2.2.1 不等式及其性质-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

042 》对点训练 3.甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地 所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度. ●易混易错警示 未对参数分类讨论致误 例4若方程 ry mx+1, y2 有解，则m的取值范围是 =1 3 错因探究：消去y可得(3-m2)x2-2mx-4=0,4=4m2+16(3-m2)≥0，即-2≤m≤2时，方程有解 纠错：消去y所得方程中x2系数含有参数，应分x2系数是否为0，讨论求解. 课堂检测 固双基 .二元一次方程组x1的解集是 倍少180毫升.若过程中水没有溢出，则原本甲、乙 ( 两杯内的水量相差 () A.{(1,2)} B.{(1,0)} A.80毫升 B.110毫升 C.{(-1,2)} D.{(1,-2)} C.140毫升 D.220毫升 2.下列方程组中是二元二次方程组的有 「x-y=0, @+y=2, ②/2+=7， 4.方程组 x2+y=2 的解集是 lx+y=4; ly(x-y)=5; 5.设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组 8V可+5=， ④/=-5， (xy-2=y; 1x2+y2=5. 的解是=2， =3和x一3试写出符合要求的方程组 y=-2 A.1个B.2个C.3个 D.4个 3.桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些 夯基提能作业 水.先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为 请同学们认真完成练案[11] 原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全 部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3 2.2 不等式 2.2.1不等式及其性质 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，理解不等 1.借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养. 式的概念.（一般) 2.通过两数（式）的大小比较，培养数学运算、逻辑推 2.理解实数比较大小的基本事实，初步学会用作差法 理素养 比较两个实数的大小.（重点） 3.通过综合法、分析法、反证法的证明，提升数学抽象 3.认识并证明不等式的性质及推论，能利用不等式的 逻辑推理能力 性质证明简单的不等式.（重点、难点） 043 必备知识探新知 知识点1不等关系与不等式 1.不等式的定义 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间 的不等关系，含有这些 的式子，称为不等式 2.比较两个实数（代数式）的大小 作差法的理论依据： a-b<0 a-b=0台 a-b>0台 提醒：比较两个实裁a,b的大小，只需确定它们的差a-b与0的大小关系，与差的 具体数值无关.因此，比较两个实数，b的大小，其关键是经过适当变形，能够确认差 a-b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等. ●对应练习 (1)已知t=a+46,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是 A.t>s B.t≥s C.t<s D.t≤s (2)设a,b>0,P=a+√b,Q=√a+b,则P与Q的大小关系是 A.P≥Q B.P≤Q C.P>Q D.P<Q 知识点2不等式的性质 1.不等式的性质 (1)性质1（可加性）：a>b→ axb (2)性质2（可乘性）： e>0 a>b] (3)性质3（可乘性）： c<0 (4)性质4（传递法）：a>b,b>c→ (5)性质5（对称性）：a>b曰 2.不等式性质的推论 思考：利用不等式性 (1)推论1（移项法则）：a+b>c→ 质应注意哪些问题？ a>b1 (2)推论2（同向可加性）： 提示：在使用不等式 c>d 性质时，一定要弄清 a>b>01 不等式（组）成立的前 (3)推论3（同向同正可乘性）： ∴c>d>0J 提条件.不可强化或 (4)推论4（正数乘方性）：a>b>0→ (nEN.n>1). 弱化成立的条件.如 (5)推论5（正数开方性）：a>b>0→ ●[思考] “同向不等式”才可 。对应练习 相加、“同向且两边 同正的不等式”才可 (1)已知a≥b,可以推出 () 相乘；可乘性中的“℃ A=分 B.ac2≥bc2 D.