 （1） ； （2） . 【答案】 【分析】利用独立事件乘法公式计算积事件概率，利用概率的性质计算和事件的概率即可. 【详解】； . 故答案为：； 8．（2023·辽宁·合格考）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否回答正确互不影响．求： (1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率； (2)该选手至多进入第二轮考核的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得. （2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）记“该选手正确回答第轮问题”为事件，则 事件，，相互独立，且，，. 因为该选手进入第三轮才被淘汰指：前两轮均通过，第三轮淘汰， 所以该选手进入第三轮才被淘汰的概率为 . （2）因为选手至多进入第二轮考核意味着第一轮淘汰或者第一轮通过第二轮淘汰,且事件和互斥. 所以该选手至多进入第二轮考核的概率为 . 9．（2023·云南·合格考）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙成功破译的概率分别为. (1)求甲､乙都成功破译密码的概率； (2)求至少有一人成功破译密码的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式计算作答. （2）利用对立事件及相互独立事件的乘法公式计算作答. 【详解】（1）令甲破译密码成功的事件为A，乙破译密码成功的事件为B，则，A，B相互独立， 甲、乙都成功破译密码的事件为，因此， 所以甲、乙都成功破译密码的概率. （2）至少有一人成功破译密码的事件，其对立事件， 则， 所以至少有一人成功破译密码的概率. 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 概率 3类高频考点概览 考点一 随机事件的概率 考点二 古典概型的概率 考点三 事件的关系及概率的计算 考点一 随机事件的概率 1．（2023·辽宁·合格性）2022年12月20日，联合国世界旅游组织公布2022年“最佳旅游乡村”名单，中国广西大寨村和重庆荆竹村成功入选．辽宁绿江村也以景色别致的油菜花海吸引了众多游客．小明准备利用假期从中选一个乡村游玩，记事件：小明选大寨村，事件：小明选荆竹村，事件：小明选绿江村．已知，，则＝（    ） A．0.12 B．0.18 C．0.7 D．0.9 2．（2025·湖南·合格考）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（  ） A． B． C． D． 3．（2023·安徽·合格考）王老师从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访．事件表示“抽中甲、乙两位同学”，事件表示“抽中甲、丙两位同学”，则（    ） A．是必然事件 B．是不可能事件 C．与是互斥事件 D．与是对立事件 4．（2024·湖北·合格考）从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 5．（2025·辽宁·合格考）2025年春节将要到来，某商场为了增加客流量，决定举办“购物得奖券”活动，规定购买一定价值的商品的顾客均可获得一张奖券，中奖的概率为，不中奖的概率为．现在两个人各有一张奖券，两张奖券是否中奖相互独立，则两张奖券中恰有一张中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽·合格考）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 7．（2023·广东·合格考）某人连续投篮两次，则他至少投中一次的对立事件是（    ） A．至多投中一次 B．两次都投中 C．只投中一次 D．两次都没投中 8．（2022·福建·合格考）某人连续射击两次，事件“两次都没有命中目标”的对立事件是（    ） A．至少有一次命中目标 B．至多有一次命中目标 C．恰好两次都命中目标 D．恰好有一次命中目标 9．（2023·辽宁·合格考）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否回答正确互不影响．求： (1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率； (2)该选手至多进入第二轮考核的概率． 10．（2024·湖南·合格考）某射击运动员在一天的射击训练中射靶100次，训练成绩统计结果如图所示. (1)请估计这名运动员射击成绩的众数； (2)请估计这名运动员射击一次命中9环的概率； (3)如果这名运动员连续射击两次，每次射击成绩互不影响，请估计他两次命中环数都大于8环的概率. 11．（2024·云南·合格考）甲、乙两人独立地参加本次普通高中化学学业水平合格性考试，他们的考试成绩互不影响．甲的化学成绩得满分的概率为，乙的化学成绩得满分的概率为． (1)求甲、乙两人的化学成绩都得满分的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人的化学成绩没有得满分的概率． 12．（2025·陕西·合格考）今年“五一”假期，《水饺皇后》《苍茫的天涯是我的爱》等多部影片投放全国电影院线，题材涵盖历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑等多种类型，持续为中国电影市场释放消费活力．