精品解析：山西省大同市部分学校2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期阶段练习评估 九年级数学 满分120分，考试时间120分钟 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的一元二次方程，若，则下列各数中是该方程的根的是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 0 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 某公司2016年缴税70万元，2018年缴税90万元，求该公司这两年缴税的年平均增长率. 若设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，根据题意，可得方程（ ） A. 70x2=90 B. 70(1+x)2=90 C. 70(1+x)=90 D. 70+70(1+x)+70(1+x)2=90 7. 关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的一个根是1，则另一个根是（ ） A. 5 B. -5 C. -6 D. -7 8. 一元二次方程的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 10. 有3人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有363人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（15分） 11. _______． 12. 若实数a，b满足，则______． 13. 在一次聚会中，每两人都握了一次手，所有人共握手15次，有______人参加聚会． 14. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是______ ． 15. 已知实数x满足，则代数式的值是_________． 三、解答题（75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知：，，求的值． 19. 关于的一元二次方程的实数解是和． 求的取值范围； 如果，求的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标，点关于原点的对称点为． （1）若以为一边向上作一个等边三角形，直接写出点的坐标． （2）求（）中的三角形的周长和面积． 21. 如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一点从出发沿方向以的速度运动，两点同时出发，运动时间为（）． （1）当为秒______时，的面积是平方厘米． （2）的面积能否为面积的？若能，求出的值；若不能，说明理由． 22. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 23. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在（1）问的条件下，平均每天获利不变，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ （3）写出每天总利润与降价元的函数关系式，为了使每天的利润最大，应降价多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段练习评估 九年级数学 满分120分，考试时间120分钟 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式定义：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式. 据此判断即可． 【详解】解：A．，故选项不是最简二次根式，不符合题意； B．，故选项不是最简二次根式，不符合题意； C．是最简二次根式，故选项符合题意； D．，故选项不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 已知关于的一元二次方程，若，则下列各数中是该方程的根的是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程的根，是方程的根，代入方程会使得方程恒成立； 令，得出，即可得出答案； 【详解】解：令，则，故是一元二次方程的根， 故选：A． 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除、加减运算法则． 分别根据二次根式的乘除法则、加减法则对每个选项进行计算，判断其正确性． 【详解】解：A、可得，计算正确； B、，计算错误； C、，计算错误； D、与不是同类二次根式，不能直接相加，，显然，计算错误． 故选：A． 4. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数解答即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得. 故选：B. 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键． 5. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，将方程化为完全平方式． 通过移项、配方的步骤，将给定的一元二次方程转化为完全平方式，从而得出答案． 【详解】解：， 移项得， ， ， 故选：D． 6. 某公司2016年缴税70万元，2018年缴税90万元，求该公司这两年缴税的年平均增长率. 若设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，根据题意，可得方程（ ） A. 70x2=90 B. 70(1+x)2=90 C. 70(1+x)=90 D. 70+70(1+x)+70(1+x)2=90 【答案】B 【解析】 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，首先表示出2017年的缴税额，然后表示出2018年的缴税额，即可列出方程． 【详解】解：若该公司这两年缴税的年平均增长率为x， 则2017年缴税70（1+x），2018年缴税70（1+x）2， 根据题意，得：70（1+x）2=90． 故选B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 7. 关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的一个根是1，则另一个根是（ ） A. 5 B. -5 C. -6 D. -7 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦达定理得出x1+x2=6，然后即可得出答案． 【详解】解：根据题意得x1+x2=6，方程的一个根是1， 则方程的另一个根是5， 故选：A． 【点睛】本题考查了韦达定理，一元二次方程的解，得出x1+x2=6是解题关键． 8. 一元二次方程的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根；当时，方程有两个相等的实数根． 先求出一元二次方程根的判别式的值，然后判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式以及定义求解，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 该一元二次方程有实数根， ， 解得：， 又该方程为一元二次方程， ， ， m的取值范围为且． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式以及定义，解题关键是掌握根的判别式：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根． 10. 有3人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有363人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意可得：， 解得：，（舍去）， 则每轮传染中平均一个人传染的人数是10个人． 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（15分） 11. _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．直接合并系数进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为： ． 12. 若实数a，b满足，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，分式的求值，根据非负数性质求出，的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解∶∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2． 13. 在一次聚会中，每两人都握了一次手，所有人共握手15次，有______人参加聚会． 【答案】6 【解析】 【分析】设有x人参加聚会，根据题意列出方程，求出方程的解，即可得到结果． 【详解】解：设有x人参加聚会，根据题意得： =15， 整理得：x2﹣x﹣30=0，即（x﹣6）（x+5）=0， 解得：x=6或x=﹣5（舍去）， 即有6人参加聚会． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握“握手问题”的规律，是解答本题的关键． 14. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次方程及一元二次方程的定义分和两种情况进行解答． 本题考查一元一次方程及一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，熟练运用分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有实数根， ∴当时，， 解得； ∴当时，关于的方程是一元二次方程， ∵关于的方程有实数根， ∴， 解得， 由得，的取值范围是． 故答案是：． 15. 已知实数x满足，则代数式的值是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】已知方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0求出所求式子的值即可． 【详解】解：已知方程分解因式得：， 可得或（无解）， ． 故答案为：5． 【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解本题的关键． 三、解答题（75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用零指数幂、负整数指数幂和算术平方根的定义计算即可求解； （）利用二次根式的性质、运算法则进行计算即可求解； 本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握实数和二次根式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， ． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键 ． （1）移项，再利用平方差公式进行因式分解求解即可； （2）利用因式分解求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ，． 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 18. 已知：，，求的值． 【答案】7+4 【解析】 【详解】试题分析：根据x、y的值可以求得x-y的值和xy的值，从而可以解答本题． 试题解析：∵x＝1－，y＝1＋， ∴x－y＝(1－)－(1＋)＝－2， xy＝(1－)(1＋)＝－1， ∴x2＋y2－xy－2x＋2y ＝(x－y)2－2(x－y)＋xy ＝(－2)2－2×(－2)＋(－1) ＝7＋4. 19. 关于的一元二次方程的实数解是和． 求的取值范围； 如果，求的值． 【答案】（1）的取值范围是，且； 的值为． 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，一元二次方程有两个实数根，故△≥0，且方程为一元二次方程，可知二次项系数不为0，据此解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣，x1x2=，根据x1+x2﹣x1x2=1﹣k列出等式，解答即可． 【详解】（1）△=22﹣4×（k﹣1）×1=﹣4k． ∵方程有实数根，∴△≥0且k+1≠0，解得：k≤0且k≠﹣1，k的取值范围是k≤0且k≠﹣1； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得：x1+x2=﹣，x1x2=． 由x1+x2﹣x1x2=1﹣k，得：﹣=1﹣k，解得：k1=2，k2=﹣2． 经检验，k1、k2是原方程的解． 又由（1）k≤0且k≠﹣1，故k的值为﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，熟练掌握其性质是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标，点关于原点的对称点为． （1）若以为一边向上作一个等边三角形，直接写出点的坐标． （2）求（）中的三角形的周长和面积． 【答案】（1）； （2）的周长为，面积为． 【解析】 【分析】（）由对称可得，得到，由等边三角形的性质可得点在轴的正半轴上，，利用勾股定理求出即可得到点的坐标； （）根据（）中所求即可求解． 【小问1详解】 解：∵点的坐标，点关于原点的对称点为， ∴， ∴， ∵是以为一边向上作的一个等边三角形， ∴点在轴的正半轴上，， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴的周长为， ． 【点睛】本题考查了中心对称的性质，等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，正确求出点坐标是解题的关键． 21. 如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一点从出发沿方向以的速度运动，两点同时出发，运动时间为（）． （1）当为秒______时，的面积是平方厘米． （2）的面积能否为面积的？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：不能，理由如下： 由题意得，， 方程整理得，， ∵， ∴方程无解， ∴的面积不能为面积的． 【解析】 【分析】（）根据题意，列出方程即可求解； （）根据题意，列出方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴， 当的面积是平方厘米时，， 即， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 略 22. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【答案】 （1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】（1）略 （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 23. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在（1）问的条件下，平均每天获利不变，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ （3）写出每天总利润与降价元的函数关系式，为了使每天的利润最大，应降价多少元？ 【答案】（1）4元或6元；（2）9折；（3）5元． 【解析】 【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折． （3）根据已知得出销量乘以每千克利润=总利润进而得出函数关系式，再利用配方法求出即可． 【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元． 根据题意，得（60-x-40）（100+×20）=2240． 化简，得x2-10x+24=0,解得x1=4，x2=6． 答：每千克核桃应降价4元或6元． （2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元． 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元． 此时，售价为：60-6=54（元），×100%=90%． 答：该店应按原售价的九折出售． （3）每天总利润y与降价x元的函数关系式为： y=（60-x-40）（100+×20） =-10x2+100x+2000 =-10（x2-10x）+2000 =-10（x-5）2+2250， 当x=5时，y最大， 故为了使每天的利润最大，应降价5元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程和函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $