3.1.1 第3课时 分段函数-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

有fx1)<f代x2) 即2x2-7x+3>m在[-1,1]上恒成立， (3)根据图像，可以看出函数的图像是以(1,4)为顶点，开口 令g(x)=2x2-7x+3, 向下的抛物线，因此，函数的值域为(-∞，4]. 则g(x)n=g(1)=-2,∴m<-2. B组素养提升 即实数m的取值范围为(-∞，-2) 1Cf1-2x)=1- C组创新拓展 x2 C 1-( 因为y=2-3-4-(-》空， 2分)1-2×4) 15..选C 所以对称销为直线=号，当=时了=-空 2B根据规定，各居民小区每15户推选1人，当全居民小区户 5 数除以15所得的余数大于10时再增选1人，即余数为11， 4 12,13,14时可以增选1人，也就是y的值加1，所以x应该加 3 2 4,因此利用取整函数可表示为y[] 10 -5-4-3-21 12 45 3.AD令t=E-1,t≥-1，则E=t+1,x=(t+1)2, 所以E-1)=)=24+1)2+(t+1)-3=22+56,te [-1,+0), (3,-4) -5 所以f(x)=2x2+5x,xe[-1,+o),f1)=7,A正确，B 错误； 因为x=0时，y=-4,由二次函数图像可知 作出函数fx)=2x2+5x,x∈[-1，+∞)的图像， 3 m, 3 33 解得讠≤m≤3，所以m的取值范围 6 m-2≤-0， 5 4 是[33 3 2 第3课时分段函数 -10 12 必备知识探新知 -2 知识点1：对应关系 -3 知识点2： 结合图像可知f(x)=尺-1)=-3f代x)的图像与x轴只有对应练习 1个交点，C错误，D正确。 :1.①④①符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对 4.7由f(ab)=fa)+fb),可得f12)=f4)+f3)f(4)= 应关系 f2)+f2),.f12)=2f2)+f3)=4+3=7. ②当x=2时，f2)=3或4，故不是函数. 5由）产0x0. ③当x=1时f1)=5或1，故不是函数 1 ④符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关 令士=，则x=,得0)= 系.故选①④. 17 2.2f-2)=-(-2)=2 t 3.(-0,0)U(0,+0)-2}U(0,+0) 所以代)解析式为f代)=x司 1 4.④ 6.(1)由f0)=3得，c=3, 关键能力攻重难 f代x)=ax2+bx+3. 例1：(1)D(2)(-1,1)(-1,1)(1)要使f(x)有意义，需 又f代x+1)-f(x)=4x+1, x≠0，故定义域为(-∞，0)U(0,+0). ∴a(x+1)2+b(x+1)+3-(ax2+bx+3)=4x+1, (2)由已知定义域为xI0<x<1}U{0}U{x1-1<x<0} 即2ax+a+b=4x+1, =xl-1<x<1},即(-1,1) 2a=4.=2 又0<x<1时，0<-x2+1<1,-1<x<0时，-1<x2-1 la+b=1,lb=-1, <0,x=0时，fx)=0,故值域为(-1,0)U0}U(0,1)= ∴fx)=2x2-x+3. (-1,1). (2)f(x)>6x+m等价于2x2-x+3>6x+m, :对点训练1：D当xe[0,1]时，f(x)=2x2e[0,2],所以函数 —201 f(x)的值域为[0,2]U{2,3}=[0,2]U{3} 课堂检测固双基 例2：0因为分)31-2=-3 1.B根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除 A、D,然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C,故 服动新音 选B. 2.A因为y=x x 「x,x>0 所以函数的图像为选项A. (2)a)=号，若a≤1，则a-11-2=，得a 或a I-x.x<0. 3 3.B若0<a<2,则a+2>2, 由fa)=fa+2),得a=2(a+2)-4, 因为lal≤1，所以a的值不存在； 解得a=4或a=0(舍去)， 中a=子，得a=±厄，符合1al> 若1al>1,则，1与 日）4)=2x4-4=4 所以若fa)=号，a的值为±2 若a≥2，由f(a)=f(a+2),得2a-4=2(a+2)-4,无解 对点训练2：A 依题意知2)=2+2-2=4，则() 综上f(日）=4，故选B 母)=1-（仔=瓷故选A 4. 2 : 4》=)√F-2 对点训练3：Afa)+f1)=0,∴fa)=-f代1)=-2，当a>0 5.fx)=r+1,-1≤x<0, 由题图可知，f(x)的图像是由两 [-x,0≤x≤1 时，2a=-2,a=-1,舍去，当a≤0时，a+1=-2,.a= -3. 条线段组成的.当-1≤x<0时，设f(x)=ax+b(a≠0)，将 (-1,0),(0,1)代入解析式 对点训练4：(-∞，-3)当a≤-2时，f(a)=a<-3,.a∈ 1 （-0,-3); 得 -a+b=0 解得al, b=1 6=1,x)=x+1. 当-2<a<4时，fa)=a+1<-3,此时无解； 当a≥4时，f(a)=3a<-3,此时无解.故a的取值范围是 当0≤x≤1时，设f(x)=kx(k≠0)，将(1，-1)代入，得k= -1. (-0,-3) 例3：各函数对应图像如图所示： 所以x)的解析式为)=+1，-1≤x<0, -x.0≤x≤1. 练案[19] A组基础巩固 1.BD(x)∈{0,1}，.D(x)为有理数， .D[D(x)]=1. rx-2x,x≥0 2.C f(x)= 分段画出，应选C (1) (2) Lx2+2x,x<0, 由图像知，(1)的定义域是(0，+o),值域是[1，+0)； 「x2+1,x≤0 3.C 因为函数代x)= 1-2x,x>0, fa）=10,所以当a≤0时， (2)的定义域是(-∞，+∞)，值域是(-6,6]. f(a)=a2+1=10,解得a=-3或a=3(舍去)；当a>0时， 对点训练5：C依题意，知)=+u=+1x>0, ! fa)=-2a=10,解得a=-5(舍去).所以实数a的值为 xx-1,x<0 -3 所以函数f(x)的图像为选项C中的图像，故选C. i4.AC 对点训练6：(-∞，2]当x≥1时，y= ↑y 函数f(x)的图像如图所示： 2(x-1)-3x=-x-2;当0≤x<1时，y B(0,2) =-2(x-1)-3x=-5x+2;当x<0 时，y=-2(x-1)+3x=x+2. -x-2,x≥1， 4(1,-3) 故y= -5x+2,0≤x<1. 2-10123 x+2,x<0. 根据函数解析式作出函数图像，如图所示 -2 由图像可以看出，函数的值域为(-0,2]. 由图可得f(x)的值域为(-0,4)，f(x)<1的解集为(-o, -202071 2 5.已知函数fx)是二次函数，且f(0)=1,f(x+1)- f(x)=2x+2,则fx)= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[18] B 0 123456 第3课时 分段函数 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出 通过分段函数的学习，培养直观想象素养、逻辑推理 分段函数的图像.（重点、难点） 素养 必备知识 探新知 知识点1分段函数的定义 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的 则称其为分段函数 ●[思考] 知识点2几个特殊的函数 1.高斯取整函数 y=[x],定义域为R,值域为Z. 思考：分段函数是一 2.狄利克雷函数 个函数还是几个 ,x∈0定义域为R,值域为0,1： 函数？ D(x)= 0,xQ, 提示：分段函数是一 3.常数函数 个函数，而不是几个 y=c,c为常数，定义域为R,值域为{c,图像为垂直于y轴的直线. 函数 ●对应练习 1.下列给出的式子是分段函数的是 (填序号) 「x2+1,1≤x≤5， 「x+1,x∈R, ①f(x)= ②f(x)= 2x,x<1. lx2,x≥2. 