1.2.3 充分条件、必要条件-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

025 课堂检测 固双基 1.下列说法中正确的有 ()3.命题“Vx∈R,x3-x2+1≤0”的否定是 ①用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的； A.3xeR,x3-x2+1≥0 ②全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量 B.x∈R,x3-x2+1>0 词命题的否定一定是全称量词命题； C.3x∈R,x3-x2+1≤0 ③命题一p的否定是p; D.VxER,x-x2+1>0 ④3x∈M,P(x)与Hx∈M,p(x)的真假性相反， 4.若命题p:3x∈R,使得x2-x-2=0,则p为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.命题“正多边形的内角都相等”的否定是 2.若命题p:3x∈R,2x2+1≤2，则该命题的否定是( A.3x∈R,2x2+1>2 夯基提能作业 B.3x∈R,2x2+1≥2 请同学们认真完成练案[7] C.Hx∈R,2x2+1≤2 D.VxER,2x2+1>2 1.2.3充分条件、必要条件 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.理解充分条件、必要条件的定义.（难点) 1.通过充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理 2.会判断充分条件、必要条件、充要条件（重点） 素养 3.会根据充分不必要条件、必要不充分条件求字母的 取值范围.（重点） 2.通过充分条件、必要条件、充要条件的应用，培养数 学运算素养 4.会进行简单的充要条件的证明.（重点、难点） 必备知识 探新知 知识点1 充分条件与必要条件 思考1：(1)p是9的 命题真假 “若p,则g”是真命题 “若p,则g”是假命题 充分条件与q是p的 必要条件所表示的推 推出关系 p台g 出关系是否相同？ p是g的 条件 p不是g的 条件 (2)以下五种表述形 条件关系 9是p的 条件 q不是p的 条件 式：①p→q;②p是g 提醒：对于命题“若，则q”的条件和结论，我们都视为条件，只看“→”的推出方 的充分条件；③q的充 向，“箭尾”是“箭头”的充分条件，“箭头”是“箭尾”的女要条件 分条件是p;④q是p ●[思考1] 的必要条件；⑤p的必 。对应练习 要条件是4.这五种表 1.思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） 述形式等价吗？ (1)“x=3”是“x2=9”的必要条件 () 提示：(1)相同，都是 (2)“x>0”是“x>1”的充分条件 ()p→g.(2)等价 (3)如果p是g的充分条件，则p是唯一的. () 2.“x2=2x”是“x=0”的 条件，“x=0”是“x2=2x”的 （选填“充分”或“必 要”)条件 026 知识点2用集合知识理解充分条件和必要条件 1.充分条件、必要条件与集合的关系 A=xlx满足条件p,B=xlx满足条件q ACB p是g的充分条件g是p的必要条件 A正B p是q的不充分条件q是p的不必要条件 BCA q是p的充分条件p是q的必要条件 BCA q是p的不充分条件p是q的不必要条件 2.判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系 (1)判定定理给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 思考2：(1)若p是q (2)性质定理给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 的充要条件，则命题p 和g是两个相互等价 ●对应练习 的命题，这种说法 1.x,y∈R,下列各式中哪个是“xy≠0”的必要条件 ( 对吗？ A.x+y=0 B.x2+y2>0 (2)“p是g的充要条 C.x-y=0 D.x3+y3≠0 件”与“p的充要条件2.设集合M={xI0<x≤3，N=xI0<x≤2，那么“aeM”是“a∈N"的 条 是q”的区别在哪里？ 件.（填“充分”或“必要”） 提示：（1)正确.若P 知识点3充要条件 是q的充要条件，则 1.充要条件的概念 p台→q,即p等价于q 般地，如果既有 ,又有 ,就记作p一q.此时，我们说，p是g的充 (2)①p是q的充要条 分必要条件，简称 件说明p是条件，q 2.充要条件的判断 是结论 概括地说，如果p台g,那么p与g互为充要条件. ②p的充要条件是g (1)如果p→q且9≠p,则称p是q的充分不必要条件 说明g是条件，p是 (2)如果p共g且9→p,则称p是q的必要不充分条件 结论 (3)如果p≠g且g台p,则称p是q的既不充分也不必要条件. ●[思考2] 提醒：充要条件的传递性 若p是g的充要条件，q是s的充要条件，即p曰g,q→s,则有p白s,即p是s的 充要条件 ●对应练习 1.