重难点05：破解零点困境：导数中零点（含隐零点）问题的核心难点解构与思维重构讲义-2026届高三数学一轮复习

重难点05：破解零点困境：导数中零点（含隐零点）问题的核心难点解构与思维重构 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 2 题型一、判断零点或根所在区间 2 题型二、判断零点或根个数 3 题型三、根据零点或根所在区间求参数 4 题型四、根据零点或根个数求参数 5 题型五、根据隐零点求复杂函数最值 6 题型六、根据隐零点证明不等式 8 题型七、根据隐零点求参数范围 9 题型精析・方法突破提能力 11 知识网络・核心根基深扎牢 知识点1：零点的三个关系 函数零点对应方程的实数根 函数的零点，本质是使得的实数，因此函数零点的个数方程实数根的个数。 函数零点函数图像与轴的交点横坐标 函数的图像与轴的交点坐标为，此时，因此函数零点函数图像与轴交点的横坐标，零点个数交点个数。 复杂函数零点两个简单函数图像的交点横坐标 对于无法直接求解的复杂函数，其零点满足，即，因此函数的零点函数图像交点的横坐标，零点个数交点个数。 知识点2：零点存在定理 若函数满足以下两个条件： 1.在闭区间上连续（函数图像在区间内无断点、无跳跃，高中阶段常见的一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数及其复合函数，在定义域内均连续）； 2.区间端点的函数值异号，即。 则在开区间内至少存在一个零点，即存在至少一个，使得。 知识点3：零点存在定理变形 若函数满足以上两个条件的情况下又有函数在区间上单调，则该函数在开区间仅存在一个零点。 知识点4：隐零点 对于函数，若存在无法用具体的初等函数表示（如的解），则称的隐零点（“隐” 即无法显性表达）。 当直接求解函数零点困难时，通过 “设隐零点→用零点等式代换→化简表达式”，可解决： 1.复杂函数的最值求解； 2.函数不等式证明； 3.参数范围求解。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、判断零点或根所在区间 零点或根所在区间求解方法： （1）明确函数定义域：确定内。 （2）分析函数连续性：判断定义域内是否连续。 （3）选取待验证区间：根据函数特征（如单调性、特殊点值），选取若干闭区间。 （4）计算区间端点函数值：分别计算每个区间端点的函数值。 （5）判断端点函数值符号：若某区间，则由零点存在定理，在内至少有一个零点，该区间即为零点所在区间。 （6）（可选）缩小区间范围：若需更精确的区间，在已确定的内选取中点，计算，直到找到复合题目的区间。 典例探究 【典型例题】函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 举一反三 【1-1】函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【1-2】函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【1-3】函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 题型二、判断零点或根个数 零点或根个数的求解方法： （1）确定函数定义域：明确内进行。 （2）求导分析单调性：计算导函数的解（即极值点），划分定义域为若干单调区间；判断每个单调区间内在各区间的单调性（递增或递减）。 （3）计算关键点位函数值：计算各单调区间端点（含定义域边界、极值点）的函数值，如，以及定义域趋于无穷时的极限值（如； （4）结合零点存在定理判断个数：对每个单调区间，若区间两端点（或极限）函数值异号（如左正右负、左负右正），则该区间内有且仅有 1 个零点；若区间内函数值恒正或恒负，则无零点； （5）统计所有单调区间内的零点个数，即为的总零点个数。 典例探究 【典型例题】函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 举一反三 【2-1】已知函数，则的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【2-2】函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 【2-3】函数的零点个数是 A．0 B．1 C．2 D．与a有关 题型三、根据零点或根所在区间求参数 根据零点或根所在区间求参数的求解方法： （1）明定义域内。 （2）分析函数单调性（含参数）：求导得在内的符号，确定内是单调递增还是单调递减。 （3）列零点在内单调，则由零点存在定理，需满足；若区间为闭区间，需补充验证端点：若，需判断端点是否属于零点所在区间，再调整不等式（如，但需排除端点不满足的情况）。 （4）（可选）处理特殊情况：若内非单调（存在极值点），需先求极值点，再结合：极值点；极值时端点值满足条件），列不等式组。 （5）解不等式（组）：求解上述不等式（组），得到参数的取值范围。 （6）验证参数范围：取范围内的参数值代入函数，排除增根。 典例探究 【典型例题】若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 举一反三 【3-1】若方程在上有两个不同的根，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【3-2】已知函数在内有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【3-3】已知关于x的方程在上有两解，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四、根据零点或根个数求参数 根据零点或根个数求参数的求解方法： （1）确定函数定义域：明确内进行。 （2）求导找单调区间与极值：计算导函数），得到极值点；根据极值点划分定义域为单调区间，判断各区间内的符号，确定的单调性（递增递减）；计算各极值点处的函数值（极值）：。 （3）求定义域边界极限值：计算定义域端点处的函数值（如为定义域左端点）； 若定义域含无穷区间（如、等。 （4）结合零点个数列条件：根据的单调性、极值符号、边界极限值，按 “个零点” 的要求列不等式（组）。 （5）解不等式（组）：求解上述不等式（组），得到参数的取值范围。 （6）验证参数范围：取范围内的参数值代入函数，排除增根。 典例探究 【典型例题】若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 举一反三 【4-1】已知函数有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【4-2】已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【4-3】已知函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五、根据隐零点求复杂函数最值 根据隐零点求复杂函数最值的求解方法： （1）求导分析单调性，确定隐零点存在性：计算的单调性； 找到区间，结合零点存在定理，设，即为的隐零点。 （2）由隐零点等式，进行 “消元降次” 代换：整理的关键等式（消去指数、对数）。 （3）将表示，代入步骤 2 的关键等式，消去难处理的项。 （4）确定的最值：通过试值法缩小的范围，确定；分析判断符号），或直接利用基本不等式、二次函数性质，求出的最值。 （5）验证最值类型（最大值最小值）：根据是极大值点还是极小值点，最终求出最大/小值。 典例探究 【典型例题】已知函数，，.求的最小值. 举一反三 【5-1】已知函数．当时，记的最小值为，求证：． 【5-2】已知函数.当时，求的最小值. 【5-3】已知函数，，．设函数，若在区间上存在零点，求a的最小值． 题型六、根据隐零点证明不等式 根据隐零点证明不等式的求解方法： （1）构造目标函数，简化不等式：令（或，即证明）。 （2）求导分析单调性，确定隐零点存在性：计算的导函数，通过二阶导数的单调性；找到区间，结合零点存在定理，设（），即的隐零点。 （3）由隐零点等式，推导关键代换关系：整理的等式，消去中难处理的指数、对数项。 （4）确定的最值点，代入隐零点化简：根据的最值点； 将，利用步骤 3 的代换关系消去指数、对数，得到（为易分析的简单函数）。 （5）证明的范围（通过试值法确定，如），利用基本不等式、函数单调性等证明满足目标不等式。 典例探究 【典型例题】已知函数．当时，证明：． 举一反三 【6-1】已知函数（其中为自然对数的底数）.求证：. 【6-2】已知函数.若有且仅有一个零点，证明：. 【6-3】已知函数（且）．当时，证明：． 题型七、根据隐零点求参数范围 根据隐零点求参数范围的求解方法： （1）转化问题，构造目标函数：若条件为 “恒成立”，令，需；若条件为 “的零点相关特征； （2）求导分析单调性，确定隐零点存在性：计算，通过二阶导数判断的单调性；找到相关，即隐零点），整理得含）。 （3）确定隐零点对应最值，建立参数与隐零点关系：根据是的最值点；将（或消去等），得到的函数）； （4）确定隐零点的取值范围：根据函数定义域、的符号变化等，通过试值法、零点存在定理缩小）。 （5）由隐零点范围反求参数范围：从式①中解出参数的表达式：；分析内的单调性，求的最值或取值范围，即为参数的范围。 （6）验证边界值：取参数范围的边界值代入原条件，验证是否满足要求。 典例探究 【典型例题】已知函数．若对恒成立，求实数的取值范围； 举一反三 【6-1】已知函数，其中，为函数的导函数．若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【6-2】已知函数，其中，，为自然对数的底数．若对任意，都存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 【6-3】已知函数若对任意恒成立，求实数的取值范围. 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】若函数有三个零点，，，若，则零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【突破提升训练・2】函数的零点所在的一个区间是（   ） A． B． C． D． 【突破提升训练・3】已知实数，则方程的两个实根分别属于区间（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【突破提升训练・4】函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【突破提升训练・5】函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・6】函数的零点所在的一个区间是 A．(0，1) B．(1，2) C．(一1，0) D．(一2，一1) 【突破提升训练・7】已知函数，则函数零点的个数是（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・8】函数的零点个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【突破提升训练・9】设函数（其中为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・10】若，，则函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【突破提升训练・11】函数的零点个数为（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 【突破提升训练・12】函数在区间上的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【突破提升训练・13】若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・14】已知函数在上有零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・15】若函数在上有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・16】若函数在上存在两个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・17】若函数在区间上只有一个零点，则常数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【突破提升训练・18】已知函数在区间内有唯一零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・19】已知函数，若恰有四个不同的零点，则a取值范围为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・20】已知函数f(x)＝exsin x(0≤x≤π)，若函数y＝f(x)－m有两个零点，则实数m的取值范围是 A． B． C．[0,1) D．[1，e) 【突破提升训练・21】函数有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・22】已知函数只有一个零点，则的取值范围为 A． B． C． D． 【突破提升训练・23】已知函数只有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・24】若函数有个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【突破提升训练・25】已知函数．已知，且，若，求整数的最大值． 【突破提升训练・26】求函数的最大值. 【突破提升训练・27】已知函数．若，求的最大值； 【突破提升训练・28】用表示不超过实数的最大整数，如：，，．若当时，不等式恒成立，求的最大值． 【突破提升训练・29】已知函数．证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域． 【突破提升训练・30】已知函数．若是的极值点．若不等式对任意都成立，其中为整数，为的导函数，求的最大值． 【突破提升训练・31】已知函数.当时，证明：. 【突破提升训练・32】已知函数,．