专题05 三角函数（学考真题汇编，全国通用）高中数学

专题05 三角函数 8类高频考点概览 考点一 任意角和弧度制 考点二 任意角的三角函数 考点三 同角三角函数的关系 考点四 三角函数的诱导公式 考点五 三角函数的图像与性质 考点六 三角函数图像变换 考点七 三角恒等变换 考点八 解三角形 考点一 任意角和弧度制 1．（2024·广西·合格考）将弧度化为角度是（    ） A．45° B．60° C．75° D．90° 2．（2025·黑龙江·合格考）已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则是第（    ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 3．（2024·北京·合格考）在平面直角坐标系中，以为顶点，为始边，终边在轴上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽·合格考）已知扇形的半径是，圆心角为2，则该扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·安徽·合格考）角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·北京·合格考）在平面直角坐标系中，角以为顶点.以为始边，终边经过点，则角可以是（   ） A． B． C． D． 7．（2023·湖北·合格考）沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算 ．    考点二 任意角的三角函数 1．（2024·云南·合格考）已知是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·合格考）已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏·合格考）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·合格考）（   ） A． B． C． D． 5．（2025·北京·合格考）若，则角可以为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁·合格考）已知函数，函数可看作向左平移个单位得到，（   ） A．0 B． C． D． 7．（2024·江苏·合格考）已知的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·北京·合格考）在平面直角坐标系中，角以为顶点.以为始边，终边经过点，则角可以是（   ） A． B． C． D． 9．（2024·北京·合格考）（    ） A． B． C． D． 10．（2023·湖南·合格考）设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D．1 11．（2023·云南·合格考）（    ） A． B． C． D．1 12．（2022·河北·合格考）已知函数则（    ） A． B． C． D． 13．（2023·广东·合格考）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（2023·北京·合格考）在平面直角坐标系xOy中，角以O为顶点，以Ox为始边，终边经过点，则角可以是（    ） A． B． C． D． 15．（2022·福建·合格考）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024·安徽·合格考） . 17．（2024·北京·合格考）已知电流（单位：A）关于时间（单位：s）的函数解析式为． (1)当时，求电流； (2)当时，电流取得最大值，写出的一个值． 18．（2023·安徽·合格考）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边位于第一象限，且与单位圆交点的横坐标为． (1)求的值； (2)将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与角的终边重合，求的值． 考点三 同角三角函数的关系 1．（2025·辽宁·合格考）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·云南·合格考）已知，则（    ） A． B． C．6 D．8 3．（2025·黑龙江·合格考）已知，，则（    ） A．0 B． C．1 D． 4．（2022·河北·合格考）已知是第三象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022·河北·合格考）已知是第四象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川·合格考）若，则（   ） A．1 B． C．3 D．5 7．（2024·湖北·合格考）已知，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 8．（2024·云南·合格考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2022·河北·合格考）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2023·江苏·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（2023·云南·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D．3 12．（2023·湖北·合格考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 13．（2023·湖北·合格考）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（2025·陕西·合格考）已知锐角满足，则 . 16．（2024·湖南·合格考）若，则的值为 17．（2023·安徽·合格考）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边位于第一象限，且与单位圆交点的横坐标为． (1)求的值； (2)将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与角的终边重合，求的值． 18．（2022·福建·合格考）已知为第二象限角，且． (1)求； (2)求的值． 考点四 三角函数的诱导公式 1．（2024·湖北·合格考）（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·合格考）在下列各数中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·河北·合格考）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·云南·合格考）若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·北京·合格考）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·云南·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·四川·合格考）在中，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 9．（2024·广西·合格考）若，则（    ） A． B． C． D．1 10．（2024·福建·合格考）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 11．（2023·北京·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·安徽·合格考） . 13．（2024·北京·合格考）已知电流（单位：A）关于时间（单位：s）的函数解析式为． (1)当时，求电流； (2)当时，电流取得最大值，写出的一个值． 14．（2022·福建·合格考）已知为第二象限角，且． (1)求； (2)求的值． 考点五 三角函数的图像与性质 1．（2024·江苏·合格考）函数的最小正周期是（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（2024·云南·合格考）下列函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南·合格考）函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 4．（2025·四川·合格考）在中，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 5．（2024·云南·合格考）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·云南·合格考）函数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024·北京·合格考）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽·合格考）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·云南·合格考）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（2022·河北·合格考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·广西·合格考）函数，的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·安徽·合格考）下列函数是奇函数，且最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·湖南·合格考）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为1 D．在上单调递减 14．（2022·河北·合格考）已知函数. (1)函数的定义域是（    ） A．， B．， C．， D．， (2)当时，函数的最大值是（    ） A．0 B． C． D． (3)若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2022·河北·合格考）已知函数为上的奇函数，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 16．（2024·广西·合格考）下列选项中，函数，的是（    ） A．   B．   C．   D．   17．（2022·河北·合格考）已知函数. (1)当时，函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． (2)当时，函数的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 (3)若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2022·河北·合格考）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 19．（2023·辽宁·合格考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；缺货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）记录表．