3.2 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

091 课堂检测 固双基 1.函数f(x)=x2+x+3的零点的个数是 ( 飞3，x4,x5,则x1+2+x3+x4+x5= A.0 B.1C.2 D.3 4.若函数y=ax2-x-1只有一个零点，则实数a= 2.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根 1,2,则函数f(x)=cx2+bx+a的零点为 ( )5.不等式(x+1)(x2-9)≥0的解集是 A.1,2 B.-1,-2 夯基提能作业 C.1. -1. 请同学们认真完成练案[24] 3.已知函数y=f(x)是R上的奇函数，其零点为x1,x2, 第2课时 零，点的存在性及其近似值的求法 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数 1.通过零点存在定理的学习，培养逻辑推理的素养 (重点) 2.通过二分法的学习，提升数据分析、数学建模的学科 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法 素养 求函数零点近似解的步骤（难点） 3.理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科 3.理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想 素养 分析问题、解决问题.（重点、难点） 必备知识 探新知 知识点1函数零点存在定理 思考1：(1)利用函数零点存在定理是 (1)条件：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的曲线， 否能确定零点的个数？ 并且 (2)函数y=f(x)在区间(a,b)上有零 点，是不是一定有f(a)f(b)<0? (2)结论：函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点， 提示：(1)利用函裁零点存在定理只能 判断出零点是否存在，而不能确定零 P[思考1] 点的个裁，如图(1)(2)，虽然都有 f(a)·f八b)<0,但图(1)中的函裁 ●对应练习 在区间(a,b)内有4个零点.图(2) 中的函数在区间(a,b)内仅有1个 1.思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） 零点 (1)若函数y=f(x)在[a,b]上图像连续，且f(a)fb)>0,则y=f(x) 在(a,b)内一定没有零点. . (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则fa)fb)<0.() (3)若函数f(x)在[a,b]上是单调函数，则f(x)在[a,b]上至多有一 (2)若函数y=∫(x)的图像是一条连 个零点 () 续不断的曲线，则由f(a)·f(b)<0 (4)函数y-2x-1的零点是（分0 () 可以推出函数y=f八x)在区间(a,b)内 存在零点；但是，由函数y=∫(x)在 2.对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)在区间 区间(a,b)内存在零点不一定能推出 [a,b]内 f(a)·fb)<0.如图(3)虽然在区 () 间(a,b)内函戴f(x)有零点，但f(a) A.一定有零点 B.一定没有零点 ·fb)0. C.可能有两个零点 D.至多有一个零点 092 知识点2求函数零点的近似值的一种计算方法一二分法 1.二分法的概念 对于在区间[a,b]上连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 ,使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零 点的方法称为二分法 思考2：当1b-a1<2e 2.用二分法求函数零点近似值的步骤 时，取区间(a,b)的中点 给定精度e,用二分法求函数f(x)零点xo近似值x1,使得x1-xI<ε的一般步 作为零点的近似解，区间 骤如下： (a,b)上的其他点一定不 第一步：检查1b-al<2e是否成立，如果成立，取x1= ,计算结束，如果 是零点的近似解吗？为 不成立转到第二步； 什么不取其他的点作为 近似解？ 第二步：计算区间(，的中点”生对应的函数，若制)=0，取-生，计 提示：改函数的零点是 x,区间(a,b)的其他点 算结束若“）≠0，转到第三步； 为x',x'也可能是零点的 近似解，即满足x'-x 第三步，。)·生<0，将“的值赋给 ,回到第一步；否则必有 <ε，但是也可能不满 足，而区间的中点一定 “)·)<0,将“的值赋给，回到第一步。 ●[思考2] 满足，因此只取区间的 ●对应练习 中点作为近似以解，而不 取其他的点. 1.观察下列函数的图像，判断能用二分法求其零点的是 () 0 D 2.