证明:； 【突破提升训练・33】已知函数（其中e为自然对数的底数）.求证：. 【突破提升训练・34】已知函数．对任意的，恒成立，其中是函数的导数，求的取值范围． 【突破提升训练・35】已知函数．当时，证明：不等式恒成立． 【突破提升训练・36】已知函数.若，恒有，求实数的取值范围. 【突破提升训练・37】已知函数.已知函数区间上的最小值为1，求实数的值. 【突破提升训练・38】已知函数，若曲线在点处的切线方程是，不等式的解集为非空集合，其中为自然对数的底数.若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【突破提升训练・39】已知函数设，若没有零点，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点05：破解零点困境：导数中零点（含隐零点）问题的核心难点解构与思维重构 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 2 题型一、判断零点或根所在区间 2 题型二、判断零点或根个数 4 题型三、根据零点或根所在区间求参数 6 题型四、根据零点或根个数求参数 10 题型五、根据隐零点求复杂函数最值 13 题型六、根据隐零点证明不等式 17 题型七、根据隐零点求参数范围 22 题型精析・方法突破提能力 28 知识网络・核心根基深扎牢 知识点1：零点的三个关系 函数零点对应方程的实数根 函数的零点，本质是使得的实数，因此函数零点的个数方程实数根的个数。 函数零点函数图像与轴的交点横坐标 函数的图像与轴的交点坐标为，此时，因此函数零点函数图像与轴交点的横坐标，零点个数交点个数。 复杂函数零点两个简单函数图像的交点横坐标 对于无法直接求解的复杂函数，其零点满足，即，因此函数的零点函数图像交点的横坐标，零点个数交点个数。 知识点2：零点存在定理 若函数满足以下两个条件： 1.在闭区间上连续（函数图像在区间内无断点、无跳跃，高中阶段常见的一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数及其复合函数，在定义域内均连续）； 2.区间端点的函数值异号，即。 则在开区间内至少存在一个零点，即存在至少一个，使得。 知识点3：零点存在定理变形 若函数满足以上两个条件的情况下又有函数在区间上单调，则该函数在开区间仅存在一个零点。 知识点4：隐零点 对于函数，若存在无法用具体的初等函数表示（如的解），则称的隐零点（“隐” 即无法显性表达）。 当直接求解函数零点困难时，通过 “设隐零点→用零点等式代换→化简表达式”，可解决： 1.复杂函数的最值求解； 2.函数不等式证明； 3.参数范围求解。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、判断零点或根所在区间 零点或根所在区间求解方法： （1）明确函数定义域：确定内。 （2）分析函数连续性：判断定义域内是否连续。 （3）选取待验证区间：根据函数特征（如单调性、特殊点值），选取若干闭区间。 （4）计算区间端点函数值：分别计算每个区间端点的函数值。 （5）判断端点函数值符号：若某区间，则由零点存在定理，在内至少有一个零点，该区间即为零点所在区间。 （6）（可选）缩小区间范围：若需更精确的区间，在已确定的内选取中点，计算，直到找到复合题目的区间。 典例探究 【典型例题】函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，判断函数的单调性，计算端点处的函数值，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】由于，，且中， 故，在单调递增， 因此至多一个零点， ,,， 因此的零点所在的区间是， 故选：C 举一反三 【1-1】函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对数函数性质分析当时，，判断函数在上的单调性，结合零点存在性定理判断结论. 【详解】当时，，所以， 故，所以函数在上没有零点， 设，且， 则， 故，， 所以，故函数在上单调递增， 又，， 所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 【1-2】函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先验证函数的单调性，再代入验证，由零点存在定理得到零点所在区间. 【详解】当时，设， 则， 故在上是单调递增函数； 又，， 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为. 故选：C. 【1-3】函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用零点的存在性定理判断即可. 【详解】对于，则为上的增函数， 而，，，，，由于， 根据零点存在性定理，知道函数的零点所在区间为. 故选：C. 题型二、判断零点或根个数 零点或根个数的求解方法： （1）确定函数定义域：明确内进行。 （2）求导分析单调性：计算导函数的解（即极值点），划分定义域为若干单调区间；判断每个单调区间内在各区间的单调性（递增或递减）。 （3）计算关键点位函数值：计算各单调区间端点（含定义域边界、极值点）的函数值，如，以及定义域趋于无穷时的极限值（如； （4）结合零点存在定理判断个数：对每个单调区间，若区间两端点（或极限）函数值异号（如左正右负、左负右正），则该区间内有且仅有 1 个零点；若区间内函数值恒正或恒负，则无零点； （5）统计所有单调区间内的零点个数，即为的总零点个数。 典例探究 【典型例题】函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】应用导数研究函数的区间单调性，结合区间值域及零点存在性定理判断零点个数. 【详解】由题设且定义域为， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 当或时，故在定义域上有2个零点. 故选：C 举一反三 【2-1】已知函数，则的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用导函数研究单调性即可确定零点个数. 【详解】的定义域为， 由题意可得， 因为单调递增且当时，当时， 所以存在唯一一点使得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以至多有两个零点， 又因为，，所以有2个零点， 故选：C 【2-2】函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，以及结合零点存在性定理，判断选项. 【详解】，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， ， ， 所以函数在和各有1个零点，所以共2个零点. 故选：C 【2-3】函数的零点个数是 A．0 B．1 C．2 D．与a有关 【答案】A 【分析】利用导数求得函数的最小值，这个最小值为正数，由此判断函数没有零点. 【详解】依题意，令.