3.1.2 第1课时 单调性的定义与证明-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

074 3.1.2 函数的单调性 第1课时 单调性的定义与证明 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像 1.借助单调性判断与证明，培养数学抽象、逻辑推理、 理解和研究函数的单调性.（重点） 直观想象素养 2.会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调 2.利用求单调区间，培养数学运算和直观想象素养 性，会求一些具体函数的单调区间.（重点、难点） 必备知识探新知 思考1：增（减）函数定 知识点1 函数单调性的概念 义中的x1,x2有什么 增函数与减函数的定义 特征？ 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D,且ICD: 提示：定义中的x,x2 条件 如果对任意x1,x2∈1，当x1<x2时 有以下3个特征 (1)任意性，即“任 都有 都有 意取x,x2”中“任 y=f(x)在I上是增函数（也称在I 意”二宇绝不能去 y=f(x)在I上是减函数（也称在I上单 结论 掉，证明时不能以特 上单调递增)》 调递减) 殊代替一般； 本y (2)有大小，通常规 fw) 定x1<x2 图示 Ax) (3)属于同一个单调 区间. 0x1 X2 个 D[思考1] 提醒：(1)自变量大小与函数值大小的关系 ①单调递增：x1x2f(x)x2),x>x2台(x)x2) ②单调递减：x1x2(x)(x2),x1>x2f(x1)(x2). 即可以利用单调递增、单调递减的定义，实现自变量的大小关系与函数值的大小 关系的直接转化 (2)若八x)在区间I上为增（减）函裁，则函裁f(x)的图像在区间I上的对应部分 自左向右远渐上升（下降） ●对应练习 1.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是 ( A.y=lx1+2 B.y=3-x C.y=L D.y=-x2+4 x 075 2.对于函数y=f(x),在给定区间内有两个值x1、x2,且x1<x2,使f(x1)<f(x2)成立，则 思考2：“函数f(x)的 y=f(x) () 单调增（减）区间是 A.一定是增函数 B.一定是减函数 D”与“函数f(x)在区 C.可能是常数函数 D.单调性不能确定 间D上是增（减）函 知识点2函数的单调性与单调区间 数”是否相同？ 如果函数y=f(x)在I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在I上具有 提示：不相同.函裁 (当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递 f(x)的单调增（减) 区间是D,这一说法 减区间) 意味着除D之外，函 如果一个函数在其整个定义域内具有单调性，则称此函数是单调函数 数f(x)再无其他单调 提醒：一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“U”连接，应该用 增（减)区间. “和”或逗号连接 [思考2]函数f(x)在区间D上 ●对应练习 是增（减)函裁，则 意味着区间D是函数 1.函数y=∫(x)的图像如图所示，其增区间是 f(x)的单调增（减) 区间的子区间，即除 区间D外，函数f(x) 还可能有其他的单调 2.函数f(x)=-x2-2x的单调递增区间是 增（成)区间. 关键能力 攻重难 ●题型一函数单调性的判断与证明 归纳提升：证明函数 单调性的方法 例证明函数了牛片在(-1，+)上是减面数 利用单调性定义，其 基本步骤如下： ①取值：设x1,x是该 区间内的任意两个 值，且x1<x2 ②作差变形：作差 f(x1)-f(x2),并通过 [归纳提升] 因式分解、通分、配 提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式 方、有理化等手段， )》对点训练 转化为易判断正负的 式子. 1证明函数A)=+在山，+)上是增函数 ③定号：确定f(x)- f(x2)的特号，当符号 不确定时，分类讨论 ④结论：根据f(x) f(x2)的符号及定义判 断单调性. 076 归纳提升：(1)用图像 ●题型二求函数的单调区间 法求单调区间的常用 流程： 例 2.(1)函数y=f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的单调 ①作出函数的图像： 递增区间是 ②观察函数图像： (2)已知函数y=-x2+21x+1,求函数的单调区间. ③结合“上升图像对 应增区间，下降图像 对应减区间”作出 判断. (2)用定义法求单调 区间的常用流程： ①作差并变形： ②判断各因式符号： ③如果各因式符号确 [归纳提升] 定，则函裁在整个定 》对点训练 义域上具有单调性， 「-x-3,x≤1， 2.