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时，第一次经计算得f(0)<0,f(0.5) >0,可得其中一个零点xo∈ ,第二次应计算 关键能力 攻重难 归纳提升：1.判断函数零点所在区间 ●题型一 函数零点个数或所在区间的求法 的三个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函数求出 1.(1)函数f(x)=x3+x-5的零点所在区间为 函戴的值. A.(0,1)B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) (2)判断：把所得的函数值相乘，并进 (2)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c) 行符号判断. (3)结论：若符号为正且函裁在该区间 +(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间 () 内是单调函数，则在该区间内无零点， A.(a,b)和(b,c)内 B.(-,a)和(a,b)内 若符号为负且函裁连续，则在该区间 C.（b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞，a)和(c,+∞)内 内至少有一个零点 [归纳提升] 2.判断函数零点个数的两种方法 (1)方程法：若方程f(x)=0的解可求 》对点训练 或能判断解的个数，可通过方程的解 1.(1)已知函数y=(x)的图像是连续不断的曲线，且有如下对应值表， 来判断函裁是否存在零点或判定零点 则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有（选最佳结果） 的个裁. ( (2)图像法：由f(x)=g(x)-h(x)= 0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐 2 6 标系内作出y1=g(x)和y2=h(x)的 124.4 33 -74 24.5 -36.8-122.6 图像，根据两个图像交点的个数来判 定函数零点的个数 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 (2)在下列区间上，方程x3=3x-1无实数解的是 A.(-2,-1)B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 093 ●题型二用二分法求函数零点的近似值 例2求函数八)=-5的负零点（精度0.1。 归纳提升：(1)利用二分法求函数 近似零点应关注三点 ①要选好计算的初始区间，这个 区间既要包含函数的零点，又要 使其长度尽量小 ②用列表法往往能比较清晰地表 [归纳提升] 达函裁零点所在的区间 ③根据给定的精度，及时检验所 对点训练 得区间长度是否达到要求，以决 2.用二分法求f(x)=0的近似解，f(1)=-2,f(1.5)=0.625,f(1.25)= 定是停止计算还是继续计算 -0.984,f1.375)=-0.260,下一个求f(m),则m= (2)注意“精度为ε”与“精确到 ●题型三函数零点存在定理的综合应用 例3已知函数+2x+2m+1的两个零点分别在区间(-1,0) ①按“精度为ε”要求得到的近 与(1,2)内，求实数m的取值范围. 似值不是唯一的，即若|a-b< 思路探究：根据函数零点存在定理，求解不等式，确定参数的取值 ε，则[a,b]上任何一个实数值 范围. x,均可作为所求的近似值， ②按“精确到ε”要求得到的近 似值是唯一的，即判断区间(“， b)两端点精确到ε的近似值是否 相同.若相同，则该值x0即为所求 的近似值.如(2.34375， 2.34765625)的两个端点精确到 0.1时的近似值都是2.3. 归纳提升：二次函数的零点问题 一般需要考虑以下四个方面： >[归纳提升] (1)判别式(2)端点函数值的正 )对点训练 负.(3)对称轴与区间的位置关系 3.若函数f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内，另一个零点在 (4)根与系裁的关系. 区间(1,3)内，则实数a的取值范围是 课堂检测 固双基 1.函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上 ( ) 零点； A.没有零点 B.有一个零点 ③若f(x)在(a,b)内有零点，必有f(a)f(b)<0; C.有两个零点 D.有无数个零点 ④若f(a)f(b)≤0，则函数f(x)在(a,b)内有零点； 2.用“二分法”求y=x2-6的零点时，初始区间可取 ⑤若f八a)fb)<0,则函数f(x)在(a,b)内有零点. ）4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[1,3]内的根， A.(0,1) B.(1,2) 取区间的中点为x=2,那么下一个有根的区间是 C.(2,3) D.(3,4) 3.