（    ） 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 根据以上数据，若用函数近似地描述这个港口的水深值与时间（记时刻0：00为时间）的函数关系，则上午7：00时，水深的近似数值为（    ） A．2.83 B．3.75 C．6.25 D．7.17 20．（2023·湖南·合格考）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 21．（2023·湖南·合格考）函数在一个周期内的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   22．（2023·湖北·合格考）下列函数中，定义域和值域都是的是（    ） A． B． C． D． 23．（2023·江苏·合格考）若函数的值域为，则实数的可能值共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（2022·福建·合格考）（多选）函数的一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的有（    ）    A．函数的解析式是 B．函数的最大值是 C．函数的最小正周期是 D．函数的一个对称中心是 25．（2022·福建·合格考）（多选）下列函数中，最小值为的函数为（    ） A． B． C． D． 26．（2023·辽宁·合格考）已知函数，，则的最小值是 ． 27．（2024·湖北·合格考）已知函数的最大值为，则 （1）常数的值为 ； （2）取最大值时，的一个取值为 . 28．（2024·云南·合格考）若函数的最小正周期为，则常数 ． 29．（2022·甘肃·合格考）请写出一个最小正周期为的函数 ．（写出一个即可） 30．（2024·福建·合格考）函数的最小值是 ． 31．（2025·湖南·合格考）已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 32．（2025·北京·合格考）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的最大值，并写出取得最大值时的一个值. 33．（2025·北京·合格考）已知函数. (1)写出的一个周期； (2)求在区间上的最大值和最小值. 34．（2025·四川·合格考）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值． 35．（2025·黑龙江·合格考）已知函数. (1)求函数的最小值： (2)求使成立的的取值集合. 36．（2024·安徽·合格考）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的单调递增区间. 37．（2024·北京·合格考）已知电流（单位：A）关于时间（单位：s）的函数解析式为． (1)当时，求电流； (2)当时，电流取得最大值，写出的一个值． 38．（2024·云南·合格考）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求的值； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围. 39．（2024·广西·合格考）已知向量，，记． (1)若，，求x的值的集合； (2)已知，若函数在区间上单调递增，且函数的图象的一个对称中心为，求的值． 40．（2023·辽宁·合格考）已知函数． (1)求的图象的对称中心和对称轴； (2)写出的单调递增区间； (3)当时，求的最值． 41．（2023·湖北·合格考）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 2 0 (1)将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并写出函数的解析式； (2)将函数图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象，求使成立的x的取值集合． 0 x 0 2 0 0 42．（2023·湖南·合格考）已知函数，. (1)写出函数的单调区间； (2)求函数的最大值； (3)求证：方程有唯一实根，且. 43．（2023·北京·合格考）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的最大值，并写出相应的一个x的值． 44．（2023·江苏·合格考）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求实数的取值范围. 考点六 三角函数图像变换 1．（2023·安徽·合格考）为得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移单位长度 D．向左平移个单位长度 2．（2024·广西·合格考）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3．（2022·河北·合格考）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏·合格考）将函数的图象向上平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·甘肃·合格考）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁·合格考）已知函数，函数可看作向左平移个单位得到，（   ） A．0 B． C． D． 7．（2022·河北·合格考）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·湖南·合格考）为了得到函数的图象，只需把图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 9．（2024·安徽·合格考）为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（    ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 10．（2023·云南·合格考）为得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 11．（2022·福建·合格考）为了得到函数的图像，只需把曲线上所有的点（    ） A．向左平移个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍 B．向右平移个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍 C．向左平移个单位，再把纵坐标缩短到原来的 D．向右平移个单位，再把纵坐标缩短到原来的 12．（2023·广东·合格考）要获得，只需要将正弦图像（    ） A．向左移动个单位 B．向右移动个单位 C．向左移动个单位 D．向右移动个单位 考点七 三角恒等变换 1．（2025·辽宁·合格考）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏·合格考）若，则（    ） A． B． C．3 D． 3．（2025·四川·合格考）的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·合格考）若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·北京·合格考）（   ） A． B． C． D．1 6．（2024·云南·合格考）（    ） A． B． C． D．0 7．（2024·云南·合格考）（   ） A． B． C． D． 8．（2022·河北·合格考）若，则（    ） A． B． C．1 D． 9．（2022·河北·合格考）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 10．（2022·河北·合格考）（    ） A． B． C． D． 11．（2022·河北·合格考）已知函数. (1)函数的定义域是（    ） A．， B．， C．， D．， (2)当时，函数的最大值是（    ） A．0 B． C． D． (3)若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2022·河北·合格考）已知函数. (1)当时，函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． (2)当时，函数的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 (3)若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·北京·合格考）（    ） A． B． C． D． 14．（2022·甘肃·合格考）的值等于（    ） A． B． C． D．1 15．（2024·福建·合格考）计算等于（    ） A． B． C． D． 16．（2023·云南·合格考）（    ） A． B． C． D． 17．（2024·广西·合格考）的值为（    ） A． B． C． D．1 18．（2023·辽宁·合格考）的值是（    ） A． B． C． D． 19．（2023·湖北·合格考）为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一直线上，在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别是和，，测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB，若，则此建筑物的高度是（    ） A． B． C． D． 20．（2023·江苏·合格考）在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 21．（2025·湖南·合格考） ． 22．（2025·陕西·合格考）已知锐角满足，则 . 23．（2023·辽宁·合格考）已知函数，，则的最小值是 ． 24．（2024·湖北·合格考）已知函数的最大值为，则 （1）常数的值为 ； （2）取最大值时，的一个取值为 . 25．（2025·湖南·合格考）已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 26．（2025·黑龙江·合格考）已知函数. (1)求函数的最小值： (2)求使成立的的取值集合. 27．（2024·云南·合格考）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求的值； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围. 28．（2023·安徽·合格考）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边位于第一象限，且与单位圆交点的横坐标为． (1)求的值； (2)将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与角的终边重合，求的值． 29．（2022·福建·合格考）已知为第二象限角，且． (1)求； (2)求的值． 30．（2024·广西·合格考）已知向量，，记． (1)若，，求x的值的集合； (2)已知，若函数在区间上单调递增，且函数的图象的一个对称中心为，求的值． 考点八 解三角形 1．（2025·北京·合格考）在中，，则（   ） A． B． C．4 D．6 2．（2024·江苏·合格考）已知甲船位于灯塔A的北偏东方向，且与A相距3的处.乙船位于灯塔的北偏西方向上的处.