，，令，解得，故函数在上递减，在上递增，函数在处取得极小值也即是最小值，，由于，故，也即是函数的最小值为正数，故函数没有零点.故选A. 题型三、根据零点或根所在区间求参数 根据零点或根所在区间求参数的求解方法： （1）明定义域内。 （2）分析函数单调性（含参数）：求导得在内的符号，确定内是单调递增还是单调递减。 （3）列零点在内单调，则由零点存在定理，需满足；若区间为闭区间，需补充验证端点：若，需判断端点是否属于零点所在区间，再调整不等式（如，但需排除端点不满足的情况）。 （4）（可选）处理特殊情况：若内非单调（存在极值点），需先求极值点，再结合：极值点；极值时端点值满足条件），列不等式组。 （5）解不等式（组）：求解上述不等式（组），得到参数的取值范围。 （6）验证参数范围：取范围内的参数值代入函数，排除增根。 典例探究 【典型例题】若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用导数判断函数在给定区间上的单调性，再根据题设条件，结合零点存在定理得到不等式组，求解即得. 【详解】由在区间上恒为正可得，函数在区间上为增函数， 依题意，函数在区间上存在零点，则由零点存在定理可得， 且，解得. 故选：C. 举一反三 【3-1】若方程在上有两个不同的根，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形得到，，即与，有两个不同的交点，令，，求导得到单调性和极值，最值情况，进而得到, 【详解】，， 令，， 即与，有两个不同的交点， 则，， 令，即，解得， 令，即，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 且当时，，当时，， 当时，趋向于0， 故, 故选：A 【3-2】已知函数在内有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数确定单调性，然后由零点存在定理求解． 【详解】由题意，， 所以时，，是单调递减函数， 它在上零点，则，解得， 故选：B． 【3-3】已知关于x的方程在上有两解，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用参变量分离法可将问题转化为在上有两解，进而可将问题转化为函数与在上有两个交点，利用导数研究函数的单调性，利用数形结合即可求出实数k的取值范围. 【详解】由已知可得在上有两解， 令，， 则问题转化为函数与在上有两个交点， 而， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增， 又， 所以当时，，则； 当时，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又， 作出函数的大致图象如图示： 要使得在上有两解， 实数k的取值范围为， 故选：B 题型四、根据零点或根个数求参数 根据零点或根个数求参数的求解方法： （1）确定函数定义域：明确内进行。 （2）求导找单调区间与极值：计算导函数），得到极值点；根据极值点划分定义域为单调区间，判断各区间内的符号，确定的单调性（递增递减）；计算各极值点处的函数值（极值）：。 （3）求定义域边界极限值：计算定义域端点处的函数值（如为定义域左端点）； 若定义域含无穷区间（如、等。 （4）结合零点个数列条件：根据的单调性、极值符号、边界极限值，按 “个零点” 的要求列不等式（组）。 （5）解不等式（组）：求解上述不等式（组），得到参数的取值范围。 （6）验证参数范围：取范围内的参数值代入函数，验证零点个数是否符合要求，排除增根。 典例探究 【典型例题】若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数研究的单调性，由此列不等式组求得的取值范围. 【详解】函数的定义域是， ， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为，且， 所以要使函数存在两个不同的零点， 则需，解得. 故选：B 举一反三 【4-1】已知函数有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求导判断函数单调性，结合有3个不同的零点，列出不等式求解即可． 【详解】解：函数，则，令得或， 令，解得：或；令，解得： ； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 又，， 要使有3个不同的零点，则， 解得：. 故选：C 【4-2】已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为有两个不同的实数根，构造函数利用导数求解单调性即可求解最值. 【详解】存在两个零点，则有两个不同的实数根， 当时，只有一个零点，不符合题意，故， 即有两个不同的实数根， 记， 当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，故当时，取极大值也是最大值， 又当时，，如图为的图象 要使有两个不同的实数根，则，所以， 故选：C 【4-3】已知函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令得或，设函数，函数，利用导数判断出单调性结合图象可得答案. 【详解】令，得或， 设函数，则，当时，， 当时，，所以.当时，， 设函数，则， 当时，，当时，， 所以，当时，， 作出与的大致图象，如图所示，由图可知， 当时，直线与这两个函数的图象各有两个交点， 且这些交点各不相同，此时恰有4个零点. 故选：B. 题型五、根据隐零点求复杂函数最值 根据隐零点求复杂函数最值的求解方法： （1）求导分析单调性，确定隐零点存在性：计算的单调性； 找到区间，结合零点存在定理，设，即为的隐零点。 （2）由隐零点等式，进行 “消元降次” 代换：整理的关键等式（消去指数、对数）。 （3）将表示，代入步骤 2 的关键等式，消去难处理的项。 （4）确定的最值：通过试值法缩小的范围，确定；分析判断符号），或直接利用基本不等式、二次函数性质，求出的最值。 （5）验证最值类型（最大值最小值）：根据是极大值点还是极小值点，最终求出最大/小值。 典例探究 【典型例题】已知函数，，.求的最小值. 【答案】 【分析】求导后，令，再次求导后可得的单调性，无法直接求出使的解，因此虚设零点，借助零点的存在性定理，得到，使，再借助对数变形，得到，从而构造函数，结合函数单调性，得到，代入中，即可得解. 【详解】， 令， 则， 由，故恒成立， 故在上单调递增， 又，， 故存在，使，即， 即在上单调递减，在上单调递增， 故， 由，则， 令，则有， ，当时，恒成立， 故在上单调递增，故，即， 则， 即的最小值为； 举一反三 【5-1】已知函数．当时，记的最小值为，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】函数定义域是，求得导函数，这里是正数，引入，利用它的单调性，得其有唯一零点，是的唯一极小值点，即，由 把转化为关于的函数，再由导数得新函数的最大值不大于1，证得结论成立． 【详解】由题得的定义域是，， 令，则，在上单调递增， 因为，所以，， 故存在，使得． 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增； 故时，取得最小值，即， 由，得， 令，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故，即时，取最大值1，． 【5-2】已知函数.当时，求的最小值. 【答案】 【分析】求得函数的导数，令，解得，令，利用导数得到在上为增函数，且，得到有唯一实根，得到，结合函数的单调性，即可求解； 【详解】（1）由题意，函数，可得的定义域为， 且， 令，解得， 令，可得， 所以在上为增函数，且，所以有唯一实根， 即有唯一实根，设为，即， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以. 【5-3】已知函数，，．设函数，若在区间上存在零点，求a的最小值． 【答案】1. 【分析】求出函数，由分离参数，构造函数，利用导数探讨值域即可得解. 【详解】依题意，，由，得， 令，，求导得， 令，，求导得，即函数在上单调递增， 显然，，则存在唯一的，使得，即， 即，，则当时，，当时，， 函数在上单调递减，函数在单调递增， 因此， 当时，令，求导得， 令，当时，，即函数在上递增， ，函数在上递增，， 于是当时，，而函数在上递减，值域为， 因此当时，函数无最大值，值域为，函数在的值域为， 要使在存在零点，则，所以a的最小值为1． 题型六、根据隐零点证明不等式 根据隐零点证明不等式的求解方法： （1）构造目标函数，简化不等式：令（或，即证明）。 （2）求导分析单调性，确定隐零点存在性：计算的导函数，通过二阶导数的单调性；找到区间，结合零点存在定理，设（），即的隐零点。 （3）由隐零点等式，推导关键代换关系：整理的等式，消去中难处理的指数、对数项。 （4）确定的最值点，代入隐零点化简：根据的最值点； 将，利用步骤 3 的代换关系消去指数、对数，得到（为易分析的简单函数）。 （5）证明的范围（通过试值法确定，如），利用基本不等式、函数单调性等证明满足目标不等式。 典例探究 【典型例题】已知函数．当时，证明：． 【答案】证明见解析． 【分析】先将不等式转化为恒成立，也是从单调性出发，通过求最小值大于0，从而实现不等式的证明. 【详解】证明：要证，即证，即证， ∵， ∴， ∴只需证明对任意恒成立， 设，则， 设，则， ∴在为增函数， 又， ∴存在，使得， 由，得，即，即， 且当时，单调递减，当时，单调递增， ∴， 令，则， ∴在上单增，故， ∴，即． 综上，当时，． 举一反三 【6-1】已知函数（其中为自然对数的底数）.求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】引入新函数，求导函数，由的单调性（再用导数判断）结合零点存在定理得存在零点，也是的最小值点，同时得出的性质，然后求出，再根据的范围证明（注意引入新函数）． 【详解】证明：要证， 只需证明：对于恒成立， 令，则， 当时，令，则，在上单调递增，即在上为增函数 又因为， 所以存在使得 由 得即即即 所以当时，，单调递减 当时，，单调递增 所以， 令， 则 所以在上单调递增，所以， 所以，所以， 即． 【6-2】已知函数.若有且仅有一个零点，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】对二次求导，研究的单调性，得到只有一个零点，从而有的单调，再利用零点的唯一性，得到,对满足的方程求解化简，结合的结论，加以证明即可. 【详解】求导得，令，则， 当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增. 因为当时，， 又， 所以存在唯一的，使得， 故当单调递减； 当单调递增，所以. 因为，又当时，，且有且仅有一个零点， 所以，即. 所以即 将①代入②得，即. 当时，，不满足题意，故. 令， 则，当时，单调递增. 因为，， 所以，则. 由得，等式两边取对数得， 由（1）得当时，，所以. 故. 【6-3】已知函数（且）．当时，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用构造函数法，结合导数、零点存在性定理等知识来证得不等式成立. 【详解】当时，， 由题意可得，只需证明， 方法一：令， 则， 令，易知在上单调递增，，， 故存在，使得，即， 当时，，，，单调递减， 当时，，，，单调递增， 故时，取得唯一的极小值，也是最小值． ， 所以，即当时，． 方法二：不等式等价于， 只需证， 令，所以， 当时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，即，当且仅当时取得等号， 用替代得到，函数在上单调递增， 且，， 故存在，使得， 所以，当且仅当时取得等号， 所以，即当时，． 题型七、根据隐零点求参数范围 根据隐零点求参数范围的求解方法： （1）转化问题，构造目标函数：若条件为 “恒成立”，令，需；若条件为 “的零点相关特征； （2）求导分析单调性，确定隐零点存在性：计算，通过二阶导数判断的单调性；找到相关，即隐零点），整理得含）。 （3）确定隐零点对应最值，建立参数与隐零点关系：根据是的最值点；将（或消去等），得到的函数）； （4）确定隐零点的取值范围：根据函数定义域、的符号变化等，通过试值法、零点存在定理缩小）。 （5）由隐零点范围反求参数范围：从式①中解出参数的表达式：；分析内的单调性，求的最值或取值范围，即为参数的范围。 （6）验证边界值：取参数范围的边界值代入原条件，验证是否满足要求。 典例探究 【典型例题】已知函数．若对恒成立，求实数的取值范围； 【答案】证明见解析 【分析】把不等式恒成立转化为恒成立，再结合函数的最小值，即可求出参数范围. 【详解】若对恒成立，则恒成立， 即恒成立． 记， 则． 记，则， 故在上单调递增． 又， 所以，使得， 即，即． 故当时，，即；当时，，即． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以． 所以实数的取值范围是． 举一反三 【6-1】已知函数，其中，为函数的导函数．若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】分离参数转化为求，设 ，通过求导及构造函数，得且满足，进而得到时，取得最小值，即可求出结论. 【详解】解法一：参数分离法 由知在恒成立即 令，则 令，则， 所以在上单调递增 又， 所以在上存在唯一零点，且 所以当时，即；当时， 即 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为 思路一：即 因为，所以（*） 设，当时，， 所以在上单调递增 由（*）知，所以 所以， 则有即 所以实数的取值范围为 思路二：即，两边取对数， 得 即（*） 设，则在上单调递增 由（*）知，所以 所以， 则有即 所以实数的取值范围为． 下面提供一种利用最小值的定义求的最小值的方法： 先证：， 设，则， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以即， （当且仅当时等号成立）， 再证： 由得（用代换）， ， ， （当且仅当时等号成立） 最后证：方程有实根， 设，则在上单调递增， 又，， 所以在有唯一零点， 即方程有实根， 综上，则有即， 所以实数的取值范围为． 