3.2 第1课时 函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

088 课堂检测 固双基 1.若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为 是 5,则f八x)在区间[-7，-3]上是 ) A.a>1 B.a<-2 A.增函数且有最大值-5 C.a>1或a<-2 D.-1<a<2 B.增函数且有最小值-5 4.已知fx)= C.减函数且有最大值-5 -3,x>0·是奇函数，则g(-3) lg(x),x<0 D.减函数且有最小值-5 2.已知偶函数在(-∞，0)上单调递增，则 )5.已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，(x)=x+1, A.f1)>f2) B.f(1)<f(2) 则x>0时f(x)= C.f(1)=f(2) D.以上都有可能 夯基提能作业 3.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0， 请同学们认真完成练案[23] +o)上是增函数，f(3)<f(2a+1),则a的取值范围 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第1课时 函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、 不等式解集之间的关系 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之 1.借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养 间的关系.（难点） 2.通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，培养逻 2.会求函数的零点.（重点） 辑推理的素养. 3.掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零 3.利用零点法求不等式的解集，提升数学运算的素养 点法求不等式的解集，（重点、难点） 必备知识 探新知 思考1：(1)函数的零 知识点1 函数的零点 点是点吗？ (1)零点的概念：如果函数y=f(x)在实数a处的函数值等于零，即 ,则a (2)所有的函数都有 为函数f八x)的零点 零点吗？ (2)零点的意义 提示：(1)函数的零 点是实数，而不是点 函数y=fx)的零点a ≤ 如函数f(x)=x+1的 零点是-1，而不是 函数y=f(x)的图像 方程f(x)-0的根a (-1,0) 与x轴的公共点(a,0) (2)并不是所有的函 [思考1] 数都有零点，如函裁 ●对应练习 )=y=+1 函数f(x)=2x2-3x+1的零点是 均没有零点. A-2,-1 c分 D.z. 089 知识点2二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系 设f(x)=ax2+bx+c,方程ax2+bx+c=0(a>0)的判别式△=b2-4ac 判别式 4>0 4=0 △<0 方程 有两个不等的 有两个相等的 没有 f(x)=0的根 实数解x,x2 实数解x,x2 实数解 思考2：二次函数f(x) =ax2+bx+c中，二次 项系数a<0时，怎样 函数y= 求不等式∫(x)>0的 f(x)的图像 Ox=x2 解集？ x 提示：对于二次项系 数是负数（即a<0) f(x)>0 的不等式，可以先把 的解集 二次项系数化成正 裁，再求解；也可以 f(x)<0 画出二次项系数为负 的解集 数时的函数图像，再 求解 ●[思考2] ●对应练习 1.已知二次函数f八x)=ax2+6x-1有两个不同的零点，则实数a的取值范围是() A.a>-9且a≠0 B.a>-9 C.a<-9 D.a>0或a<0 2.方程x2-4x-5=0的解集为 不等式x2-4x-5<0的解集为 关键能力 攻重难 ●题型一求函数的零点 归纳提升：求函数零 例求下列函数的零点： 点的两种方法 (1)代裁法：求方程 (1)x)=+1,x≥0， f八x)=0的实数根. x-1,x<0. (2)图像法：对于不 (2)fx)=x3-2x2-x+2. 易求根的方程f(x)= 0,可以将它与函裁y =f八x)的图像联系起 来，图像与x轴的交 点的横坐标即为函数 的零点. P[归纳提升] 090 )对点训练 1.(1)设函数f(x)= 2x-1xe[0.+6)又g(x)=f)-1,则函数g(x)的零 Lx2-4,xe（-0,0), 点是 () A.1 B.±√5 C.1,-5 D.1,5 归纳提升：已知函数有零点 (2)已知f(2x+1)=3x-2,若a是函数y=f(x)-4的一个零点，则a的值为 (方程有根)求参数取值范 围常用的方法： (1)直接法：直接根据题设 A.2 B.5 n-2 条件构建关于参裁的不等 ●题型二根据函数零点情况求参数范围 式，再通过解不等式确定参 数范围. 例2已是定义城为R的奇函数，当e[0,+0)时)=-2 (2)分离参裁法：先将参裁 (1)写出函数y=(x)的解析式； 分离，转化成求函数值域问 (2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解，求a的取值范围. 題加以解决 (3)数形结合法：先对解析 式变形，在同一平面直角坐 标系中，画出函裁的图像， 然后裁形结合求解 [归纳提升] 】对点训练 归纳提升：穿根法解高次不2.已知二次函数f(x)满足：f(0)=3,(x+1)=f(x)+2x. 