(ac)2≥(bc) 的符号”等都需要 注意. (2)若a<b<0,则下列结论正确的是 () A.b2>a2 C.ab >b2 D.ac2>bc2 044 知识点3证明问题的常用方法 方法 定义 综合法 从 出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法 从要证明的 使它成立的充分条件，直至最后，把要 分析法 证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理 等)为止 首先假设结论的 成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不 反证法 成立.反证法是一种间接证明的方法 提醒：综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是一种间接证明的方法， (1)综合法中，最重要的推理形式为P→g,其中p是已知或者已经得出的结论，所以 综合法的实质就是不断寻我女然成立的结论 (2)分析法中，最重要的推理形式是“要证P,只需证明q”,这可以表示为pq,其 中P是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻我结论成立的充分条件 ●对应练习 1.思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） (1)综合法是从结论向已知的逆推证法 ( (2)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程.分析法的推理过程实际上 是寻求使结论成立的充分条件的过程. () (3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a≤b”. () (4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾， () 2将下面用分标法证明少≥的步蝶补充完整：要证“护≥6，只青证心+公≥ 2ab,也就是证 ,即证 ,由于 显然成立，因此原不 等式成立 关键能力 攻重难 ●题型一作差法比较大小 归纳提升：比较两个 列 已知a,b均为正实数.试利用作差法比较a3+3与a2b+ab2的大小。 实裁的大小，可以求 出它们的差的符号 作差法比较实裁的大 小的一般步骤是作差 →恒等变形→判断差 的符号→下结论.作 [归纳提升] 差后变形是比较大小 对点训练 的关键一步，变形的 1.已知x<1,试比较x3-1与2x2-2x的大小 方向是化成几个完全 平方裁和的形式或一 些易判断符号的因式 积的形式 ●045 ●题型二不等式性质的应用 归纳提升：1.利用不 例21)（多选题）(2024·枣庄高一检测若a,6ceR,a<b<0,则下列不等式正确 等式的性质判断命题 真假的关注点 的是 (1)利用不等式的性 B.ab >b2 质判断时，要注意不 C.a(c2+1)<b(c2+1) D.a cxb c 等式成立的条件，不 (2)(2024·滨州高一检测)已知2<a<3,-2<b<-1,则2a-b的取值范围 要弱化条件，尤其是 为 () 不能凭想当然随意捏 造性质 A.(0,2)B.(2,5) C.(5,8) D.（6,7) (2)解有关不等式的 [归纳提升] 选择题时，也可采用 》对点训练 特殊值法进行排除， 2.(1)(2024·济宁高一检测)若a>b>0,c<d<0,则一定有 () 注意取值一定要遵循 A.ac <bd B.ac bd 如下原则：一是满足题 设条件；二是取值要简 (2)(2024·沈阳高一检测)已知a,b∈R且满足 r1≤a+b≤3， 则4a+2b的取值范 -1≤a-b≤1， 单，便于验证计算 2.利用不等式性质求 围是 () 范围的一般思路 A.[0,12] B.[4,10] C.[2,10] D.[2,8] (1)借助性质，转化为 。题型三不等式的证明 同向不等式相加进行 例3(1)已知a>6>0,e<0,求证：后>分 解答 (2)借助所给条件整 (2)已知c>1,证明c-I+e+I<2c; 体使用，切不可随意 (3)若a3+b=2,求证：a+b≤2. 拆分所给条件. (3)结合不等式的传 递性进行求解。 归纳提升：证明不等 式的方法有综合法 分析法与反证法.综 合法的实质是不断寻 我女然成立的结论： ●[归纳提升] 分析法的实质是不断 )对点训练 寻我结论成立的充分 条件；用反证法证明 3.已知x>0,y>0,且x+y>2,求证：1+与+中至少有一个小于2. y 不等式，其实质是从 否定结论出发，通过 逻辑推理，导出与已 知条件或公理相矛盾 的结论，从而肯定原 命题成立 046 ● 易混易错警示 忽略不等式性质成立的条件致错 例4给出下列命题： ①若a<b,e<0,则合<分： ②若ac3>bc-3,则a>b: ③若a>b且keN,,则a>b; ④若c>0>6>0,则”。>其中正确命题的序号是 错因探究：在使用不等式的性质时，要考虑全面，否则会得出错误的结果，如①中易因没有考虑山<0的 特况，点接南0<接出日>行从而刺断①正确：③中号忽视a与6的符号，骏认0,6同为正，即接出> b,造成错误。 误区警示：应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”.