3.1.2 第2课时 函数的平均变化率-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

078 第2课时函数的平均变化率 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.理解斜率的含义及平均变化率的概念.（重点） 1.通过利用函数f(x)的平均变化率证明f(x)在I上的 2.掌握判断函数单调性的充要条件.（重点、难点）》 单调性，提升数学运算和逻辑推理素养。 3.理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的 图像和单调性，求一些简单函数的最值.（重点、难 2.利用求最值，培养数学运算素养 3.利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养。 点) 必备知识 探新知 知识点1直线的斜率 1.直线斜率的定义 平面直角坐标系中的任意两点A(1y),B(x2,2),①当x≠：时，称2二为直 -x 线的斜率，记作； △x 2.直线的斜率与函数单调性的关系。 ●对应练习 （1)过函数图像上两点4从-1,3).B(2.3)的料率会 (2)过点M(-1,m),N(m+1,4)的直线的斜率为1，则m的值为 知识点2函数的平均变化率及增减性 1.当≠时，称= 为函数y=f(x)在区间[x,x2](x1<x2时)或 △x 思考1：函数图像上任 [x2,x](x1>x2时)上的平均变化率. 意两点连线的斜率大 2.若I是函数y=f(x)的定义域的子集，对任意x1,x2∈I且x1≠x2,记y1=f(x), 于0时，函数图像从左 向右的变化趋势是 为)兰-g ,则 △x X2-x 什么？ ①y=(x)在I上是增函数的充要条件是Ay 0在I上恒成立； △x 提示：函数图像从左 向右逐渐上升 ②y=水)在1上是减函数充要条件是士 0在I上恒成立. ●[思考1] ●对应练习 1.思考辨析（正确的打“V√”，错误的打“×”） (1)一次函数y=ax+b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为a. (2)函数y=x)的平均变化率-几）-的几何意义是函数)=八x)图像上 △xx2-x1 两点A(x1(x)),B(x2x2)所在直线的斜率. () (3)直线不一定有斜率，过函数图像上任意两点的直线也不一定有斜率. () 079 2.已知函数f(x)=2x2-4的图像上两点A,B,且xA=1,xB=1.1,则函数f(x)从A点到 B点的平均变化率为 () A.4 B.4x C.4.2 D.4.02 知识点3函数的最值 前提 函数f(x)的定义域为D,且x。∈D,对任意x∈D 条件 都有f(x) f() 都有f(x) f(xo) 最大值为f(x),x为最 最小值为f八x),x。为最小值点 结论 大值点 思考2：最值点是 最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点 点吗？ [思考2] 提示：不是，是实数 值，是函裁取得最值 。对应练习 时的自变量x的值. 1.函数y=f(x)在[-2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 2函数x)=子xe[2,4],则爪)的最大值为 ,最小值为 关键能力 攻重难 ●题型一求函数的最值 归纳提升：用图像法 求最值的3个步骤 角度1：利用函数图像求最值 例（①函数）在区间-2,5上的图像如图所示，则此函数的最小值最大值分 作作出函裁图像 别是 ( 在图像上我到 我 最高点和最低 点的纵坐标 012345x 确定函数的最 定 大（小）值 A.-22) B.2,f2) C.-2,f(5) D.2,f5) (2)作图法求函数f(x)={x ,0<x<1, 的最值 x,1≤x≤2 P[归纳提升] 080 归纳提升：求二次函 )对点训练 数f(x）=ax2+bx+c 1.如图为函数y=f(x),xe[-4,7]的图像，则它 (a>0)在区间[m,n] 的最大值、最小值分别为 上的最值的类型 -1.5 (1)若对称轴x=- 6 角度2：含参数的一元二次函数的最值问题 2-1071 2a 234568x 在区间[m,n]内，则 例 2.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3. (1)当a=2,x∈[-2,3]时，求函数f(x) 最小值为)最 的值域： (2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1，求实数a的值. 大值为f(m),f(n)中 较大者（或区间端点 m,m中与=一名年 离较远的一个对应的 函数值为最大值) 2)专会<m,则 [归纳提升] 对点训练 f代x)在[m,n]上是增 2.已知二次函数y=x2+mx+4在(-∞，-1]上是减函数，在[-1，+∞)上是增函数， 函数，最大值为f(n),最 求解下列问题. 小值为f(m). (1)m的值是多少？ (3)若名>，则 (2)此函数的最小值是多大？ 