第六单元 分数混合运算 （知识清单）数学西南大学版六年级上册

第六单元 分数混合运算 单元知识清单讲义 知识点一：分数混合运算的运算顺序 1.运算顺序：分数混合运算的运算顺序和整数混合运算的运算顺序相同。 2.无括号的运算顺序：在没有括号的综合算式里，如果只有加减法或者只有乘除法，要从左往右依次计算。 3.有括号的运算顺序：在有括号的综合算式里，要先算括号里面的，再算括号外面的。 知识点二：分数混合运算的运算率和运算顺序 1.加法交换律：两个数相加，交换两个加数的位置，和不变。如果用a和b表示两个数，那么加法交换律可以表示为：a+b=b+a。 2.加法结合律：3个数相加，先把前两个数相加，再加第3个数；或先把后两个数相加，再加第1个数，和不变。如果用a,b,c表示三个数，那么加法结合律可以表示为：(a+b)+c=a+(b+c)。 3.减法的运算性质：减法的运算性质可以表示为：a-b-c=a-(b+c);a-b+c=a-(b-c)。 4.乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。如果用a和b表示两个数，那么乘法交换律可以表示为：a×b=b×a 5.乘法结合律：3个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第3个数；或先把后两个数相乘，再乘第1个数，积不变。如果用a,b,c表示三个数，那么乘法结合律可以表示为：(a×b)×c=a×(b×c)。 6.乘法分配律：2个数的和乘第3个数，可以把这两个数分别与第3个数相乘，最后再把积相加，结果保持不变。如果用a,b,c表示这三个数，那么乘法分配律可以表示为：(a＋b)×c=a×b＋a×c。 知识点三：分数应用题 需分步分析数量关系，找准每一步的单位“1”。画线段图是重要的辅助理解方法。 分数应用题解题技巧：一抓，二找，三确定，四对应。 一抓：抓住关键句——分率句；（含几分之几的句子） 二找：找准单位“1”的量；（“的”前“比”后的量） 三确定：确定单位“1”是已知还是未知（已知单位1用乘法，未知单位1用除法） 四对应：找出相对应的数量与分率，列出算式。 题型1：分数混合运算 【例1】四则混合运算。                        【练1】脱式计算。      　　　　　　　　        题型2：分数简便运算 【例2】计算下面各题，能简算的要简算。                               【练2】用递等式计算，能简算的要简算。 ÷          （＋）×48×                        ÷[（—）×]       73×＋×25 题型3：求比一个数多/少几分之几的数是多少 【例3】学校有图画书200本，文艺书的本数比图画书多，求文艺书有多少本的算式是（    ）。 A． B． C． 【练3】古楼枇杷是重庆市合川区古楼镇的特产水果，被纳入“全国名特优新农产品名录”。某古楼枇杷园去年枇杷总产量是280吨，今年枇杷总产量比去年增加了，今年枇杷总产量是多少吨？ 题型4：已知总量及一部分分率，求另一部分量 【例4】甲、乙两地相距100千米，一辆汽车已经行驶了全程的，还剩多少千米？ 【练4】李伯伯在果园里采摘的邻水脐橙的正好是300千克。已经卖出了采摘的邻水脐橙总数的，还剩多少千克没有卖出？ 题型5：已知比一个数多/少几分之几的数是多少，求这个数 【例5】“城市书房有童话书300本，______。体育书有多少本？”为了解决这个问题，需要先设体育书有x本，后列方程“”。那么，题中所缺条件是（    ）。 A．童话书比体育书少 B．童话书比体育书多 C．体育书比童话书少 D．体育书比童话书多 【练5】小雨家电将进价不同的电风扇都以480元的价格卖出，其中一台赚了，另一台赔了，小雨家电卖出两台电风扇后（    ）。 A．亏了20元 B．不赔不赚 C．赚了20元 题型6：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【例6】食堂运来一批面粉，第一周用了总数的，第二周用了余下的，还剩下50千克。这批面粉共重多少千克？ 【练6】甲、乙、丙三队合作种一批树，甲队种植了总棵数的，乙队种植了总棵数的，剩余的128棵丙队种植。根据以上信息，提出数学问题并解答。 1．计算×[（1－）÷]，先算( )法，再算( )法，最后( )法。 2．果园有苹果树180棵，梨树比苹果树多，180×（1＋）表示( )。 3．在括号里填上“”“”或“”。 ( )   ( )    ( ) ( )   分( )小时   ( ) 4．比45千克重是( )千克；( )千克比45千克轻千克。 5．( )千克比8千克多；20m比( )m少。 6．( )厘米的是150厘米，比5千克少是( )克。 7．一根木料长4米，用去，还剩（    ）米。