还应特别注意“乘负 反序”“同号取倒反序”等情况。 课堂检测 固双基 1.下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是 3.设P=2a(a-2)+3,Q=(a-1)(a-3),a∈R,则有 ( A.a-b>0 B.a-b<0 A.P≥Q B.P>Q C.a-b≥0 D.a-b≤0 C.P<Q D.P≤Q 2.已知a,b,ceR,则下列命题正确的是 )4.若-1<a<B<1,则下列各式中恒成立的是() A.a>b-→ac2>bc2 A.-2<a-B<0 B.-2<a-B<-1 B. c →a>b C.-1<a-B<0 D.-1<a-B<1 c.0>611、1 5.已知三个不等式：①6>0，②后>号，③c>ad以其 “ab<0尸a>6 中两个作条件，余下一个作结论，则可组成 个 ab>01.1、1 D 正确命题 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[12] 2.2.2 不等式的解集 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.了解不等式（组）解集的概念，会求简单的一元一次1.通过求一元一次不等式（组）的解集，培养数学运算 不等式（组）的解集。 核心素养 2.了解含绝对值不等式的几何意义，能借助数轴解含 2.借助绝对值不等式的解法，提升数学抽象、数学运算 有绝对值的不等式.（重点、难点） 核心素养 3.掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式 3.通过数轴上两点间距离公式及中点坐标公式的学 (重点) 习，培养直观想象核心素养。a,b>0,.p2>Q 解方程组①，得 「x=1, y=-2. .P>Q. r4a-10b=-22 代人方程组②，得 知识点2：l.(1)a+c>b+c(2)ac>bc(3)ac<bc la+2b=8. (4)a>c(5)b<a2.(1)a>c-b(2)a+c>b+d(3)ao 解得a=2, >bd(4)a">b"(5)/a>b 1b=3 对应练习 所以(-a)=(-2)3=-8. (1)B(2)C(1)c2≥0，a≥b,.ac2≥bc2. 44,0 (2)A选项：a<b<0,则-a>-b>0,所以a2>b2,故错误；B 3 526已知得告-号② 达项合-台因为公>8e<6<0,所以-。 a 3 x+y+z=102,③ 0,b>0,所以台<号，放错误：C选项：a<6<0,同乘6得ab 0得y >,故正确；D选项：若c=0,则ac2=bc2,故错误 知识点3：已知条件结论出发逐步寻求否定 由2得5“4，同 对应练习 把④⑤代人③并化简，得12x-6=306, :1.(1)×(2)V(3)V(4)× 解得x=26. 2.a2+b2-2ab≥0(a-b)2≥0(a-b)2≥0用分析法证明 6.(1)设A,B两种型号台灯每台分别x,y元，依题意可得 ≥山的步骤为要证珍≥b成立，只需证。+会 a2+62 r2x+6y=610, l6x+2y=470 解得下50， 2ab,也就是证a2+b2-2ab≥0，即证(a-b)2≥0.由于(a- Ly=85 b)≥0显然成立，所以原不等式成立 所以A,B两种型号台灯每台分别50元，85元 关键能力攻重难 (2)设能采购B型台灯a台，依题意可得50(30-a)+85a≤ 例1：因为a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(63-ab2)=a2(a 2200,解得a≤20. -b)+2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). 所以最多能采购B型台灯20台. 当a=b时，a-b=0,a3+b=a2b+ab2: C组创新拓展 当a≠b时，(a-b)2>0,由已知得a+b>0,所以a3+b> 3 根据规定，得 =3x-2y=1, ab+ab". 2 x 综上所述，a3+b≥a2b+ab2 =5x+3z=8, 对点训练1：因为(x3-1)-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1=(x -35 -2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2 r3x-2y=1,① z=3y-6z=-3,所以5x+3z=8,② =x-1-+1=x-1[(-)+] 3y-6z=-3,③ ②×2+③，得10x+3y=13.④ 又因为(x-+>0-1<0 3x-2y=1, 将①与④组成二元一次方程组 所以(x-1[(x-)广+4]<0，所以2-1<2-2x 10x+3y=13. 例2：(1)BC(2)C(1)取a=-2,b=-1,则a<b<0,但是 解这个方程组，得：=1 ly=1. 宁>-1=方A错误：因为a<6,6<0.所以山> a 把y=1代入③，得z=1, b2,B正确；因为a<b,c2+1>0,所以a(c2+1)<b(c2+ 所以原方程组的解集为(1,1,1)}. 