思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） (1)若p是r的充要条件，r是s的充要条件，则s是p的充要条件 ( (2)设x∈R,则x>1是x3>1的充要条件. (3)不等式(2x+1)(x-3)≥0成立的充要条件是x≥3. ( 2.已知集合A={xla-2<x<a+2},B={xlx≤-2或x≥4}，则A∩B=☑的充要条件 是 关键能力攻重难 ●题型一充分条件与必要条件的判断 例1下列命题中，判断条件口是条件9的什么条件： (1)在△ABC中，P:A>B,9:BC>AC; (2)p:x>1,9:x2>1; (3)p:(a-2)(a-3)=0,9:a=3; ●027 (4)p:a<b,g:g<1: 归纳提升：充分条件、 必要条件的几种判断 (5p:不等式组+4>0， 方法 (1)定义法 lx-8<0 解集，9：0<x<7. ①确定谁是条件，谁 是结论. ②尝试从条件推结 论，若条件能推出结 论，则条件为充分条 件，否则就不是充分 条件. ③尝试从结论推条 件，若结论能推出条 件，则条件为要条 件，否则就不是女要 条件. (2)命题判断法： ●[归纳提升] ①如果命题：“若p, )对点训练 则q”为真命题，那 么p是9的充分条 1.下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件： 件，同时q是p的必 (1)p:Ixl=lyl,q:x=y; 要条件. (2)P:△ABC是直角三角形，9：△ABC是等腰三角形； ②如果命题：“若p, 则9”为假命题，那 (3)p:四边形的对角线互相平分，9：四边形是矩形； 么p不是q的充分条 (4)p:a2+b2=0,9:a+b=0. 件，同时9也不是p 的必要条件. (3)利用集合间的包 含关系判断法：如果 条件P和结论9对应 的集合分别为A,B, 那么若A手B,则P是 9的充分不女要条 件；若A吴B,则p是 (的必要不充分条 件；若A=B,则p既 是9的充分条件，又 是q的必要条件. ○题型二充要条件的证明 归纳提升：充要条件 的证明思路 例2证明：元二次方程a㎡+br+c=0(a≠0)有一个正根和-个负根的充要条件 证明充要条件时要从 充分性和必要性两个 是ac<0. 方面分别证明. 思路探究：分清充分性与必要性，理清证明方向. 以证明“p成立的充 要条件为q”为例. (1)充分性·把g当作 已知条件，结合命题的 前提条件，推出P; (2)要性：把p当 作已知条件，结合命 题的前提条件，推 出q 证明的关健是分清哪 个是条件，哪个是结 论，然后确定推出方 向，至于光证明充分 [归纳提升]性还是先证明女要性 则无硬性要求， 028 对点训练 2.已知关于x的方程ax2+bx+c=0(※)，判断a+b+c=0是否是方程（※）有一个根 为1的充要条件. 归纳提升：根据充分、 必要、充要条件求参 数的取值范围的步骤 ●题型三利用充分、必要、充要条件求参数范围 (1)记集合M=x1 p(x),N=Ixlq(x). 3.若p:0<x<3是q:2x-3<m的充分不必要条件，则实数m的取值范围 是 (2)根据题中条件将 问题转化为集合之间 思路探究 p是q的充分 不必要条件 >D→q,且9台p→列不等式求解 的关系：若p是q的 充分不必要条件，则 P[归纳提升] MV:若p是g的必 对点训练 3.若p:x2+x-6=0是q:ax+1=0的必要不充分条件，则实数a的值为 要不充分条件，则N M:若p是q的充 易混易错警示混淆充分条件与必要条件 要条件，则M=N 4.使不等式(2x+1)(x-3)≥0成立的一个充分不必要条件是 (3)根据集合间的关 A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{-1,3,5 D≤-7或≥3 系列关于参数的不等 式（组）. 错因探究：本题容易颜倒无分性和必要性，认为要在选项中找出{✉≤一方或 (4)解不等式（组）即可 得参数的取值范围。 ≥3}是谁的真子条，从而误选B.事实上，{✉≤-2或x≥3}是结论q,我们 要找的是条件p,且条件p满足p→9和g户P,即要找集合{✉x≤-了或x≥ 3}的真子集。 误区警示：在解答问题时务必看清题干中的问题，明确哪个是条件，哪个是结 论，然后根据充分、必要、充要条件的概念进行判断。 课堂检测 固双基 1.设p:x>2,g:x2>2,则p是g成立的 ( ) A.充分不必要条件 A.充要条件 B.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知ACB,则“x∈A”是“x∈B”的 条件， 2.“x>0”是“x≠0”的 “x∈B”是“x∈A”的 条件（填“充分”或“必 A.充分不必要条件 要”) B.必要不充分条件 5.若“x>a”是“x>6”的必要条件，则实数a的取值范 C.充分必要条件 围是 D.既不充分也不必要条件 夯基提能作业 3.在△ABC中，AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形 请同学们认真完成练案[8] 的命题 2.必要由于NCM,所以“aeM”是“aeN"的必要条件 (2)7p:3x,yeR,x2+y2+2x-4y+5≠0. 知识点3：1.p→qq→p充要条件 因为x2+y2+2x-4y+5=(x+1)2+(y-2)2,当x=0,y=0对应练习 时，x2+y2+2x-4y+5≠0成立，所以p为真命题 1.(1)V(2)V(3)× B组素养提升 「a+2≤4， 2.0≤a≤2AnB=☑9 0≤a≤2. 1.D7p是真命题，所以p是假命题，所以3x∈(1,3)， a-2≥-2， x-a≥0无解，所以当1<x<3时，a≤x不成立，所以a≥3， 关键能力攻重难 2.ACD存在量词命题的否定是全称量词命题，全称量词命题例1：(1)由三角形中大角对大边可知，若A>B,则BC>AC;反 的否定是存在量词命题，考查选项，只有B不符合命题的否定 之，若BC>AC,则A>B.因此，P是g的充要条件 形式，故选ACD. (2)由x>1可以推出x2>1:由x2>1,得x<-1,或x>1,不 3.AB因为3x∈M,x>3为假命题， 定有x>1.因此，p是g的充分不必要条件 所以Hx∈M,x≤3为真命题，可得MC(-o,3]. (3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不能得到 又Hx∈M,IxI>x为真命题， a=3;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因此，p是g的 可得M≤(-o,0),所以M≤(-0,0) 必要不充分条件 4.Hx∈R,f(x)<1或f代x)≥3 ! (4)由于a<b台6<1，由号<1台a<6因此p是9的 5.[0,4]因为命题“3xeR,使4x+(a-2)x+4<0"是假 既不充分也不必要条件 命题，所以命题“VxeR,42+(a-2)x+十≥0”是真命题， (5)不等式组+4>0， 解集是{x1-4<x<8},又{xI0 Lx-8<0 即判别式4=(a-2)2-4×4× 40, <x<7}手{x-4<x<8},所以p是q的必要不充分条件 即(a-2)2≤4，则-2≤a-2≤2，即0≤a≤4. 对点训练1：(1)因为x=ly台x=y,但x=y曰lxl=1yl, 所以p是q的必要不充分条件. 6.因为命题p是假命题，所以7p:3x∈R,x后+（a-1)xo+1< (2)△ABC是直角三角形台△ABC是等腰三角形. 0是真命题，则4=(a-1)2-4>0,解得a<-1或a>3. △ABC是等腰三角形台△ABC是直角三角形 因为命题q:3xoeR,ax后-2ax。-3>0是真命题 所以p是q的既不充分也不必要条件 所以当a=0时，-3<0，不合题意； (3)四边形的对角线互相平分≠四边形是矩形：四边形是矩 当a<0时，(-2a)2+12a>0,所以a<-3. 形→四边形的对角线互相平分.所以卫是q的必要不充分 当a>0时，函数y=a2-2ax-3的图像开口向上，一定存在 条件 满足条件的xo (4)由a2+b=0得a=b=0,从而a+b=0:而由a+b=0台 故a<-3或a>0. a2+b2=0(如a=1,b=-1),所以p是g的充分不必要条件 综上，a的取值范围是(-∞，-3)U(3,+∞). 例2：先证充分性 C组创新拓展 由ac<0,可得△=b2-4ac>0,则方程有两个不等实根x, D全称量词命题的否定是存在量词命题，故A,B错误；命题 的否定形式为原命题的题设不变，结论改否定，故C错误，D 与x2 满足题意 由ac<0,可得a,c异号，则x1·x2=。<0,则1,2一正 a 1.2.3充分条件、必要条件 一负，即方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个 负根。 必备知识探新知 再证必要性 知识点1：→充分必要充分必要 由方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2异号，得x1x2= 对应练习 1.(1)×(2)×(3)×(1)因为“x2=9”台“x=3” <0,则ac<0 a (2)因为“x>0”“x>1”. 综上，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一 (3)不唯一，如x>3,x>5,x>10等都是x>0的充分条件. 负根的充要条件是ac<0. 2.必要充分由于x=0→x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的对点训练2：因为a+b+c=0, 必要条件，“x=0”是“x2=2x”的充分条件 所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中， 知识点2： 得ax2+bx-a-b=0, 对应练习 即(x-1)(ax+a+b)=0 1.B因为xy≠0→x≠0且y≠0=→x2>0且y2>0→x2+y2>0, 所以方程（※）有一个根为1，所以a+b+c=0→方程（※）有 所以“x2+y2>0”是“xy≠0”的必要条件. 一个根为1， -170 因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1，所以x=1满足方程ACB=→An(CB)=☑，同时An(CB)=☑=→ACB,故选C. ax'+bx+c=0. 2.B由已知：由“是仙”可以推出“到过蓬莱”，而“到过蓬莱”不 所以有a×1+b×1+c=0,即a+b+c=0.所以方程（※）有 一定推出“是仙”，所以“是仙”是“到蓬莱”的充分不必要条 一个根为1→a+b+c=0,从而a+b+c=0台方程（※）有一 件，故选B. 个根为1， 3.Ba2=,即(a+b)(a-b)=0,解得a=-b或a=b, 因此a+b+c=0是方程（※）有一个根为1的充要条件. a2+b2=2ab,即(a-b)2=0,解得a=b, 例3：[3，+0) 由题意得p:0<<3:9:x<m3在数轴上表 故“a2=b2”不能推出“a2+b2=2ab”,充分性不成立， “a2+=2ab"能推出“a2=b2”,必要性成立， 示出(0,3)和(-∞，"3 ,如图所示，由题意知p→q,9台！ 故“a2=2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B. p,则m+3≥3，解得m≥3，即m的取值范围是[3，+∞). 4.Dab(a-b<0ab-ab<0⊙ab<ab台8<a69 <。微选D 3m+3 5.B由|x+1I≤2得-3≤x≤1，即p:-3≤x≤1，若p是g的充 分不必要条件，则a≥1，故选B. 或号 1 对点训练3：- 由x2+x-6=0,可得x=2或x=-3. 6.充分必要由x=-1→x2-x-2=0,所以“x=-1”是“x2 对于ax+1=0,当a=0时，方程无解；当a≠0时，x=-1 -x-2=0”的充分条件，“x2-x-2=0”是“x=-1”的必要 条件 由题意知p为g,9→P,则可得a≠0，此时应有-↓=2或7.3①②④中命题均为真命题，⑧为假命题故填3， a 8.充要充分不必要(1)因为x1>0且x2>0,则可以推出x1 -=-3,解得a=-或a= 、1 +x2>0且x12>0, 例4：C由(2x+1)(x-3)≥0得x≤-号或x≥3，选项中只有 反之，x1+x2>0且x1x2>0,可以推出x1>0且x2>0 则“x1>0且2>0”是“x1+x2>0且x2>0”的充要条件； -1,35列{≤7或≥3 (2)因为：1>2且2>2，则可以推出x1+x2>4且xx2>4, 反之，1+2>4且x12>4,可以取x1=8,x2=1,满足条件，但 即只有“x∈{-1,3,5}”是“不等式(2x+1)(x-3)≥0成 不能推出x1>2且x2>2, 立”的充分不必要条件 则“1>2且x2>2”是x1+x2>4且x1x2>4的充分不必要 课堂检测固双基 条件 1.B9:x2>2,解得x>2或x<-2: 9.(1)由a2=4得a=±2，所以由p:a2=4不能推出q:a=-2, 若p:x>2成立，则q:x2>2成立， 由q:a=-2能推出p:a2=4,所以p是g的必要不充分条件， 反之，若q:x2>2成立，则p:x>2未必成立， (2)由AUB=B得A二B,所以p台9，即p是g的充要条件. 即p是q成立的充分不必要条件，故选B. (3)若两个三角形全等，则两个三角形面积必相等，即由p能 2.A对于“x>0”→“x≠0”，反之不一定成立.即x>0是x≠0 推出q;由两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，即 的充分不必要条件，故选A 由q不能推出P,所以p是q的充分不必要条件. 3.AAB+AC=BC→△ABC是直角三角形，△ABC是直角三10.(I)由x∈P是x∈S的必要条件，知SCP, 角形≠AB2+AC2=BC2,故选A. rl-m≤1+m, 4.充分必要因为ACB,由子集的定义知x∈A→x∈B,故 则1-m≥-2， “x∈A”是“x∈B”的充分条件：“x∈B”是“x∈A”的必要条件. L1+m≤10， 5.（-0,6]由“x>a”是“x>6”的必要条件，知a≤6，故实数 解得0≤m≤3. a的取值范围为(-0,6]. .当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取 值范围是0≤m≤3. 练案[8] (2)若xeP是xeS的充要条件，则P=S, A组基础巩固 1-m=-2,「m=3, 1.C如下图所示， {1+m=10,m=9 ∴.不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件 U 即所求m的取值范围是m∈). (3):xECRP是x∈CRS的必要不充分条件， ∴.x∈P→x∈S且x∈S台x∈P. .P￥S, -171