等式 (1)求函数f(x)的解析式； 穿根法实质上就是求根法的 (2)令g(x)=f(lxl)+m(meR),若函数g(x)有4个零点，求实数m的取值 深化与提升，穿根的过程实 范围. 质就是画函数图像的过程 用该方法解高次不等式时， 要注意三点： 一是需要把最高次幂的系数 化为正裁： 二是穿根时先在裁轴上把根 ●题型三解简单的高次不等式 标出来，然后从数轴的右上 方开始依次穿过： 例3，求面数：-2(2+D(3x-7)(x+3)的零点，并作出西数图像的 三是穿根时，偶数次重根要 示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)<0的解集. 穿而不过，奇裁次重根则要 穿过 穿根法解分式不等式的 步骤： 移项—通分一化成基本形式 [归纳提升] (因式的积的形式且x的系 〉对点训练 数为1)一穿根 3解不等式。<0 091 课堂检测 固双基 1.函数f(x)=x2+x+3的零点的个数是 ( 飞3，x4,x5,则x1+2+x3+x4+x5= A.0 B.1C.2 D.3 4.若函数y=ax2-x-1只有一个零点，则实数a= 2.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根 1,2,则函数f(x)=cx2+bx+a的零点为 ( )5.不等式(x+1)(x2-9)≥0的解集是 A.1,2 B.-1,-2 夯基提能作业 C.1. -1. 请同学们认真完成练案[24] 3.已知函数y=f(x)是R上的奇函数，其零点为x1,x2, 第2课时 零，点的存在性及其近似值的求法 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数 1.通过零点存在定理的学习，培养逻辑推理的素养 (重点) 2.通过二分法的学习，提升数据分析、数学建模的学科 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法 素养 求函数零点近似解的步骤（难点） 3.理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科 3.理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想 素养 分析问题、解决问题.（重点、难点） 必备知识 探新知 知识点1函数零点存在定理 思考1：(1)利用函数零点存在定理是 (1)条件：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的曲线， 否能确定零点的个数？ 并且 (2)函数y=f(x)在区间(a,b)上有零 点，是不是一定有f(a)f(b)<0? (2)结论：函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点， 提示：(1)利用函裁零点存在定理只能 判断出零点是否存在，而不能确定零 P[思考1] 点的个裁，如图(1)(2)，虽然都有 f(a)·f八b)<0,但图(1)中的函裁 ●对应练习 在区间(a,b)内有4个零点.图(2) 中的函数在区间(a,b)内仅有1个 1.思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） 零点 (1)若函数y=f(x)在[a,b]上图像连续，且f(a)fb)>0,则y=f(x) 在(a,b)内一定没有零点. . (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则fa)fb)<0.() (3)若函数f(x)在[a,b]上是单调函数，则f(x)在[a,b]上至多有一 (2)若函数y=∫(x)的图像是一条连 个零点 () 续不断的曲线，则由f(a)·f(b)<0 (4)函数y-2x-1的零点是（分0 () 可以推出函数y=f八x)在区间(a,b)内 存在零点；但是，由函数y=∫(x)在 2.对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)在区间 区间(a,b)内存在零点不一定能推出 [a,b]内 f(a)·fb)<0.如图(3)虽然在区 () 间(a,b)内函戴f(x)有零点，但f(a) A.一定有零点 B.一定没有零点 ·fb)0. C.可能有两个零点 D.至多有一个零点4.3{x-2≤x≤4}f代x)是定义在[-2b,3+b]上的偶函数， 「a≠0， 所以-2b+3+b=0,所以b=3, L4=36+4a>0, 所以fx)是定义在[-6,6]上的偶函数， ..a>-9且a≠0. 且在[-6,0]上为增函数，所以f(x)在[0,6]上为减函数，所2.-1,5}(-1,5)x2-4x-5=0,.(x-5)(x+1)=0, 以由x-1)≥3)得：6≤x-1≤6， .x=5或x=-1. x2-4x-5<0,.(x-5)(x+1)<0,.-1<x<5. 解得-2≤x≤4， 关键能力攻重难 所以f(x-1)≥f(3)的解集为：xl-2≤x≤4。 例1：(1)方法一：（代数法）由x+1=0知x=-1,但-1[0， 5.(-0,1)由题知f(x)=g(x)+2, +0),故当x≥0时，函数f(x)无零点；由x-1=0知x= 若f(m)+f(m-2)>4,即g(m)+2+g(m-2)+2>4,则有 1,但1年(-∞，0) g(m)>-g(m-2). 故当x<0时，函数f(x)无零点 又g(x)为奇函数，且在R上为减函数，则g(m)>g(2-m), 「x+1,x≥0， 则m<2-m,解得m<1,即m的取值范围为(-o,1). 综上，函数f(x)= Lx-1,x<0 没有零点 6.