1),C正确；取a=-2,b=-1,c=0,则a<b<0,但是 2.2不等式 a|cl=blcl,D错误 (2)2<a<3,-2<b<-1, 2.2.1不等式及其性质 故4<2a<6,1<-b<2,得5<2a-b<8. 对点训练2：(1)A(2)C(1)因为a>b>0,-c>-d>0,所以 必备知识探新知 -ac>-bd,所以ac<bd,故A正确，B错误； 知识点1：1.不等号2.a<ba=ba>b 对应练习 当a=2,6=1,c=-2d=-1时，音=名=-1，放C,D (1)D(2)C(1):s-t=a+62+4-(a+4b)=2-4b+4 错误。 =(b-2)2≥0，t≤3. (2)设4a+2b=A(a+b)+B(a-b),可得 A+B=4,解 (2)p2=(a+b)2=a+b+2ab,Q2=(a+b)2=a+b. A-B=2, —181 得A3, 练案[12] B=1, 所以4如+2b=3(a+b)+a-b,因为1≤a+6≤3， !A组基础巩固 1-1≤a-b≤1， 可得1，B选项A,若a=4,b=2,c=5,显然不成立，选项C不满足倒 r3≤3(a+b)≤9 '所以2≤4a+2b≤10， 数不等式的条件，如a>b>0,c<0<d时，不成立；选项D只 l-1≤a-b≤1， 有a>b>0时才可以.否则如a=-1,b=0时不成立，故选B. 例3：()因为a>6>0,所以b>0,b>0 2.C.a<b<0,.a-b<0,a<0,.(a-b)a>0. 于是ax品>6×石即片>由e<0,得台>合 又：1-1=6 ba=。)<0,心a-b<a,可知A错误 当c<0时，ac>bc→a<b,故B错误； (2)要证c-I+√+1<26，只需证(c-1+√c+1)2 <(2)2, 号<亭e≠0，又>0a<6,故C正确： 即证2c+2√c-1<4c,即证√c2-1<c 取a=c=2,b=d=1,可知D错误 而c>1,即证c2-1<c2.上式明显成立，不等式得证. (3)假设a+b>2,则a>2-b, Aa,6e均为E数，且=16=9+2√厚=9+ 所以2=a3+b3>(2-b)3+6,即2>8-12b+662 214,c2=9+218,c2>b2>a2,.c>b>a.故选A 即(b-1)2<0,这是不可能的，所以a+b≤2. !4.B令x(a+b)+y(a-2b)=a+3b, 对点训练3：假设+与+均不小于2，即+“≥2,1+≥2，所 (x+y)a+(x-2y)b=a+3b, 以1+x≥2y,1+y≥2x. 故+y=, 1x-2y=3, 解得=号y=子 将两式相加得x+y≤2， 与已知的x+y>2矛盾，故假设不成立，即+x与+2中至少 因为-≤+≤，-2≤子+≤子所以 5 y 1 有一个小于2. 3≤a+36s1. 例4：④①当山<0时，。>不成立，故①不正确：2当c<0 所以a+36的取值范固是[-号，小 时，c2<0,不等式ac3>bc3的两边同时乘以c,得a<b,5.ACD因为c≥0，则a>b>c≥0，且a>b>c, 故②不正确；③当a=1,b=-2,k=2时，命题不成立，故③ 所以ab>bc,a2>c2,故A,C正确； 不正确；④a>b>0=-a<-b<0=→0<c-a<c-b,同乘 当c=0时，ac=bc=0,故B错误； 以e-ae-b得0 1 e-6。-a又a>b>0, c-a 因为a>b>c,所以a-c>b-c>0, 二6>产6微④正确 a 所以a(a-c)>b(b-c),故D正确 6.①24上<16-4<0，所以①2④能使它成立 课堂检测固双基 a<b ab 1.Ca与b的差是非负数，即a-b≥0，故选C. :7.>a2+b2+c2-[2(a+b+c)-4] 2.C当c=0时，A不成立；当c<0时，B不成立；当ab<0时， =a2+b2+c2-2a-2b-2c+4 a>6一品<品，即日>名，C成立同理可证D不成立，放 =(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+1≥1>0， abab’ 故a2+b2+c2>2(a+b+c)-4. 选C. 3.AP-Q=2a(a-2)+3-(a-1)(a-3)=a2≥0， 8(-2,-2) 由于a>b>c,且a+b+c=0, 所以P≥Q.故选A. 所以a>0,c<0,b=-a-c,-a-c<a,2a>-c,号>-2， 4.A由-1<a<1,-1<B<1,得-1<-B<1. -2<a-B<2,但a<B, -a-czc.-az2c:a 1 -2 故知-2<a-B<0.故选A, 所以-2<。<-2 1 53将2作等价变形，得后>片心84>0 ab 由ab>0,bc>ad,可得②成立，故①③→②； 9设若=行=点，依题意可知d>0,k>1且cd.> 若ab>0,bc-aL>0,则bc>ad,故①2=3； .∴.a+d-(b+c)=bh+d-b-d=(b-d)(k-1)>0, ab ∴.a+d>b+c. 若c>d,“b>0,则ab>0.故28→① 10.方法一：因为bc-ad≥0，所以bc≥ad, 所以可组成3个正确命题 所以bc+bd≥ad+bd,即b(c+d)≥d(a+b). —182