第3章 函数 章末整合-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

098 章末整合 知识结构理脉络 定义域 用Scilab.求函数值 函数的概念 值域 对应法则 列表法 计算机作图 图像法 应用计算机 函数的表示法 解析法 函数 单调性 函数的性质 奇偶性 实现算法 函数的零点 函数零点存在定理 二分法 函数与对应方程、不等式之间的关系 元二次不等式的解法 一次函数模型 二次函数模型 函数的应用 对勾函数模型 分段函数模型 要点梳理 晰精华 1.函数的定义 初中所学习的函数传统定义与高中的近代定义之 (1)直观、形象地反映出函数关系变化的 间的异同点如下： 优点 趋势； [不同点]传统定义从变量变化的角度，刻画两个 图像法 (2)便于通过图像研究函数的性质. 变量之间的对应关系；而近代定义，则从集合间的对应 只能近似地得到自变量对应的函数值，有时 关系来刻画两个非空数集间的对应关系。 缺点 误差较大 [相同点]两种对应关系满足的条件是相同的，“变 量x的每一个值”及“集合A中的每一个数”，都有唯一 优点 查询方便，不需计算便可直接得出自变量对 个“y值”与之对应 列 应的函数值. 2.函数三种表示方法的优缺点 (1)只能表示有限个数的函数关系； 三种表示法的特点（优缺点）比较如下： 缺点 (2)数较多时使用不方便， (1)简明、全面地概括了变量间的关系； 并不是所有的函数都能用解析式表示事实上，图 优点 (2)可以通过解析式求定义域内的任意自 变量对应的函数值， r0,x∈Q, 像法也不适用于所有函数，如D(x)= l1.xECQ. 列表法 解 析 法 虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取 不够形象、直观，且有些实际问题的函数关 值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段)） 缺点 系很难用解析式表示或根本不存在解析式 3.常见函数的值域 (1)一次函数y=x+b(k≠0)的值域为R 099 (2)二次函数y=a2+bx+c(a≠0)：当a>0时，点，即有f(0)=0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数 值设为+小当。≤0时.值鼓0 6)f(x)+f(-x)=0曰f(x)为奇函数； 为-，] f(x)-f(-x)=0f代x)为偶函数. 5.函数的零点 (3)反比例函数y=(k≠0)的值域为)∈R1y0. (1)函数零点的定义 4.函数单调性和奇偶性的重要结论 对于函数y=f(x)(x∈D),使f(x)=0的实数x称 (1)当fx),g(x)同为增（减）函数时，f(x)+g(x) 为函数y=f(x)(x∈D)的零点. 则为增（减）函数 (2)几个等价关系 (2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性， 方程代x)=0有实数根台函数y=(x)的图像与x 偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。 轴有交点台函数y=f(x)有零点， (3)f(x)为奇函数曰f(x)的图像关于原点对称； (3)函数零点的判定 f(x)为偶函数f(x)的图像关于y轴对称. 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不 (4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、 断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函数y= 差是奇函数，积，商是偶函数，奇函数与偶函数的积，商八x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得 是奇函数. f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. (5)定义在(-∞，+∞)上的奇函数的图像必过原 素养突破 提技能 ●专题一求函数的定义域、值域 归纳提升：求函裁的定义域和值域 是考试中常见的题型.求函数的定 例1.1)求函数=5-+g的定义域： 义战时，注意将自变量x要满足的 条件一一列出，不要遗漏；函数的 (2)若定义运算a⊕b= 「b,a<b, 求函数∫(x)=(x+2)⊕x的值域就是所有函数值的集合，它 a,a≥b, 由函数的定义域和函数的对应关 值域 系确定，所以不论用什么方法求 函数的值域均应考虑其定义域常 见的求函数值域的方法有观察 法、配方法、分离常数法、换元 法、图像法、判别式法等.求函裁 的值域是一个较复杂的问题，要 认真观察，根据不同的题型选择 恰当的方法. [归纳提升] 归纳提升：求函数解析式的题型与 ●专题二求函数的解析式 相应的解法 例2已函数+2)=，求)的解折式： (1)已知形如f(g(x)的解析式求 (2)已知f(x)是一次函数，f(2)=1,f(-1)=-5,求f(x)的解 八x)的解析式，使用换元法或配 析式； 凑法 (2)已知函裁的类型（往往是一次 (3)已知(+)=+宁，求)的解析式 函裁或二次函裁)，使用待定系 数法 (3)含f(x)与f(-x)或f(x)与 ∫()，使用解方程组法 (4)已知一个区间的解析式，求另 一个区间的解析式，可用奇偶性 转移法 [归纳提升] 100 归纳提升：1.解决有 专题三函数的性质及应用 关函数性质的综合问 题的通法就是根据函 3. 已知f(x)是定义在[-5,5]上的奇函数，且f(-5)=-2,若对任意的m,n∈ 数的奇偶性解答或作 [-5,5],m+n≠0，都有m）+fn>0. m +n 出图像辅助解答，先 (1)若f(2a-1)<f(3a-3),求a的取值范围； 证明函数的单调性」 (2)若不等式f(x)≤(a-2)t+5对任意x∈[-5,5]和a∈[-3,0]都恒成立， 再由单调性求最值 求t的取值范围. 