解法二：函数性质法 由知在恒成立， 设，则， 因为， ，所以在上单调递增， 又当时，；当时，； 所以在上存在唯一零点，即，（1） 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， ， 即， 思路一：即， 因为，所以，（*） 设，当时，， 所以在上单调递增， 由（*）知， 所以即， 所以， 则有即， 所以实数的取值范围为， 思路二：即，两边取对数， 得， 即（*）， 设，则在上单调递增， 由（*）知， 所以即， 所以， 则有即， 所以实数的取值范围为． 【6-2】已知函数，其中，，为自然对数的底数．若对任意，都存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】先将看作主元，由题意得到存在，使得，进而构造函数，结合零点存在性定理即可求出结果. 【详解】设，可知在上单调递减，所以， 所以对任意，都存在，使得成立，等价于存在，使得． 设，，所以， 设，当时，，故． 所以在上单调递增，即在上单调递增． 所以． ①当，即时，，所以在上单调递增， ，所以不存在，使得．不合题意． ②当，即时，，所以在上单调递减， ，所以存在，使得．满足题意． ③当时，此时，又在上单调递增，所以存在唯一的，使得，且当时，，所以在上单调递减，所以当时，，即存在，使得．满足题意． 综上可得，实数的取值范围为． 【6-3】已知函数若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）当时，无极值；当时，有极大值，无极小值；（Ⅱ） 【分析】先将原不等式等价转化为，进而构造函数（），将问题转化为求出.然后借助题设条件先对函数（）求导，再对实数分类运用导数的知识求出=0，进而确定所求实数的取值范围． 【详解】原不等式可化为 ， 记（），只需. 可得. （1）当时，，，所以，在上单调递增，所以当时，，不合题意，舍去. （2）当时，， ①当时，因为，所以，所以， 所以在上单调递减. 故当时，，符合题意. ②当时，记（）， 所以，在上单调递减. 又，， 所以存在唯一，使得. 当时，， 从而，即在上单调递增， 所以当时，，不符合要求，舍去. 综上可得，. 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】若函数有三个零点，，，若，则零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先可得，，从而得到，再由零点存在性定理判断即可. 【详解】依题意可得，则， 所以，显然为连续函数， 又，所以，，， ，， 根据零点存在性定理可知的第三个零点. 故选：A 【突破提升训练・2】函数的零点所在的一个区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案． 【详解】∵，在区间上单调递减， 则在区间上单调递减， 且，， ，， ，∴函数的零点在上． 故选：C． 【突破提升训练・3】已知实数，则方程的两个实根分别属于区间（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据函数零点的存在定理求解. 【详解】设， 由，则， 由函数的零点存在定理知，的零点分别位于区间和， 故方程的两个实根分别属于区间和， 故选：C 【突破提升训练・4】函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点的存在性定理的应用即可求解. 【详解】由题意知，， ， 所以，而函数为上的增函数， 由零点的存在性定理知函数的零点在区间. 故选：C 【突破提升训练・5】函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】由函数，显然函数在为减函数， 又，， ， . 故选：C. 【突破提升训练・6】函数的零点所在的一个区间是 A．(0，1) B．(1，2) C．(一1，0) D．(一2，一1) 【答案】C 【分析】判断函数的单调性，根据函数零点的判断条件即可得到结论． 【详解】函数g（x）单调递增， ∵g（﹣1）＝2﹣1﹣5＜0，g（0）＝1＞0， ∴g（﹣1）g（0）＜0， 即函数g（x）在（﹣1，0）内存在唯一的零点， 故选C． 【突破提升训练・7】已知函数，则函数零点的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先对函数求导，研究函数的单调性，求得函数的极值，并确定当时，，解方程，求得或，结合函数图象，确定每个方程根的个数，得到最后结果. 【详解】，， 令，得或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，， 且当时，， 令得或， 所以有两个解，有三个解， 所以函数零点的个数是5个， 故选：B. 【突破提升训练・8】函数的零点个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先确定函数定义域，然后令可分解因式得，通过求导研究函数的单调性，确定最小值符号，即可得出结论. 【详解】解：由题可得，故令， 即，令， 则， 由， 所以在单调递增，在递减， 又 ，， 在与分别有一个零点， 所以有两个零点，故有两个零点， 故选：B. 【突破提升训练・9】设函数（其中为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导函数，得出函数单调性，分析函数极值与0的大小关系即可求解. 【详解】由题，所以在单调递增， ，，所以的零点，且， 且当时，，当时，， 即在单调递减，在单调递增， 的极小值 ，， ， 当时，；当时，； 所以共两个零点. 故选：C 【突破提升训练・10】若，，则函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数. 【详解】, 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，，，， 则的草图如下： 由图象可得函数的零点个数为. 故选：C. 【突破提升训练・11】函数的零点个数为（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合，即可判断出答案. 【详解】由，可得，即定义域为， 所以， 由于，故， 即，当且仅当时取等号， 即在上为单调递增函数，又， 所以仅有一个零点． 故选：A． 【突破提升训练・12】函数在区间上的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据导数与函数的单调性、最值的关系以及零点的存在性定理求解. 【详解】对函数求导可得，， 记,则， 当时，，则， 当时，，则， 所以在上，，所以，所以单调递增， 注意到， 所以必存在使得， 于是在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以在区间上必存在一个零点. 综上，函数在区间上有两个零点. 故选:B. 