若两船相距，则乙船与灯塔A之间的距离（单位：）为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2025·陕西·合格考）在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·合格考）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏·合格考）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川·合格考）已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2025·四川·合格考）在中，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 8．（2023·安徽·合格考）的内角的对边分别为，c．若，．，则等于（    ） A． B． C． D． 9．（2022·河北·合格考）在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·云南·合格考）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2024·云南·合格考）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 12．（2024·北京·合格考）在中，，则（    ） A． B． C． D．3 13．（2022·河北·合格考）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2023·辽宁·合格考）在中，若，则最大角为（    ） A． B． C． D． 15．（2023·湖南·合格考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A． B． C． D． 16．（2023·北京·合格考）在中，，，，则（    ） A．60° B．75° C．90° D．120° 17．（2022·福建·合格考）的内角，所对的边分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 18．（2023·湖北·合格考）为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一直线上，在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别是和，，测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB，若，则此建筑物的高度是（    ） A． B． C． D． 19．（2023·江苏·合格考）两游艇自某地同时出发，一艇以的速度向正北方向行驶，另一艇以的速度向北偏东（）角的方向行驶.若经过，两艇相距 ，则 （    ） A． B． C． D． 20．（2024·安徽·合格考）如图，城市在观察站的北偏东方向上且相距，在观察站的北偏西方向上相距.则观察站和相距 km.    21．（2024·广西·合格考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ． 22．（2024·湖南·合格考）的内角，，的对边分别为，，.若，则 . 23．（2023·北京·合格考）在中，，，则 ． 24．（2022·甘肃·合格考）在中，角的对边分别是，已知，则 ． 26．（2023·辽宁·合格考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C； (2)若，，求b． 27．（2025·辽宁·合格考）在中，角的对边分别为，且满足． (1)求证：； (2)若，求的面积． 28．（2025·湖南·合格考）已知在中，内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若的面积为，求． 29．（2024·云南·合格考）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求的值； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围. 30．（2024·湖北·合格考）的内角的对边分别为，面积为.已知，再从①②两个条件中选取一个作为已知条件，求的周长. ①；②. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 31．（2024·福建·合格考）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的面积． 32．（2022·福建·合格考）如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．    (1)求三棱锥的体积； (2)若，且为锐角，求证：平面． 33．（2023·广东·合格考）在中，内角、、的对边分别为、、，，，. (1)求； (2)求. 34．（2023·云南·合格考）在中，角的对边分别为. (1)已知，求的值； (2)已知，求的值. 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数 8类高频考点概览 考点一 任意角和弧度制 考点二 任意角的三角函数 考点三 同角三角函数的关系 考点四 三角函数的诱导公式 考点五 三角函数的图像与性质 考点六 三角函数图像变换 考点七 三角恒等变换 考点八 解三角形 考点一 任意角和弧度制 1．（2024·广西·合格考）将弧度化为角度是（    ） A．45° B．60° C．75° D．90° 【答案】B 【分析】根据弧度和角度的互换计算即可. 【详解】因为, 所以， 故选：B. 2．（2025·黑龙江·合格考）已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则是第（    ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】利用象限角的概念可得出结论. 【详解】因为，故是第一象限角. 故选：A. 3．（2024·北京·合格考）在平面直角坐标系中，以为顶点，为始边，终边在轴上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合角的定义即可得解. 【详解】当终边在轴非负半轴上时，有， 当终边在轴非正半轴上时，有， 故终边在轴上的角的集合为. 故选：C. 4．（2024·安徽·合格考）已知扇形的半径是，圆心角为2，则该扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形的面积计算公式可得. 【详解】由扇形的面积公式，可得， 故选：A. 5．（2023·安徽·合格考）角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧度制与角度值的转化即可. 【详解】. 故选：A. 6．（2025·北京·合格考）在平面直角坐标系中，角以为顶点.以为始边，终边经过点，则角可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角终边上的点确定三角函数值即可得解. 【详解】由角终边经过点， 可知，且为第四象限角， 故选：B 7．（2023·湖北·合格考）沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算 ．    【答案】/ 【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】如图，连接，    因为是的中点， 所以， 又，所以三点共线， 即， 又， 所以， 则，故， 所以. 故答案为： 考点二 任意角的三角函数 1．（2024·云南·合格考）已知是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数定义代入点坐标计算可得结果. 【详解】由可得. 故选：B 2．（2025·陕西·合格考）已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义求解. 【详解】因为角的终边经过点， 所以. 故选：B 3．（2024·江苏·合格考）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棣莫弗公式化简求解. 【详解】由棣莫弗公式，. 故选：D. 4．（2025·北京·合格考）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊角的三角函数值计算得解. 【详解】依题意，. 故选：B 5．（2025·北京·合格考）若，则角可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可确定答案. 【详解】由于， 故，则角可以为， 故选：C 6．（2025·辽宁·合格考）已知函数，函数可看作向左平移个单位得到，（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数图象的平移可得，进而求解. 【详解】由题意知，图象向左平移个单位得， 即，所以. 故选：A 7．（2024·江苏·合格考）已知的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义求解. 【详解】根据题意，， . 故选：A. 8．（2025·北京·合格考）在平面直角坐标系中，角以为顶点.以为始边，终边经过点，则角可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角终边上的点确定三角函数值即可得解. 【详解】由角终边经过点， 可知，且为第四象限角， 故选：B 9．（2024·北京·合格考）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为， 故选：A. 10．（2023·湖南·合格考）设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由三角函数的定义求解， 【详解】由题意得， 故选：C 11．（2023·云南·合格考）（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用特殊角的三角函数值直接作答. 【详解】. 故选：B 12．（2022·河北·合格考）已知函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题涉及到分段函数的概念。对于分段函数，需要根据自变量的取值范围确定使用哪一段函数表达式进行计算。本题中，所以要根据 这个递推关系逐步将的值转化到的范围，再使用进行计算. 【详解】根据递推关系转化自变量的值 因为，根据，则. 计算.此时，所以. 根据三角函数值可知. 故选：B. 13．（2023·广东·合格考）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的定义计算． 【详解】由题意． 故选：D． 14．（2023·北京·合格考）在平面直角坐标系xOy中，角以O为顶点，以Ox为始边，终边经过点，则角可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据广义角的定义角和正切函数值求解. 【详解】由题意 ，并且点 在第二象限， ； 故选：C. 15．（2022·福建·合格考）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的坐标定义求出即得解. 【详解】由题得，， . 故选：A 16．（2024·安徽·合格考） . 【答案】/ 【分析】结合诱导公式和特殊角三角函数结论求解. 【详解】. 故答案为：. 17．（2024·北京·合格考）已知电流（单位：A）关于时间（单位：s）的函数解析式为． (1)当时，求电流； (2)当时，电流取得最大值，写出的一个值． 【答案】(1)； (2)（答案不唯一，）. 