已知函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲 线，判断下列结论，正确的是 ①若fa)f(b)<0,则在区间(a,b)内函数f(x)有且 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[25] 仅有一个零点； ②若f(a)f(b)>0,则在区间(a,b)内函数f(x)无..不等式(x-a)⊙(x+a)<1, ! 关键能力攻重难 即(x-a)(1-x-a)<1对任意实数x恒成立， 例1：(1)B(2)A(1)由函数f代x)=x3+x-5可得f0)=0+0- 即x2-x-a2+a+1>0对任意实数x恒成立， 5=-5<0f1)=1+1-5=-3<0, 所以4=1-4(-d+a+)<0,解得-方<a<多 f2)=8+2-5=5>0,f(3)=27+3-5=25>0,f(4)=64 +4-5=63>0. 6.(1)“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必有实数根”是真命题. 故有f(1)f(2)<0,根据函数零点存在定理可得，函数f(x) 依题意f(x)=1有实根，即x2+(2a-1)x-2a=0有实根，因 的零点所在区间为(1,2) 为4=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的aeR恒成 (2)因为fx)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x- 立，即x2+(2a-1)x-2a=0必有实根，从而f代x)=1必有实根. c)(x-a),所以fa)=(a-b)(a-c),fb)=(b-c)(b- （2)依题意，要使y=fx)在区间(-1,0)及(0，）内各有- a),fc)=(c-a)(c-b), f-1)>0, 因为a<b<c,所以fa)>0,fb)<0,fc)>0, 3-4a>0. 所以fa)fb)<0,fb)fc)<0,故]x1e(a,b),x2∈(b, 个零点，只需 f0)<0, 即 1-2a<0. c),f(x1)=0,f(x2)=0,所以f(x)的两个零点分别位于区 )>o, 3 4 -a>0, 间(a,b)和(b,c)内. 解得时<a<子 对点训练1：(1)B(2)B(1)依题意，因为f2)>0f3)<0, (4)>0,f(5)<0,所以根据零点存在定理可知，在区间(2,3) 故实数a的取值花围为乞，》 和(3,4)及(4,5)内各至少含有一个零点，故函数在区间[1 6]上的零点至少有3个，故选B. C组创新拓展 (2)令fx)=x3-3x+1, A若a≥0，则当x>1时，f(x)=ax-a+1≥1，无零点，当x 易知f(x)的图像在R上连续， ≤1时，f代x)最多有两个零点，故当x∈R时，f(x)最多有两个 f(-1)=-1+3+1=3>0,f-2)=-8+6+1=-1<0, 零点，不符合题意，排除C,D;易知a<0,当x>1时，fx)=ax f(0)=0-0+1=1>0, -a+1单调递减，f(1)=a-a+1=1>0,故f(x)在区间(1， f1)=1-3+1=-1<0f2)=8-6+1=3>0, +∞）上存在一个零点，所以当x≤1时，f(x)=ax2-x+2有 故f(x)在(-2，-1)，(0,1)，（1,2)上有零点， 两个零点.要使f代x)=ax2-x+2在区间(-∞，1]上有两个 故方程x3-3x+1=0在区间(-1,0)上没有实数解。 ra <0. 例2：由于f-2)=-1<0,f-3)=4>0,故取区间(-3，-2) <1 作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： 零点，则{2a 解得a≤-1，排除B. 4=1-8a>0, 区间 中点的值 中点函数近似值 a-1+2≤0， (-3,-2) -2.5 1.25 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法 (-2.5,-2) -2.25 0.0625 (-2.25,-2) -2.125 -0.4844 必备知识探新知 知识点1：(1)fa)f(b)<0即3x∈(a,b),f代xo）=0 (-2.25,-2.125) -2.1875 -0.2148 对应练习 (-2.25,-2.1875) -2.21875 -0.0771 1.(1)×(2)×(3)V(4)× 由于1-2.25-（-2.1875)1=0.0625<0.1，所以函数的 2.C如图所示，当f代a)>0,f(b)>0时，函数图像与x轴可以 一个近似负零点可取-2.25. 有一个或两个交点，还可以没有交点.故A、B、D不正确，C 对点训练2：1.4375根据题意，方程f(x)=0的根应该在区间 正确. (1.375,1.5)上，则m=375+1.5=1.4375. 2 例3：由函数零点存在定理以及二次函数图像的特征，得 f-1)>0, 2>0, o a b x O a f0)<0, 2m+1<0, (1) (2) (3) 解得、5 1 f1)<0, 4m+2<0, 6 <m<-2, 知识点2：1.a)·f(b)<0一分为二2. b f2)>0, 6m+5>0. 2 对应练习 即实数m的康值范阁足（一各一》 1.A2.