在[m,n]上是减函裁， 最大值为f(m),最小值 为fn). 归纳提升：求平均变 化率可根据定义代入 公式直接求解，解題 ●题型二求函数的平均变化率 的关键是弄清自变量的 增量△x与函数值的增 3.求函数x)=2x2+1在区间[x0+△x]的平均变化率，并求当，=1，△x=2 量△y,求平均变化率 时平均变化率的值。 的主要步骤是 先计算函最值的 枚变量△f= 计算△ f+△x) 八) P[归纳提升] 再计算自变量的 )对点训练 阡算△ 改变量△x= 3.一正方形铁板在0℃时边长为10cm,加热后会膨胀，当温度为t℃时，边长变为10(1 +at)cm,a为常数.试求铁板面积对温度的平均膨胀率. 得牛为支化年公 结论 fxo+△x)-f八xo) 1一x0 ●081 题型三利用函数的平均变化率证明函数的单调性 例4试讨论函数)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性 ●[归纳提升] 归纳提升：1.y=∫(x) 》对点训练 在1上是增函数的充 4判断函数x)=x+兰(a>0)在(0，+x)上的单调性 要条件是Ay>0在1上 △x 恒成立」 2.y=f(x)在I上是 减函数的充要条件是 合<0点1上恒成立 课堂检测 固双基 1.设函数f(x)的定义域为R,以下三种说法：①若存在 A.4 B.4△x 常数M,使得对任意x∈R,有f(x)≤M,则M是f(x) C.4+2△x D.4+2(△x)2 的最大值：②若存在x∈R,使得对任意x∈R,有f八x) ≤f(xo),则f(xo)是f(x)的最大值；③若存在xo∈R, 4若函数)=-+号的定义城和值被都是 使得对任意xeR,且x≠x,有f(x)<f(xo),则f(x)是 [1,b],则b= () (x)的最大值其中正确说法的个数为 A.1 B.3 A.0 B.1 C.2 D.3 C.2 D.1或3 2.函数f(x)在[-2，+∞）上的图像如图所示，则此函5.汽车行驶的路程s和时间t之间的变化规律如图所 数的最大值、最小值分别为 ( 示，在时间段[o,],[1,2],[2,3]内的平均速度 分别是1,2,3，则三者的大小关系为 -2-10 B A.3,0 B.3,1 A C.3,无最小值 D.3,-2 3.已知函数f(x)=2x2-4的图像上一点(1，-2)及邻 0o)61女专i 近一点(1+△x,-2+△y),则会等于 △x 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[21]和g(x)在R上都单调递增，则h(x)=f(x)g(x)在R上单调 由图像可知f(x)的最小值为f代1)=1，无最大值， 递增”为假命题，即函数f(x)和g(x)在R上都单调递增，而对点训练1：3-2观察函数图像可以知道，图像上位置最高 h(x)=f(x)g(x)在R上不是增函数，可以考虑fx),g(x)都 的点是(3,3)，最低的点是(-1.5，-2)，所以当x=3时，函数 为一次函数 y=f(x)取得最大值，即ym=3;当x=-1.5时，函数y=fx) 第2课时函数的平均变化率 取得最小值，即y。=-2. 例2：(1)当a=2时，f(x)=x2+3x-3,xe[-2,3], 必备知识探新知 知识点1：1.②当x1=,时，称直线的斜率不存在， 因为其对称轴为直线=-子∈〔-2,3]。 2.①函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大！ 所以-号-3- 4 于0.②函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜 fx)m=f3)=9+9-3=15, 率都小于0. 对应练习 所以函数)的值城为[-兰，15 a021a=2器-0 (2)因为函数f(x)的对称轴为直线x=-2a,」 2 m+-=1,即设=1，解得 (2)由直线的斜率公式得。4-m m+2 ①当-202l≤1，即a≥-时)m=f3)=6a+3, 2 m=1. 知识点21.）-2.①>②< 所以6@+3=1，即a=一分，满足题意： X2-x1 对应练习 ②当-202>1，即a<-时， 2 1.(1)V(2)V(3)×(1)一次函数y=ax+b(a≠0)从x1 fx)=f(-1)=-2a-1, 到，的平均变化率为Ay-+b)-(a+b)-a(3-x) 所以-2a-1=1,即a=-1,满足题意 x2-x1 x2-x1 综上可知，a=-写或a=-1 =a. (2)由平均变化率的几何意义可知A女_）-)表示过 对点训练2：(1)由于y=x2+mx+4在(-0，-1]上是减函数， △x 2-x1 在[-1，+0)上是增函数， 函数y=fx)图像上两点A(x1,f),B(x2fx2)所在直线 所以其对称轴为直线x=-1,故m=2. 的斜率. (2)当m=2时，y=x2+2x+4=(x+1)2+3,所以yn=3. (3)过函数图像上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数例3：：△f=f(x+△x)-f(xo)=2(x+△x)2+1-(2x号+1)= 的定义，一定有x1≠x2 4x0·△x+2(△x)2, 2cAg-）0-2x1.