用去的占剩下的。 8．“学校图书室有童话书600本，________。科技书有多少本？”为了解决这个问题，需要先设科技书有x本，后列方程“”。那么，题中所缺条件是（    ）。 A．童话书比科技书少 B．童话书比科技书多 C．科技书比童话书少 D．科技书比童话书多 9．24减去和的积，所得的差再除以，商是多少？列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 10．《水浒传》是中国四大名著之一，其讲述了北宋以宋江为首的绿林好汉的故事。梁山共有108名好汉，如果第一天派出去，第二天派出去剩余好汉的，那么这时留守山寨的还有多少名好汉？ 11．某农户家养了120只白兔，养的黑兔的只数是白兔只数的，养的羊的只数比黑兔的只数少。 （1）该农户家养了多少只黑兔？ （2）该农户家养了多少只羊？ 12．六年级三个班的学生共同植树，一班植树80棵，二班植树的棵数是一班的，三班植树的棵数比二班的还多7棵，三班植树多少棵？ 13．小丽做一份练习题，第一时做完了全部的，第二时做完了余下的，第三时做完了余下的，这时余下24道题没有做，则这份练习题共有多少道？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 分数混合运算 单元知识清单讲义 知识点一：分数混合运算的运算顺序 1.运算顺序：分数混合运算的运算顺序和整数混合运算的运算顺序相同。 2.无括号的运算顺序：在没有括号的综合算式里，如果只有加减法或者只有乘除法，要从左往右依次计算。 3.有括号的运算顺序：在有括号的综合算式里，要先算括号里面的，再算括号外面的。 知识点二：分数混合运算的运算率和运算顺序 1.加法交换律：两个数相加，交换两个加数的位置，和不变。如果用a和b表示两个数，那么加法交换律可以表示为：a+b=b+a。 2.加法结合律：3个数相加，先把前两个数相加，再加第3个数；或先把后两个数相加，再加第1个数，和不变。如果用a,b,c表示三个数，那么加法结合律可以表示为：(a+b)+c=a+(b+c)。 3.减法的运算性质：减法的运算性质可以表示为：a-b-c=a-(b+c);a-b+c=a-(b-c)。 4.乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。如果用a和b表示两个数，那么乘法交换律可以表示为：a×b=b×a 5.乘法结合律：3个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第3个数；或先把后两个数相乘，再乘第1个数，积不变。如果用a,b,c表示三个数，那么乘法结合律可以表示为：(a×b)×c=a×(b×c)。 6.乘法分配律：2个数的和乘第3个数，可以把这两个数分别与第3个数相乘，最后再把积相加，结果保持不变。如果用a,b,c表示这三个数，那么乘法分配律可以表示为：(a＋b)×c=a×b＋a×c。 知识点三：分数应用题 需分步分析数量关系，找准每一步的单位“1”。画线段图是重要的辅助理解方法。 分数应用题解题技巧：一抓，二找，三确定，四对应。 一抓：抓住关键句——分率句；（含几分之几的句子） 二找：找准单位“1”的量；（“的”前“比”后的量） 三确定：确定单位“1”是已知还是未知（已知单位1用乘法，未知单位1用除法） 四对应：找出相对应的数量与分率，列出算式。 题型1：分数混合运算 【例1】四则混合运算。                        【答案】； 【分析】（1）先通分，算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的除法； （2）先通分，分别算出小括号内的数，再相乘即可。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ 【练1】脱式计算。      　　　　　　　　        【答案】1； ； 【分析】“”先计算小括号内的减法，再计算中括号内的减法，最后计算括号外的乘法； “”先计算小括号内的加法，再计算乘法，最后计算加法； “”先计算小括号内的减法，再计算中括号内的减法，最后计算括号外的除法。 【详解】 ＝ ＝ ＝1 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 题型2：分数简便运算 【例2】计算下面各题，能简算的要简算。                           【答案】；；； ；；10； 【分析】（1）（2）同级运算按照从左到右的顺序依次进行计算即可。 （3）运用乘法分配律进行计算即可。 （4）同级运算按照从左到右的顺序依次进行计算即可。 （5）有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。 （6）有中括号和小括号，先算小括号里面的，再中括号里面的。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝10 【练2】用递等式计算，能简算的要简算。 ÷         （＋）×48×                      ÷[（—）×]      73×＋×25 【答案】；； ；1；25 【分析】（1）先把除法转化为乘法，再运用乘法分配律简算； （2）先运用乘法分配律简算（＋）×48，最后再乘； （3）根据减法的性质简算小括号里面的连减，再算括号外面的除法； （4）把除法转化为乘法，再运用乘法分配律简算； （5）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算除法； （6）先计算×25＝，再运用乘法分配律简算。 【详解】÷   ＝× ＝     ＝×1 ＝   （＋）×48×   ＝（×48＋×48）×   ＝（8＋6）×    ＝14×   ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝      ＝       ＝ ＝ ÷[（—）×]   ＝÷[×]   ＝÷ ＝× ＝1 73×＋×25 ＝73×＋ ＝（73＋1）× ＝74× ＝25 题型3：求比一个数多/少几分之几的数是多少 【例3】学校有图画书200本，文艺书的本数比图画书多，求文艺书有多少本的算式是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】把图画书的本数看作单位“1”，已知一个数，求比这个数多几分之几的数是多少的计算方法：这个数×（1＋分率），文艺书的本数＝图画书的本数×（1＋），据此解答。 【详解】200×（1＋） ＝200× ＝240（本） 所以，文艺书有240本。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查分数乘法的应用，掌握求比一个数多几分之几的数是多少的计算方法是解答题目的关键。 【练3】古楼枇杷是重庆市合川区古楼镇的特产水果，被纳入“全国名特优新农产品名录”。某古楼枇杷园去年枇杷总产量是280吨，今年枇杷总产量比去年增加了，今年枇杷总产量是多少吨？ 【答案】385吨 【分析】将去年总产量看作单位“1”，今年总产量是去年的，去年总产量×今年对应分率＝今年总产量，据此列式计算。 【详解】 （吨） 答：今年枇杷总产量是385吨。 题型4：已知总量及一部分分率，求另一部分量 【例4】甲、乙两地相距100千米，一辆汽车已经行驶了全程的，还剩多少千米？ 【答案】40千米 【分析】把甲、乙两地之间的总路程看作单位“1”，已经行驶的路程占全程的，剩下的路程占全程的（1－），剩下的路程＝总路程×（1－），据此解答。 【详解】100×（1－） ＝100× ＝40（千米） 答：还剩40千米。 【练4】李伯伯在果园里采摘的邻水脐橙的正好是300千克。已经卖出了采摘的邻水脐橙总数的，还剩多少千克没有卖出？ 【答案】220千克 【分析】把领水脐橙的总重量看作单位“1”，李伯伯采摘的邻水脐橙的，对应的是300千克，求单位“1”，用300÷，求出邻水脐橙的总重量；已经卖出了采摘的邻水脐橙总数的，还剩下（1－），求还剩邻水脐橙的重量，用邻水脐橙的总重量×（1－），即可解答。 【详解】300÷×（1－） ＝300×× ＝360× ＝220（千克） 答：还剩220千克没有卖出。 题型5：已知比一个数多/少几分之几的数是多少，求这个数 【例5】“城市书房有童话书300本，______。体育书有多少本？”为了解决这个问题，需要先设体育书有x本，后列方程“”。那么，题中所缺条件是（    ）。 A．童话书比体育书少 B．童话书比体育书多 C．体育书比童话书少 D．体育书比童话书多 【答案】B 【分析】，设体育书有x本，根据整体数量×部分对应分率＝部分数量，可知体育书本数×童话书对应分率＝童话书本数，因此将体育书本数看作单位“1”，童话书本数是体育书的，据此得出关于童话书对应分率描述的选项即可。 【详解】根据题中列出的方程分析可知，童话书比体育书多，所以将体育书看成单位“1”，可得出童话书比体育书多。 故答案为：B 【练5】小雨家电将进价不同的电风扇都以480元的价格卖出，其中一台赚了，另一台赔了，小雨家电卖出两台电风扇后（    ）。 A．亏了20元 B．不赔不赚 C．赚了20元 【答案】A 【分析】把其中一台电风扇的进价看作单位“1”，赚了，则卖出的价钱是进价的（1＋），已知卖出的价钱是480元，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用480除以（1＋）即可求出这台电风扇的进价；把另一台电风扇的进价看作单位“1”，赔了，则卖出的价钱是进价的（1－），用480除以（1－）即可求出这台电风扇的进价。