【分析】（1）把代入，结合诱导公式及特殊角的三角函数值计算即得. （2）利用正弦函数的性质求出的表达式即可得解. 【详解】（1）函数，当时，. （2）当时，电流取得最大值，则，解得， 所以的一个值为. 18．（2023·安徽·合格考）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边位于第一象限，且与单位圆交点的横坐标为． (1)求的值； (2)将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与角的终边重合，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数关系即可求出； （2），再利用两角和的正弦公式即可. 【详解】（1）由题意得，因为角的终边位于第一象限， 所以. （2）由题意得. 考点三 同角三角函数的关系 1．（2025·辽宁·合格考）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角的正余弦的平方关系，以及二倍角的正弦公式可求解. 【详解】. 故选：A. 2．（2024·云南·合格考）已知，则（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】由同角的三角函数关系即可求解. 【详解】因为，所以由题意可得 故选：A. 3．（2025·黑龙江·合格考）已知，，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数关系求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B 4．（2022·河北·合格考）已知是第三象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角间的三角函数关系计算． 【详解】是第三象限角，则， 又，故可解得， 故选：B． 5．（2022·河北·合格考）已知是第四象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出的值，再由求解即可. 【详解】解：因为，是第四象限角， 所以， 所以. 故选：D. 6．（2025·四川·合格考）若，则（   ） A．1 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的关系结合已知条件可求得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：B 7．（2024·湖北·合格考）已知，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】利用三角函数的基本关系化简原式即可直接得答案. 【详解】将分子分母同除以可得： . 故选：D. 8．（2024·云南·合格考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由，， 得， 所以. 故选：D. 9．（2022·河北·合格考）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可求，从而可求. 【详解】由正弦定理可得，故， 因为，故，故为锐角，故， 故选：A. 10．（2023·江苏·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数同角的函数关系式，结合齐次式法求值，可得答案. 【详解】由题意，可知， 则， 故选：B 11．（2023·云南·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用商数关系直接计算作答. 【详解】因为，所以. 故选：D 12．（2023·湖北·合格考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用平方关系求余弦值，注意角的范围确定值的符号. 【详解】由题设. 故选：A 13．（2023·湖北·合格考）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据同角三角函数平方关系，结合必要不充分性的判断即可求解. 【详解】由，则，故充分性不成立， 由，则，故必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 15．（2025·陕西·合格考）已知锐角满足，则 . 【答案】 【分析】先由同角三角函数的基本关系得出；再根据二倍角的正切公式得出；最后根据两角和的正切公式可求解. 【详解】由锐角满足可得：，， 则， 所以. 故答案为： 16．（2024·湖南·合格考）若，则的值为 【答案】3 【分析】利用正切定义即可得到答案. 【详解】由题意得显然，则，即. 故答案为：. 17．（2023·安徽·合格考）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边位于第一象限，且与单位圆交点的横坐标为． (1)求的值； (2)将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与角的终边重合，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数关系即可求出； （2），再利用两角和的正弦公式即可. 【详解】（1）由题意得，因为角的终边位于第一象限， 所以. （2）由题意得. 18．（2022·福建·合格考）已知为第二象限角，且． (1)求； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平方关系求余弦值，商数关系求正切值； （2）根据诱导公式、二倍角正弦公式求值即可. 【详解】（1）由题设，则. （2）. 考点四 三角函数的诱导公式 1．（2024·湖北·合格考）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】. 故选：A 2．（2024·北京·合格考）在下列各数中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由半角和全角诱导公式逐项化简即可； 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：A. 3．（2022·河北·合格考）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数图象的平移方法和诱导公式化简得到结果. 【详解】由题意，得. 故选：A. 4．（2025·黑龙江·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式计算即可. 【详解】因为，则. 故选：B. 5．（2024·云南·合格考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简求解即可. 【详解】. 故选：A. 6．（2024·北京·合格考）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简，再结合的图象性质可得结果. 【详解】， 由的图象可知在，上单调递增，上单调递减， 故A正确，BCD均错误. 故选：A. 7．（2024·云南·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式计算可得结果. 【详解】由诱导公式计算可得. 故选：B 8．（2025·四川·合格考）在中，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据余弦函数、正切函数在上的单调性可分别判断A、B，根据诱导公式可判断C,利用正弦定理和三角形边角关系即可判断D.. 【详解】对于A，因函数在上单调递减，且则.故A错误； 对于B，函数在上单调递增且大于零，在上单调递增且小于零. 所以当时，.故B错误； 对于C，因为，所以.故C错误； 对于D，因，则，由正弦定理，，可得，则，故D正确. 故选：D. 9．（2024·广西·合格考）若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据诱导公式即可. 【详解】. 故选：A. 10．（2024·福建·合格考）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：C 11．（2023·北京·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式求解即可． 【详解】由诱导公式得， 因为，所以， 故选：A． 12．（2024·安徽·合格考） . 【答案】/ 【分析】结合诱导公式和特殊角三角函数结论求解. 【详解】. 故答案为：. 13．（2024·北京·合格考）已知电流（单位：A）关于时间（单位：s）的函数解析式为． (1)当时，求电流； (2)当时，电流取得最大值，写出的一个值． 【答案】(1)； (2)（答案不唯一，）. 【分析】（1）把代入，结合诱导公式及特殊角的三角函数值计算即得. （2）利用正弦函数的性质求出的表达式即可得解. 【详解】（1）函数，当时，. （2）当时，电流取得最大值，则，解得， 所以的一个值为. 14．（2022·福建·合格考）已知为第二象限角，且． (1)求； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平方关系求余弦值，商数关系求正切值； （2）根据诱导公式、二倍角正弦公式求值即可. 【详解】（1）由题设，则. （2）. 考点五 三角函数的图像与性质 1．（2024·江苏·合格考）函数的最小正周期是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦函数性质可得最小正周期. 【详解】因为，所以的最小正周期为. 故选：D. 2．（2024·云南·合格考）下列函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见函数的单调性分析判断即可. 【详解】对于，这里，其图象开口向下，对称轴为. 在上单调递增，在上单调递减，在上不为增函数.  故A错误. 对于函数，这里. 根据一次函数的单调性，在上单调递增， 故B正确. 是周期函数，它的周期是. 在上单调递增，在上单调递减，在上不为增函数， 故C错误. 也是周期函数，周期为. 在上单调递增，在上单调递减，在上不为增函数.故D错误. 故选：B. 3．（2025·湖南·合格考）函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【分析】先利用诱导公式化简函数，再判断其周期和奇偶性即可. 【详解】因为 . 所以，， 所以是最小正周期为的奇函数. 故选：A 4．（2025·四川·合格考）在中，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据余弦函数、正切函数在上的单调性可分别判断A、B，根据诱导公式可判断C,利用正弦定理和三角形边角关系即可判断D.. 【详解】对于A，因函数在上单调递减，且则.故A错误； 对于B，函数在上单调递增且大于零，在上单调递增且小于零. 所以当时，.故B错误； 对于C，因为，所以.故C错误； 对于D，因，则，由正弦定理，，可得，则，故D正确. 故选：D. 5．（2024·云南·合格考）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦函数的周期公式求出即可； 【详解】由周期公式可得最小正周期为， 故选：C. 6．（2024·云南·合格考）函数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据三角函数的知识求得正确答案. 【详解】由于，所以， 所以的最大值为，此时. 故选：C 7．（2024·北京·合格考）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简，再结合的图象性质可得结果. 【详解】， 由的图象可知在，上单调递增，上单调递减， 故A正确，BCD均错误. 故选：A. 8．（2024·安徽·合格考）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的性质，直接判断函数的奇偶性. 【详解】A.的图象关于轴对称，是偶函数，故A错误； B.是非奇非偶函数，故B错误； C.是奇函数，故C正确； D.的定义域是，是非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 9．（2024·云南·合格考）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本初等函数的奇偶性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数为奇函数； 对于B选项，函数为偶函数； 对于C选项，函数为奇函数； 对于D选项，函数为非奇非偶函数. 故选：B. 10．（2022·河北·合格考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意中的解析式，先求出，再求即可. 【详解】由题意知，，， 所以. 故选：B 11．（2024·广西·合格考）函数，的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的周期判断即可. 【详解】因为的最小正周期为, 所以的最小正周期也为. 故选：A. 12．（2023·安徽·合格考）下列函数是奇函数，且最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的性质逐一分析即可. 【详解】是奇函数，最小正周期为，故不符合题意； 是偶函数，最小正周期为，故不符合题意； 是奇函数，最小正周期为，故符合题意； ，得， 所以的对称中心为， 故不是奇函数， 的最小正周期为，故不符合题意； 故选：. 13．（2024·湖南·合格考）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为1 D．在上单调递减 【答案】C 【分析】直接由三角函数性质逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，由于，不为奇函数，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，显然的最大值为1，故C正确； 对于D，当时，， 由复合函数单调性、正弦函数单调性可知在上单调递增，故D错误. 故选：C. 14．（2022·河北·合格考）已知函数. (1)函数的定义域是（    ） A．， B．， C．， D．， (2)当时，函数的最大值是（    ） A．0 B． C． D． (3)若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】(1)A (2)C (3)B 【分析】（1）根据条件有，再利用的性质，即可求解； （2）通过换元，得到，由（1）知，再利用二次函数的性质，即可求解； （3）由（1）知，可将问题转化成在区间恒成立，令，分、和三种情况讨论，求出的最小值，即可求解. 【详解】（1）由，得到，即， 所以函数的定义域为，， 故选：A. （2）因为， 令，由（1）知，所以， 则，当时，，对称轴为， 又，所以当时，取到最大值，最大值为， 故选：C. （3）由（2）知，恒成立，即在区间恒成立， 令，对称轴， 当，即时，在区间上单调递增， 此时，得到，所以， 当，即时，，解得， 所以， 当，即时，在区间上单调递减， ，解得，所以， 综上所述，， 故选：B. 15．（2022·河北·合格考）已知函数为上的奇函数，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数性质，解得，并代入检验即可. 【详解】因为函数为上的奇函数， 则，解得， 若，则，且定义域为， 则， 所以函数为上的奇函数， 综上所述：. 故选：A. 16．（2024·广西·合格考）下列选项中，函数，的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据正弦函数图象判断即可. 【详解】根据正弦函数图象判断D选项符合题意. 故选：D. 17．（2022·河北·合格考）已知函数. (1)当时，函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． (2)当时，函数的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 (3)若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】(1)C (2)A (3)B 【分析】（1）根据余弦型函数的周期求解； （2）用二倍角公式化为关于的二次函数，由此可求得最大值； （3）化为关于的二次不等式，结合，利用二次函数性质列不等式求解． 【详解】（1），，，故选：C． （2），， 时，，故选：A （3），即， 所以， 因为， 所以，解得， 故选：B. 18．（2022·河北·合格考）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可. 【详解】对于A：函数在上单调递减，故A正确； 对于B：函数在上单调递增，故B错误； 对于C：函数在上不具有单调，故C错误； 对于D：函数在上单调递增，故D错误； 故选：A 19．（2023·辽宁·合格考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；缺货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）记录表．（    ） 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 根据以上数据，若用函数近似地描述这个港口的水深值与时间（记时刻0：00为时间）的函数关系，则上午7：00时，水深的近似数值为（    ） A．2.83 B．3.75 C．6.25 D．7.17 【答案】B 【分析】根据周期求得，进而求得正确答案. 【详解】由表中数据知，，即，解得，所以， 当时，． 故选：B 20．（2023·湖南·合格考）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的性质判断， 【详解】由正弦函数与余弦函数的性质可知，为奇函数， ，为偶函数，故A，B错误， 的最小正周期为，的最小正周期为，故C错误，D正确， 故选：D 21．（2023·湖南·合格考）函数在一个周期内的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由正切函数的图象与性质判断， 【详解】由正切函数的图象与性质可知在上单调递增，图象为A， 故选：A 22．（2023·湖北·合格考）下列函数中，定义域和值域都是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂指对及正切函数的定义域、值域判断各项是否符合要求即可. 【详解】幂函数的定义域和值域都是，A符合； 指数函数的值域为，B不符合； 对数函数的定义域为，C不符合； 正切函数的定义域为，D不符合； 故选：A 23．（2023·江苏·合格考）若函数的值域为，则实数的可能值共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式，讨论m的范围，确定每段的函数最小值，由题意列方程，求得m的值，可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 若，的值域为，不合题意； 若，则时，，，由于 ， 由题意可知需使； 若，则时，，，， 故需使， 即实数的可能值共有2个， 故选：B 24．（2022·福建·合格考）（多选）函数的一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的有（    ）    A．函数的解析式是 B．函数的最大值是 C．函数的最小正周期是 D．函数的一个对称中心是 【答案】BCD 【分析】根据图象可确定最大值、最小正周期和对称中心，知BCD正确；结合五点法可构造方程求得，知A错误. 【详解】对于B，由图象可知：，B正确； 对于C，由图象可知：最小正周期，C正确； 对于A，由BC得：，，即； 或 当时，， ，解得：， ； 当时，， ，解得：， ； 或，A错误； 对于D，当时，， 的一个对称中心为，D正确. 故选：BCD. 25．（2022·福建·合格考）（多选）下列函数中，最小值为的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式和对勾函数单调性依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，（当且仅当，即时取等号）， 的最小值为，A正确； 对于B，，（当且仅当，即时取等号）， 的最小值为，B正确； 对于C，，，的最小值为，C正确； 对于D，当时，， 令，在上单调递减，当时，， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为，D错误. 故选：ABC. 26．（2023·辽宁·合格考）已知函数，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】因为 ． 因为，所以．． 故答案为：. 27．（2024·湖北·合格考）已知函数的最大值为，则 （1）常数的值为 ； （2）取最大值时，的一个取值为 . 【答案】 1 （答案不唯一） 【分析】根据倍角公式可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】因为， 则，即. 当取最大值时，， 即，， 即，， 所以的一个取值为. 故答案为：1；（答案不唯一）. 28．（2024·云南·合格考）若函数的最小正周期为，则常数 ． 【答案】 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知余弦型函数求周期问题，直接利用周期公式求解. 29．（2022·甘肃·合格考）请写出一个最小正周期为的函数 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角函数周期公式确定即可得答案. 【详解】由的周期为，得， 不妨取，得一个满足题意的函数. 故答案为：（答案不唯一） 30．（2024·福建·合格考）函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 所以函数的最小值是. 故答案为： 31．（2025·湖南·合格考）已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过三角恒等式、诱导公式、二倍角公式以及降幂公式进行化简，代入即可. （2）求解零点的分布，解得通解，再分析解的分布即可. 【详解】（1）化简函数， 利用恒等式，，， 得到： ， 当时，，在的值域为， 所以若，函数的值域为. （2）令，解得， 则或， 即或， 在区间内，前两个非负解为，，后续解依次为，等， 为使恰好有两个零点，需满足， 因此，的取值范围为. 32．（2025·北京·合格考）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的最大值，并写出取得最大值时的一个值. 【答案】(1) (2)2，0（答案不唯一） 【分析】（1）根据给定的函数，利用余弦函数的周期公式求解. （2）利用余弦函数的最值及取最值的条件求解. 【详解】（1）函数， 所以的最小正周期为. （2）函数的定义域为，则，， 当，即时，取得最大值2， 所以取得最大值2时的一个值是0.（答案不唯一） 33．