-2x1=4.2 函数f(x)=2x°+1在区间[x,+△x]的平均变化率为 △x1.1-1 0.1 4f_4·Ax+2(△x)2 知识点3：≤≥ △x △x =4x0+2△x, 对应练习 1.-12 当%=1,4x=时，平均变化率为4×1+2×7=5， 21方()=2在[2,4上单调递诚。 对点训练3：设温度的增量为△t,则铁板面积S的增量为： △S=102[1+a(t+△t)]2-102(1+at)2=200(a+a2t)△t+ .当x=2,时f(x)ma=1, 100a2(△t)2,所以平均膨张率AS=200(a+a2)+100a2△. 1 △t 当x=4时f代x)m=2 例4：设-1<x1<x32<1且x≠x2,则 关键能力攻重难 aX2 ax 例1：(1)C由函数的图像知，当x=-2时，有最小值-2：当x 4y=5-1名-1 =5时，有最大值f代5)， △x 2-X1 (2)函数f(x)的图像如图， =[(-1)-x(x2-1)] （x2-x)(x1-1)(x2-1) -a =(6-1)(2-1)1 由-1<x<x2<1知x1-1<0,x2-1<0, 1 (-1)(-1)<0, -207 故当a>0时<0，函数x)在(-1，)上单调递减： 子，解得a=9,故选B。 当a<0时，>0，函数)在(-1，)上单调递指 5.C 因为）->0,0<<，所以函数在(0，+0） X2-X1 对点训练4：设x1,x2∈(0，+∞)且1≠x2,则 上单调递减， (+）(+ a(x1-x2） （x2-x1)+ 因为π>2>0，所以fπ)<f(2),即a<b. x1/ x1X2 △x 2-x1 x2-x1 =16()片（2)子()函数)在区间-1，小上的平均变化 x1x2 *州分分 由x1,x2e(0,+0)知12>0， (2)由函数f(x)的图像知 当有e(0,同时.0<<a>1会0，函数)在 x1x2 fx）= 所以函数f(x)在区间[0,2]上的平 (0,回上是减函数；当，e(石，+0)时，无>a>0, x+1,1<x≤3 <1,>0,函数代)在(6，+)上是指函数。 3 X1X2 3-2-3 均变化率为2012-子 2-0 综上可知，函数x)=x+（(a>0)在(0，同上是减函数，在 7.①23_b)-@表示在[a,b]上割线斜率的相反数， (a,+0)上是增函数. b-a 课堂检测固双基 f(b)-f八a越大治理能力越强. b-a 1.C由函数最大值的概念知②③正确： 对于①，在[t1,2]这段时间内，甲企业对应图像的割线斜率的 2.C观察题中图像可知，图像的最高点坐标是(0,3)，从而其 相反数大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于 最大值是3；图像无最低点，即该函数不存在最小值.故选C. ②，要比较2时刻的污水治理能力，即看在2时刻两曲线的 3.C△y=f1+△x)-f1)=2(1+△x)2-4-(2-4)= 切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在 2(4x)2+4Ax,A=24r+4,故选C 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确：对于③，在 :3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以 4B晒数)=宁-+子=宁-1户+1的定义城和 下，正确；对于④，甲在[t,t2]这段时间内的污水治理能力最 值域都是[1，b],且函数f代x)在[1，b]上为增函数， 强，错误.综上，正确的序号为①②③ =6-10+1=6,即}6-1)2=6-1 8.(1,3]如图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的， 又：6>1(6-1)=1，解得6=3，放选B 5.1<2<31= ）-s=,-）-6① ti-to t-ti kn,。=飞）二)=hx,由图得<h<心<属< t3-t2 01 练案[21] 又：f代x)的单调递减区间为(-，3]，.1<a≤3. A组基础巩固 9.(1)证明：设x1,2∈(0，+∞)且x1≠x2,则 1.A函数代)=在[1,2]上是减函数，所以x=1时，x)的 △y △x 2一x1 2一1x1X2 最大值为1，即A=1,x=2时)的最小值为2，即B= 1 由x1,2∈(0，+∞)知，x152>0, 10 则A-B=1-子宁 ! >0,故f(x)在(0，+0)上是增函数 △x 2.B由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度 增加较快，往后高度增加得越来越慢，仅有B中的图像符合题意. (2)由(1)可知)在[宁2]上为增函数。 1 3.C由已知得：>1…-1<x<0或0<x<1,故选C =-2=方2)=-2，解得a= 4Bf八x)=反从1到a的平均变化率为义=五-l= 1 △x=a-11+a 后=0.(1))=2-2x+2=(x-1)2+1,xe3,3, 208