【突破提升训练・13】若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数说明函数的单调性，依题意可得，解得即可. 【详解】因为，所以当或时， 即在，上单调递增， 当时，即在上单调递减， 根据题意可得，即，解得. 故选：A 【突破提升训练・14】已知函数在上有零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数存在零点可知有解，设，利用导数求出函数的最小值，进而得出结果. 【详解】由函数存在零点，则有解， 设， 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 则时取得最小值，且， 所以m的取值范围是． 故选：C 【突破提升训练・15】若函数在上有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原问题等价于在上有两解，即直线与函数，的图象有两个不同的交点即可求解. 【详解】解：由题意，在上有两解， 即在上有两解， 令，故， 令，故在上单调递增，且， 所以当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， ， 故选：C. 【突破提升训练・16】若函数在上存在两个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数，利用导数研究函数的单调性及最值，数形结合得解. 【详解】函数在上存在两个零点， 即在上有2个解， 即与的图象在上有2个交点， ，由可得，函数单调递增， 故时，，函数单调递减， 所以，， 由时，知，，即，可得， 作出图象，如图， 由图象可知，当时满足条件. 故选：A 【突破提升训练・17】若函数在区间上只有一个零点，则常数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为函数与函数的图像只有一个交点，利用导数研究的极值或最值即可得到答案. 【详解】令，则， 因为函数在区间上只有一个零点 则函数与函数的图像只有一个交点 又， 在上单调递增， 则 故选：C. 【突破提升训练・18】已知函数在区间内有唯一零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令f(x)=0，分离参数，结合导数研究函数的单调性即可得出结果. 【详解】令f(x)=0，则，， 令，， 令，， 则函数在区间单调递增，， 所以，函数在区间单调递增， 所以有， 即， 所以， 故选：B． 【突破提升训练・19】已知函数，若恰有四个不同的零点，则a取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数，利用导数研究函数的单调性极值即可得出图象，令，对及其a分类讨论，结合图象即可得出. 【详解】解：函数， ，，，因此时，函数单调递增. ，，，可得函数在单调递增； 可得函数在单调递减. 可得：在时，函数取得极大值，. 画出图象：    可知：. 令， ①时，函数无零点. ②时，解得或，时，解得，此时函数只有一个零点，舍去. ，由，可知：此时函数无零点，舍去. ③，解得或. 解得，. 时，，.此时函数无零点，舍去. 因此，可得：. 由恰有四个不同的零点， ∴，，. 解得：. 则a取值范围为. 故选：B. 【突破提升训练・20】已知函数f(x)＝exsin x(0≤x≤π)，若函数y＝f(x)－m有两个零点，则实数m的取值范围是 A． B． C．[0,1) D．[1，e) 【答案】A 【详解】　f′(x)＝ex(sin x＋cos x)≥0⇒0≤x≤，f′(x)<0⇒<x<π，f(0)＝f(π)＝0，f＝，由题意，利用图象得0≤m<. 故选A 【突破提升训练・21】函数有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断的单调性，作出与的函数图象，根据图象交点个数和导数的几何意义得出的范围． 【详解】解：令得， 令，则， 当时，，当时，， 在上单调递减，在，上单调递增， 作出与的函数图象如图所示： 设直线与的图象相切，切点为， 则，解得，，，或，，， 有两个不同的零点， 与的函数图象有两个交点， 或，即． 故选：C． 【突破提升训练・22】已知函数只有一个零点，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可得，判断的单调性，计算函数极值，从而可得出的范围． 【详解】∵只有一个零点， ∴只有一解，即只有一解． 设，则， ∴当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，取得最大值， 且当时，，当时，， ∵只有一解，∴，故选C． 【突破提升训练・23】已知函数只有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意只有一个零点，等价于函数的图象与函数的图象只有一个交点，利用导数得到的单调区间和极值，作出函数的大致图象，由数形结合可得答案. 【详解】由函数只有一个零点， 所以方程只有一个实数根. 即方程只有一个实数根. 即函数的图象与函数的图象只有一个交点. 由 当时，，则. 当时，，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又时，，所以 时，，，所以，且 作出的大致图象如图. 如图，当时，函数的图象与函数的图象只有一个交点. 所以 故选：A 【突破提升训练・24】若函数有个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对，，三种情况分类讨论，即可得到的取值范围. 【详解】设，则对有，对有. 所以在上递增，在上递减，这表明，且等号成立当且仅当. ①当时，对有，故至多有一个零点，不满足条件； ②当时，取充分小的正数，使得，，； 再取充分大的正数，使得，，，则，且 ，，， . 从而根据零点存在定理，可知有个零点，满足条件； ③当时，由于当时，单调递减，故在的范围内至多有一个零点. 而当时，有，且若，则必有，即. 所以在的范围内至多有一个零点. 二者结合，可知至多有两个零点，不满足条件. 综合①②③，可知的取值范围是. 故选：C. 【突破提升训练・25】已知函数．已知，且，若，求整数的最大值． 【答案】整数的最大值为 【分析】由已知可得，由（1）可得，进而可得，，进而求解可得整数的最大值. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以， 由（1）可知在上单调递增， 所以，所以，所以， 所以，即， 令，则，令为上的增函数， 又，，所以，使得， 即，即，所以， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以. 当，，所以， 又，所以 故整数的最大值为. 【突破提升训练・26】求函数的最大值. 【答案】 【分析】利用导数研究的单调性，进而求其最大值即可. 【详解】由题意定义域为， 则，显然， 令，则，即单调递减， 又，，即，使， 所以，即， 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以有最大值，最大值为. 