(1)令x=y=0,则 方法二：（图像法）画出函数y=f(x)= 「x+1,x≥0， 的图 f0)+f0)=f0),∴.f0)=0. x-1,x<0 (2)证明：令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0, 像，如图所示 即f-x)=-f(x), f(x)是奇函数 (3):f)在(-1，)上是单调递增函数)=1， r-1<2x-1<1, 2x-)<1=(2何化为2x-1<, 解得0<r<子 因为函数图像与x轴没有交点， 六不等式2x-1)<1的解集为{x0<<} 所以函数八x)=,,0没有零点. C组创新拓展 (2)令x3-2x2-x+2=0,得x2(x-2）-(x-2）=(x- 2)(x2-1)=(x-2)(x+1)(x-1)=0,解得x=-1或 A由题知f代)+()=-① x=1或x=2, 以-x代x,①式得f-x)+g(-x)=1 所以函数f(x)有3个零点，分别为-1,1,2. -x-11 对点训练1：(1)C(2)B(1)当x≥0时，g(x)=f(x)-1=2x 即)-)=② -2,令g(x)=0,得x=1; 1 当x<0时，g(x)=x2-4-1=x2-5, ①+②得代)=2- 令g(x)=0, 3.2函数与方程、不等式之间的关系 得x=±5（正值舍去）， 所以x=-5, 第1课时函数的零点、二次函数的零点及其 所以g(x)的零点为1，-5. 与对应方程、不等式解集之间的关系 (2)由a是函数y=f(x)-4的一个零点，得fa)-4=0, 即f(a)=4. 必备知识探新知 因为f2x+1)=3x-2, 知识点1：(1)f(a)=0 令3x-2=4,解得x=2, 对应练习 所以f(5)=4,故a=5. B令fx)=0,得2x2-3x+1=0, 例2：(1)当xe（-0,0)时，-x∈(0，+0)， .(2x-1)(x-1)=0. 因为y=f(x)是奇函数， x=或x=1 所以f(x)=-f-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x, 「x-2x,x≥0， 知识点2：{xx<x或x>x2 {≠-}Rx 所以f代x)= l-x2-2x,x<0. <x<x2}☑☑ (2)当xe[0,+∞)时，fx)=x2-2x=(x-1)2-1,最小 对应练习 值为-1；当x∈(-∞，0)时，f(x)=-x2-2x=1-(x+ L.A由题意可知f(x)=0有两个不等的实根， 1)2,最大值为1. 215 所以据此可作出函数y=f(x)的图像，如图所示， 根据函数的图像，知不等式f代x)≥0的解集为(-∞，-3] U[-7,2]U[3,+∞）不等式fx)<0的解集为 (-3.u(2} -2 1023x (x+3)(x-1) 对点训练3：将原不等式化为x+2)-引>0， 即(x+3)(x+2)(x-1)(x-3)>0, 各因式所对应的根分别为-3，-2,1,3，在数轴上标根并画出 根据图像得，若方程f(x)=a恰有3个不同的解， 示意图，如图所示 则a的取值范围是(-1,1) + -322 0i3 对点训练2：(1)设f(x)=a2+bx+c(a≠0)， 因为f0)=3,所以c=3, 故原不等式的解集为xlx<-3或-2<x<1或x>3. 所以f代x)=ax2+bx+3, 课堂检测固双基 所以fx+1)=a(x+1)2+b(x+1)+3=ax2+(2a+b)x+a 1.A令x2+x+3=0,△=1-12=-11<0，所以方程无实数根， +b+3,f(x)+2x=a.x2+(b+2)x+3, 故函数f代x)=x2+x+3无零点，故选A. 因为f(x+1)=fx)+2x, 2.C方程a2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2，则 所以2a+6=6+2, 「1+2= b a’ a+b+3=3, 解得a=1,b=-1, 1×2=c a 所以fx)=x2-x+3. (2)由(1)得，g(x)=x2-lxl+3+m, 所以=-3，=2， a 在平面直角坐标系中，画出函数g(x)的图像，如图所示， 于是)=ed+c+a=a台+合+川=a(2r-3x+0 a =a(x-1)(2x-1),所以该函数的零点是1,2故选C 3.0由奇函数的对称性知，若f(x1)=0,则f代-x1)=0,即零点 y=3+m 关于原点对称，且f(0)=0,故x1+x2+x3+x4+x=0. 11 4.0或-①当a=0时，函数为y=-x-L,显然该函数的图 1 y= +m x=- 像与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点 ②当a≠0时，函数y=ar2-x-1是二次函数， 由于函数g(x)有4个零点，因此函数g(x)的图像与x轴有4 因为y=ax2-x-1只有一个零点， 个交点 所以关于x的方程a2-x-1=0有两个相等的实数根， 3+m>0, 所以4=0，即1+4a=0, 由图像得 1 4 +m<0, 解得a=-子 解得-3<m<- 11 5.{xl-3≤x≤-1或x≥3}原不等式可化为(x+1)(x+3)(: 4 -3)≥0，则对应方程的三个实数根分别为-1，-3,3. 即实数m的取值范围是(-3，-) 如图所示，在数轴上标出三个实数根，从右上方开始依次穿 过.由图可知不等式(x+1)(x2-9)≥0的解集为{x1-3≤x 1 7 例3：函数的零点为-3，-2,2,3，函数的定义域被这四个点 ≤-1或x≥3} 分为五部分，每一部分函数值的符号如下表： -0,-3） 3,2 ,+0 f(x) 所以函数图像的示意图如图： 练案[24] A组基础巩固 1.C令fx)=0,得x(x-2)(x+2)=0, 解得x=0或x=±2，故选C- —216