1.1.1 第2课时 集合的表示方法-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

004 课堂检测 固双基 1.下列几组对象可以构成集合的是 )A.2 B.-1 A.充分接近π的实数的全体 C.1 D.-2 B.善良的人 4.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列 C.世界著名的科学家 表示正确的是 D.某单位所有身高在1.7m以上的人 A.5∈M B.0gM 2.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是 C.1EM D.-ZeM A.3.14 B.-5 5.已知集合A由a2-a+1,1a+11两个元素构成，若 c多 D.√7 3∈A,则a的值为 夯基提能作业 3.设a,b∈R,集合A中含有3个元素1，a+b,a,集合B中 请同学们认真完成练案[1] 含有3个元素0，名，b,若A=B,则6-4= 第2课时 集合的表示方法 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.借助空集、区间的概念，培养数学抽象的素养. 1,掌握集合的两种表示方法.（重点、难点） 2.通过学习集合的两种表示方法，培养数学运算的 2.掌握区间的概念及表示方法.（重点） 素养 必备知识 探新知 知识点1 列举法 把集合中的元素 出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，以 思考1：一一列举元素 此来表示集合的方法 时，需要考虑元素的 提醒：(1)元素与元素之间女须用“，”隔开： 顺序吗？ (2)集合中的元素女须是明确的 提示：用列举法表示 集合时不女考虑元素 (3)集合中的元素不能重复： 的顺序.例如：{a, (4)集合中的元素可以是任何事物. [思考1] b}与{b,a}表示同一 ●对应练习 个集合 不等式x-3<2且x∈N·的解集用列举法可表示为 知识点2描述法 1.特征性质：属于集合A的任意一个元素x都具有性质(x),而不属于集合A的元 素都不具有这个性质，则性质(x)称为集合A的一个特征性质. 2.特征性质描述法（简称为描述法） 集合A可以用它的特征性质p(x)表示为 005 3.集合 中所有在另一个集合1中的元素组成的集合，可以表示为 {x∈IIp(x)}. 提醒：用描述法表示集合的注意点 ()写清楚集合中的代表元素，如数或点等： (2)说明该集合中元素的共同属性，如满足的方程、不等式、函数或几何图 形等 (3)所有描迷的内容都要写在大括号内，用于描迷内容的语言力求简洁、准确 ●对应练习 由大于-1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为 ,用描述法表示为 知识点3区间及其表示 (1)一般区间的表示. 设a,beR,且a<b,规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {xla≤x≤b} 闭区间 。6+ xla<x<b 开区间 6+ 思考2：区间与数集有 何关系？ 半开半 提示：(1)联系：区间 {xla≤x<b 。一 闭区间 实际上是一类特殊的 数集（连续的）的符号 半开半 xla<x≤b &6 表示，是集合的另一 闭区间 种表达形式： (2)实数集R可以用区间表示为(-0，+0)，“0”读作“无穷大”.如： (2)区别：不连续的裁 集不能用区间表示，如 符号 (a,+∞) （-o,u] 整裁集、自然数集等； 集合 (3)区间与区间之间 {xlx≥a} {xlx≤a} xlx <a 可以用集合的运算符 提醒：(1)“0”是一个符号，而不是一个数， 号连接起来，表示两 (2)以“-∞”或“+∞”为端点时，区间这一端必须是小括号 [思考2]个集合之间的运算 ●对应练习 填空： (1){x|-1≤x≤2}可用区间表示为 (2){x1<x≤3}可用区间表示为 (3){xlx>2}可用区间表示为 (4){xx≤-2可用区间表示为 006 关键能力 攻重难 归纳提升：用列举法 ●题型一 用列举法表示集合 表示集合的三个步骤 1.用列举法表示下列集合： (1)求出集合的元素 (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)把元素一一列举出 (2)方程x3=x的所有实数解组成的集合； 来，且相同元素只能列 (3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合. 举一次 (4)方程组 x+y=1,的解集 x-y=-1 (3)用花括号括起来 归纳提升：1.描述法 表示集合的2个步骤 分清楚 集合中 写代 的元素 是点还 表元素 是数或 是其他 的元素 ●[归纳提升] 提醒：用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且元素与元素间 用“，”高开 将集合 中元素 对点训练 明确元素 所具有 1.