【突破提升训练・27】已知函数．若，求的最大值； 【答案】(1) 【分析】先求导数，结合导数判断函数的单调性，利用单调性求解的最大值； 【详解】（1）； 令，由函数的图像可知 ，存在唯一，满足，且，； 时，； 故在上单调递增，在上单调递减， （*）， 又，则，代入（*）得：； 【突破提升训练・28】用表示不超过实数的最大整数，如：，，．若当时，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】 【分析】构造函数，利用导数求得最小值的取值范围，从而求得的最大值. 【详解】构造函数， ， 构造函数，， 所以在区间上递增， ， 所以存在，使，， 所以在区间递减；在区间递增. 所以， 由于，所以的最大值为. 【突破提升训练・29】已知函数．证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域． 【答案】. 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值点，可得出函数的极小值为，其中满足，求出的取值范围，化简得出，构造函数，利用导数求出函数在区间上的值域，即可得解. 【详解】对函数求导得， 设，， 由（1）可知，函数在上单调递增， 又，，所以存在唯一的实数使得， 当时，，则，此时单调递减， 当时，，则，此时单调递增， 所以，， 因为，所以，， 由（1）可知，函数在上单调递增，则， 即，因为，，所以，， 令，当时，， 所以，函数在上单调递增，所以，，即. 因此，的取值范围是. 【突破提升训练・30】已知函数．若是的极值点．若不等式对任意都成立，其中为整数，为的导函数，求的最大值． 【答案】2 【分析】问题转化为，令，，根据函数的单调性求出k的范围即可. 【详解】，由是的极值点，得，． 此时， ， 令，， ， 令，，在单调递增， 且，，,在上，，单调递减；在上，，单调递增， ， 由，， 又，且，所以的最大值为2. 【突破提升训练・31】已知函数.当时，证明：. 【答案】证明见解析. 【分析】构造差函数，先利用二次求导及得出，使得，结合隐零点判定其单调性及最值，再利用消元转化得，最后利用（2）的结论得出，由隐零点的范围即可得证. 【详解】记， 所以， 令，， 所以，所以即在上单调递增. 又，所以，， 所以，使得，即， 所以，， 所以当，，单调递减： 当，，单调递增， 所以 由（2）知，，故， 所以. 又，所以， 故，即，原不等式得证 【突破提升训练・32】已知函数,．证明:； 【答案】证明见解析. 【分析】记h(x)＝f(x) g(x),设法证明，即可证明 .      【详解】记h(x)＝f(x) g(x)＝, , 所以在R上为减函数 因为 所以存在唯一，使即， , 当时，； 当时，. 所以 所以 .       【突破提升训练・33】已知函数（其中e为自然对数的底数）.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】令，对求导，通过分析的单调性即可求证. 【详解】证明：要证， 只需证明：对于恒成立， 令，则， 当时，令，则， 在上单调递增，即在上为增函数. 又因为，， 所以存在使得. 由，得即即， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以，即. 【突破提升训练・34】已知函数．对任意的，恒成立，其中是函数的导数，求的取值范围． 【答案】 【分析】将问题转化为求解； 【详解】方法一：，由， 得，即， 所以对任意的，恒成立， 等价于， 由于，事实上，令，， 时，；时，；所以， 所以，即． 所以， 当且仅当时，等号成立（方程显然有解）， 即，所以． 所以的取值范围是． 方法二：，由，得， 即，所以对任意的，恒成立， 等价于 令， 则， 令，则，所以在上单调递增， 又，，所以， 所以存在，使得， 所以，即，所以， 所以， 令，，所以在上单调递增， 因为，所以 又时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以的取值范围是． 【突破提升训练・35】已知函数．当时，证明：不等式恒成立． 【答案】证明见解析 【分析】依题意恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，只需证明即可. 【详解】当时，则不等式恒成立， 即恒成立， 令，，则， 令，，则， 所以在上单调递增， 又，，所以存在唯一实数使得， 所以当时，即，所以在上单调递减， 当时，即，所以在上单调递增， 所以，又， 即，所以，则， 所以 ， 令，，则, 所以在上单调递减，所以， 所以 ， 即，所以恒成立，即不等式恒成立. 【突破提升训练・36】已知函数.若，恒有，求实数的取值范围. 【答案】． 【分析】时，由说明递减，不等式不可能恒成立，时，时，，的大于1的根记为（是地，），证明时，，时，，由确定的单调性，，时，由完成证明，时，由确定．综合后得出结论． 【详解】，， 当时，，在上是减函数， 当时，，因此不可能恒成立， 时，由得， 记，， 则有两个实根，一根小于1，一根大于1， 大于1的根为，易知它是关于的减函数， 注意到在上是增函数，且， 即时，，时，， 所以时，，递减，时，，递增， 所以， 时，，此时， 记，在上递减，在上递增，且， 因此 当时，，， 当时，，， 综上，时，恒成立 所以的取值范围是． 【突破提升训练・37】已知函数.已知函数区间上的最小值为1，求实数的值. 【答案】 .      【分析】，，存在唯一的，使得，即 （*），=，可根据不等式得到最值，进而求得a值. 【详解】，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，存在唯一的，使得，即 （*）， 函数在上单调递增，，单调递减；，单调递增，，由式得， = , （当且仅当时），由得,此时，把代入（*）也成立， ∴实数的值为. 【突破提升训练・38】已知函数，若曲线在点处的切线方程是，不等式的解集为非空集合，其中为自然对数的底数.若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】. 【分析】不等式恒成立转化为，令，根据其导数，分类讨论其最小值，即可求出实数的取值范围. 【详解】， 因为， 由非空集合得， 令， 则， 又令， 则， ∴在上单调递增，且， ①当时，恒成立， 即函数在上单调递增， 则， ②当时，则，使且时，，即，即单调递减， 时，，即，即单调递增. ∴，∴只须满足， 又， 从而，解得， 由， 令， 则，∴在上单调递减， 则， 又， 故， 综上. 【突破提升训练・39】已知函数设，若没有零点，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】，求导得 构造函数，则在区间内存在唯一零点，通过单调性求得的取值范围. 【详解】，所以 ， 设，则在上是增函数， 又， 所以在区间内存在唯一零点， 即. 当时，，即； 当时，，即，所以在上是减函数， 在上是增函数，所以. 因为没有零点，所以， 即，所以的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $