练案12 2.2.1 不等式及其性质-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[12] 第二章 等式与不等式 2.2[2.2.1不等式及其性质] A组基础巩固 三、解答题 一、选择题 9设。是三个正数a,bc中最大的数，且号=分，试比 1.已知a,b,c,deR,则下列命题中必成立的是() 较a+d与b+c的大小. A.若a>b,c>b,则a>c B.若a>-b,则c-a<c+b c若a>6c<d,则>号 D.若a2>b2,则-a<-b 2.下列命题中，正确的是 A若a<b<0,则，6> B.若ac>bc,则a>b C若是<台则a<6 D.若a>b,c>d,则a-c>b-d 3.若a=4,b=2+7,c=5+6,则a,b,c的大小关系 A.c>b>a B.a>c>b C.c>a>b D.b>axc 4.(2024·锦州高一检测)已知实数a,b满足-1≤a+b ≤1,1≤a-2b≤3，则a+3b的取值范围是() a[-号，刂 B[-号 c[别 [号别 5.(多选题)(2024·济宁高一检测)已知实数a,b,c,若 a>b>|cl,则下列不等式一定成立的是 A.ab bc B.ac be C.a2>c2 D.a(a-c)>b(b-c) 二、填空题 6.给出四个条件：①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b, ④a>6>0,能推得}<成立的是 7.比较大小a2+b2+2 2(a+b+c)-4. 8.(2024·泰安高一检测)已知有理数a,b,c满足a>b >c,且a+b+c=0,那么C的取值范围是 123— 10若c-ad=0,d>0,求证：≤ :5.实数a,b,c,d满足下列三个条件：①d>c;②a+b=c +d;③a+d<b+c.则将a,b,c,d按从小到大的顺序 排列起来是 三、解答题 6.设≥1，y≥1，证明x+y+≤++ exty B组素养提升 一、选择题 1.已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4- 4a+a2,则a,b,c的大小关系是 A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b 2.已知a,B满足-1sa+B≤1， 则α+3B的取值范围 1≤a+2B≤3， 是 A.[1,7] B.[-5,13] C.[-5,7] D.[1,13] 3.(多选题)(2024·沈阳高一检测)已知正实数x,y满 足x-y<士-上，则下列结论正确的是 x y A.x<y B.x<1 C组创新拓展 c1<1 D.x3<y3 家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾 二、填空题 客到店里购买12g黄金，售货员先将6g的砝码放在 4.某公司有20名技术人员，计划开发A,B两类共50件 天平左盘中，取出xg黄金放在天平右盘中使天平平 电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： ! 衡；再将6g的砝码放在天平右盘中，再取出yg黄金 电子器件种类 每件需要人员数 每件产值（万元/件） 放在天平左盘中使天平平衡：最后将两次称得的黄金 交给顾客，则 () A类 2 7.5 A.x+y>12 B类 6 B.x+y=12 C.x+y<12 今制订计划欲使总产量最高，则A类电子器件应开发 D.以上选项都有可能 件，最高产值为 万元 124得A3, 练案[12] B=1, 所以4如+2b=3(a+b)+a-b,因为1≤a+6≤3， !A组基础巩固 1-1≤a-b≤1， 可得1，B选项A,若a=4,b=2,c=5,显然不成立，选项C不满足倒 r3≤3(a+b)≤9 '所以2≤4a+2b≤10， 数不等式的条件，如a>b>0,c<0<d时，不成立；选项D只 l-1≤a-b≤1， 有a>b>0时才可以.否则如a=-1,b=0时不成立，故选B. 例3：()因为a>6>0,所以b>0,b>0 2.C.a<b<0,.a-b<0,a<0,.(a-b)a>0. 于是ax品>6×石即片>由e<0,得台>合 又：1-1=6 ba=。)<0,心a-b<a,可知A错误 当c<0时，ac>bc→a<b,故B错误； (2)要证c-I+√+1<26，只需证(c-1+√c+1)2 <(2)2, 号<亭e≠0，又>0a<6,故C正确： 即证2c+2√c-1<4c,即证√c2-1<c 取a=c=2,b=d=1,可知D错误 而c>1,即证c2-1<c2.上式明显成立，不等式得证. (3)假设a+b>2,则a>2-b, Aa,6e均为E数，且=16=9+2√厚=9+ 所以2=a3+b3>(2-b)3+6,即2>8-12b+662 214,c2=9+218,c2>b2>a2,.c>b>a.故选A 即(b-1)2<0,这是不可能的，所以a+b≤2. !4.B令x(a+b)+y(a-2b)=a+3b, 对点训练3：假设+与+均不小于2，即+“≥2,1+≥2，所 (x+y)a+(x-2y)b=a+3b, 以1+x≥2y,1+y≥2x. 故+y=, 1x-2y=3, 解得=号y=子 将两式相加得x+y≤2， 与已知的x+y>2矛盾，故假设不成立，即+x与+2中至少 因为-≤+≤，-2≤子+≤子所以 5 y 1 有一个小于2. 3≤a+36s1. 例4：④①当山<0时，。>不成立，故①不正确：2当c<0 所以a+36的取值范固是[-号，小 时，c2<0,不等式ac3>bc3的两边同时乘以c,得a<b,5.ACD因为c≥0，则a>b>c≥0，且a>b>c, 故②不正确；③当a=1,b=-2,k=2时，命题不成立，故③ 所以ab>bc,a2>c2,故A,C正确； 不正确；④a>b>0=-a<-b<0=→0<c-a<c-b,同乘 当c=0时，ac=bc=0,故B错误； 以e-ae-b得0 1 e-6。