(0,0.5)f0.25) 对点训练3：(-12,0)根据二次函数及其零点所在区间可画 —218 出大致图像，如图： 确；若f1)<0,f(2)>0,则f0)f(1)<0,f(1)f(2)<0,即此 时函数f(x)的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，故A正 确.综上两种情况，可知选项C错误，D正确 6.(2,3)因为f(2)·f3)<0,所以零点在区间(2,3)内. -23 fx)=3x2-5x+a 7.a2=4b:函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法， .函数f代x)=x2+ax+b图像与x轴相切.△=a2-4b=0. f-2)>0, 12+10+a>0. .a2=4h. f0)<0, 由图可知 即 a<0 8.1.3125:精确度e=0.1, f(1)<0, 3-5+a<0 由表可知11.375-1.31251=0.0625<0.1， f3)>0, 27-15+a>0, .函数零点的近似值为1.3125. 解得-12<a<0. 9.(1)由题可得方程x2-2ax+4=0的两根均大于1，结合二次 课堂检测固双基 4=(-2a)2-16≥0， 1.B令-x2+8x-16=0,得x=4,故函数y=-x2+8x-16在 函数的单调性与零点存在定理，得f(1)=5-2a>0, [3,5]上有一个零点.故选B. la>1. 2.C利用变号零点的性质验证可得当x=2时，y=-2<0,当x 解得2≤a< 5 =3时，y=3>0,故选C 3.⑤①油条件f(a)fb)<0成立，则在(a,b)内可能不止一个 (2)由题可得方程x2-2ax+4=0的一个根大于1，一个根小 零点；②在f代a)f(b)>0的情况下，未必无零点；③在(a,b)内 于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f(1)=5- 有零点，也未必有f(a)f(b)<0成立：④注意端点问题，可能 a,b恰好使得f代x)=0. 20<0,解得a>号 4.(2,3)设f(x)=x3-2x-5f1)=1-2-5=-6<0,f2) (3)由题可得方程x2-2ax+4=0的一个根在(0,1)内，另 =23-4-5=-1<0,f3)=33-6-5=16>0,f(x)零点所在 个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 的区间为(2,3)，所以方程x3-2x-5=0下一个有根的区间 f(0)=4>0, 是(2,3) f1)=5-2a<0, f(6)=40-12a<0, 4 练案[25] f(8)=68-16a>0, A组基础巩固 10.(1)若a=0,则f八x)=-4,与题意不符，.a≠0. 1.D因为函数f(x)=x-9在R上单调递增，f(2)=8-9=i 由题意得f(-1)·f1)=8(a-1)(a-2)<0, -1<0,f(3)=27-9=18>0,所以根据零点存在定理，可得 即-0或1>0 函数f代x)=x-9的零点所在的大致区间是(2,3) 1a-2>0la-2<0, 2.D第一次所取的区间是[-2,4]， .1<a<2,故实数a的取值范围为(1,2) .第二次所取的区间可能为[-2,1]，[1,4]，.第三次所取 (2)若a=号期)=器停+器。 的区间可能为[-2，-2-小[1，[3 -)-9>0,0)-器>0.1)=-音<0， 4 3.C:f(x)=3ax-1-2a在区间(-1,1)上单调且存在零点， ∴.f(-1）·f1)=(-3a-1-2a)·(3a-1-2a) 函数零点在(0,1)内，又）=0， =(-5a-)·(a-0<0a>1或a<-5赦选C “方程)=0在区间(-1,1)上的根为子 4.B由函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,2)，(0,4)，B组素养提升 (0,8),(0,16)内，可确定零点在区间(0,2)内，故代x)在区间1.B依题意有f(x)的图像与g(x)的图像有2个不同的交点， [2,16)内无零点，选项A和C中结论不一定成立；由题意得 且f(x)的图像过点(0,2).当a=0时，f(x)=2-x,此时g(x) f代x)的零点可能为1，故选项D中结论不一定成立 的图像与x)的图像仅有1个交点，舍去 5.ABD因为函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点，且都可以用 当a<0时f(x)的图像是开口向下且过点(0,2)的抛物线，此 二分法求得，其图像是连续不断的，所以零点两侧函数值异 时f(x)与g(x)的图像一定有2个不同的交点. 号，又f0)>0,f1)f(2)f(3)<0,所以f(3)>0,f(1)f(2)< 当a>0时，fx)的图像是开口向上且过点(0,2)，对称轴为直 0.若f(1)>0,f2)<0,可得f(2)f(3)<0,f1)f(2)<0,即此 时函数代x)的两个零点分别在区间(1,2)和(2,3)内，故B正 线x=2>0的抛物线当)=a-+2与g()=(-2 一219