（2025·北京·合格考）已知函数. (1)写出的一个周期； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)(答案不唯一) (2)，. 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式即可得解； （2）根据正弦函数的单调性可求最值. 【详解】（1）因为， 所以为函数的一个周期. （2）当时，， 即， 所以在区间上的最大值和最小值分别为，. 34．（2025·四川·合格考）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用最小正周期公式求得； （2）令，由，可得，可用整体法求得函数的最大值. 【详解】（1）， 故的最小正周期为. （2）令 ，由 得： ， 又因为函数 在 单调递增， 所以. 35．（2025·黑龙江·合格考）已知函数. (1)求函数的最小值： (2)求使成立的的取值集合. 【答案】(1)最小值是； (2) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简原函数，结合正弦函数性质求解即可. （2）利用正弦函数性质求解不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 故函数的最小值是. （2）令，则， 即，得到， 故，解得， 故使成立的的取值集合为. 36．（2024·安徽·合格考）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的单调递增区间. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解； （2）结合正弦函数性质求函数的单调递增区间，再求其与交集即可. 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期. （2）令，， 则，. 所以函数的单调递增区间为，， 又因为，所以在上的单调递增区间为. 37．（2024·北京·合格考）已知电流（单位：A）关于时间（单位：s）的函数解析式为． (1)当时，求电流； (2)当时，电流取得最大值，写出的一个值． 【答案】(1)； (2)（答案不唯一，）. 【分析】（1）把代入，结合诱导公式及特殊角的三角函数值计算即得. （2）利用正弦函数的性质求出的表达式即可得解. 【详解】（1）函数，当时，. （2）当时，电流取得最大值，则，解得， 所以的一个值为. 38．（2024·云南·合格考）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求的值； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可求出的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，根据题意求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得. （2）因为，，则， 由正弦定理可得， 所以， ， 因为为锐角三角形，则，解得， 所以，，则， 故. 即的取值范围是. 39．（2024·广西·合格考）已知向量，，记． (1)若，，求x的值的集合； (2)已知，若函数在区间上单调递增，且函数的图象的一个对称中心为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用向量垂直的坐标表示和辅助角公式得，解出即可； （2）根据正弦函数的单调增区间通式得到，再根据其对称中心得到方程，解出即可. 【详解】（1）若，，则， 则，解得， 则x的值的集合为. （2）依题意知， 由，.解得，. 由于函数在区间内单调递增，故，即，. 当时，上式成立，即，结合得， 因为函数的图象的一个对称中心为， 则， 则，解得，， 结合，则. 40．（2023·辽宁·合格考）已知函数． (1)求的图象的对称中心和对称轴； (2)写出的单调递增区间； (3)当时，求的最值． 【答案】(1)对称中心为，对称轴方程为 (2) (3)最小值为，最大值为2 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，再利用正弦函数的性质求对称中心及对称轴. （2）根据，再利用正弦函数的性质解决单调递增区间. （3）根据正弦函数性质即可求得最大最小值. 【详解】（1）由题意，得函数． 令， 解得， 所以函数的对称中心为． 令， 解得， 所以函数的对称轴方程为． （2）由， 得， 所以的单调递增区间为． （3）当时，， 所以， 当即时，函数取得最小值为； 当即时，函数取得最大值为2． 41．（2023·湖北·合格考）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 2 0 (1)将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并写出函数的解析式； (2)将函数图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象，求使成立的x的取值集合． 【答案】(1)数据补充见解析，； (2). 【分析】（1）根据已知数据求参数可得，进而补充表格数据； （2）由图象平移得，结合正弦型函数性质解不等式求解集即可. 【详解】（1）由表格知：且，即，故， 由，则， 所以，表格补充如下： 0 x 0 2 0 0 （2）由题设，即， 即取值集合为. 42．（2023·湖南·合格考）已知函数，. (1)写出函数的单调区间； (2)求函数的最大值； (3)求证：方程有唯一实根，且. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由对数函数的性质直接可判断单调性； （2）化简，由三角函数的性质即可得出答案； （3）设，通过分类讨论研究函数值值域和单调性，证明，则有，再通过构造函数放缩法证得结论. 【详解】（1）函数，定义域为， 由对数函数的性质可知，在上单调递增， 所以单调递增区间为，无单调递减区间； （2）因为， 又因为，当时，； （3）令， ①当时，，， 则当时，，没有零点； ②当时，有，则，， ，没有零点； ③当时，有， 由 在上单调递增， ，， 所以存在唯一实数，使得， 因为上单调递增，所以， 因为，所以， 因为，即, 所以， 因为，所以，所以， 令，由在单调递减， 得，即， 所以， 又因为，所以， 即， 综上所述：方程有唯一实根，且. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用单调性和零点存在性定理可证零点唯一性；二是利用不等式转化结合三角函数单调性得证不等式. 43．（2023·北京·合格考）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的最大值，并写出相应的一个x的值． 【答案】(1)； (2)最大值为2，相应的一个x的值为． 【分析】（1）根据周期公式即得； （2）根据正弦函数的性质即得. 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期； （2）因为， 当，即时，有最大值1， 所以的最大值为2，此时, 故相应的一个x的值可取. 44．（2023·江苏·合格考）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，再计算周期即可. （2）设，，考虑，，三种情况，利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】（1），最小正周期. （2），即， 设，，， 当时，即，整理得到， ，当且仅当，即时等号成立，故； 当时，不等式恒成立； 当时，即，整理得到， ，当且仅当，即时等号成立，故. 综上所述：，即 考点六 三角函数图像变换 1．（2023·安徽·合格考）为得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据函数的平移变换即可求解. 【详解】为得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点向左平移个单位长度, 故选：D 2．（2024·广西·合格考）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据图象平移规律可得答案. 【详解】为了得到函数的图象， 只需将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度. 故选：A. 3．（2022·河北·合格考）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式将化简，后由图象平移知识结合诱导公式可得答案. 【详解】由辅助角公式，将其向右平移个单位长度， 得. 故选：A 4．（2024·江苏·合格考）将函数的图象向上平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数图象的平移变换求解. 【详解】将函数的图象向上平移个单位长度，所得图象的函数解析式为. 故选：C. 5．（2022·甘肃·合格考）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数图象平移变化可得. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后， 所得图象对应的函数为，即. 故选：A 6．（2025·辽宁·合格考）已知函数，函数可看作向左平移个单位得到，（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数图象的平移可得，进而求解. 【详解】由题意知，图象向左平移个单位得， 即，所以. 故选：A 7．（2022·河北·合格考）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数图象的平移方法和诱导公式化简得到结果. 【详解】由题意，得. 故选：A. 8．（2024·湖南·合格考）为了得到函数的图象，只需把图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【分析】直接利用函数图象的平移法则“左加右减”即可得到选项． 【详解】解：由到，只是横坐标由变为， 要得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度． 故选：A． 9．（2024·安徽·合格考）为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（    ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【分析】根据三角函数伸缩变换原则即可得到结果. 【详解】对于A，得满足题意； 对于B，得不满足题意； C，得不满足题意； D，得不满足题意. 故选：A. 10．（2023·云南·合格考）为得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】B 【分析】根据三角函数图象的平移变换求解即可. 【详解】由题意，为得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度即可. 故选：B. 11．（2022·福建·合格考）为了得到函数的图像，只需把曲线上所有的点（    ） A．向左平移个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍 B．向右平移个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍 C．向左平移个单位，再把纵坐标缩短到原来的 D．向右平移个单位，再把纵坐标缩短到原来的 【答案】A 【分析】根据解析式确定图象平移过程即可. 【详解】将向左平移个单位得， 再把纵坐标伸长到原来的2倍，得. 故选：A 12．