-a又a>b>0, c-a 因为a>b>c,所以a-c>b-c>0, 二6>产6微④正确 a 所以a(a-c)>b(b-c),故D正确 6.①24上<16-4<0，所以①2④能使它成立 课堂检测固双基 a<b ab 1.Ca与b的差是非负数，即a-b≥0，故选C. :7.>a2+b2+c2-[2(a+b+c)-4] 2.C当c=0时，A不成立；当c<0时，B不成立；当ab<0时， =a2+b2+c2-2a-2b-2c+4 a>6一品<品，即日>名，C成立同理可证D不成立，放 =(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+1≥1>0， abab’ 故a2+b2+c2>2(a+b+c)-4. 选C. 3.AP-Q=2a(a-2)+3-(a-1)(a-3)=a2≥0， 8(-2,-2) 由于a>b>c,且a+b+c=0, 所以P≥Q.故选A. 所以a>0,c<0,b=-a-c,-a-c<a,2a>-c,号>-2， 4.A由-1<a<1,-1<B<1,得-1<-B<1. -2<a-B<2,但a<B, -a-czc.-az2c:a 1 -2 故知-2<a-B<0.故选A, 所以-2<。<-2 1 53将2作等价变形，得后>片心84>0 ab 由ab>0,bc>ad,可得②成立，故①③→②； 9设若=行=点，依题意可知d>0,k>1且cd.> 若ab>0,bc-aL>0,则bc>ad,故①2=3； .∴.a+d-(b+c)=bh+d-b-d=(b-d)(k-1)>0, ab ∴.a+d>b+c. 若c>d,“b>0,则ab>0.故28→① 10.方法一：因为bc-ad≥0，所以bc≥ad, 所以可组成3个正确命题 所以bc+bd≥ad+bd,即b(c+d)≥d(a+b). —182 又d>0,两边同除以d得，去≤ 先称得的黄金的实际质量为x,后称得的黄金的实际质量 d 为y, 方法=：--a+bdc+db_4-9 bd bd 由杠杆的平衡原理：bx=a×6,ay=b×6, 因为bc-ad≥0，所以ad-bc≤0， 解得会y兽 a 又6d>0,所以4≤0，即≤ d 则+y-g+0 B组素养提升 下面用作差法比较x+y与12的大小， 1.Ac-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0，所以c≥b,已知两式作差 得2站=2+2x,即6=1+G,因为1t8-a=(a-宁+子 (x+y）-12=60+66-12=6(6-@2 b a ab 又因为a≠6，所以b=a)>0, >0,所以1+a2>a,所以b=1+a2>a,所以c≥b>a. ab 2.A设a+3B=A(a+B)+u(a+2B)=(入+)a+(入+2)B. 所以x+y>12, 比较B的系数，得人+引；从而解得A-1, 所以顾客实际购买的黄金大于12克. 入+2=3， v=2. 2.2.2不等式的解集 由题意得-1≤-a-B≤1,2≤2a+4β≤6， 两式相加，得1≤a+3B≤7.故选A 必备知识探新知 3.ABD正实数x,y满足x-y<上-1 知识点1：所有解交集 x y 对应练习 化简得，-y<号，进面得到(x-y)(1+)<0。 xy (1)A 2(-32 (1)原不等式可化为2x+9≥3x+6, 因为，y为正实数，所以得1+1>0， 即x≤3 XV (2)由-x+2>0解得x<2, 对于A,可知x-y<0,即x<y,故正确； 1 对于B,由正实数x,y,且x<y,可知x<1,故正确； 由2x+1>0解得x>- 不等式组的解集为它们的交集， 对于C,由正实数小，且x<,可得>，放错误： 对于D,由正实数x,y,且x<y,可得x<y,故正确 4.20330设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件 即解集为(-22引 (50-)件根据题意，得竞+0≤20，解得≤20由题 3 知识点2：l.(2){x-m<x<m2.(1)1a-b1(2)a+b 2 意，得总产值y=7.5x+6×(50-x)=300+1.5x≤330，当且 (3)小于大于 仅当x=20时，y取最大值330.所以欲使总产值最高，A类电对应练习 子器件应开发20件，最高产值为330万元. :1.(1)(-0,-2)U(2,+∞)(2)[-1,3](1)由1xl>2, 5.a<c<d<b由a-d=c-b,a+d<b+c相加得a<c,又b- 解得x<-2或x>2. d=c-a>0,得b>d,又d>c,故a<c<d<b. 所以不等式的解集为(-0，-2)U(2,+0). 6.因为x≥1，y≥1，所以xy≥1， (2)由1x-11≤2得-2≤x-1≤2，解得-1≤x≤3 111 所以x+y+ 所以不等式的解集为[-1,3]. 可≤元+了+0y(x+）+1≤)+x+()月 2.6-1AB=I2-(-4)I=6:线段AB的中点M的坐标为 将上面不等式中的右端减左端，得 2-4=-1. [y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1] 2 =[(y)2-1]-[y(x+y)-(x+y)] 关键能力攻重难 =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) 例1：(1)由2x+4>9得2x>5, =(xy-1)(xy-x-y+1) 所以x>,所以不等式的解集是(3，+ =(y-1)(x-1)(y-1). 因为x≥1，y≥1，xy≥1，所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0，从而 (2)由-4x<2得4x>-2, 所要证明的不等式成立. 所以>一之所以不等式的解集是(-分，+） C组创新拓展 (3)由4(2x-1)<3(4x+2),得4x>-10, A由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为a,右臂长 为b(不妨设a>b), 所以>-子， -183