作出函数f(x)= 的图像，并指出函数f(x)的单调区间. 如果有一个因式符号 1(x-2)2+3,x>1 不确定，则需确定分 界点分类讨论以确定 单调区间. ●题型三单调性的应用 角度1：函数值的大小比较 例3已知是二次函数，且在=1处取得最值，又万<)，试刿断人-2》 与f(2)的大小. 归纳提升：利用函裁 的单调性可以比较函 数值或自变量的大 小，在利用函裁的单 调性解决比较函数值 D[归纳提升] 大小的问题时，要注对点训练 意将对应的自变量转3.如果函数(x)=x2+bx+c对任意实数1都有f(2+)=f(2-),比较f(1),(2), 化到同一个单调区 f(4)的大小. 间上. 077 角度2：解不等式 例西效1=)定义在(0.+)上且在(0.+)上单调造猫)=0，则不等式 归纳提升：求解含 f(4-x)<0的解集为 [归纳提升] “∫”的函数不等式的 》对点训练 解题思路：先利用函 4.函数y=f(x)在R上为减函数，且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围 数的相关性质将不等 是 式转化为f(g(x)> 角度3：求参数的取值范围 f(h(x))的形式，再 例51)已知)=华在区间(-2.+a)上单调适增，求a的取值范围： 根据函数的单调性去 掉“∫”，得到一般的 (2)y=-子+1在[0，+)上单调递减求实数长的取值范围 不等式g(x)>h(x) 或g(x)<h(x). >[归纳提升] 归纳提升：本例(1)关 )对点训练 键是将它化为y=m+ 5.已知一次函数y=f(x)满足f(x+1)=x+3a,且f(a)=3. n型，再根据函数 (1)求函数f(x)的解析式； x+c (2)若g(x)=x·f(x)+f(x)+1在(0,2)上具有单调性，求实数入的取值范围. 少=华的率调注未考走 a应满足的条件，从 而求出a的取值范围. 本例(2)的关键是对 的取值分类讨论. 课堂检测 固双基 1函数)=的减区间为 D-2)<-)- A.(-∞，+0) 3.(多选题)下列函数中，在(0,2)上是增函数的是 B.(-,0)U(0,+0) C.(0,+∞) Ay- B.y=2x-1 D.(-o,0)和(0，+∞) 2.若函数f(x)在(-0，-1]上是增函数，则下列关系 C.y=1-2x D.y=(2x-1)2 式中成立的是 :4.已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(4a-3) >f(5+6a),则实数a的取值范围是 A-2)<-1)<-2) 5.函数∫(x)=1x2+2x-31的递增区间为 B-1)<升-2)<-2) 夯基提能作业 c-2)<-1)<-2) 请同学们认真完成练案[20],1,x<1, 关键能力攻重难 故g(x)= 之，1≤x<2,其图像如图 例1：记y=f(x),任取x1,x2e(-1,+0)且：<，，那么f(x1)- 2,x≥2. f)=与+2与+2 x2-x1 名+1x2+1(+1)(x2+1) 因为-1<x1<x2,所以2-x>0,x+1>0,5+1>0, 2.5 +1)+D>0,即f)-)>0f)>6). 2一x1 所以，一 1 0.5 所以y=+2在(-L,+0)上是减函数 x+1 0123 对点训练1：任取x1,2∈(1，+0)且x1<:2,那么fx)-fx2)=x (3):g(x)>0,f(g(x)=2,xeR. 、1 +L 2 当<0时g)=81)=多： =(1-6)+5=(6-产5 x1x2 x1X2 当x≥0时，g(f(x)）=g(2)=2. 因为x2>x1>1,所以x1-龙2<0，x2>1,x162-1>0. 方程》=2g(f(x)), 所以)-)<0，即Rx)<).所以函数)=x+在 即x2= 5,x<0, 4,x≥0， (1,+∞)上是增函数 解得x=-5或x=2. 例2：(1)(-0,1]和(1，+∞)根据函数单调性定义及函数图 C组创新拓展 像知fx)在(-0,1]和(1，+o)上单调递增. 7([7,11]内的任何一个数均可)f(x)的图像如图， 「-x+2x+1,x≥0， 「-(x-1)2+2,x≥0， (2)y= -2-2x+1<0即y 1-(x+1)2+2,x<0, 函数图像如图所示，单调增区间为(-∞，-1，[0,1]， 3 单调减区间为[-1,0]，(1，+∞). 2 -3-2-1012345678x -1 -2 因为f(x)在区间[a,b]上的值域为[-1,2]，由图可知0≤a≤ 4,b=7, 所以7≤a+b≤11，所以a+b的一个可能的取值为7. 「-x-3,x≤1， !对点训练2：f代x)= 的图像如图所示， 3.1.2函数的单调性 1(x-2)2+3,x>1 第1课时单调性的定义与证明 必备知识探新知 知识点1：f(x)<fx2)f代x)>f2) 对应练习 :12x 1.A因为-1<0，所以一次函数y=-x+3在R上单调递减； 反比例函数y=士在(0，+)上单调递或：三次函数y=- +4在(0，+∞)上单调递减.