甲、乙、丙三人在5月1日各自独立地观看了一场电影，已知甲观看科幻类电影的概率为，乙、丙观看科幻类电影的概率均为． (1)若历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑六种不同类型电影的参考票价分别为，，，，，（单位：元），求这六种不同类型电影票价的第75百分位数； (2)求甲、乙、丙三人恰有两人观看科幻类电影的概率． 13．（2023·云南·合格考）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙成功破译的概率分别为. (1)求甲､乙都成功破译密码的概率； (2)求至少有一人成功破译密码的概率. 14．（2023·湖南·合格考）自2018年国家实施乡村振兴战略以来，农村电商行业蓬勃发展，规模不断扩大.农村电商畅通了农产品进城渠道，加速推进了农业数字化.图1为我国2018年至2022年农村电商行业农产品网络零售额的变化情况，图2为A市2022年农产品网络零售量占比扇形图.    (1)请根据图1简要描述我国2018年至2022年农产品网络零售额的变化趋势； (2)从A市2022年网络零售农产品中随机抽取一件，估计抽取的产品是粮油或茶叶的概率； (3)已知某农产品带货主播每天零售额超过1万元的概率为0.6，假定每天的销售情况互不影响，求该主播任意两天中至少有一天零售额超过1万元的概率. 考点二 古典概型的概率 1．（2024·江苏·合格考）盒中有3个大小，质地完全相同的球，其中1个红球、2个白球.若从中一次随机取出2个球，则取到的都是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽·合格考）从2，4，8中任取两个不同的数，分别记作a，b，则使为整数的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·合格考）北京中轴线纵贯北京老城中心，北起钟鼓楼，南至永定门，途经多处著名景点，展现了中国传统都城规划理念及“中”“和”哲学思想的深刻内涵．为传播北京中轴线文化，某社会实践活动小组准备从北京中轴线上的万宁桥、景山、故宫和天安门4个景点中随机选取2个景点做策划方案，则选取的2个景点包含故宫的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川·合格考）一道选择题有A，B，C，D四个选项，且只有一个选项正确．若随机选择一个选项，则答对这道题的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江·合格考）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一枚正面朝上，一枚反面朝上”的概率是（    ） A．0 B． C． D．1 6．（2024·湖南·合格考）某环保志愿者计划从甲、乙、丙、丁四个社区中随机选择一个社区进行“垃圾分类”宣讲，则该志愿者选择甲社区的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（2022·河北·合格考）从长度为的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 8．（2024·北京·合格考）2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·云南·合格考）某公司10名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下： 等级 一等奖 二等奖 三等奖 人数（单位：人） 3 6 1 现从这10名员工中任选1名员工参加经验交流活动．若每位员工被选到的概率相等，则选到获一等奖员工的概率为（   ） A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.6 10．（2024·云南·合格考）为弘扬“尊老、敬老、爱老”的中华传统美德，某班组织学生到甲、乙两个敬老院看望老人.按规定，该班某同学通过摸球的方式选择到哪个敬老院看望老人，摸球规则如下：在一个不透明的袋子中有8个大小质地完全相同的球，其中5个红球，3个黄球.该同学从这个袋子中随机摸出1个球.若摸出的球是红球，该同学到甲敬老院看望老人；若摸出的球是黄球，该同学到乙敬老院看望老人.该同学到甲敬老院看望老人的概率为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·福建·合格考）随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现朝上的面的点数是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 12．（2022·河北·合格考）从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（    ） A． B． C． D． 13．（2023·湖北·合格考）某对夫妇打算生育三个孩子，假设生男孩、女孩是等可能的，且不考虑多胞胎情形，则这三个孩子中男、女孩均有的概率是（    ） A． B． C． D． 1孩 2孩 3孩 男 男 男 男 男 女 男 女 男 女 男 男 男 女 女 女 男 女 女 女 男 女 女 女 14．（2023·广东·合格考）若，则三个数称之为勾股数，从3，4，12，13中任取两个，能和5组成勾股数的概率是（    ） A． B． C． D． 15．（2023·北京·合格考）某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 16．（2023·云南·合格考）单项选择题是标准化考试中常用的题型，是从A､B､C､D四个选项中选择一个正确答案.