已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},对任意a∈A,有1al∈B,且B中只有4个元素，则 的公共 的特征 特征写 集合B= 在竖线 ●题型二用描述法表示集合 的后面 2.选用列举法或描述 2.用描述法表示下列集合： 法的原则 (1)被3除余1的正整数的集合； 要根据集合元素所具 (2)坐标平面内第四象限的点的集合； 有的属性选择适当的 (3)大于4的所有偶数 表示方法，列举法的 特点是能清楚地展现 集合的元素，通常用 于表示元素较少的集 合，当集合中元素较 多或无限时，就不宜 采用列举法：描迷法 的特点是形式简单、 应用方便，通常用于 表示元素具有明显共 同特征的集合，当元 素共同特征不易寻我 或元素的限制条件较 [归纳提升] 多时，就不宜采用描 对点训练 迷法 2.(1)集合{(x,y)1y=2x-1}表示 ( A.方程y=2x-1 B.点(x,y) C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D.一次函数y=2x-1图像上的所有点组成的集合 007 (2)用描述法表示下列集合： ①方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集； 归纳提升：用区间表示数 ②二次函数y=x2-10图像上的所有点组成的集合. 集的原则和方法 (1)用区间表示数集的原 则：①裁集是连续的： ②左小右大；③区间的 开闭不能弄错. (2)用区间表示数集的方 法：①区间符号里面的 两个裁宇（或字母）之间 用“，”隔开；②用裁轴 ● 题型三区间及其表示 表示区间时，实心点表 示包括区间端点，空心点 例 3.已知a∈R,不等式a≥1的解集为P,且-1∈P,则a的取值范围是 表示不包括区间端点 (用区间表示) [归纳提升] )对点训练 3.(1)不等式x-2≥0的所有解组成的集合表示成区间是 A.(2,+0)B.[2,+0) C.(-∞，2) D.(-0,2 (2)若a,3a-1]为一确定区间，则a的取值范围为 归纳提升：集合与方程综 ●题型四集合与方程的综合问题 合问题的解题策略 例41若集合4==R1a:+2x+1=0,aeR中只有-个元素，则a (1)对于一些已知某个集 合（此集合中涉及方程） A.1 B.2 C.0 D.0或1 中的元素个数，求参裁 的问题，常把集合的问 (2)设方e{:-m马-0小则集合{r-号-a=0中所有元素之积通转化为方花的饼当问 为 题.如对于方程a2+bx 思路探究：(1)集合只有一个元素，即方程ax2+2x+1=0只有一根；(2)先 +c=0,当a=0,b≠0 求出a的值，再求元素之积 时，方程有一个解；当a ●[归纳提升] ≠0时，若△=0，则方 )对点训练 程有两个相等的实裁 4.(1)已知集合A={xx2-ax+b=0},若A={2,3},求a,b的值 根；若△<0，则方程无 (2)若本例(1)中“只有一个元素”变为“至少有一个元素”，求的取值范围 解；若4>0，则方程有 两个不等的实数根 (2)集合与方程的综合问 题，一般要求对方程中 最高次项的系裁的取值 进行分类讨论，确定方 程实裁根的情况，进而 求得结果.需特别注意判 别式在一元二次方程的 实数根个数的讨论中的 作用. 008 课堂检测 固双基 1.把集合{xx2-3x+2=0用列举法表示为 ( )C.3} D.1,2,3 A.{x=1,x=2 B.xx=1,x=2 4.集合xlx-2<3,x∈N·}可用列举法表示为 C.{x2-3x+2=0 D.{1,2 2.区间(-3,2]用集合可表示为 )5.在数轴上集合M=(-2,10)与集合N=[0,13)的公 A.{-2,-1,0,1,2B.{xl-3<x<2 共部分用区间表示为 C.{xl-3<x≤2 D.x|-3≤x≤2 夯基提能作业 3.(2023·上海卷)已知P={1,2},Q=2,3},若M= 请同学们认真完成练案[2] {xx∈P,且xQ},则M= A.{1 B.{2 1.1.2 集合的基本关系 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.理解集合之间的包含与相等的含义.（重点） 1.通过对集合之间包含关系与相等的含义以及子集、真 2.能识别给定集合的子集、真子集.（重点） 子集概念的理解，培养数学抽象素养 3.会用数学符号和维恩图表示两个集合间的关系. 2.借助子集和真子集的求解，培养数学运算及逻辑推 理的数学素养 (难点) 3.利用维恩图培养直观想象数学素养 必备知识 探新知 知识点1子集与真子集 1.子集与真子集的定义 思考1：如何理解子 概念 定义 符号表示 示意图 集、真子集的概念？ 提示：1.子集与真子 如果集合A的 元素都是 A B(或 集的定义具有“判 子集 集合B的元素，那么集合A称为集 B A) 定”和“性质”的两 合B的子集 重性. 