故选A. 「-x-3,x≤1， 由图可知，函数f(x)= 的单调递减区间为 2.D由函数单调性的定义可知，判断单调性时不能用特殊值代 l(x-2)2+3,x>1 替任意值，故选D. （-∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，+∞) 知识点2：单调性 例3：由于f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，因此x=1是二 对应练习 次函数的对称轴 1.[-3,1] 又因为1<2<π，f代2)<f(π)，可以得f代x)在[1，+∞)上单 2.（-0,-1]fx)=-(x+1)2+1,函数f(x)的对称轴为x= 调递增， -1,故函数的递增区间为(-∞，-1]· -- 所以二次函数的图像开口向上，x)在(-∞，1)上单调递减 -204 由于0与2关于x=1对称，所以f(2)=f0). 于B,y=2x-1在R上单调递增；对于C,y=1-2x在R上单 因为-2<0，所以f(-2)>f0),即f-2)>f2). 调递减：对于D,y=(2x-1)P在(-0,2）上单调递减，在 对点训练3：因为f(2+t)=f代2-t),所以f(x)图像的对称轴为x= 2故f代x)在[2，+0)上是增函数，且f1)=f3) (分，+上单调递增故选AB. 所以f2)<f3)<f(4),即f2)<f(1)<f4): i4.(-∞，-4)由题意得，4a-3>5+6a,即a<-4. 例4：(3,4)函数y=f(x)定义在(0，+∞)上且在(0，+0)上 5.(-3,-1),(1,+0)令g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4 单调递增f1)=0,则不等式f4-x)<0可化为0<4-x 先作出g(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x <1,解得3<x<4. 轴下方的图像翻折到x轴上方就得到f(x)=Ix2+2x-31的 对点训练4：(-∞，3)由y=fx)在R上是减函数且f2m)> 图像，如图所示. f代-m+9)知，2m<-m+9,解得m<3. 所以m的取值范围是(-∞，3). 例5：1x)=ax+=ax+2)+1-2=a+-29 x+2 x+2 x+2 所以f(x)要在区间(-2，+∞)上单调递增只需1-2a<0 即可. -2 所以a>2 123x -2 即a的取值范围为2，+o 3 -4 2 (2)k=0时，=-了x+1满足题意；k>0时，抛物线开口 由图像易得，函数的递增区间是(-3，-1)，（1，+∞). 向上，对称销x=文>0，在[0，+)上不可能单调递减： 练案[20] <0时，对称销x=<0在[0，+如)上单调递减 :A组基础巩固 综上，k的取值范围为(-0,0]。 :1.C 作出f代x)=Ix+21在(-∞，+∞)上的图像，如图所示， 对点训练5：(1)设f(x)=kx+b(k≠0)， 则f代x+1)=k(x+1)+b=kx+k+b=x+3a, 故k=1,b=3a-1. 又因为f(a)=3, -3-2-101x 即a+3a-1=3,解得a=1, 所以b=2,所以f代x)=x+2. 易知f(x)在[-3,0]上先减后增. (2)因为g(x)=x·(x+2)+入(x+2)+1=x2+(入+2)x+2.D由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调 2八+1的图像是开口向上，且以直线x=-入2为对称轴的抛 区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的 大小，而本题中的x1,2不在同一单调区间内，所以(x)与 物线。 f(x2)的大小关系不能确定，故选D. 若g(x)在(0,2)上具有单调性， 3.D由f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，得 则号2≤0或122 2 rx>0, 解得入≥-2或λ≤-6. 82)>0,解得2<x<9 故实数入的取值范围是入|入≥-2或入≤-6}. x>8(x-2). 课堂检测固双基 4.ABD不妨设fx)=x,则f(x)在R上是增函数. 对于A,y=x在(-∞，0)上是减函数，故A中结论错误： 1D结合反比例函数y=士的图像，可知其减区间为(-0) 对于B,y=在(-，0)和(0，+0)上是减函数，但不能说 和(0，+0).故选D 2D因为代x)在(-0，-1]上是增函数，且-2<-2 3 <-1, y=是减函数，故B中结论错误； 对于D,y=Ix在(-∞，0)上是减函数，故D中结论错误；易 所以-2)<-)<-1).故选D 知C中结论正确 3AB对于A,y=-在(-0,0)，(0，+0)上单调递增：对5.D要使x)=22-c-3在[1,4]上具有单调性，须使2女2 —205