2x+3,1≤x≤5， [x2+3,x<0 ③f(x)= ④f(x)= lx2,x≤1. x-1,x≥5. 2.已知f(x)= 「-x,x≤0 x2,x>0 '则f(-2)= 3.函数y= x2,x>0, -2x<0 的定义域为 ,值域为 4.下列图形是函数y=xlx的图像的是 (填序号)， 072 关键能力 攻重难 ●题型一分段函数的定义域、值域 归纳提升：1.分段函 1.(1)已知函数(x)=,则其定义域为 数定义域、值域的 A.R B.(0,+0) 求法 C.(-∞，0) D.(-0,0)U(0,+o) (1)分段函数的定义 -x2+1,0<x<1, 战是各段函戴定义域 (2)函数f八x)={ 0,x=0, 的定义域为 值域为 的并集 Lx2-1,-1<x<0 (2)分段函数的值域是 P[归纳提升] 各段函数值域的并集 2.绝对值函裁的定义 对点训练 域、值域通常要转化 r2x2,0≤x≤1， 为分段函数来解决 1.函数f(x)= 2,1<x<2,的值域是 ( 3,x≥2 归纳提升：分段函数 A.R B.[0,+o) C.[0,3] D.[0,2]U{3} 求值问题的常见解法 ●题型二 分段函数求值问题 (1)求分段函数的函 1x-11-2,lxl≤1， 数值的方法：先确定 2 已知函数f(x)= 1+2,lx>1 1 要求值的自变量的取 值属于娜一段区间， 然后代入该段的解析式 (1)求2)的值 求值.当出现ff(a)) (2)若a)=3,求a的值 的形式时，应从内到 外依次求值 (2)已知分段函裁的 函数值，求自变量的 值的方法：先假设自 变量的值在分段函数 定义战的各段上，然 后求出相应自变量的 值，切记要检验 。[归纳提升] (3)在分段函裁的前 》对点训练 提下，求某条件下自 变量的取值范围的方2.设函数f(x)= r1-2,x≤1 x2+x-2,x>1, 则(2) 法：先假设自变量的 值在分段函数定义域 A.5 D.-3 6 B.4 C.3 的各段上，然后求出 2x,x>0, 在相应各段定义域上自 3.已知函数f(x)= 若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于 x+1,x≤0， 变量的取值范围，再求 A.-3 B.-1 C.1 D.3 它们的并集即可. rx,x≤-2， 4.函数f(x)=x+1,-2<x<4,若fa)<-3,则a的取值范围是 3x,x≥4 073 ●题型三分段函数的图像及应用 例3分别作出下列分段函数的图像，并写出定义域及值或 r3,x<-2, (1)y=x 0<x<1(2)y=-3x,-2≤x<2, 归纳提升：分段函数 x,x≥1. -3,x≥2. 图像的画法 (1)对含有绝对值的 函数，要作出其图 像，首先应根据绝对 值的意义去掉绝对值 符号，将函数转化为 分段函数，然后分段 作出函裁图像 (2)作分段函数的图 像时，分别作出各段 [归纳提升] 的图像，在作每一段 对点训练 图像时，先不管定义 域的限制，作出其图 5,函数(x)=x+的图像是 () 像，再保留定义域内 的一段图像即可，作 图时要特别注意接点 处点的虚实，保证不 重不漏. 6.设x∈R,则函数y=2|x-1|-31xl的值域为 课堂检测 固双基 1.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开a设代x)= 始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装 ,0<x<2若fa)=a+2),则) 2x-4,x≥2， 完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速 () 行驶，下列图像可以近似地刻画出这列火车的速度变 A.2 B.4 C.6 D.8 化情况的是 ( ,lxl≤1， ↑速度 ↑速度 个速度 ↑速度 4.已知函数f（x)= l,1x1>1 则f(f(4) 时间0 时间0 时间0 时间 5.已知函数f(x)的图像如图所示，则f代x)的解析式是 A B D 2函数y=x的图像的大致形状是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[19]