（2023·广东·合格考）要获得，只需要将正弦图像（    ） A．向左移动个单位 B．向右移动个单位 C．向左移动个单位 D．向右移动个单位 【答案】A 【分析】根据三角函数图象变换的概念判断. 【详解】把的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式为． 故选：A． 考点七 三角恒等变换 1．（2025·辽宁·合格考）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角的正余弦的平方关系，以及二倍角的正弦公式可求解. 【详解】. 故选：A. 2．（2024·江苏·合格考）若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据两角和的正切公式运算求解. 【详解】由，即，解得. 故选：C. 3．（2025·四川·合格考）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角和的正弦公式即可求解. 【详解】 ， 故选：D 4．（2025·北京·合格考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角和的正弦公式化简后，根据正弦值求角即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B 5．（2025·北京·合格考）（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】由. 故选：B. 6．（2024·云南·合格考）（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】由两角差的正弦公式即特殊角的三角函数即可计算得解； 【详解】， 故选：C. 7．（2024·云南·合格考）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的余弦公式可求解. 【详解】. 故选：A. 8．（2022·河北·合格考）若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用余弦的和角公式及二倍角公式计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：C 9．（2022·河北·合格考）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式将化简，后由图象平移知识结合诱导公式可得答案. 【详解】由辅助角公式，将其向右平移个单位长度， 得. 故选：A 10．（2022·河北·合格考）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题涉及正切函数的两角差公式，我们可以将所给式子转化为正切函数两角差的形式来求解. 【详解】将原式变形为 则 . 故选：D 11．（2022·河北·合格考）已知函数. (1)函数的定义域是（    ） A．， B．， C．， D．， (2)当时，函数的最大值是（    ） A．0 B． C． D． (3)若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】(1)A (2)C (3)B 【分析】（1）根据条件有，再利用的性质，即可求解； （2）通过换元，得到，由（1）知，再利用二次函数的性质，即可求解； （3）由（1）知，可将问题转化成在区间恒成立，令，分、和三种情况讨论，求出的最小值，即可求解. 【详解】（1）由，得到，即， 所以函数的定义域为，， 故选：A. （2）因为， 令，由（1）知，所以， 则，当时，，对称轴为， 又，所以当时，取到最大值，最大值为， 故选：C. （3）由（2）知，恒成立，即在区间恒成立， 令，对称轴， 当，即时，在区间上单调递增， 此时，得到，所以， 当，即时，，解得， 所以， 当，即时，在区间上单调递减， ，解得，所以， 综上所述，， 故选：B. 12．（2022·河北·合格考）已知函数. (1)当时，函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． (2)当时，函数的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 (3)若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】(1)C (2)A (3)B 【分析】（1）根据余弦型函数的周期求解； （2）用二倍角公式化为关于的二次函数，由此可求得最大值； （3）化为关于的二次不等式，结合，利用二次函数性质列不等式求解． 【详解】（1），，，故选：C． （2），， 时，，故选：A （3），即， 所以， 因为， 所以，解得， 故选：B. 13．（2024·北京·合格考）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为， 故选：A. 14．（2022·甘肃·合格考）的值等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】直接利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】. 故选：A. 15．（2024·福建·合格考）计算等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式计算可得. 【详解】. 故选：B 16．（2023·云南·合格考）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，逆用差角的余弦公式计算作答. 【详解】. 故选：D 17．（2024·广西·合格考）的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据二倍角的正弦公式即可. 【详解】. 故选：D. 18．（2023·辽宁·合格考）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正切的和角公式，计算即可. 【详解】． 故选：D 19．（2023·湖北·合格考）为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一直线上，在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别是和，，测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB，若，则此建筑物的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，利用正弦定理求出，再解求出，即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理得， 所以， ， 在中，， 所以， 即此建筑物的高度是. 故选：A. 20．（2023·江苏·合格考）在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定，再利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】，，，解得. 故选：D 21．（2025·湖南·合格考） ． 【答案】/0.5 【分析】根据两角和的余弦公式即可求得． 【详解】根据两角和的余弦公式可知． 故答案为：． 22．（2025·陕西·合格考）已知锐角满足，则 . 【答案】 【分析】先由同角三角函数的基本关系得出；再根据二倍角的正切公式得出；最后根据两角和的正切公式可求解. 【详解】由锐角满足可得：，， 则， 所以. 故答案为： 23．（2023·辽宁·合格考）已知函数，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】因为 ． 因为，所以．． 故答案为：. 24．（2024·湖北·合格考）已知函数的最大值为，则 （1）常数的值为 ； （2）取最大值时，的一个取值为 . 【答案】 1 （答案不唯一） 【分析】根据倍角公式可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】因为， 则，即. 当取最大值时，， 即，， 即，， 所以的一个取值为. 故答案为：1；（答案不唯一）. 25．（2025·湖南·合格考）已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过三角恒等式、诱导公式、二倍角公式以及降幂公式进行化简，代入即可. （2）求解零点的分布，解得通解，再分析解的分布即可. 【详解】（1）化简函数， 利用恒等式，，， 得到： ， 当时，，在的值域为， 所以若，函数的值域为. （2）令，解得， 则或， 即或， 在区间内，前两个非负解为，，后续解依次为，等， 为使恰好有两个零点，需满足， 因此，的取值范围为. 26．（2025·黑龙江·合格考）已知函数. (1)求函数的最小值： (2)求使成立的的取值集合. 【答案】(1)最小值是； (2) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简原函数，结合正弦函数性质求解即可. （2）利用正弦函数性质求解不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 故函数的最小值是. （2）令，则， 即，得到， 故，解得， 故使成立的的取值集合为. 27．（2024·云南·合格考）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求的值； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可求出的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，根据题意求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得. （2）因为，，则， 由正弦定理可得， 所以， ， 因为为锐角三角形，则，解得， 所以，，则， 故. 即的取值范围是. 28．（2023·安徽·合格考）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边位于第一象限，且与单位圆交点的横坐标为． (1)求的值； (2)将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与角的终边重合，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数关系即可求出； （2），再利用两角和的正弦公式即可. 【详解】（1）由题意得，因为角的终边位于第一象限， 所以. （2）由题意得. 29．（2022·福建·合格考）已知为第二象限角，且． (1)求； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平方关系求余弦值，商数关系求正切值； （2）根据诱导公式、二倍角正弦公式求值即可. 【详解】（1）由题设，则. （2）. 30．（2024·广西·合格考）已知向量，，记． (1)若，，求x的值的集合； (2)已知，若函数在区间上单调递增，且函数的图象的一个对称中心为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用向量垂直的坐标表示和辅助角公式得，解出即可； （2）根据正弦函数的单调增区间通式得到，再根据其对称中心得到方程，解出即可. 【详解】（1）若，，则， 则，解得， 则x的值的集合为. （2）依题意知， 由，.解得，. 由于函数在区间内单调递增，故，即，. 当时，上式成立，即，结合得， 因为函数的图象的一个对称中心为， 则， 则，解得，， 结合，则. 考点八 解三角形 1．（2025·北京·合格考）在中，，则（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即可. 【详解】依题意，. 故选：B 2．（2024·江苏·合格考）已知甲船位于灯塔A的北偏东方向，且与A相距3的处.乙船位于灯塔的北偏西方向上的处.若两船相距，则乙船与灯塔A之间的距离（单位：）为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由图结合余弦定理可得答案. 【详解】由图可得，， 则由余弦定理可得： . 故选：C 3．（2025·陕西·合格考）在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理、三角形内角和定理即可求解. 【详解】由正弦定理得，，即，解得， 因为，所以. 故选：D. 4．（2025·北京·合格考）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，， 所以， 故选：D 5．（2024·江苏·合格考）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理边角互换结合余弦定理可得答案. 【详解】因，则， 则. 故选：A 6．（2025·四川·合格考）已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用余弦定理直接代入公式计算可得结果. 【详解】由余弦定理可得， 解得. 故选：A 7．（2025·四川·合格考）在中，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据余弦函数、正切函数在上的单调性可分别判断A、B，根据诱导公式可判断C,利用正弦定理和三角形边角关系即可判断D.. 【详解】对于A，因函数在上单调递减，且则.故A错误； 对于B，函数在上单调递增且大于零，在上单调递增且小于零. 所以当时，.故B错误； 对于C，因为，所以.故C错误； 对于D，因，则，由正弦定理，，可得，则，故D正确. 故选：D. 8．（2023·安徽·合格考）的内角的对边分别为，c．若，．，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得，解得， 故选：D 9．（2022·河北·合格考）在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易知，在和中分别利用余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由，得. 故选：C 10．（2024·云南·合格考）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理解三角形. 【详解】中，由正弦定理，得. 故选：B 11．（2024·云南·合格考）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用余弦定理可求解. 【详解】因为在中，，，， 所以由余弦定理可得：， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：三角形中知道两边及夹角的余弦值求第三边直接利用余弦定理求解. 12．（2024·北京·合格考）在中，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由余弦定理即可求解. 【详解】由， 所以. 故选：A 13．（2022·河北·合格考）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可求，从而可求. 【详解】由正弦定理可得，故， 因为，故，故为锐角，故， 故选：A. 14．（2023·辽宁·合格考）在中，若，则最大角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得到，从而确定最大角，利用余弦定理即可求. 【详解】由正弦定理，得， 设，，，， 因为，所以， 所以， 因为， 所以，即这个三角形的最大角是． 故选：B 15．（2023·湖南·合格考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理可得：. 故选：C. 16．（2023·北京·合格考）在中，，，，则（    ） A．60° B．75° C．90° D．120° 【答案】D 【分析】运用余弦定理求解. 【详解】由余弦定理得： ，. 故选：D. 17．（2022·福建·合格考）的内角，所对的边分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用正弦定理、三角形内角性质求的值. 【详解】由正弦定理知：，则，， 所以或，又，故. 故选：B 18．（2023·湖北·合格考）为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一直线上，在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别是和，，测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB，若，则此建筑物的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，利用正弦定理求出，再解求出，即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理得， 所以， ， 在中，， 所以， 即此建筑物的高度是. 故选：A. 19．（2023·江苏·合格考）两游艇自某地同时出发，一艇以的速度向正北方向行驶，另一艇以的速度向北偏东（）角的方向行驶.若经过，两艇相距 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，设点为出发点，点为的船后到达的点，点为的船后到达的点，再利用余弦定理即可得解. 【详解】如图，设点为出发点，点为的船后到达的点，点为的船后到达的点， 则， 则， 又因，所以. 故选：C. 20．（2024·安徽·合格考）如图，城市在观察站的北偏东方向上且相距，在观察站的北偏西方向上相距.则观察站和相距 km.    【答案】 【分析】由条件可得，，，利用余弦定理求 【详解】由条件可得，，， 由余弦定理可得， 所以， 故. 故答案为：. 21．（2024·广西·合格考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ． 【答案】1 【分析】根据余弦定理计算即可. 【详解】, 故答案为：1. 22．（2024·湖南·合格考）的内角，，的对边分别为，，.若，则 . 【答案】/0.25 【分析】利用正弦定理进行边化角，再化简即可求得. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为，所以， 所以，. 故答案为： 23．（2023·北京·合格考）在中，，，则 ． 【答案】4 【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】由正弦定理可得，故，所以. 故答案为：4. 24．（2022·甘肃·合格考）在中，角的对边分别是，已知，则 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理直接求解即可. 【详解】由正弦定理可得：. 故答案为：. 26．（2023·辽宁·合格考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C； (2)若，，求b． 【答案】(1)60° (2) 【分析】（1）应用余弦定理计算结合角的范围即可求角； （2）先计算角，再应用正弦定理求边长即可. 【详解】（1）因为， 所以． 因为，所以． （2）因为， 由正弦定理得，，． 27．（2025·辽宁·合格考）在中，角的对边分别为，且满足． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，进而可求解； （2）由正弦定理可求得，可求面积. 【详解】（1）根据正弦定理， 又，所以，而， ∴或， ∵，且，∴舍去，即成立． （2）∵，∴， 又，∴根据正弦定理可得：， ∴． 28．（2025·湖南·合格考）已知在中，内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理可求得的值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 所以， ， 因为、，则，可得，故. （2）因为，可得， 由余弦定理可得 ， 因此，. 29．（2024·云南·合格考）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求的值； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可求出的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，根据题意求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得. （2）因为，，则， 由正弦定理可得， 所以， ， 因为为锐角三角形，则，解得， 所以，，则， 故. 即的取值范围是. 30．（2024·湖北·合格考）的内角的对边分别为，面积为.已知，再从①②两个条件中选取一个作为已知条件，求的周长. ①；②. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 【分析】若选择①，根据面积公式求，再根据余弦定理求，即可求解周长； 若选项②，根据面积公式求角以及角，再结合，即可求解周长. 【详解】若选择①， ，得， ， 得，所以； 若选择②， ，得，因为，所以， 那么，， ，得，，， 所以， 所以的周长为. 31．（2024·福建·合格考）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由余弦定理化角为边，化简即可得证； （2）由余弦定理可求得，可求的面积. 【详解】（1）因为，所以， 化简得，即，所以是等腰三角形. （2）由余弦定理可得，得， 解得，由，所以， 所以的面积为. 32．（2022·福建·合格考）如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．    (1)求三棱锥的体积； (2)若，且为锐角，求证：平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由面面垂直的性质可得面，即为体高，利用棱锥体积公式求体积即可； （2）由三角形面积公式可得，根据已知及平方关系求余弦值，应用余弦定理求，易知，再由线面垂直的性质得，最后应用线面垂直的判定证结论. 【详解】（1）面面，，面面，面， 所以面，又的面积为6， 所以三棱锥的体积. （2）由题设，即，又为锐角， 所以， 由，故， 所以， 由（1）知面，面，故， ，面，故平面. 33．（2023·广东·合格考）在中，内角、、的对边分别为、、，，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理求出，结合大边对大角定理可求得角的值； （2）求得，利用勾股定理可求得的值. 【详解】（1）解：由正弦定理可得，所以，， 因为，则，故. （2）解：由（1）可知，所以，. 34．（2023·云南·合格考）在中，角的对边分别为. (1)已知，求的值； (2)已知，求的值. 【答案】(1)4； (2)1. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理求解作答. （2）根据给定条件，利用余弦定理求解作答. 【详解】（1）在中，，由正弦定理，得， 所以的值是4. （2）在中，，由余弦定理，得， 则有，即，解得， 所以的值为1. 46 / 72 学科网（北京）股份有限公司 $