假设考生有一个单项选择题不会做，他随机选择一个答案，答对的概率是（    ） A．1 B． C． D． 17．（2023·湖南·合格考）某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁两个劳动实践基地中选择一个进行研学，则选择红色教育基地的概率是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·北京·合格考）某校美术社团在校园文化节期间制作了“金面罩”“锅神兽”“铜太阳神器”3枚三星堆文物图案印章，并为每位学生随机选择1枚盖章留念，则学生甲得到“金面罩”图案的概率为 ；学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为 . 19．（2025·陕西·合格考）一个袋中装有大小和质地相同的个小球，标号分别为，从袋中不放回的依次摸出两个小球的标号分别记为. 设事件“为偶数”，事件“”，则 . 20．（2023·安徽·合格考）用这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是 ． 21．（2024·北京·合格考）某公司三个部门共有100名员工，为调查他们的体育锻炼情况，通过随机抽样获得了20名员工一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）： A部门 4.5  5  6  7.5  9  11  12  13 B部门 3.5  4  5.5  7  9.5  10.5  11 C部门 5  6  6.5  7  8.5 从三个部门抽出的员工中，各随机抽取一人，分别记为甲、乙、丙、假设所有员工的锻炼时间相互独立，给出下列三个结论： ①甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为； ②甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为； ③乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长． 其中所有正确结论的序号是 ． 22．（2025·黑龙江·合格考）黑龙江省某中学为了掌握该校学生对2025年“亚冬会”的了解程度，现从该校高一年级学生中采用不放回简单随机抽样的方法抽取30人，参加学校组织的“亚冬会”知识竞赛. (1)高一年级学生知识竞赛成绩统计如下： 成绩 人数 5 9 11 3 2 通过以上数据，试估计高一年级参加知识竞赛的30名学生的平均成绩； (2)在上述成绩样本中，从知识竞赛成绩位于的学生中不放回地随机抽取2人，求所抽取的2人成组均在之间的概率. 23．（2022·甘肃·合格考）为增强生态环境保护意见，某市电视台组织40名选手参加生态环境保护知识竞赛活动，现场打分采用十分制，其分数统计如图所示．    (1)试求这40名选手得分的众数和平均数； (2)在得分为9分和10分的人中随机抽3人，代表该市参加全省决赛．求得分为10分的2人全被抽取的概率． 考点三 事件的关系及概率的计算 1．（2024·江苏·合格考）甲，乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，则两人都击中目标的概率为（    ） A．0.26 B．0.72 C．0.85 D．0.98 2．（2024·广西·合格考）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别是与．甲、乙两人在罚球线各投球1次，假设两人投球是否命中互不影响，则甲、乙两人投球都命中的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·辽宁·合格考）高二（1）班在体育课上进行足球射门练习，甲同学的命中率为0.6，乙同学的命中率为0.7．若甲、乙各射门一次，则甲、乙都命中的概率是（    ）． A．0.12 B．0.18 C．0.28 D．0.42 4．（2024·云南·合格考）甲、乙两人独立地破译一份密码.已知甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，则甲、乙两人都成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·江苏·合格考）甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（    ） A．0.09 B．0.42 C．0.51 D．0.6 6．（2024·福建·合格考）甲、乙两人独立破译某个密码，若每人成功破译密码的概率均为，则密码不被破译的概率为（    ） A．0.09 B．0.42 C．0.49 D．0.51 7．（2024·湖北·合格考）已知事件与事件相互独立，且，则 （1） ； （2） . 8．（2023·辽宁·合格考）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否回答正确互不影响．求： (1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率； (2)该选手至多进入第二轮考核的概率． 9．（2023·云南·合格考）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙成功破译的概率分别为. (1)求甲､乙都成功破译密码的概率； (2)求至少有一人成功破译密码的概率. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $