练案7 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[7] 第一章集合与常用逻辑用语 1.2[1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定] A组基础巩固 8.命题p是“对任意实数x,有x-a>0或x-b≤0”，其 一、选择题 中a,b是常数. 1.下列“一p”形式的命题中，假命题是 ( (1)命题p的否定是 A.2不是有理数 (2)当a,b满足条件 时，命题p的否定 B.T≠3.14 为真 C.方程2x2+3x+21=0没有实根 1 三、解答题 D.等腰三角形不可能有120°的角 9.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： 2.命题“若a+b>1,则a,b中至少有一个大于1”的否 (1)有的有理数没有倒数： 定为 (2)每个二次函数的图像都开口向下； A.若a,b中至少有一个大于1，则a+b>1 (3)存在一个四边形不是平行四边形. B.若a+b>1,则a,b中至多有一个大于1 C.若a+b≤1，则a,b中至少有一个大于1 D.若a+b>1,则a,b都不大于1 3.命题“Hx∈R,x2-2x+4<0”的否定为 A.HxeR,x2-2x+4≥0 B.3x0∈R,x6-2x0+4≥0 C.HxR,x2-2x+4≥0 D.3x0年R,x6-2x0+4≥0 4若x是不为零的实数，则命题Vm∈[0,1]，x+ 2m的否定形式是 Ame[0,+<2 B.3m∈[0,1]，x+L≥2 C.3me(-,0)U(,+∞)*+≥29 D.3me[0,1],x+1<2m 5.若命题“]x∈R,x石+2mx+m+2<0”为假命题，则 m的取值范围是 A.(-0,-1]U[2,+∞) B.(-0,-1)U(2,+∞) C.[-1,2] D.(-1,2) ; 二、填空题 6.命题“有的有理数没有倒数”的否定是 否定后的命题是_（选填“真”或“假”）命题。 7.静宁一中开展小组合作学习模式，高一某班某组王小 一同学给组内王小二同学出题如下：若命题 “x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题，求m的取值范 围.王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题 “Hx∈R,x2+2x+m>0”是真命题，求m的取值范 围.你认为，两位同学所出的题中m的取值范围是否 一致？ (填“是”或“否”) —113 10.写出下列命题的否定，并判断其否定的真假： :三、解答题 (1)p:不论m取何实数，方程x2+mx-1=0必有6.已知命题p:Hx∈R,x2+(a-1)x+1≥0，命题q: 实根； 了xo∈R,ax后-2ax0-3>0,若p假g真，求实数a的 (2)Hx,yeR,x2+y2+2x-4y+5=0. 取值范围。 B组素养提升 一、选择题 1.已知命题p:x∈(1,3)，x-a≥0；若p是真命题， 则实数a的取值范围是 A.(-0,1) B.(3,+∞) C.(-0,3] D.[3,+0) 2.(多选题)下列否定正确的是 A.“HxeR,x2>0”的否定是“]xoeR,x≤0” B.“]x∈R,x<0”的否定是“Hx∈R,x2<0” C组创新拓展 C.“V0eR,sin0≤1”的否定是“30。∈R,sin0。>1” 十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数n> D.“]0。∈R,sin0。+cos0。<1”的否定是“V0eR, 2,关于x,y,的方程x”+y=z”没有正整数解.”经历 sin0+cos0≥1” 三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证 3.（多选题)(2024·朝阳高一检测)若“Vx∈M,Ix1> 明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为 x”为真命题，“彐x∈M,x>3”为假命题，则集合M可 () 以是 A.对任意正整数n,关于x,y,z的方程x”+y=z”都 A.(-0,-5) B.(-3,-1] 没有正整数解 C.(3,+0) D.[0,3] B.对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程x”+y”=z” 二、填空题 至少存在一组正整数解 4.命题“3x∈R,1≤f(x)<3”的否定是 i C.存在正整数n≤2，关于x,y,z的方程x”+y=z”至 少存在一组正整数解 5.已知命题“3xeR,4+(a-2)x+子<0”是假命 D.存在正整数n>2,关于x,y,z的方程x”+y”=z”至 少存在一组正整数解 题，则实数a的取值范围是 114关键能力攻重难 m>1, 例1：(1)p:2,3不都是8的约数.真命题 即实数m的取值范围是(1，+∞)： (2)一p:实数的绝对值不都大于零.真命题， 课堂检测固双基 (3)p:菱形的对角线不垂直或不平分.假命题 1.C只有(2)，(3)，（4)正确，选C (4)7p:若xy=0,则x≠0且y≠0.假命题 2.D命题p的否定是HxeR,2x2+1>2,故选D. 对点训练1：(1)p:面积相等的三角形不都是全等三角形.真3.B将量词改变，结论否定，可得]xeR,x3-x2+1>0.故 命题， 选B. (2)p:若m2+n2=0,则实数m,n不全为零.假命题 4.HxeR,使得x2-x-2≠0 (3)7p:实数a,b,c满足abc=0,则a,b,c中都不为0.假5.有的正多边形的内角不都相等 命题 练案[7] 例2：1)该命题的否定：3x∈R,2-+<0。 A组 基础巩固 由于2-x+子=(x)≥0，是假合题 1.D对于选项A,√2为无理数，故A不符合题意，对于选项B,π =3.1415926…,故B不符合题意，选项C,因为4=9-4×2 (2)该命题的否定：存在一个正方形不是菱形，是假命题. ×21=-159<0,即方程2x2+3x+21=0没有实根，故C不符 (3)该命题的否定：存在一条与圆只有一个公共点的直线 合题意，对于选项D,等腰三角形可能以120°为顶角，30°为底 不是圆的切线，是假命题 角，符合题意，故选D. 对点训练2：(1)原命题为真命题，命题的否定：存在一个三角形 2.D“a,b中至少有一个大于1”表示“a,b中只有一个大于1” 的内角和不为180° 或“a,b中两个都大于1”，故其否定为“a,b都不大于1”，所以 (2)原命题为假命题，命题的否定：3xeN,x≤x2 所给命题的否定为“若a+b>1,则a,b都不大于1”.故选D. (3)原命题为假命题，命题的否定：存在被5整除的整数，末位 3.B命题为全称量词命题，则命题的否定是存在量词命题，则 数字不是0. 命题的否定：]x0∈R,x。-2x0+4≥0，故选B (4)原命题为真命题，命题的否定：存在一对等圆，其面积不 相等或周长不相等 4Dme[0,,+≥2的否定是3me[0,+< 例3：(1)命题的否定：任意四边形的对角线都互相垂直.是假 2“,全称量词命题的否定是换量词，否结论，不改变条件.故 命题 选D. (2)命题的否定：对所有的点(x,y),都不满足y=2x+1.是5.C依题意得：HxeR,x2+2mx+m+2≥0,4=(2m)2-4(m 假命题. +2)≤0，解得：-1≤m≤2，即m∈[-1,2]： 对点训练3：(1)该命题的否定：Vx∈R,x+2>0.为假命题 6.任意的有理数都有倒数假因为存在量词命题的否定为全 (2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.为假命题 称量词命题，所以命题的否定为：任意的有理数都有倒数.0 (3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.为假命题. 没有倒数. 例4：(1)根据题意知，当1≤x≤2时，1≤x2≤4. :7.是原命题是假命题，则该命题的否定是真命题，所以两位同 7p:31≤x≤2，x2-a<0为真命题，所以a>1, 学所出的题中m的取值范围是一致的. 所以实数a的取值范围是ala>I. 8.(1)存在实数x,有x-a≤0且x-b>0(2)b<a(1)命题 (2)由(1)知命题p为真命题时，a≤1. p的否定：存在实数x,有x-a≤0且x-b>0. 命题g为真命题时，4=4a2-4(2a+a2)≥0， (2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组厂-a≤0 的解 解得a≤0，所以g为真命题时，a>0. x-b>0. 所以as1, 集不为空集 La>0, 通过画数轴可看出，a,b应满足的条件是b<a. 解得0<a≤l, 9.(1)是真命题 即实数a的取值范围为al0<a≤1. 命题的否定：有理数都有倒数， 对点训练4：方法一：p:VxeR,x2-2x+m>0,是真命题，即 即所有的有理数都有倒数 m>-x2+2x=-(x-1)2+1,xeR恒成立，设函数y=-(x (2)是假命题 -1)2+1,由二次函数的性质知 命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下. 当x=1时，y税大值=1，小m>y最大值=1， (3)是真命题 即实数m的取值范围是(1，+o∞). 命题的否定：所有的四边形都是平行四边形 方法二：7p:Hx∈R,x2-2x+m>0,是真命题， 10.(1)7p:存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实 设函数y=x2-2x+m,由二次函数的图像和性质知， 数根. 只需方程x2-2x+m=0的根的判别式△<0，即4-4m<0,得 因为该方程的判别式4=m2+4>0恒成立，所以p为假 -169 命题 2.必要由于NCM,所以“aeM”是“aeN"的必要条件 (2)7p:3x,yeR,x2+y2+2x-4y+5≠0. 知识点3：1.p→qq→p充要条件 因为x2+y2+2x-4y+5=(x+1)2+(y-2)2,当x=0,y=0对应练习 时，x2+y2+2x-4y+5≠0成立，所以p为真命题 1.(1)V(2)V(3)× B组素养提升 「a+2≤4， 2.0≤a≤2AnB=☑9 0≤a≤2. 1.D7p是真命题，所以p是假命题，所以3x∈(1,3)， a-2≥-2， x-a≥0无解，所以当1<x<3时，a≤x不成立，所以a≥3， 关键能力攻重难 2.ACD存在量词命题的否定是全称量词命题，全称量词命题例1：(1)由三角形中大角对大边可知，若A>B,则BC>AC;反 的否定是存在量词命题，考查选项，只有B不符合命题的否定 之，若BC>AC,则A>B.因此，P是g的充要条件 形式，故选ACD. (2)由x>1可以推出x2>1:由x2>1,得x<-1,或x>1,不 3.AB因为3x∈M,x>3为假命题， 定有x>1.因此，p是g的充分不必要条件 所以Hx∈M,x≤3为真命题，可得MC(-o,3]. (3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不能得到 又Hx∈M,IxI>x为真命题， a=3;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因此，p是g的 可得M≤(-o,0),所以M≤(-0,0) 必要不充分条件 4.Hx∈R,f(x)<1或f代x)≥3 ! (4)由于a<b台6<1，由号<1台a<6因此p是9的 5.[0,4]因为命题“3xeR,使4x+(a-2)x+4<0"是假 既不充分也不必要条件 命题，所以命题“VxeR,42+(a-2)x+十≥0”是真命题， (5)不等式组+4>0， 解集是{x1-4<x<8},又{xI0 Lx-8<0 即判别式4=(a-2)2-4×4× 40, <x<7}手{x-4<x<8},所以p是q的必要不充分条件 即(a-2)2≤4，则-2≤a-2≤2，即0≤a≤4. 对点训练1：(1)因为x=ly台x=y,但x=y曰lxl=1yl, 所以p是q的必要不充分条件. 6.因为命题p是假命题，所以7p:3x∈R,x后+（a-1)xo+1< (2)△ABC是直角三角形台△ABC是等腰三角形. 0是真命题，则4=(a-1)2-4>0,解得a<-1或a>3. △ABC是等腰三角形台△ABC是直角三角形 因为命题q:3xoeR,ax后-2ax。-3>0是真命题 所以p是q的既不充分也不必要条件 所以当a=0时，-3<0，不合题意； (3)四边形的对角线互相平分≠四边形是矩形：四边形是矩 当a<0时，(-2a)2+12a>0,所以a<-3. 形→四边形的对角线互相平分.所以卫是q的必要不充分 当a>0时，函数y=a2-2ax-3的图像开口向上，一定存在 条件 满足条件的xo (4)由a2+b=0得a=b=0,从而a+b=0:而由a+b=0台 故a<-3或a>0. a2+b2=0(如a=1,b=-1),所以p是g的充分不必要条件 综上，a的取值范围是(-∞，-3)U(3,+∞). 例2：先证充分性 C组创新拓展 由ac<0,可得△=b2-4ac>0,则方程有两个不等实根x, D全称量词命题的否定是存在量词命题，故A,B错误；命题 的否定形式为原命题的题设不变，结论改否定，故C错误，D 与x2 满足题意 由ac<0,可得a,c异号，则x1·x2=。<0,则1,2一正 a 1.2.3充分条件、必要条件 一负，即方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个 负根。 必备知识探新知 再证必要性 知识点1：→充分必要充分必要 由方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2异号，得x1x2= 对应练习 1.(1)×(2)×(3)×(1)因为“x2=9”台“x=3” <0,则ac<0 a (2)因为“x>0”“x>1”. 综上，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一 (3)不唯一，如x>3,x>5,x>10等都是x>0的充分条件. 负根的充要条件是ac<0. 2.必要充分由于x=0→x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的对点训练2：因为a+b+c=0, 必要条件，“x=0”是“x2=2x”的充分条件 所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中， 知识点2： 得ax2+bx-a-b=0, 对应练习 即(x-1)(ax+a+b)=0 1.B因为xy≠0→x≠0且y≠0=→x2>0且y2>0→x2+y2>0, 所以方程（※）有一个根为1，所以a+b+c=0→方程（※）有 所以“x2+y2>0”是“xy≠0”的必要条件. 一个根为1， -170