2.研究抽象函裁的性 质时要紧扣其定义， 同时注意根据解題需 要给x灵活赋值的 应用 归纳提升：利用函数 [归纳提升] 模型解决实际问题的 步骤 专题四函数的应用 利用函戴模型解决实 例 4.我国某公司决定将一种智能产品大量投放海外市场，已知该产品年固定研发成 际问题的步骤 本为30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品x万台且 (1）阅读、理解題 250-3x,0<x≤25， 意，认真审题， 全部售完，每万台的销售收入为G(x)万元，G(x)= 80+3000_9000 x>25. (2)引进数学符号， x2 建立裁学模型 (1)写出年利润S(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；（利润=销售收入 -成本) (3)利用裁学方法解 (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？求出最大利润. 答得到的常规裁学问 题（即数学模型），求 得结果. (4)转译成具体问题 作出解答 归纳提升：三个“二 次”问题的求解策略 [归纳提升] 二次函数、二次方程 与二次不等式统称三 ● 专题五三个“二次”间的转化 个“二次”，它们常结 5.已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x+2,且f(x)的图像经过点A(1,-6). 合在一起，而二次函 (1)求f(x)的解析式； 数又是三个“二次“ (2)若xe[-2,2],不等式f(x)≤x恒成立，求实数m的取值范围， 的核心，通过二次 数的图像贯穿为一 体.因此，解决此类问 题首先采用转化思 想，把方程、不等式问 题转化为函数问题 借助于函数思想研究 方程、不等式（尤其 是恒成立)问题是高 [归纳提升] 考命题的热点 素养等级测评 请同学们认真完成考案（三）（四）所以y<-4.9×20+8800=8702. 所以f(x)在定义域[-5,5]上是增函数， 又8840.64>8702， 由f(2a-1)<f(3a-3), 故当x=16时，y有最大值8840.64万元. -5≤2a-1≤5， 即要使企业年利润最大，应安排6名员工待岗. 得 -5≤3a-3≤5，解得2<a≤8 2a-1<3a-3, 章末整合 故a的取值范围为(2，号] 素养突破 提技能 5-x≥0， (2)由(1)知f(x)是定义在[-5,5]上的单调递增的奇函 rx≤5， 例1：(1)解不等式组{x-1≥0，得x≥1， 数，由f-5)=-2, x2-9≠0， 得在[-5,5]上f代x)m=f5)=-f(-5)=2.在[-5,5] x≠±3， 上不等式f代x)≤(a-2)t+5对ae[-3,0]恒成立，所以2 故函数的定义域是x1≤x≤5且x≠3. ≤(a-2)t+5,即at-2t+3≥0对a∈[-3,0]恒成立， (2)方法一：令x+2<x2, 令g(a)=at-2t+3,ae[-3,0], 得x<-1或x>2, 令x+2≥x2,得-1≤x≤2. 则只需3)≥0即 -5t+3≥0， 故x)=<-1或>2， lg(0)≥0， -2t+3≥0， lx+2,-1≤x≤2. 解得≤子，故1的取值范国为(-“，号] 当x<-1或x>2时f(x)>1; 例4：（1)年利润S=x·G（x)-30-90x 当-1≤x≤2时，1≤f代x)≤4. -3x2+160x-30,0<x≤25， (1,+∞)U[1,4]=[1,+∞)， .函数f(x)的值域为[1，+o). -10x-9000 2970,x>25 方法二：由新定义知f(x)的图像如图， (2)当0<x≤25时.5=-32+160-30=-3x-9 +60, 因为S在(0,25]上单调递增， 所以S=-3×252+160×25-30=2095; 当x>25时，S=-10x-90+2970=2970- 2 由图像可知f(x)的最小值为1，无最大值.故f(x)的值域为 10x+9000 s2970-2√10.90-2370，当且仅 [1,+o) 当10x=9000 例2：(1)令x+2=t,所以x=t-2,所以ft)=(t-2)2, x 所以f(x)=(x-2)2=x2-4x+4. 即x=30时，等号成立，此时Sm=2370. (2)设f(x)=ax+b,a≠0， 因为2370>2095，所以x=30,S=2370. 2a+b=1. 故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大 因为f2)=1f(-1)=-5,所以 -a+b=-5, 利润为2370万元， 解得a=2,b=-3,所以f代x)的解析式为f代x)=2x-3. 例5：(1)设fx)=ax2+bx+c(a≠0)， 8)因为：+）=+-(+-2， 则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c. 因为fx+1)-fx)=2x+2, 2 令=+当>0时，≥2√· 所以2ax+a+b=2x+2,得a=1,b=1. 因为f(x)的图像经过点A(1,-6), 当组仅当x=1时银等号，当x<0时=(-x-)≤-2，当 所以f1)=1+1+c=-6, 即c=-8.故fx)=x2+x-8. 且仅当x=-1时取等号， (2)设g(x)=fx)-mx=x2+(1-m)x-8. 所以ft)=t2-2,te(-o,-2]U[2,+o),所以fx)= 因为当xe[-2,2]时，不等式f(x)≤mx恒成立， x2-2,xe(-0,-2]U[2,+∞) 例3：(1)设任意x1,2满足-5≤x1<2≤5，由题意可得fx) 所以(-2)≤0 即4-2(1-m）-8≤0， lg(2)≤0， l4+2(1-m)-8≤0， ）=x）+-3) 名+(-)(-)<0， 解得-1≤m≤3. 故m的取值范围是[-1,3]. 即f(x)<f(x2). 224