把两台电风扇的进价之和，与它们的售价之和相减，即可求出赔或赚了多少元。 【详解】480÷（1＋） ＝480÷ ＝480× ＝420（元） 480÷（1－） ＝480÷ ＝480× ＝560（元） 420＋560＝980（元） 480×2＝960（元） 980－960＝20（元） 则小雨家电卖出两台电风扇后亏了20元。 故答案为：A 题型6：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【例6】食堂运来一批面粉，第一周用了总数的，第二周用了余下的，还剩下50千克。这批面粉共重多少千克？ 【答案】300千克 【分析】把食堂运来的这批面粉的质量看作单位“1”，第一周用了总数的，则余下了总数的1－＝，再把余下的看作单位“1”，根据分数乘法的意义：求一个数的几分之几是多少，用乘法，用×求出第二周用了总数的几分之几，再用1减去第一周、第二周用的总数的分率，求出剩下的占总数的几分之几，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法解答，用50千克除以剩下的占总数的几分之几即可解答。 【详解】1－＝ 50÷（1－－×） ＝50÷（－） ＝50÷（－） ＝50÷ ＝50×6 ＝300（千克） 答：这批面粉共重300千克。 【练6】甲、乙、丙三队合作种一批树，甲队种植了总棵数的，乙队种植了总棵数的，剩余的128棵丙队种植。根据以上信息，提出数学问题并解答。 【答案】这批树一共有多少棵？（问题不唯一） 480棵 【分析】根据题中信息，可提出问题：这批树一共有多少棵？把这批树的总棵数看作单位“1”， 甲队种植了总棵数的，乙队种植了总棵数的，则丙种植了总棵数的（1－－），已知丙种植了128棵，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用128除以（1－－）即可求出这批树的总棵数。 【详解】问题：这批树一共有多少棵？（问题不唯一） 128÷（1－－） ＝128÷（1－－） ＝128÷ ＝128× ＝480（棵） 答：这批树一共有480棵。 1．计算×[（1－）÷]，先算( )法，再算( )法，最后( )法。 【答案】 减 除 乘 【分析】一个算式里，如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算；如果有括号，要先算括号里的。计算×[（1－）÷]时，应先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，然后计算中括号外面的乘法。 【详解】计算×[（1－）÷]，先算减法，再算除法，最后乘法。 2．果园有苹果树180棵，梨树比苹果树多，180×（1＋）表示( )。 【答案】梨树有多少棵 【分析】把苹果树的棵数看作单位“1”，则梨树的棵数是苹果树的（1＋）。已知苹果树有180棵，180×（1＋）表示180棵的（1＋）是多少，求出的是梨树的棵数。 【详解】通过分析可得：180×（1＋）表示梨树有多少棵。 3．在括号里填上“”“”或“”。 ( )   ( )    ( ) ( )   分( )小时   ( ) 【答案】 ＝ ＞ ＞ ＝ ＞ ＜ 【分析】一个数（0除外）除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数；据此解答第一题； 两个非0因数相乘，一个因数不变，另一个因数越大，乘积越大；据此解答第二题； 分别计算出括号两边算式的结果，再比较大小；据此解答第三题； 一个除以1等于原数；一个数乘1等于原数；据此解答第四题； 根据1小时＝60分，先把1小时化成60分，再比较大小；据此解答第五题； 根据1m＝10dm，先把m化成dm，再比较大小；据此解答第六题。 【详解】＝54×，所以54×＝54÷8； 因为＞，所以＞； ＝×18＋×18＝6＋3＝9 ＝×18＝1 9＞1 所以＞； b÷1＝b×1； 1小时＝60分，100分＞60分，所以100分＞1小时； ×10＝14（dm），14dm＜140dm，所以m＜140dm。 4．比45千克重是( )千克；( )千克比45千克轻千克。 【答案】 54 【分析】把45千克看作单位“1”，已知比45千克重，即这个数是45千克的（1＋），用乘法计算即可；求比45千克轻千克的数，用45千克减去千克即可。 【详解】45×（1＋） ＝45× ＝54（千克） 45－＝（千克） 比45千克重是54千克；千克比45千克轻千克。 5．( )千克比8千克多；20m比( )m少。 【答案】 10 25 【分析】把8千克看作单位“1”， 则未知的千克数是8千克的（1＋），再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算即可； 把括号的数看作单位“1”，则这个数的（1－）是20m，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法解答。 