如果集合A是集合B的 ,并 (1)A二B等价于对任 真子集 且B中有一个元素不属于A, A军B(或B子A) 意xEA,都有x∈B; (2)A手B等价于AC 那么集合A称为集合B的真子集 B,且至少有一个元素 [思考1] x∈B,但x度A. 2.子集、真子集的性质 2.ACB包含A=B和 A季B两种情况，真子 (1)任意集合A都是它自身的 ,即ACA. 集是子集的特殊情 (2)空集是任意一个集合A的子集，即☑二A. 况. (3)包含关系的传递性：对于集合A,B,C. ①若A二B,且BCC,则ACC; ②若AB,B手C,则A军C; 3.维恩图 如果用平面上一条 的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地 表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图。②若1a+11=3,则a=-4或a=2(舍去). 若a=4,则4-a=0N*,此时A不满足要求，故选AC. 当a=-4时，a2-a+1=21≠3，满足题意. 3.CD当x,y,z的值同时为正数时，代数式的值为4； 综上可知，a=-1或a=-4. 当x,y,z中只有一个负数或两个负数时，代数式的值为0： 练案[1] 当x,y,z的值同时为负数时，代数式的值为-4， 结合选项，CD正确. A组基础巩固 4.(1)(2)∈(3)(4)(5)∈(1)因为N*为正 1.BB选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B. 整数集，所以0N:(2)因为N为自然数集，所以1∈N:(3) 2.B因为方程x2-16=0的解为4，-4，而-4}是一个集合， 因为Z为整数集，所以1.5Z;(4)因为Q为有理数集，所以 “∈”表示元素与集合之间的关系，所以B中关系错误 2√2Q:(5)因为R为实数集，所以2+5eR 3.D∵3-1=2>5,3A. 5.63,4,5.'x∈N,2<x<a,且集合P中恰有三个元素， 又-3-1=-4<5，.-3eA ∴.结合数轴（图略）知a=6,此时集合P中的元素是3,4,5. 4C这两个方程的实数解分别是2,3和2，-1，根据集合中元6.(1)证明：因为1S,由- 1eS,可得 素的互异性，可知集合M中的元素个数为3. 5.C代人检验可知，当a=6时，a2,2-a,4三个数互不相同.故 1 1 -ES, 选C. 1-a 6.3集合M中的元素为(2，-2)，2，-2，其中(2，-2)是一实 即 =1-0=1- -ES. 数对，所以共3个 1- 1 -a 7.k≠±1因为1∈A,2∈A,结合集合中元素的互异性可知 1-a ≠1，解得k≠±1. 故若aeS,则1-1 8.(1)生∈(2)生∈(3)华∈(1)因为25=2 >T,所以25B:因为(1+2)2=3+22<3+2×4= (2)由2eS,得2=-1es 1 11,所以1+2<I1,所以1+√2∈B. 由-1e3,得-（-D2eS: (2)因为n是正整数，所以n2+1≠3，所以3壁C:当n=2时， n2+1=5,所以5eC. =2∈S,…, (3)因为集合D中的元素是有序实数对(x,y),而-1是数，所 1-2 以-1生D;又(-1)2=1，所以(-1,1)eD. 因此当2ES时，集合S中必含有-1，？两个元素。 9.因为-3eA,所以a-2=-3或2d2+5a=-3, C组创新拓展 解得a=-1或a=-子 (1)a是集合S中的元素，因为a=a+0×√2∈S. 当a=-1时，a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素 (2)不妨设x1=m+n√2，x2=p+g√2，m,n,P,9eZ 的互异性，舍去； 则x1+2=(m+n√2)+(p+q√2)=(m+p)+(n+q)迈，因 当a=-多时，a-2=子2。+5a=-3,即集合4中的元 7 为m,n,P,9∈Z. 3 所以n+qeZ,m+peZ. 7 素为-2，-3,12，满足题意.故a=- 所以x1+x2∈S, 10.因为集合A,B相等，则x=0或y=0. x1·2=(m+n2)·(p+q2)=(mp+2ng）+(mg+p)2, ①当x=0时，x2=0,则不满足集合中元素的互异性，故！ 因为m,n,P,9eZ 舍去 故mp+2geZ,mg+np∈Z. ②当y=0时，x=x2,解得x=0或x=1. 所以x1·x,∈S. 由①知x=0应舍去，经检验x=1符合题意 综上，x1+2,1·都属于S 综上知，x=1,y=0. B组素养提升 :: 第2课时集合的表示方法 1.B:集合A中有三个元素0，m,m2-3m+2,且2eA,.m=2必备知识探新知 或m2-3m+2=2,即m=0或m=2或m=3.当m=0或m= 知识点1：一一列举 2时，集合A中的元素不满足互异性，.m=3. 对应练习 2.AC因为a∈A且4-aeA,a∈N*且4-aeN, 1,2,3,4}x-3<2,.x<5.又xeN,x=1,2,3,4,故 若a=1,则4-a=3,此时A满足要求； 可表示为1,2,3,4. 若a=2,则4-a=2,此时A含1个元素不满足要求. 知识点2：2.{xlp(x)} 若a=3,则4-a=1,此时A满足要求； ;, 3.xlp(x) -158 对应练习 此时x=7符合题意： {0,1,2,3,4}{xeN1-1<x<5}大于-1小于5的自然 数有0,1,2,3,4.故用列举法表示集合为0,1,2,3,4}； 当a≠0时，方程ax2+2x+1=0为一元二次方程， 用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且 △=4-4a=0,即a=1,原方程的解为x=-1,符合题意. -1<x<5.故用描述法表示集合为{x∈N1-1<x<5}. 故当a=0或a=1时，原方程只有一个解， 知识点3：(1)[a,b](a,b)[a,b)(a,b](2)[a, 此时A中只有一个元素 +o)（-o,a)xlx>a} 2因为e{-a-0所以（宁月 5 对应练习 =0,解得a=-2 9 (1)[-1,2](2)(1,3](3)(2,+∞)(4)(-∞，-2] 关键能力攻重难 例1：(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于 当0=-是时，力程-号x+号=0的判别式4 0的意思，所以不大于10的非负偶数组成的集合是{0,2， (--4×号-2>0， 4,6,8,10} 24 (2)方程x3=x的解是x=0或x=1或x=-1,所以方程的 由-号+号=0， 解组成的集合为0,1，-1. 1 (3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1)，故交 解得=2出=9， 点组成的集合是(0,1)} (4)解方程组+=L, 得∫0， 所似{号+号=0}-{ Lx-y=-1,Ly=1. 故集合{：是+号=0}的所有元素的职为宁×9 :用列举法表示方程组+y=1,的解集为(0,1)。 [x-y=-1 对点训练1：{0,1,2,3}对任意a∈A,有1aleB,因为集合A=对点训练4：(1)由A={2,3}知，方程x2-ax+b=0的两根为2， {-2,-1,0,1,2,3},由-1，-2,0,1,2,3eA,知0,1,2,3 r4-2a+b=0. ∈B. 3, 9-3a+b=0 又因为B中只有4个元素，所以B={0,1,2,3}. 例2：(1)根据被除数=商×除数+余数，可知此集合表示为 你3（ 因此a=5,b=6. xlx=3n+1,n∈N}. (2)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素.由例题 (2)第四象限内的点的横坐标大于零且纵坐标小于零，故 解析可知，当a=0或a=1时，A中只有一个元素；当A中有 此集合可表示为{(x,y)Ix>0且y<0}. 两个元素时，△=4-4a>0且a≠0，即a<1且a≠0.所以A中 (3)偶数可表示为2n,neZ,又因为大于4，故n≥3，从而用 至少有一个元素时，a的取值范围为(-∞，1]. 描述法表示此集合为xlx=2n,neZ且n≥3} !课堂检测固双基 对点训练2：(1)D集合{(x,y)1y=2x-1}中的元素为有序实1.D解方程x2-3x+2=0可得x=1或x=2, 数对(x,y),表示点，所以集合(x,y)1y=2x-1}表示函数y故集合xx2-3x+2=0用列举法可表示为{1,2. =2x-1图像上的所有点组成的集合 2.C由区间和集合的关系，可得区间(-3,2]可表示为x1-3 (2)①方程x2+y2-4x+6y+13=0可化为(x-2)2+(y+3)2= <x≤2}，故选C. 0,解得x=2,y=-3, 3.AP={1,2},Q={2,3},M={xIxEP,x年Q}, 所以方程的解集为{(x,y)Ix=2,y=-3}. M={1.故选A ②“二次函数y=x2-10图像上的所有点”用描述法表示为4.1,2,3,4：x-2<3,x<5. (x,y)1y=x2-10. 又xeN,.x=1,2,3,4 例3：(-，-1]因为-1eP,故≥1，解得a≤-1，所以a 故该集合可用列举法表示为{1,2,3,4}. 5.[0,10)集合M=(-2,10)表示为x1-2<x<10},而集合 的取值范围是(-∞，-1]. N=[0,13)表示为x0≤x<13},因此在数轴上其公共部分 对点训练3：(1)B(2)(分，+0）(1)不等式-2≥0的所 的集合为x10≤x<10,用区间表示为[0,10). 有解组成的集合为{xx≥2}，表示成区间为[2，+∞). 练案[2] (2)由区间的定义可知3a-1>a,即a>分 A组基础巩固 例4：()D(2)号()当a=0时，原方程变为2x+1=0。 1.D选项A中应是xy<O;选项B的本意是想用描述法表示， 但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表 159