【详解】8×（1＋） ＝8× ＝10（千克） 20÷（1－） ＝20÷ ＝20× ＝25（m） 所以10千克比8千克多；20m比25m少。 6．( )厘米的是150厘米，比5千克少是( )克。 【答案】 450 3000 【分析】根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。 单位不同先把千克转化为克，再根据求比一个数少几分之几的数是多少，先用得所求数对应的分率，再用乘法计算。 【详解】（厘米） 5千克＝5000克 （克） 450厘米的是150厘米，比5千克少是3000克。 7．一根木料长4米，用去，还剩（    ）米。用去的占剩下的。 【答案】； 【分析】分析题目，把这根木料的全长看作单位“1”，用去了，则还剩下全长的（1－），根据求一个数的几分之几是多少用乘法列式求出还剩多少米；再用用去的分率除以剩下的分率即可得到用去的占剩下的几分之几。 【详解】4×（1－） ＝4× ＝（米） ÷（1－） ＝÷ ＝× ＝ 一根木料长4米，用去，还剩米。用去的占剩下的。 8．“学校图书室有童话书600本，________。科技书有多少本？”为了解决这个问题，需要先设科技书有x本，后列方程“”。那么，题中所缺条件是（    ）。 A．童话书比科技书少 B．童话书比科技书多 C．科技书比童话书少 D．科技书比童话书多 【答案】A 【分析】设科技书有x本，从方程“”可以看出：把科技书的本数看作单位“1”，童话书的本数比科技书少，则童话书的本数占科技书的（1－）。据此可得：科技书的本数×（1－）＝童话书的本数，由此列出题中的方程。 【详解】通过分析可得：设科技书有x本，列方程“”，题中所缺条件是“童话书比科技书少”。 故答案为：A 9．24减去和的积，所得的差再除以，商是多少？列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算和的积，再用24减去所得的积，再用所得的差再除以，据此列式解答。 【详解】（24－×）÷ ＝（24－）÷ ＝（24－）×4 ＝24×4－×4 ＝96－ ＝ 故答案为：D 【点睛】解答本题的关键是先弄清运算顺序，然后在列式进行解答。 10．《水浒传》是中国四大名著之一，其讲述了北宋以宋江为首的绿林好汉的故事。梁山共有108名好汉，如果第一天派出去，第二天派出去剩余好汉的，那么这时留守山寨的还有多少名好汉？ 【答案】54名 【分析】由题意可知，是把总人数108名看作单位“1”，第一天派出去人数的对应分率为，则剩余人数对应分率为；是把剩余人数看作单位“1”，第二天派出去人数的对应分率为，则剩余人数对应分率为，根据连续求一个数的几分之几，用连续乘法计算，直接可求出留守山寨的人数。 【详解】 答：这时留守山寨的还有54名好汉。 11．某农户家养了120只白兔，养的黑兔的只数是白兔只数的，养的羊的只数比黑兔的只数少。 （1）该农户家养了多少只黑兔？ （2）该农户家养了多少只羊？ 【答案】（1）（只）     （2）（只） 【分析】（1）已知白兔有 120 只，黑兔的只数是白兔只数的，根据 “求一个数的几分之几是多少，用乘法”，即可求出黑兔数量。 （2）已知羊的只数比黑兔的只数少，把黑兔的数量看作单位 “1”，那么羊的数量是黑兔数量的（），再依据 “求一个数的几分之几是多少，用乘法”，结合（1）中求出的黑兔数量，就能算出羊的数量 。 【详解】（1）（只） 答：该农户家养了90只黑兔。 （2） 答：该农户家养了40只羊。 12．六年级三个班的学生共同植树，一班植树80棵，二班植树的棵数是一班的，三班植树的棵数比二班的还多7棵，三班植树多少棵？ 【答案】77棵 【详解】80××+7=77（棵） 【点睛】利用生活中的实例，巩固学生分数运算的能力．先要求出二班共植树多少棵． 13．小丽做一份练习题，第一时做完了全部的，第二时做完了余下的，第三时做完了余下的，这时余下24道题没有做，则这份练习题共有多少道？ 【答案】60道 【分析】把题目总数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，第一时做完后剩余（1－），第二时做完后剩余（1－）×（1－），第三时做完后剩余（1－）×（1－）×（1－），对应的是24道，已知一个数的几分之几是多少，求这个用除法计算，据此求出题目的总量。 【详解】24÷[（1－）×（1－）×（1－）] ＝24÷[] ＝24÷ ＝24× ＝60（道） 答：这份练习题共有60道。 【点睛】解答此题的关键是要找准每次乘法计算的单位“1”，找出24所对应的分率。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $